圆锥曲线方程-双曲线(知识点、典型例题、考点、练习)

双曲线知识点一 双曲线定义的应用已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点的轨迹方程．解 设F (x ，y )为轨迹上任意一点， ∵A 、B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上 ∴|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |， ∴|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝2∴F 的轨迹方程为：y 2－x 248＝1 (y ≤－1)．知识点二 求双曲线的标准方程设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－ (±15－0)2＋(4－3)2| ＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.方法三 若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，再将点A (±15，4)代入求λ，进而求方程，不过这种解题方法有一定的技巧性．知识点三 双曲线在实际中的应用A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B 的北偏西30°相距4km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．解 以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 则B (－3,0)，A (3,0)，C (－5,23) ∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上 ∵k BC ＝－3，BC 中点D (－4，3)∴直线PD ：y －3＝13(x ＋4)① 又|PB |－|P A |＝4，∴P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上设P (x ，y )则双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ＞0)②联立①、②式得x ＝8，y ＝53，∴P (8,53)，因此k P A ＝538－3＝ 3.故炮击的方位角为北偏东30°.知识点四 双曲线几何性质的简单应用已知双曲线渐近线的方程为2x ±3y ＝0.(1)若双曲线经过P (6，2)，求双曲线方程； (2)若双曲线的焦距是213，求双曲线方程； (3)若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程． 解 (1)设双曲线的方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)， ∵双曲线过点P (6，2)， ∴4×6－9×4＝λ，即λ＝－12∴双曲线的方程为：－x 23＋34y 2＝1.(2)设双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1，或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． ∵c 2＝a 2＋b 2，∴13＝a 2＋b 2.由渐近线斜率得b a ＝23，或a b ＝23，故由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝23，a 2＋b 2＝13，或⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝23，a 2＋b 2＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝9，b 2＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝9.∴所求双曲线方程为x 29－y 24＝1，或y 24－x 29＝1.(3)由(2)所设方程可得： ⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝23，2a ＝6.或⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝23，2a ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝92.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1，或y 29－4x 281＝1.知识点五 求双曲线的离心率(1)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为________；(2)设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点．已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．解析 (1)当焦点在x 轴上时，其渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意，b a ＝34，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b2a2＝1＋916＝2516， ∴e ＝54；当焦点在y 轴上时，其渐近线方程为y ＝±abx ，依题意a b ＝34，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋169＝259，∴e ＝53.(2)直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，即ab ＝34c 2.两边平方得16a 2b 2＝3c 4，∴16a 2(c 2－a 2)＝3c 4. 即3c 4－16a 2c 2＋16a 4＝0，∴3e 4－16e 2＋16＝0.解得e 2＝4，或e 2＝43，∵b >a >0，∴b2a 2>1，∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2>2，故e 2＝4，∴e ＝2.答案 (1)53或54(2)2知识点六 直线与双曲线直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m .解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由韦达定理，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)，∴|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5[3625m 2－4×310(m 2＋2)]．∵|AB |＝4，∴365m 2－6(m 2＋2)＝16.∴3m 2＝70，m ＝±2103.∴直线l 在y 轴上的截距为±2103.考题赏析1．(全国Ⅱ高考)设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)解析 ∵双曲线方程为x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1，∴c ＝2a 2＋2a ＋1.∴e ＝c a ＝2＋1a 2＋2a＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12＋1. 又∵a >1，∴0<1a <1.∴1<1a ＋1<2.∴1<⎝⎛⎭⎫1＋1a 2<4.∴2<e < 5. 答案 B2．(重庆高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝kx (k >0)，离心率e ＝5k ，则双曲线方程为( )A.x 2a 2－y 24a 2＝1B.x 2a 2－y 25a 2＝1 C.x 24b 2－y 2b 2＝1 D.x 25b 2－y 2b2＝1 解析 双曲线的渐近线方程可表示为y ＝±b a x ，由已知可得k ＝ba.又离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5k ，所以k ＝12.即b a ＝12，故a ＝2b . 答案 C3．(湖北高考)如图所示，在以点O 圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB=30°.曲线C 是满足||MA| -|MB||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； (2)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F.若△OEF 的面积不小于22，求直线l 斜率的取值范围．解 (1)方法一 以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系， 则A(-2,0)，B(2,0)，P(3,1)， 依题意得||MA|-|MB||=|PA |-=<|AB|=4. ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c=2,2a=22，∴a 2=2，b 2= c 2- a 2=2.∴曲线C 的方程为22122x y -=.方法二 同方法一建立平面直角坐标系，则依题意可得 ||MA|-|MB||=|PA|-|PB|<|AB|=4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线．设双曲线的方程为22221x y a b-= (a>0，b>0)，则由222211,4,ba b -=⎪+=⎩解得a 2= b 2= 2，∴曲线C 的方程为22122x y -= (2)方法一 依题意，可设直线l 的方程为y=kx+2，代入双曲线C 的方程并整理得(1-k 2)x 2-4kx -6=0.①∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋4×6(1－k 2)>0，⇔⎩⎨⎧k ≠±1，－3<k < 3.∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．② 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得x 1＋x 2＝4k 1－k 2，x 1x 2＝－61－k 2， 于是|EF |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·223－k 2|1－k 2|.而原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2，∴S △OEF ＝12d ·|EF |＝12·21＋k 2·1＋k 2·223－k 2|1－k 2|＝223－k 2|1－k 2|.若△OEF 的面积不小于22，即S △OEF ≥22， 则有223－k 2|1－k 2|≥22⇔k 4－k 2－2≤0， 解得－2≤k ≤ 2.③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为 [－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2]．方法二 依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入双曲线C 的方程并整理， 得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.①∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋4×6(1－k 2)>0，⇔⎩⎨⎧k ≠±1，－3<k < 3.∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．② 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则由①式得|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝Δ|1－k 2|＝223－k 2|1－k 2|，③当E ，F 在同一支上时(如图(1)所示)，S △OEF ＝|S △ODF －S △ODE |＝12|OD |·(||x 1|－|x 2||)＝12|OD |·|x 1－x 2|；当E ，F 在不同支上时(如图(2)所示)，S △OEF ＝S △ODF ＋S △ODE ＝12|OD |·(|x 1|＋|x 2|)＝12|OD |·|x 1－x 2|. 综上得S △OEF ＝12|OD |·|x 1－x 2|.于是由|OD |＝2及③式，得S △OEF ＝223－k 2|1－k 2|.若△OEF 面积不小于22，即S △OEF ≥22，则有 223－k 2|1－k 2|≥22⇔k 4－k 2－2≤0，解得－2≤k ≤ 2.④ 综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为 [－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2].1．实轴长为45且过点A (2，－5)的双曲线的标准方程是( ) A.x 220－y 216＝1 B.y 220－x 216＝1 C.x 216－y 220＝1 D.y 216－x 220＝1 答案 B解析 由题意知2a ＝45，a 2＝20，若双曲线焦点在x 轴上，则可设方程为x 220－y 2b2＝1，代入点A (2，－5)，得：420－25b 2＝1，即－25b 2＝1620，矛盾．因此设双曲线的方程为－x 2b 2＋y 220＝1.代入A (2，－5)，得：4b 2＝－1＋2520＝14，∴b 2＝16.故选B.2．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．2 2 答案 A解析 因两条渐近线互相垂直．所以两渐近直线的倾斜角为π4、34π.渐近线的方程为y ＝±x ，∴ba＝1，即a ＝b ， c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴e ＝2aa＝ 2.3．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝24 答案 D解析 由题意知双曲线的焦点为(0，±43)，即c 2＝48，又因一条渐近线方程为y ＝x .所以ab＝1.即a ＝b ，∴48＝2a 2，a 2＝b 2＝24.故选D.4．F 1、F 2为双曲线x 24－y 2＝－1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 方程变形为y 2－x 24＝1， 由题意⎩⎨⎧||PF 1|－|PF 2||＝2 ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝(25)2 ②由①式两边平方得：20－2|PF 1||PF 2|＝4， ∴|PF 1||PF 2|＝8，S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8＝4.5．若方程x 2|k |－2＋y25－k＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )A ．k <－2，或2<k <5B ．－2<k <5C ．k <－2，或k >5D ．－2<k <2，或k >5 答案 D解析 由题意知：(|k |－2)(5－k )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧|k |－2>0，5－k <0，或⎩⎪⎨⎪⎧|k |－2<0.5－k >0.解得：k >5，或－2<k <2.故选D. 6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为____________．答案 x 24－34y 2＝1解析 双曲线顶点为(a,0)，渐近线为x ＋3y ＝0，∴1＝a 1＋3＝a2，∴a ＝2.又b a ＝33，∴b ＝233， ∴双曲线方程为x 24－34y 2＝1.7．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为____________．答案 x 24－y 212＝1解析 由题意知双曲线仅与x 轴有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，y ＝0，即x 2－6x ＋8＝0， ∴x ＝2或x ＝4，即c ＝4，a ＝2.∴x 24－y 212＝1.8．如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42.设动圆M 的半径为R ，则有 |MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3. ∴M 点的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.则有b 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－32)．9．椭圆x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线x2n2－y 2＝1(n >0)有公共焦点F 1、F 2，P 是它们的一个交点，求△F 1PF 2的面积．解 根据椭圆与双曲线焦点都在x 轴上，不妨设P 在第一象限，F 1是左焦点，F 2是右焦点，则由椭圆与双曲线定义有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，可解得|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m 2＋n 2)．又∵两者有公共焦点，设半焦距为c .则m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，∴m 2＋n 2＝2c 2. ∴|F 1F 2|2＝4c 2＝2(m 2＋n 2)，∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴∠F 1PF 2＝90°. 又∵m 2－1＝n 2＋1＝c 2，∴m 2－n 2＝2.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝18[(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2] ＝12(m 2－n 2)＝1.所以△F 1PF 2的面积为1.10．已知双曲线x 2－y 2＝a 2及其上一点P ，求证： (1)离心率e ＝2，渐近线方程y ＝±x ；(2)P 到它两个焦点的距离的积等于P 到双曲线中心距离的平方； (3)过P 作两渐近线的垂线，构成的矩形面积为定值． 证明 (1)由已知得c ＝a 2＋a 2＝2a ， ∴e ＝2，渐近线方程y ＝±x .(2)设P (x 0，y 0)，则x 20－y 20＝a 2， 又F 1(－2a,0)、F 2(2a,0)，∴|PF 1||PF 2|＝(x 0＋2a )2＋y 20·(x 0－2a )2＋y 2＝2x 20＋a 2＋22ax 0·2x 20＋a 2－22ax 0 ＝|2x 0＋a ||2x 0－a |＝|2x 20－a 2|＝|x 20＋y 20|＝|PO |2.∴P 到它两个焦点的距离的积等于P 到双曲线中心距离的平方． (3)设垂足分别为Q 、R ，则由点到直线距离公式知|PQ |＝|x 0－y 0|2，|PR |＝|x 0＋y 0|2，∴S PQOR ＝|PQ ||PR |＝12|x 20－y 20|＝12a 2.∴该矩形的面积为定值.讲练学案部分2．3.1 双曲线及其标准方程.对点讲练知识点一 双曲线定义的应用如图所示，在△ABC 中，已知|AB|=42，且三内角A 、B 、C 满足2sinA+sinC=2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A( 22,0)、, 0 )． 由正弦定理得sinA =2a R ，sinB =2b R ，sinC =2c R.∵2sinA+sinC=2sinB ，∴2a+c=2b ，即b -a=2c .从而有|CA| - |CB|=21|AB|=由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支．∵b 2= c 2- a 2= 6.所以顶点C 的轨迹方程为221,26x y -= (． 【反思感悟】 使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即||PF 1|-|PF 2||=2a ，而|PF1|-|PF2|=2a 表示一支．P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝9，求|PF 2|的值．解 在双曲线x 216－y 220＝1中，a ＝4，b ＝2 5.故c ＝6.由P 是双曲线上一点， 得||PF 1|－|PF 2||＝8. ∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝17.又|PF 2|≥c －a ＝2，得|PF 2|＝17.知识点二 求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5，且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，且过点(－5,2)，焦点在x 轴上；(3)与双曲线x 216－y 24＝1有相同焦点，且经过点(32，2)．解 (1)设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1，∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝12569m ＋25n＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16n ＝9，∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为：x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.(3)设所求双曲线方程为： x 216－λ－y 24＋λ＝1 (其中－4<λ<16)． ∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.【反思感悟】 用待定系数法求双曲线的标准方程，首先要定型，即确定双曲线的类型，看焦点位置(如果焦点位置不确定，要分类讨论或设一般式Ax 2＋By 2＝1其中AB <0)设出标准形式，再定量．即确定方程中的参数的值．已知双曲线过P 1⎝⎛⎭⎫－2，325和P 2⎝⎛⎭⎫437，4两点，求双曲线的标准方程． 解 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)，因P 1、P 2在双曲线上，所以有⎩⎨⎧4m ＋454n ＝1169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116n ＝19.∴所求双曲线方程为－x 216＋y29＝1，即y 29－x216＝1. 知识点三 双曲线的实际应用一炮弹在A 处的东偏北60°的某处爆炸，在A 处测到爆炸信号的时间比在B 处早4秒，已知A 在B 的正东方、相距6千米，P 为爆炸地点，(该信号的传播速度为每秒1千米)求A 、P 两地的距离．解 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 则A (3,0)、B (－3,0) ∵|PB |－|P A |＝4×1<6 ∴a ＝2，b ＝5，c ＝3∴P 是双曲线x 24－y 25＝1右支上的一点∵P 在A 的东偏北60°方向， ∴k AP ＝tan60°＝ 3.∴线段AP 所在的直线方程为y ＝3(x －3)解方程组)221,453,0,0,x y y x x y ⎧-=⎪⎪⎪=-⎨⎪>⎪>⎪⎩ 得8,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即P 点的坐标为∴A 、P 两地的距离为千米)．【反思感悟】 解答此类题首先应建立平面直角坐标系，取两定点所在的直线为x 轴，以两定点为端点的线段的中点为坐标原点；然后根据双曲线的定义求出标准方程，再由标准方程解有关问题．已知A 、B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．解如图所示，建立直角坐标系xOy ，使A ，B 两点在x 轴上，并且坐标原点O 与线段AB 的中点重合．设爆炸点P 的坐标为(x ，y)， 则|PA|-|PB|=340×2=680， 即2a=680，a=340.又|AB|=800，所以2c=800，c=400， b 2=c 2-a 2=44 400.因为|PA|-|PB|=340×2=680>0，所以x>0. 因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为22=1115600444400x y - （x>0.）. 课堂小结：1.平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值为常数2a （0<2a<|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线，两定点F 1，F 2叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫双曲线的焦距.2.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是22221x y a b-=（a>0,b>0），其焦点为 F 1（-c ，0），F 2（c ，0）.3.焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是22221x y a b-=（a>0,b>0），其焦点为F 1（0，-c ），F 2（0,c ）.4.c 2=a 2+b 2，焦距| F 1F 2 |=2c.课时作业一、选择题1．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上 答案 B解析 原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以ba <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双线，故选B.2．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆 答案 C解析 由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．3．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则k 的值是( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－12答案 B解析 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由一个焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，c 2＝(－1k )＋(－8k )＝－9k＝9，所以k ＝－1，故选B.4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y22＝1 答案 B解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.5．双曲线x2n －y 2＝1(n >1)的左、右两焦点分别为F 1、F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A.12B ．1C ．2D ．4 答案 B解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2n ， 由|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |F 1F 2|＝2n ＋1，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以∠F 1PF 2＝90°.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝1.二、填空题6．P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．答案 33解析 在双曲线x 264－y 236＝1中，a ＝8，b ＝6，故c ＝10.由P 是双曲线上一点，得||PF 1|－|PF 2||＝16.因为|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1或|PF 2|＝33.又|PF 2|≥c －a ＝2，得|PF 2|＝33.7.x 24－t ＋y 2t －1＝1表示双曲线，则实数t 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 t >4或t <1解析 由题意知：(4－t )(t －1)<0，即(t －4)(t －1)>0， ∴t >4或t <1.8．F 1、F 2是双曲线y 29－x 216＝1的两个焦点，M 是双曲线上一点，且|MF 1|·|MF 2|＝32，求△F 1MF 2的面积为________________________________________________________________________．答案 16解析 由题意可得双曲线的两个焦点是F 1(0，－5)、F 2(0,5)， 由双曲线定义得：||MF 1|－|MF 2||＝6，联立|MF 1|·|MF 2|＝32得|MF 1|2＋|MF 2|2＝100＝|F 1F 2|2，所以△F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S ＝12|MF 1|·|MF 2|＝16.三、解答题9．某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′＝14 m ，CC ′＝18 m ，BB ′＝22 m ，塔高20 m ．建立坐标系并写出该双曲线方程．解 (1)如图建立直角坐标系xOy ，以AA ′为x 轴，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴．设双曲线方程为22221x y a b-=(a>0，b>0)，则a=21，AA ′=7.又设B(11，y 1)，C(9，y2)， 因为点B 、C 在双曲线上，所以有2212291,7y b-=①9272－y 22b2＝1，② 由题意知y 2－y 1＝20.③由①、②、③得y 1＝－12，y 2＝8，b ＝7 2.故双曲线方程为x 249－y 298＝1.10．已知双曲线的一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.② 由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求方程为x 22－y 25＝1.2．3.2 双曲线的简单几何性质对点讲练知识点一 由方程研究几何性质求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4， 虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5， 焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .【反思感悟】 求双曲线的几何性质可先将双曲线方程化为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1 (或y 2a 2－x 2b 2＝1)，再根据它确定a ，b 的值，进而求出c .求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．解 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y222＝1， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点坐标F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6， 虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x .作草图：知识点二 由几何性质求方程求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (23，－3)的双曲线方程．解 设与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)．因为点A (23，－3)在所求的双曲线上，所以λ＝1216－99＝－14，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝－14，即y 294－x 24＝1.【反思感悟】 本题解法有两种，一是按焦点位置分类讨论，二是设共渐近线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)．已知双曲线的两条渐近线方程为3x ±y ＝0，且焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．解 因为双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0，所以可设双曲线方程为3x 2－y 2＝3λ(λ≠0)，当λ>0时，方程为x 2λ－y 23λ＝1，所以a 2＝λ，b 2＝3λ，c ＝2λ.焦点(±2λ，0)到3x ±y ＝0的距离是|±23λ|2＝3，解得λ＝3，所以双曲线方程为x 23－y 29＝1.当λ<0时，方程为y 2－3λ－x 2－λ＝1，a 2＝－3λ，b 2＝－λ，c ＝2－λ，焦点(0，±2－λ)到3x ±y ＝0的距离是|±2－λ|2＝3，解得λ＝－9.所以双曲线方程为y 227－x 29＝1.知识点三 求离心率或离心率的取值范围双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1，0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．解 直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b2，同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b2，s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc .由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2， 即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.∵e >1，∴e 的取值范围是52≤e ≤ 5. 【反思感悟】 求双曲线离心率的常见方法：一是依条件求出a 、c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件提供的信息建立参数a 、b 、c 的等式，进而转化为离心率e 的方程，再解出e 的值．已知双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为________．答案 62解析 由题意知cb＝tan60°＝3，即c ＝3b ＝3(c 2－a 2).所以有1＝3(1－1e2)，解之得：e ＝62.课堂小结：1.双曲线22221,x y a b-= (a>0,b>0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称;其顶点为(〒a,0),实轴长为2a,虚轴长为2b;其上任一点P(x,y)的横坐标均满足|x|≥a.2.双曲线的离心率e = ac 的取值范围是(1,+∞),其中c 2=a 2+b 2,且a b离心率e 越大,双曲线的开口越大.3.双曲线22221,x y a b-= (a>0,b>0)的渐近线方程为y=〒a b x,也可记为22220,x y a b -=;与双曲线22221,x y a b -=具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为2222,x y a b λ-= (λ≠0).课时作业一、选择题1．顶点为A 1(0，－25)，A 2(0,25)，焦距为12的双曲线的标准方程是( ) A.x 220－y 216＝1 B.y 220－x 216＝1 C.x 216－y 220＝1 D.y 220－x 2124＝1 答案 B解析 顶点在y 轴上，a ＝25，c ＝6，得b ＝4.∴标准方程为y 220－x 216＝1.2．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率是( ) A.53 B.43 C.5＋12 D.6＋12答案 C解析 由2a ·2c ＝(2b )2及b 2＝c 2－a 2， 得c 2－ac －a 2＝0，e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52，由e >1得，e ＝1＋52.3．经过点M (3，－1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程是( ) A ．y 2－x 2＝8 B ．x 2－y 2＝±8 C ．x 2－y 2＝4 D ．x 2－y 2＝8 答案 D解析 设双曲线方程为x 2－y 2＝k ，将M 点坐标代入得k ＝8.所以双曲线方程为x 2－y 2＝8.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.53 C ．2 D.73 答案 B解析 ||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.二、填空题5．双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线的夹角为________． 答案 90°解析 两条渐近线方程为y ＝±x ，它们相互垂直，故夹角为90°.6．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的虚轴长为________． 答案 4解析 以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点(c,0)与渐近线y ＝b a x 为例，得bca 2＋b2＝2，故b ＝2，虚轴长为2b ＝4.7．双曲线的渐近线方程是3x ±4y ＝0，则双曲线的离心率e ＝________.答案 54或53解析 若焦点在x 轴上，则b a ＝34，e ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝54； 若焦点在y 轴上，则b a ＝43，e ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53. 8．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．答案 163解析 由双曲线的对称性，不妨设顶点、焦点坐标分别为(3,0)，(5,0)，由题意知圆心的横坐标为3＋52＝4.代入双曲线方程，得圆心纵坐标y ＝±437，圆心到点(0,0)的距离d ＝ 42＋16×79＝ 16×9＋16×79＝ 16×169＝163.三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P (0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b 2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6， 所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.10．设双曲线y 2a 2－x23＝1的焦点分别为F 1、F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1、l 2的方程；(2)设A 、B 分别为l 1、l 2上的动点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解 (1)已知双曲线离心率e ＝a 2＋3a＝2，解得a 2＝1，所以双曲线方程为y 2－x23＝1，渐近线方程为x ±3y ＝0.(2)因为|F 1F 2|＝4,2|AB |＝5|F 1F 2|，所以|AB |＝10. 又因为A 、B 分别为l 1、l 2上的动点， 设A (3y 1，y 1)，B (－3y 2，y 2)，所以|AB |＝3(y 1＋y 2)2＋(y 1－y 2)2＝10.① 设AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝3(y 1－y 2)2，y ＝y 1＋y 22.所以y 1－y 2＝23x ，y 1＋y 2＝2y ，代入①得12y 2＋43x 2＝100，即x 275＋3y 225＝1为中点M 的轨迹方程． 中点M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆．§2.3 习题课.对点讲练知识点一 直线与双曲线的位置关系已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试讨论实数k 的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4y ＝k (x －1)消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0(*) (1)当1－k 2＝0，即k ＝±1，直线l 与双曲线渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．(2)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4(4－3k 2)①⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＞01－k 2≠0即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2＝01－k 2≠0即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有两重合的公共点．③⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＜01－k 2≠0即k ＜－233或k ＞233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点． 综上所述，当－233＜k ＜－1或－1＜k ＜1或1＜k ＜233时，直线与双曲线有两个公共点．当k ＝±1或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点．当k ＜－233或k ＞233时，直线与双曲线没有公共点．【反思感悟】 讨论直线和双曲线的公共点的个数问题，常常归结为讨论含参数的一元二次方程在特定区间内是否存在实根或讨论实根的个数问题，但要注意转化的等价性．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 C解析 右焦点坐标为(3，0)，把x ＝3代入双曲线方程得：y ＝±2，即当直线过右焦点．垂直于x 轴时，l 与双曲线交的弦长|AB |＝4，当l 与x 轴重合时，|AB |＝2.由数形结合知，还存在两条直线，使得|AB |＝4，故选C.知识点二 双曲线的实际应用如图，某村在P 处有一堆肥料，今要把这堆肥料沿道路PA ，PB 送到大田ABCD 中去，已知PA=100 m ，PB=150 m ，BC=60 m ，∠APB=60°，试在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送肥较近，而另一侧的点沿PB 送肥较近，请说明这一界线是一条什么曲线？试求出其方程．解 大田中的点可分为三类，第一类沿PA 送肥较近，第二类沿PB 送肥较近，第三类沿PA 和PB 送肥一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．设M 为界线上的任一点，则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|， 即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(定值)．所以界线是以A 、B 为焦点的双曲线右支的一部分．以AB 所在直线为x 轴，以AB 中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则所求双曲线方程的标准形式为22221,x y a b-=∵a=25，=507， ∴c=257，b 2=3 750，注意到点C 的坐标为(257,60)，故界线的曲线方程为：2216253750x y -=(25≤x ≤35)． 【反思感悟】 本题由题意能获得所求分界线是以A 、B 为焦点的双曲线，但由于|MA|>|MB|故为右支．由于没有坐标系因此需建系，并确定方程的形式，应用待定系数法解方程，此题极易忽略x 和y 的取值范围，因此在实际问题中，要注意由问题的实际意义确定变量范围．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4 s ．已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m ．试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为340 m/s ；相关各点均在同一平面上)解如图所示，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点．则A(-1 020,0)，B(1 020,0)，C(0,1 020)．设P(x，y)为巨响发生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上．PO的方程为y=-x.因B点比A点晚4 s听到爆炸声，故|PB|-|PA|=1 360.∴P点在以A、B为焦点的双曲线22221,x ya b-=上，依题意a=680，c=1 020，∴b2=c2-a2=5×3402.故双曲线方程为22221 6805340x y-=⨯，用y=-x代入上式，得x=〒6805.∵|PB|>|PA|，∴x=-6805，y=6805，即P(-6805，6805)．故|PO|=68010(m)．∴该巨响发生的位置离中心的距离为68010m.课堂小结：1.双曲线的定义在解题中有广泛的应用，常用于解决有关双曲线上的点与两焦点间关系的习题.2.双曲线标准方程中“标准”的含义有两层：其一是两个焦点在坐标轴上，其二是两个焦点的中点与坐标原点重合.3.一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程2222,x ya bλ-=(λ≠0). 求双曲线方程较为方便.然后根据题设中的另一条件确定参数λ的值.4.直线和双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种，可通过根的判别式来判定，需要注意的是当直线与双曲线只有一个交点时，除直线和双曲线相切外，还有一种情况，那就是直线与双曲线的渐近线平行，这也是极易忽视的地方.课时作业一、选择题1．θ是第三象限角，方程x2＋y2sinθ＝cosθ表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线答案 D解析 方程可化为x 2cos θ＋y 21tan θ＝1，∵θ是第三象限角，∴cos θ<0，1tan θ>0，故选D.2．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )A.23B ．1C ．2D ．4 答案 D解析 NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义，知|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.3．P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋b －c 答案 A解析 如图所示，△PF 1F 2的内切圆与各边的切点分别为A 、B 、C ， 所以|P A |＝|PB |，|F 1A |＝|F 1C |，|F 2C |＝|F 2B |. |PF 1|－|PF 2|＝|F 1A |－|F 2B |＝|F 1C |－|F 2C |，又|PF 1|-|PF 2|=2a ， 所以|F 1C|-|F 2C|=2a. |F 1C|+|F 2C|=2c ， 所以|F 1C|=a+c ，即C 点是双曲线右顶点(a,0)． 所以这个内切圆的圆心横坐标为a.4．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是图中的( )答案 C解析 方程可化为y=ax+b 和x 2a ＋y 2b＝1.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，+∞)，但B 中直线中a<0，b<0矛盾，应排除；D 中直线中a<0，b>0矛盾，应排除；再看A 中双曲线的a<0，b>0，但直线中a>0，b>0，也矛盾，应排除；C 中双曲线的a>0，b<0和直线中a ，b 一致．应选C.二、填空题5．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．答案 a －m解析 利用定义求解．由双曲线及椭圆定义分别可得|MF 1|－|MF 2|＝±2m ，①，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，②②2－①2得4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4m ，所以|MF 1|·|MF 2|＝a －m . 6．已知双曲线定义中的常数为2a ，线段AB 为双曲线右支上过焦点F 2的弦，且|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为________．答案 4a ＋2m 解析 因为点A ，B 在双曲线的右支上，所以|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a .所以(|AF 1|＋|BF 1|)－(|AF 2|＋|BF 2|)＝4a .所以|AF 1|＋|BF 1|＝4a ＋m .所以△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .7．双曲线实轴长与虚轴长的和为2，则焦距的最小值为________． 答案 2解析 由题意得a ＋b ＝1，c ＝a 2＋b 2≥2·a ＋b 2＝22(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以2c ≥ 2.三、解答题8．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线与双曲线的交点为A ，B ，求线段AB 的长．解 双曲线焦点坐标为F 1(－2,0)、F 2(2,0)，直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)，把该直线方程代入双曲线方程，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138.|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋13×(12)2－4×(－138)＝3.∴线段AB 的长为3.9．设点P 到点M (－1,0)，N (1,0)的距离之差为2m ，到x 轴、y 轴的距离之比为2∶1，求m 的取值范围．解 设P 点坐标为(x ，y )，依题意有|y ||x |＝2，即y ＝±2x (x ≠0)①因此点P ，M ，N 三点不共线， ∴||PM |－|PN ||<|MN |＝2.∵||PM |－|PN ||＝2|m |>0，∴0<|m |<1.故点P 在以M ，N 为焦点的双曲线x 2m 2－y 21－m 2＝1②上．由①，②解得x 2＝m 2(1－m 2)1－5m 2.∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0,0<|m |<55.∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－55，0∪⎝⎛⎭⎫0，55.10．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过原点．解 将y ＝ax ＋1代入3x 2－y 2＝1可得 (3－a 2)x 2－2ax －2＝0Δ＝4a 2＋8(3－a 2)＝24－4a 2 Δ>0，则a 2<6设A 、B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)则。