《2.3直线、平面垂直的判定及其性质》一课一练2(精)

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2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
知识梳理
直线与平面垂直的判定
1、定义 ： 如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
L 与平面 α 互相垂
直，记作 L⊥ α，直线 L 叫做平面 α 的垂线，平面 α 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面
垂直时 , 它们唯一公共点 P 叫做垂足。
B． 如 果 平 面 α 不 垂 直 于 平 面 β ， 那 么 平 面 α 内 一 定 不 存 在 直 线 垂 直 于 平 面 β
C． 如 果 平 面 α ⊥ 平 面 γ ， 平 面 β ⊥ 平 面 γ ， α ∩ β =l ， 那 么 l ⊥ 平 面 γ
D． 如 果 平 面 α ⊥ 平 面 β ， 那 么 平 面 α 内 所 有 直 线 都 垂 直 于 平 面 β
．Байду номын сангаас
25．如图，正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 的棱长为 1，E 、F 分别是棱 BC、DD 1 上的点，如果 B 1E ⊥平面 ABF ，
则 CE 与 DF 的和的值等于
．
26．如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA=a ， PB=PD=
5 个面中，互相垂直的面有
∵ AD 1 ∥ BC 1 ， 且 F 、 P 分 别 是 AD 、 DD 1 的 中 点 ， ∴ FP∥ AD 1 ， ∴ BC 1 ∥ FP ， 又 FP? 平 面 EFPQ ， 且 BC 1 ?平 面 EFPQ ， ∴ 直 线 BC 1 ∥ 平 面 EFPQ ；
（ Ⅱ）如图 ，
连 接 AC 、 BD ， 则 AC ⊥ BD ， ∵ CC 1 ⊥ 平 面 ABCD ， BD ? 平 面 ABCD ， ∴ CC 1 ⊥ BD ； 又 AC ∩ CC 1 =C ， ∴ BD ⊥ 平 面 ACC 1 ，

直线平面垂直的判定及其性质一课一练集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1、“直线l垂直于平面?内的无数条直线”是“l⊥?”的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、如果一条直线l与平面?的一条垂线垂直，那么直线l与平面?的位置关系是（）A、l??B、l⊥?C、l∥?D、l??或l∥?3、若两直线a⊥b，且a⊥平面?，则b与?的位置关系是（）A、相交B、b∥?C、b??D、b∥?，或b??4、a∥α，则a平行于α内的( )A、一条确定的直线B、任意一条直线C、所有直线D、无数多条平行线5、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )A、一条直线不相交B、两条直线不相交C、无数条直线不相交D、任意一条直线都不相交6、若直线l上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是( )A、平行B、相交C、平行或相交D、平行、相交或在平面α内二、填空题7、过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.8、过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.9、过一点可作________个平面与已知平面垂直.10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直.三、解答题12、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条14、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么15、已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l求证：AP在α内参考答案一、选择题1、B ；2、D ；3、D ；4、D ；5、D ；6、D 二、填空题7、无数，一，一，无数 8、一，无数，无数，一 9、无数 10、一个 11、一个 三、解答题12、已知：a∥b,a⊥α 求证：b⊥α证明：设m 是α内的任意一条直线αααα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥b m m b b a m a m a //13、已知：平面α和一点P求证：过点P 与α垂直的直线只有一条证明：不论P 在平面α内或外，设直线PA α⊥，垂足为A（或P ）若另一直线PB α⊥，设,PA PB 确定的平面为β，且a αβ=∴,PA a PB a ⊥⊥又∵,PA PB 在平面β内，与平面几何中的定理矛盾 所以过点P 与α垂直的直线只有一条14、解：在ABC ∆和ABD ∆中，∵8,6,10AB m BC BD m AC AD m ===== ∴2222226810AB BC AC +=+==βαaPBA222222+=+==6810AB BD AD∴90ABC ABD∠=∠=即,⊥⊥AB BC AB BD又∵,,B C D不共线∴AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直；15、证明：设AP与l确定的平面为β如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM∵l⊥α，∴l⊥又AP⊥l，于是在平面β内过点A有两条直线垂直于l，这是不可能的所以AP一定在α内。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1、已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A、a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB、a⊥b,b∥αC、α⊥β，a∥βD、a∥b,b⊥α2、如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α,上述判断正确的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、②④3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC组成的图形只能是（）A、一条线段B、一个锐角三角形C、一个钝角三角形D、一条线段或一个钝角三角形4、下列命题中正确的是（）A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个5、给出下列命题：①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β、上述命题中不正确的命题是（）A、①②③④B、①②③C、①③④D、②③④6、如果△ABC的三个顶点到平面的距离相等且不为零，那么△ABC的()A、三边均与平行B、三边中至少有一边与平行C、三边中至多有一边与平行D、三边中至多有两边与平行7、下列命题正确的是()A、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B 、平行于同一个平面的两条直线平行C 、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D 、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行8、下列命题正确的是 ( ) (A)αα////b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥ (B)a b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα (C)αα//b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ (D)αα////b b a a ⇒⎭⎬⎫⊥ 9、如图2.3.1-2，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有[ ]A 、AH ⊥△EFH 所在平面B 、AD ⊥△EFH 所在平面C 、HF ⊥△AEF 所在平面D 、HD ⊥△AEF 所在平面二、选择题10、直线a,b,c 是两两互相垂直的异面直线，直线 d 是b 和c 的公垂线，则d 和a 的位置关系是______________.11、在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面上的对角线的条数是_________.三、解答题12、求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行 已知:P ∉α求证:过点P 有且只有一个平面β∥αEDCBA13、已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB DC =，求证：BC AD ⊥14、如图，设三角形ABC 的三个顶点在平面α的同侧，A A '⊥α于A '，B B '⊥α于B '，C C '⊥α于C '，G 、G '分别是△ABC 和△A B C '''的重心，求证：G G '⊥α15、如图2.3.1-3，MN 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α平行于a 和b ，求证：MN ⊥平面α．BαACA 'B 'C 'G 'G参考答案一、选择题1、D ；2、B ；3、D ；4、D ；5、B ；6、B ；7、D ；8、B ；9、A 二、填空题 10、a ∥d 11、4条 三、解答题12、证明:过平面α外一点P 作直线⊥l α,再过点P 作平面β,使⊥l β,则α∥β.因为过点P 且与α平行的平面必与α的垂线l 也垂直,而过点P 与l 垂直的平面是唯一的,所以过点P 且与α平行的平面只有一个.13、证明：取BC 中点E ，连结,AE DE ， ∵,AB AC DB DC ==， ∴,AE BC DE BC ⊥⊥， ∴BC ⊥平面AED ， 又∵AD ⊂平面AED ， ∴BC AD ⊥14、解：连接AG 并延长交BC 于D ，连A 'G '并延长交B 'C '于 D '，连D D '、G G '，由于 A A '⊥α，B B '⊥α，C C '⊥α，则A A '∥B B '∥C C '因为AG A G GD G D''=''，所以G G '∥A A '，因此G G '⊥α15、证明：过相交直线a 和MN 作平面β， 设α∩β=a′， ∵a ∥α． ∴ a ∥a′∵ MN 是a 、b 的公垂线，∴MN ⊥a ，于是MN ⊥a′． 同样过相交直线b 和MN 作平面γ， 设α∩γ＝b′，则可得MN ⊥b′．∵a′、b′是α 内两条相交直线，∴MN ⊥α．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

学生之间可以互相交换作业进行批改，以便发现彼此的错误和不足，并相互学 习、借鉴。
讨论环节
教师可以组织学生进行课堂讨论，针对作业中的疑难问题进行深入探讨，以加 深学生的理解和记忆。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
下次课程内容预告
预告内容
下次课程将学习直线与平面平行的判定定理及其性质，学生应提前预习相关内容 。
预习要求
学生应了解直线与平面平行的基本概念和性质，尝试推导判定定理，并思考如何 将其应用于实际问题中。
简答题规范答题步骤
明确简答题的答题步骤和规范 ，如先写出已知条件、再写出 求证内容、最后给出证明过程 等。
通过练习典型简答题，逐步熟 悉和掌握规范的答题步骤和表 达方式。
强调证明过程的严谨性和逻辑 性，避免出现漏洞或矛盾。
知识点综合运用
通过综合运用直线与 平面垂直的相关知识 点，解决复杂的数学 问题。
高中数学必修：直线与平 面垂直的判定课后课时精
练
汇报人：XX 20XX-01-30
目录
• 课程回顾与重点梳理 • 基础知识巩固练习 • 拓展提高：难度递进式题目解析 • 实战演练：模拟考试环境进行自测 • 课后作业布置与要求
01
课程回顾与重点梳理
直线与平面垂直定义及性质
定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的 任意一条直线都垂直，我们就说 直线$l$与平面$alpha$互相垂直 。
易错点二
易错点三
在证明过程中，逻辑不严密，跳步或 者漏写关键步骤，导致证明不完整或 者错误。
在运用判定定理时，忽略了定理中的 关键条件，如“相交直线”、“平行 直线”等。
02
基础知识巩固练习
填空题专项训练
熟练掌握直线与平面垂直的定义和性质，能 够准确判断直线与平面的位置关系。