下载文档原格式
知识结构
g
t i m
e a
n d
A
l l t
h i n
g s
i n
t h
e i r
b e
i n g
a r
e g
o o
d f
o r
s o 【例题】 如图：（1-1）：设是等边内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，的度数是P ABC ∆APB ∠________.
1509060.
3,'''''''=+=+∠=∠∴≅==∠=∠PB P APP APB RT PBP APP CAP BAP B P AP AP CAP BAP ABC △
为为正三角形，△。易证△△则△，连结且的外侧，作简解：在△‘
（二）正方形类型
在正方形中，P 为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使
ABCD ABCD ABP ∆B 90
得与重合。经过旋转变化，将图（2-1-a ）中的、、三条线段集中于图（2-1-b ）BA BC PA PB PC 中的中，此时为等腰直角三角形。
'
CPP ∆'
CPP ∆【例题】 如图（2-1）：是正方形内一点，点到正方形的三个顶点、、的距离分
P ABCD P A B C
A
l l t h i n
g s
i n
t h
e i r
b e
i n g
a r
e g
o o
d f
o r
s o 别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 。
面. 82
92132
324422*********,2
3,21,,,=++
=++=∴==
==+=++=∴∴=+=∠+∠+∠=∠∴=∠+∠∠=∠∠=∠==∴=≅≅=∠=∠S S S S PFC RT EPA RT EPF RT ABCD RT EPF FP EP EF EPF DF DF ED EF F D E ADC FDC EDA EDF PBC PBA PBC FDC PBA EDA PF PE AP EAP BPC DFC DFC ABP ADE EP AP AE BAP DAE AED △△△正方形△
为可知△由勾股定理的逆定理，，，中，在△，
在一条直线上
、、点又同理，为等腰三角形，又易证△。
△且有△同样方法，作△△则△连结使作△简解：
（三）等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形中， ， 为内一点，将绕点按逆时针
ABC ∆90C ∠=
P ABC ∆APC ∆C 方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b ）中的一个为等腰直角
90
AC BC '
PCP ∆三角形。
t i m
e a
n d
A
l l t h i n
g s
i n
t h
e i r
b e
i n g
a r
e g
o o
d f
o r
s o
m 【例题】如图，在中，∠ ACB =900，BC=AC ，P 为内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。ABC ∆ABC ∆求的度数。
BPC ∠
13590459022132,''''''''''=+=∠+∠=∠∴=∠===≅==∠=∠PB P CPP BPC PB P RT PB P PP BP BP PBP CPP RT ACP BCP P P CP CP ACP BCP ABC RT △，为知，△由勾股定理的逆定理可，
，，中，在△为等腰直角三角形，
△。易证△则△，，连结且的外侧，作△简解：在’‘
典型例题
利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，如一.求线段长.
例1. 如图，已知长方形ABCD 的周长为20，AB=4，点E 在BC 上，且 AE ⊥EF ，AE=EF ，求CF
的长。
【解析】：将 △ABE 以点E 为旋转中心，顺时针旋转90°，此时点B 旋转到点B' 处，AE 与EF 重合，
d
A
l l t h i n
g s
i n
t h
e i r
b e
i n g
a r
由旋转特征知：B'E⊥BC ，
四边形B'ECF 为长方形，∴CE=BF '=AB ∵CF+CE=B 'E+CE=BE+EC=BC=6
∴CF=BC-CE=6-4=2二.求角的大小
例2. 如图，在等边 中，点、分别为、上的两点，且，与交ABC ∆E D AB BC BE CD =AD CE 于点，求的大小。
M AME ∠
【解析】：
因为,,BC AC =60ABC ACD ∠=∠=
BE CD
=所以以的中心（等边三角形三条中线的交点）为旋转ABC ∆O 中心，将顺时针旋转就得到了，
ADC ∆120
CEB ∆∴∠AME=180°-∠AMC=180°-120°=60°
三.进行几何推理
例3. 如图，点在正方形的边上，平分，请说明成立的理F ABCD BC AE DAF ∠DE AF BF =-由 。
t i m
e a
n d
A
l l t h i n
g s
i n
t h
e i r
b e
i n g
a r
e g
o o
d f
o r
s o m 数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归结为两种思想——对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：
例4、如图，正方形ABCD 内一点P ，∠PAD＝∠PDA＝15°，连结PB 、PC ，请问：ΔPBC 是等边三角
形吗？为什么？
【分析】：本题关键是说明∠PCD＝∠PBA＝30°，利用条件可以设想将ΔAPD 绕点D 逆时针方向旋转90°，而使A 与C 重合，此时问题得到解决.
【解析】：将ΔAPD 绕点D 逆时针旋转90°，得ΔDP’C，再作ΔDP’C 关于DC 的轴对称图形ΔDQC，得ΔCDQ 与ΔADP 经过对折后能够重合。 ∵PD=QD∴∠PDQ=90°-15°-15°=60°，
∴△PDQ 为等边三角形，∴∠PQD=60°.
∵∠DQC=∠APD=180°-15°-15°=150°，
∴∠PQC=360°-60°-150°=150°=∠DQC,，
∵PQ=QD=CQ ，∴∠PCQ＝∠DCQ＝15° ∴∠PCD=30°∴∠PCB=60°
