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数列求和的九种方法数列求和是数学中的一项基本技巧，在解题过程中经常会遇到。
为了求和一个数列，我们需要确定数列的通项公式，即根据数列中的规律找到一个表示该数列的函数。
在数列求和的过程中，有许多不同的方法可以使用。
下面将介绍九种常见的数列求和方法：逐项相加法、换元法、望眼法、边缘和法、归纳法、递推法、辅助行法、减法求和法和计算机辅助法。
1.逐项相加法逐项相加法是最基本的数列求和方法，即将数列中的每一项相加得到总和。
这种方法适用于数列的项数较少且没有明显的规律的情况。
2.换元法换元法是将数列中的每一项用一个新的变量表示，从而简化数列求和。
通过代入和逆代（将通项公式反解为原始项）两种方法，将数列求和转化为变量求和，从而计算出数列的总和。
3.望眼法望眼法是通过观察数列中的规律，寻找数列中的重复子列来简化求和。
通过找到重复子列后可以将数列分解为几个相同的子列求和，从而简化计算。
4.边缘和法边缘和法是将数列中的每一项的和用前面项的和表示，从而将数列求和转化为前缀和的计算。
该方法适用于数列中的每一项与前面的项之间有明显的关系的情况。
5.归纳法归纳法是通过数学归纳法的思想，利用数列的递推关系来计算数列的总和。
通过假设前n-1项的和为Sn-1，并推导得到前n项的和Sn的表达式，从而计算数列的总和。
6.递推法递推法是通过数列的递推关系来计算数列的总和。
通过将数列中的每一项与前面的项之间的关系列出，从而将数列的求和转化为递推关系的计算。
7.辅助行法辅助行法是将数列构造成一个表格的形式，通过辅助行的计算来求解数列的总和。
通过辅助行的计算，可以将原本复杂的数列求和转化为简单的表格求和。
8.减法求和法减法求和法是通过将数列求和转化为数列的差的求和来计算数列的总和。
通过将数列中相邻项之间的差进行求和，从而求解数列的总和。
9.计算机辅助法计算机辅助法是利用计算机的计算能力来求解复杂的数列求和问题。
通过编写计算机程序来实现数列求和，从而计算出数列的总和。
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中非常常见的问题，它的解法有很多种。
下面我将介绍8种常用的方法来求解数列的和，让我们一起来看看吧。
一、等差数列求和公式对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
二、等比数列求和公式对于等比数列$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用等比数列求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1或者当q=1时，$S=a_1n$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
三、几何级数求和公式对于几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用几何级数求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1四、等差数列-等比数列混合求和公式对于等差数列-等比数列混合数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列-等比数列混合求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} + \frac{n(n-1)d}{2}q^{(n-2)}$，其中q≠1五、反比例数列求和公式对于反比例数列$s_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$，其中$a_1$表示第一个数，我们可以利用反比例数列求和公式求解：$S = \frac{n}{a_1}$六、算术-几何级数求和公式对于算术-几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差$S = \frac{a_1}{1-q} + \frac{d}{(1-q)^2}$，其中q≠1七、差分数列求和公式对于差分数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1+ (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用差分数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
高中数列求和公式总结大全
1. 等差数列求和公式：Sn = n/2 [2a + (n-1)d]其中，Sn表示前n 项和，a表示首项，d表示公差。
2. 等比数列求和公式：Sn = a(1-
q^n)/(1-q)其中，Sn表示前n项和，a表示首项，q表示公比。
3. 等差
数列前n项和公式：Sn = n/2 [a1 + an]其中，a1表示首项，an表示第
n项。
4. 等比数列前n项和公式：Sn = a(1-q^n)/(1-q)其中，a表示首项，q表示公比。
5. 等差数列通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
6. 等比数列通项公式：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。
7. 等差数列
求第n项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
8. 等比数列求第n项公式：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。
9. 等差数列求公差公式：d = (an - a1)/(n-1)其中，d表示公差，an表示第n项，a1表示首项。
10. 等比数列求公比公式：q = (an/a1)^(1/(n-1))其中，q表示公比，an表示第n项，a1表示首项。
以上是高中数列求和公式的总结大全。
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中常见的问题，解决数列求和问题有很多方法。
下面将介绍数列求和的8种常用方法。
1.直接相加法：这是最基本的方法，实际上就是将数列中的所有项相加。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，可以直接相加得到1+3+5+7+9=252.偶数项和与奇数项和之和法：对于一些数列，可以将其分解为偶数项和与奇数项和，然后再求和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，可以分解为偶数项和4+8和奇数项和1+3+5+7+9，再相加得到(4+8)+(1+3+5+7+9)=373.首项与末项和的乘法法：对于等差数列，可以利用首项与末项之和的公式来求和。
首项与末项之和等于和的平均数乘以项数。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，首项与末项之和等于(1+9)*(项数/2)=10*5/2=254.首项与公差与项数的乘法法：对于等差数列，可以利用首项、公差和项数的乘积来求和。
等差数列的和等于首项乘以项数，再加上项数与公差之积的和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，和等于1*5+(5*4)/2=10+10=20。
5.平均数法：对于一些特殊的数列，可以利用平均数的性质来求和。
平均数等于数列中的第一项与最后一项的平均值。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，平均数等于(1+9)/2=5，然后将平均数乘以项数，得到5*5=256.高斯求和法：高斯求和法是一种数学推导方法，用于求等差数列的和。
首先将数列化为由首项和末项构成的和，然后将数列顺序颠倒，再将之前的和与颠倒后的和相加，得到的结果就是等差数列的和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，将其化为(1+9)+(3+7)+5，然后将数列颠倒得到5+(7+3)+9，再相加得到257. telescopage法（消去法）：telescopage法是一种利用抵消的思想来求和的方法。
可以将数列中相邻的两项之差相消为0，最终得到一个简单的表达式，然后再求值。
例如，对于数列1, 2, 3, 4, 5，可以将(2-1) + (3-2) + (4-3) + (5-4)相加，得到1 + 1 + 1 + 1 = 48.更一般的求和方法：对于一些复杂的数列，可能需要应用更一般的数学方法来求解。
数列求和的五种方法数列求和主要有以下几种方法 一：利用等差和等比的求和公式 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n 5、 213)]1(21[+==∑=n n k S n k n 例1、【2019 全国二（文）】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=L ．例2、【2019 北京（文）】设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列， 所以()()()23248106a a a +=++． 所以2(22)(43)d d d -+=-+． 解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤． 所以，n S 的最小值为630S =-． 二：倒序相加此方法比较简单，等差数列的前n 项和就是利用倒序相加得到的。
数列求和1■求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式②等比数列的前n项和公式(2)分组求和法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．(5)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广2．常见的裂项公式111(1)=)n(n+1)nn+1.“、11(11)(2)(2n—1)(2n+1)2(2n—12n+1丿⑶卅寸丽-扣高频考点一分组转化法求和例1、已知数列｛a｝的前n项和S=兰尹，nG N*.nn2(1)求数列｛a｝的通项公式；n(2)设b=2a+(—1)a，求数列｛b｝的前2n项和.nnnn【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【变式探究】已知数列｛a｝的通项公式是a=2^3n-1+(―1)n・(ln2—In3)+(—nn1)n nln3,求其前n项和S.n高频考点二错位相减法求和例2、(2015・湖北)设等差数列｛a｝的公差为d,前n项和为S,等比数列｛b｝的公比为nnnq,已知b=a,b=2,q=d,S=100.11210(1)求数列｛a｝,｛b｝的通项公式；nna(2)当d>1时，记c=b，求数列｛c｝的前n项和T.bn【感悟提升】用错位相减法求和时,应注意：(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确nn写出“s—qS”的表达式；nn(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．【变式探究】已知数列｛a｝满足首项为a=2,a丄=2a(nW N*).设b=3loga—1＋122(nG N*)，数列｛c｝满足c=ab.nnnn(1)求证：数列｛b｝为等差数列；n(2)求数列｛c｝的前n项和S.nn高频考点三裂项相消法求和例3、设各项均为正数的数列｛a｝的前n项和为S，且S满足S2—(n2+n—3)S—3(n2nnnnn+n)=0,nE N*.(1)求a1的值；(2)求数列｛a｝的通项公式；n有aa+1+aa+1+^+aa+11122nn1【变式探究】已知函数f(x)=x a 的图象过点(4,2)，令a n ^fn+1+fn ,nG N *.记数列｛a ｝的前n 项和为S,则S=.nn 201711【感悟提升】(1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，女如：需十:市=k"Jn+k1111ijn),nn+k =匸卡—帚)裂项后可以产生连续可以相互抵消的项•⑵抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(1)求s 的表达式；n⑵设b=^+?，求｛b ｝的前n 项和T.2n+1练习:2n —13211.已知数列｛a ｝的通项公式是a=r"-，其前n 项和S ，则项数n=()2nn 64A.13B.10C.9D.6 (3)证明：对一切正整数n. 【举一反三】在数列｛a ｝中，a=1,当n$2时, 其前n 项和S 满足S 2=a nn2.已知数列｛a｝满足a=1，a•a=2n(nG N*)，则S=()n1n+1n2012A.22012—1B.3*21006—3C.3・21006—1D.3・21005—213.已知函数f(x)=X2+2bx过(1,2)点,若数列｛厂厂｝的前n项和为匚则S2012的值为() 012,2011)010,2011)013,2012)012,2013)14.数列｛a｝满足a+a=T(nG N*)，且a=1,S是数列｛a｝的前n项和，则S=()nnn+121nn21B.6C.10D.115.已知函数f(n)=n2cos(nn),且a=f(n)+f(n+1)，则a+a+aa=()n123100A.-100B.0C.100D.102006.在数列｛a｝中，已知a=1,a+—a=sin—上弓—，记S为数列｛a｝的前n项和，则n1n+1n2nnS=()2014A.1006B.1007C.1008D.10097.在数列｛a｝中，a=1，a丄=(—1)n(a+1)，记S为｛a｝的前n项和，则S=。
数列求和技巧全总结第1篇1、在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题。
2、在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力。
进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。
3、培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。
拓展：求数列极限的方法总结极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。
熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。
以下我们就极限的内容简单总结下。
极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。
四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。
数列求和方法总结朱亚芬数列求和是中学数学中一个十分有趣的课题，它对于加深巩固中学数学课程的学习,开拓中学生的知识领域都十分有益。
这个开阔、有趣的“数列求和”的世界，可以极大的丰富我们的数学知识，提高我们的数学思维能力。
本文针对数列求和方法加以总结分类，并对各种类型的数列给出其求和的主要方法与实例。
1 直接求和适用于等差数列或等比数列的求和（指前n 项和）问题,在四个量d a ,1（或q ）, n a n ,中,已知三个量时,可以求出S n 来,我们简称为“知三求和”问题.它们的求和问题可以直接利用求和公式解决.等差数列前n 项和公式：已知n a n a ,,1时,利用公式()21n n a a n S +=求和； 已知n d a ,,1时,利用公式()d n n na S n 211-+=求和. 等比数列前n 项和公式：已知q n a ,,1时,利用公式())1(111≠--=q qq a S nn 求和；已知n a q a ,,1时,利用公式=n S qqa a n --11(q 1≠)求和. 例1 ().21814121111---++-+-n n此式可看为一个等比数列的前n 项和,且此等比数列首项为1,公比为21-,故可直接运用等比数列前n 项和公式=n S qq a n --1)1(1 (q 1≠) 求和.解 =n S 2112)1(1+--nn =32⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n n 2)1(1. 例2 一个等差数列的前n 项和等于m ,前m 项和等于n （其中m ≠n ）,试求这个数列的前n m +项和.根据等差数列前n 项和公式运用所需的条件最好先求出数列首项1a 与公差d ,然后运用()d n n na S n 211-+=求和. 解 设这个数列的首项为a ,公差为d ,根据已知条件,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+)2(2)1()1(2)1( n d m m ma m d n n na()()n m ⨯-⨯21得[])1()1(2---m n mnd=.22n m - 因为,m n ≠ 所以-=d mnn m )(2+. 由此得 =a mnnm n mn m --++22，于是,这个数列的前n m +项和为()++=+a n m S n m ()()d n m n m 21-++()n m +=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-+---++mn n m m n mn n m n mn m 22122().n m +-=2 转化求和适用于不是等差数列或等比数列,不便直接求其前n 项和的数列. 2.1反序相加法将=n S n a a a +++ 21与=n S 11a a a n n +++- 两式相加,如果得到一个常数列,其和为A ,那么=n S 2A. 例3已知()x f 满足21,x x ∈R ,当121=+x x 时,()()2121=+x f x f ,若=n S ()()11210f n n f n f n f f +⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ N n ∈,,求.n S由()()2121=+x f x f 知只要自变量121=+x x 即成立,又知=+101111=-+⋅nn n ,…,则易求.n S 解 因为=n S ()()11210f n n f n f n f f +⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ , ①所以()().0111f n f n n f f S n +⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= ②①+②,得()()[]()()[]0111102f f n n f n f f f S n +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛++= = 个1212121++++n =()121+n .所以=n S )1(41+n .2.2错项相减法如果数列{}n n b a ⋅中的{}n a 和{}n b 分别是等差数列和等比数列且等比数列公比为)1(≠q q ,那么=n S n n b a b a b a +++ 2211与=n qS 13221++++n n b a b a b a 两式“错项相减”可以求出.n S例4求和：1()1122322221⋅++⋅++⋅+⋅+⋅--n n n n n .数列2n ,21-n ,22-n ,…,2,1与1,2,3,…,n ,1+n 分别是等比数列（=q 21）与等差数列（1=d ）,可考虑用“错项相减法”求和.解 令=n S 1()1122322221⋅++⋅++⋅+⋅+⋅--n n n n n ①则21=n S 112)1(22221⋅+⋅-++⋅+⋅--n n n n ＋()211⋅+n ② ①-②,得()121122222121+-+++++=--n S n n n n()1212222110+-++++=-n n n=2112121+---+n n=23221--+n n . 则=n S 322--+n n . 2.3组合数法原数列各项可写成组合数形式,则可利用公式m n m n m n C C C 11+-=+求解.例5求n +++++++ 321,,321,21,1的和. 由()=+=++++121321n n n 21+n C 知可利用“组合数法”求和. 解 ()()()n S n +++++++++++= 321321211 +++=6312)1(+n n =21242322+++++n C C C C =21242333++++n C C C C=…=32+n C=)2)(1(61++n n n . 3 裂项求和将数列的每一项分裂成两项之差,如果求数列的前n 项和时,除首尾若干项外,其余各项可以交叉相消.例6求++++= 555555n S55555个n此数列 55555个n n a ==)9999(959 个n =)110(95-n 故知拆项后是一个等比数列.解 因为 55555个n n a ==)9999(959个n =)110(95-n ,所以n S =)110(95)110(95)110(952-++-+-n =)101010(952n n -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---n n 110)110(1095=n n 9581)110(50--. 例7 求证!131⋅+!1001021!351!241⋅++⋅+⋅ <21 此为分数数列求和问题,仍然用裂项求和法,难点在于分母出现了阶乘,为此,需将数列的第k 项作一些恒等变形,以便将其分裂为两项之差.解 因为)!2(1)!1(1)!2(1!)2(1+-+=++=⋅+k k k k k k （=k 100,,2,1 ）所以!131⋅+!1001021!351!241⋅++⋅+⋅ =)!1021!1011()!51!41()!41!31()!31!21(-++-+-+-=!1021!21-<21.4 归纳求和针对可猜想出其前n 项和的数列.4.1直接利用归纳法猜测出数列前n 项和的形式，直接利用数学归纳法证明结论例8在一个圆的直径两端写上自然数1,将此直径分得的两个半圆都对分,在每个分点上写上该点相邻两数之和,然后把分得的四个41圆周各自对分,在所分点上写上该点相邻两数之和,如此继续下去,问这样做第n 步之后,圆周所有分点上之和的和n S 是多少？由题意知2111=+=S ,32321112⨯==+=S S S S ,222233232⨯==+=S S S S ,333343232⨯==+=S S S S ,由此可猜想出n S =132-⨯n ,则可利用数学归纳法证明. 解 由题意有2111=+=S ,32321112⨯==+=S S S S , 222233232⨯==+=S S S S , 333343232⨯==+=S S S S ,故猜想S n ＝132-⨯n ,下面利用数学归纳法给予严格的证明.当1=n 时，命题显然成立;设当k n =时，命题成立，则132-⨯=k k S ; 当1+=k n 时，1)1(13232-++⨯==+=k k k k k S S S S .则证出1+=k n 时命题成立,从而证明对所有的自然数n 都成立.4.2待定归纳法解决与自然数有关的某一问题,首先应对结论的代数形式做一正确推测,并将结论用待定系数设出来,随之令其满足数学归纳法的各个步骤,从中得到待定系数的方程或方程组,求出待定系数,即可使问题得解.例9求数列221⨯,423⨯,625⨯,…,22)12(-n n 的前n 项和n S .因为数列的通项公式为n n n n n a n 288)12(2232+-=-=它是关于n 的多项式,与之类似的数列求和问题我们熟悉的有（1）()212531n n =-++++（2）1)2)(1(31)1(322++=+++⨯+⨯n n n n n（3）223333)1(41321+=++++n n n以上各式中，左端的通项公式及右端的和展开后都是关于n 的多项式,对其次数进行比较便可得到这样的结论:若数列{}n a 的通项公式是关于n 的多项式,则其前n 项和是比通项公式高一次的多项式.对本题来讲,因为通项公式n n n n n a n 288)12(2232+-=-=是关于n 的三次多项式,所以我们猜想该数列的前n 项和n S 是关于n 的四次多项式,故可设=n S E Dn Cn Bn An ++++234.解 令=n S E Dn Cn Bn An ++++234满足数学归纳法的各个步骤,即1,,1+===k n k n n 时上式均成立,有211==++++=a E D C B A S ① E Dk Ck Bk Ak S k ++++=234E k D k C k B k A S k ++++++++=+)1()1()1()1(2341)()234()36()4(234E D C B A k D C B A k C B A k B A Ak ++++++++++++++=②又因为11+++=k k k a S S)1(2)1(8)1(823234+++-++++++=k k k E Dk Ck Bk Ak )2()10()16()8(234++++++++=E k D k C k B Ak ③ 比较②、③两式同类项系数可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+++++=++++=+++=++.2,10234,1636,84,E E D C B A D D C B A C C B A B B A A A解方程得.31,1,34,2-=-===D C B A 代入①式有0=E , 故n n n n S n 31342234--+=)126)(1(312--+=n n n n5 逐差法针对一类高阶等差数列求和问题.某些数列的构成规律不十分明显,我们可以逐次求出它的各阶差数列,如果某一阶差数列正好是等差数列或等比数列,那么可以利用这些数列的有限和得出原数列的一个通项公式,然后再求出其前n 项和.n S例10求数列5,6,9,16,31,62,…的前n 项和.n S考虑数列的各差数列:原数列:5,6,9,16,31,62,… 一阶差数列:1,3,7,15,31,… 二阶差数列:2,4,8,16,…由于二阶差数列是等比数列,可用逐差法求数列的通项,然后再求其前n 项和.n S解 设原数列为{}n a ,一阶差数列为{}n b ,二阶差数列为{}n c 那么,112c b b =- ,223c b b =- ,334c b b =- ….11--=-n n n c b b以上1-n 个式子相加,有13211-++++=-n n c c c c b b 1216842-+++++=n21)21(21--=-n22-=n . 因为11=b ,所以12122-=+-=n n n b . 又 ,112b a a =- ,223b a a =- ,334b a a =- … .11--=-n n n b a a所以13211-++++=-n n b b b b a a ∑-==11n m m b ∑-=-=11)12(n m m)1(211--=∑-=n n m m 12--=n n .因为51=a ,所以512+--=n a n n 42+-=n n .数列{}n a 的前n 项和为=n S ∑=+-nm mm 1)42(n m nm nm m4211+-=∑∑==n n n n 42)1(21)21(2++---=.22)7(21---=+n n n结 论数列求和问题,一般说来方法灵活多样,解法往往不止一种,很难说尽求全.本文中所介绍的种种求和方法,主要是给出一些解题的思路和方法,若把握好解题思路,则可以熟练掌握数列求和的一般方法.。
