2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若a a n n =∞
→lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（ ）
（A ）2
a a n > （B ）2
a a n <
（C ）n a a n 1-
> （D ）n
a a n 1
+< 【答案】A
【考点】极限的概念 【详解】 【解法一】
lim 0n n a a ε→∞
=⇔∀>，当n 充分大时，有-n a a ε<
取2
a ε=
，有-2
n a a a <
即2
2
n a a a a a -
<<+
当0a >时，322n a a a <<；当0a <时，322
n a a
a <<.从而2n a a >.
故选A .
【解法二】
根据极限的保号性推论：若,0lim ≠=∞
→a a n n 则存在0>N ，当N n >时，
10,<<>θθa a n
取2
1
=
θ，故选A . 【解法三】
令⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-+--=为偶数
为奇数
n n a n n a a n 111
1，则排除D C B ,,，故选A .
（2）下列曲线中有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2
sin y x x =+
（C ）1sin y x x =+ （D ）2
1sin y x x
=+ 【答案】C
【考点】函数的渐近线 【详解】
对于选项A ， lim(sin )x x x →∞
+ 不存在，因此没有水平渐近线，
同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinx
lim
lim
x x y x x x
→∞
→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；
对于C 选项，1sin
y x x
=+.由于1
sin lim lim
1x x x y
x x x
→∞→∞+==，又
()1
lim 1limsin
0x x y x x
→∞
→∞
-⋅==.所以1sin y x x =+存在斜渐近线y x =.故选C.
（3）设2
3
()P x a bx cx dx =+++，当0→x 时，若()tan P x x -是比3
x 高阶的无穷小，则下列选项错误的是（ ）
（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6
1
=d 【答案】D
【考点】高阶无穷小、泰勒公式、洛必达法则 【详解】 【解法一】
由泰勒展开式：)(31tan 33
x o x x x ++=知，若()tan P x x -是比3x 高阶的无穷小 则必有：3
1
,0,1,0====d c b a ，故选D.
【解法二】
由题意可知233
0tan lim
0x a bx cx dx x
x →+++-= 230
lim(tan )00x a bx cx dx x a →∴+++-=⇒=
232232
00tan 23sec lim lim 03x x a bx cx dx x b cx dx x
x x →→+++-++-==
220
lim(23sec )01x b cx dx x b →∴++-=⇒=
2222222222
0000123sec 23tan 23tan lim lim lim lim 3333x x x x cx dx x cx dx x cx dx x x x x x →→→→++-+--==+ 20211
lim
()00,333
x cx d c d x →=+-=⇒==
（4）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D
【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性 【详解】 【解法一】
令)()()(x f x g x F -=
则)()1()0()(x f f f x F '-+-='
由拉格朗日中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()01()0()1(ξξf f f f '='-=- 即0)(='ξF
又因为)()(x f x F ''-=''
若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，所以)(x F '单调递减， 当(0,),()0,()x F x F x ξ'∈>单调递增， 当(,1),()0,()x F x F x ξ'∈<单调递减，
又0)1(.0)0(==F F ，所以()0F x ≥，即()()f x g x ≤，故选D 【解法二】
令2
()f x x =，则函数()f x 具有2阶导数，且()0f x ''≥
