高二数学第一讲 数学概念的学习与认识
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第一讲数学概念的学习与认识方法
——数列概念学习与应用
一、复习回顾：数学概念学习
深刻理解并牢固系统地掌握数学概念是学习数学公式、性质法则、定理、方法及提高能力的基础。
因此,数学概念的学习十分重要,它是整个认知过程中的一个重要环节。
数学概念学习的根本任务是正确地揭示概念的内涵和外延,深刻理解和牢固系统地掌握概念,灵活地运用概念。
为了达到这样的要求,可从以下几个方面进行概念学习。
1.重视数学概念的引入
不管数学概念直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来的,还是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象才产生发展得来的,都有它的具体内容。
对于中学数学概念的具体内容,大家或多或少地都有所接触。
因此,在中学进行新概念学习时,既要善于从我们接触过的具体内容引入,也要灵活地从数学问题提出,这是一种比较好的引入新概念的教学方法。
这就要求在数学概念的教学中,尽量做到密切联系现实原型,认真分析生产、生活、科技中常见的事例,观察有关的实物、模型、图示等,在感性认识的基础上升为理性认识,建立起概念。
2.抓住本质认识概念
概念引入后,我们初步地掌握了概念的定义,并不等于完全掌握了概念的本质。
还必须在感性认识的基础上,对概念作全面的分析,采用不同的方法,从不同的角度和方位揭示概念的本质。
①突出概念的主要特征
任何一个概念都有各自的本质特征,要采用各种手段,分析本质特征,带动对概念的全面理解。
例如,三角函数这个概念涉及的面比较广,它涉及到角、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数、比的意义等知识。
其中“比”是三角函数概念的主要特征,学习时要突出“比”这一主要特征。
②认清概念间的关系
数学的第一个概念都在其余概念的一定关系之中,概念间彼此的联系就构成了一个数学知识体系。
因此,数学学习必须逐步认清概念间的关系,从而系统地掌握数学基础知识。
为了认清概念间的关系,教学中一般应采用概念分类或者比较概念
内涵和外延,找出它们的共同点和不同点,从而确定它们的各种关系。
如同一关系、交叉关系、包含关系、对立关系、矛盾关系等。
例如,实数概念的教学。
为了使大家对实数概念得到较全面系统的认识,可以把实数进行分类,写出分类表。
通过分类表指出数的概念从自然数到分数到有理数到实数的扩充过程。
进一步比较各种数集及其运算性
质,从而指出数的概念的扩充原则以及各种数集间的关系。
这样就可以清晰系统地掌握数的概念。
③揭示概念中的每一词句的真实含义
有的概念叙述简练,但含义深刻;有的概念用式子表示比较抽象。
对于这样的概念,必须深刻地揭示每一词、句的真实含义,防止一提而过。
例如,“无限不循环小数叫做无理数”。
定义中“无限”、“不循环”、“小数”三个词都必须揭示它们的真实含义。
④新旧概念对比形成正确的概念
有比较才能鉴别。
对于容易混淆或难以理解的概念,利用分析对比法,易于找出异同,有助于抓住概念的本质,形成正确的概念。
有些概念从表面上看好像差不多,而实质是不一样的,对这样的概念我们会常常分辨不清。
例如,“根式”与“无理式”两个概念。
要从概念的内涵和外延上去区分
它们。
根式的定义是:“形如n a (a 为大于1的整数,n 为奇数时,a 为全体
实数;n 为偶数时,a≥0)的代数式叫做根式”。
它的内涵是“式子n a ”这种形
式,根号内可含有字母,也可不含有字母,如2、2)2-(、3-1x 等都是根
式。
而33+b a 不是一个根式,是两个根式之和; n a +2也不是根式,是根
式n a 代数式的全体。
无理式的定义是:“含有字母开方运算的代数式叫做
无理式”。
如2+x 、a 、2+a 、3a 、3b 等都是无理式,而2不是无
理式。
无理式的内涵是含有根号且根号内必含有字母。
外延是含有开方运算的代数式的全体。
从而也可看出,“根式”与“无理式”不是包含关系,而是交叉关系。
⑤运用反例强化对概念本质的理解
在概念教学中,我们强调从正面要讲清概念。
但适当地举一些反例加以辨认,对于突出概念本质属性,澄清我们的模糊认识是非常重要的。
3.巩固深化概念、灵活运用概念
数学概念的教学,必须通过从生动直观到抽象的思维,又从抽象的思维到实践,这样多次反复才能完成。
是否真正透彻理解和牢固地掌握了概念,还有待于在实践中去检验。
这就是说,理解了概念并不一定就能真正掌握它,只有通过反复的灵活运用,才能巩固深化对概念的理解。
4.强调数学概念在运算、推理、证明中的理论指导作用
数学运算、推理、证明必须以有关概念为依据。
例如,对数式的恒等变形必须以指数式与对数式的互化为依据。
又如,要证明3不是有理数,必须以有理数概念为依据。
在数学概念教学中,恰当地结合实例使我们认识到各个概念在运算、推理、证明中的理论指导作用,既能深刻理解牢固掌握概念,又能有助于提高基本能力,进而提高分析问题和解决问题的能力。
5.正确理解和运用数学概念的符号
数学概念往往是用抽象的符号来表示的,数学运算、推理、证明也多数是通过抽象的符号来实现的。
因此,数学概念教学很有必要正确理解和运用数学符号。
例如,初学对数时,由于对表达对数的符号不理解,往往造成运算、推理上的错误。
对数的定义是:“如果a b=N(a＞0,a≠1),那么幂指数b叫做以a为底的N的对数,记作log a N=b”。
对数符号log a N是一个完整的记号,它不是log a与N的乘积,它表示等式a b=N中的指数b。
这就建立了指数与对数间的对应关系:
a b=N log a N (a＞0,a≠1,N＞0)
等式a b=N与log a N=b表示了三个数a,b,N间的同一关系,只是表达形式上的不同。
思考：
1.数学概念的引入注意什么？
2.如何认识数学概念的本质？
3.如何运用概念？
二、问题解决：
1. 数列的基本概念：。
