山东省实验中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段测试(3月)数学试题

试卷第1页，共4页 山东省实验中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段测试

（3月）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1

．已知

,,3i1i0ababR

，则（

）

A

．1,3ab

B

．1,3ab

C

．1,3ab D

．1,3ab

2

．在ABCDY

中，G

为ABCV

的重心，满足

,RAGxAByADxyuuuruuuruuur

，则2xy

（

）

A．4

3 B．5

3 C

．0 D

．

1

3

．已知1,2,24ababrrrr

，则ar

与

br

夹角的余弦值为（

）

A

．

1 B．1

2 C

．0 D

．1

4

．已知,abrr

是夹角为

120的两个单位向量，若向量

ab

rr

在向量

ar

上的投影向量为

2ar

，

则



（

）

A

．2 B

．2 C

．23

3 D

．23

3

5

．在ABCV

中，D为BC

边上一点，

满足2

,,2

3ADABBDBCADuuuruuuruuur

，则

ACADuuuruuur

（

）

A．3

2 B

．6 C．2

3 D．8

3

6

．某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆朗玛峰高度进行测量，其方

法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点

相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到

珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆MC

（C

在水平

面）垂直于水平面，水平面上两点,AB的距离为45

m

2，测得5

,

6MBAMAB





，其中1

sin

3



，在

A点处测得旗杆顶点的仰角为3

,cos

5



，则该旗杆的高度为（单位：

m

）（

）

A

．9 B

．12 C

．15 D

．18

7

．在ABCV

中，角,,ABC

所对的边分别为,,abc

，且2bac

，设ABCV

的面积为S，

若23

3ABBCSuuuruuur

，则此三角形的形状为（

）

A

．等腰三角形 B

．直角三角形 C

．等边三角形 D

．等腰直角三角

形

试卷第2页，共4页 8

．在锐角ABCV

中，角,,ABC

的对边分别为,,,abcABCV

的面积为S，若



222

sinS

AC

ba

，则

1

tan

3tanA

BA

的取值范围为（

）

A

．23

,

3







 B

．23

,

3







 C．234

,

33





 D

．23103

,

39







9

．在ABCV中，2

,

3CDCAPuuuruur

为线段BD上一点，且有

,,0,APABAC

uuuruuuruuur

，

则下列命题正确的是（

）

A

．1



B

．31



C

．的最大值为1

12 D．11



的最小值为

423

二、多选题

10

．下列说法正确的是（

）

A

．已知向量,abrr

，则“

ar

与

br

共线”

是“

ba

rr

”

的充要条件

B

．已知非零向量,abrr

满足

ababrrrr

，则=abrr

C

．若O

为ABCV

的外心，且

OAOBOBOCOCOAuuuruuuruuuruuuruuuruuur

，则ABCV

是等边三角形

D

．已知单位向量,,abcrrr

满足

2340abcrr

rr

，则7

16abcrrr

11

．ABCV

的内角,,ABC

的对边分别为,,abc

，若2,2ABACauuuruuur

，则（

）

A

．cos2bcA B

．22

8bc

C

．角A的最大值为π

3 D

．ABCV面积的最小值为

3

三、填空题

12

．在ABCV

中，角,,ABC

的对边分别为,,abc

，60A

，

23a，2b．则B．

13

．在ABCV

中，60A

，1b，其面积为

3，则

sinsinsinabc

ABC++

=

++．

14

．如图，半径为1

的扇形AOB中，2π

,

3AOBP

是弧AB上的一点，且满足

,,OPOBMN

分别是线段,OAOB

上的动点，则

PMPNuuuuruuur

的最大值为． 试卷第3页，共4页

四、解答题

15

．复数

22

6310izaaaa

，其中Ra．

(1)

若复数z

为实数，求a

的值：

(2)

若复数z

为纯虚数，求a

的值．

16

．已知向量

1,2ar

，

1,Rbttr

．

(1)

若

58ababrrrr

，求t

的值；

(2)

若1t

，

ar

与

ambrr

的夹角为锐角，求实数m

的取值范围．

17

．在ABCV中，已知137

cos,

143Cac

．

(1)

求A的大小；

(2)

请从条件①

：1ba

，条件②：5

cos

2bA

，这两个条件中任选一个作为条件，求

cosB和a

的值．

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分

18

．在ABCV

中，角

A，

B，C

的对边分别为a

，b

，c

，

3sin3coscbAaB．

(1)

求

A；

(2)

若点D是BC

上的点，AD平分BAC

，且2AD，求ABCV

面积的最小值．

19

．“

费马点”

是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“

在一

个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”

意大利数学家托

里拆利给出了解答，当ABCV

的三个内角均小于120

时，使得

120AOBBOCCOA

的点O

即为费马点；当ABCV

有一个内角大于或等于

120

时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABCV

的内角

,,ABC

所对的边分别为,,abc

，且cos2cos2cos21BCA

(1)

求

A；

(2)

若2bc，设点

P为ABCV

的费马点，求

PAPBPBPCPCPAuuuruuuruuuruuuruuuruuur

；