排列组合问题解题策略

高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略

江西省永丰中学陈保进

排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，

学生不容易掌握。下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。

1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列

例1：A,B,C,D,E五人站成一排，如果A,B必须相邻，则不同的排法种数为_____

解析：把A,B捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有2

2A种情况,再将整体和另外三人排序，有

4

4A种情况，所以答案为2

2A×4

4A=48

注意：小集团问题也可以用捆绑法

变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种

解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为7203

33

52

2AAA

2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元

素的空位或两端

例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____

解析：

先将其它4人全排列，共4

4A种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共3

5A种

情况，所以答案为4

4A×3

5A=1440

3.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法

例3：A,B,C,D,E五人站成一列，如果A必须在B前面，则不同的排法种数有_____

解析：先将5人全排列，共5

5A种情况，考虑A,B的顺序有2

2A种，符合题意的只有一种，所以答案为602255AA

4.特殊元素优先考虑

例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法

解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有7

7A种不同排法

②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有1

6A种，再排乙，有1

6A种排法，其

余人全排列，共有7

7A＋1

6A×1

6A×6

6A＝30960种不同排法

5.特殊位置优先考虑

例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种

探析排列组合常见的十六种解题方法

■福建省泉州市第七中学 彭耿铃 高考排列组合试题能有效地考查同学们

的阅读判断能力、转化与化归处理能力及应

用意识。这类试题新颖别致,联系社会实际,

贴近生活,反映了排列组合应用领域的广阔,

体现了数学的应用价值。本文特精选一些排

列组合例题予以分类探析,旨在探究题型及

解题方法,希望同学们能决胜于高考。

求解排列、组合问题的常见方法有以下

几种。(1)限制条件排除法:先求出不考虑限制

条件的个数,然后排除不符合条件的个数,相

当于减法原理;(2)相邻问题捆绑法:在特定条件下,将

几个相关元素当作一个元素来考虑,待整个

问题排好之后再考虑它们“内部”的排列数,

主要用于解决相邻问题;(3)插空法:先把不受限制的元素排列

好,然后把特定元素插在它们之间或两端的

空当中;(4)特殊元素、位置优先安排法:对问题

中的特殊元素或位置优先考虑排列,然后排

列其他一般元素或位置;(5)多元问题分类法:将符合条件的排列

分为几类,根据分类计数原理求出排列总数;(6)元素相同隔板法:若把n个不加区分

的相同元素分成m组,可通过n个相同元素

排成一排,在元素之间插入m-1块隔板来

完成分组,此法适用于同元素分组问题;(7)“至多”、“至少”间接法:“至多”、“至

少”的排列组合问题,需分类讨论且一般分类

的情况较多,所以通常用间接法,即排除法,

它适用于反面明确且易于计算的问题;(8)选排问题先取再排法:选排问题很容

易出现重复或遗漏的错误,因此常先取出元

素(组合)再排列,即先取再排;(9)定序问题消序法:甲、乙、丙顺序一

定,采用消序法,即除法,用总排列数除以顺序一定的排列数;(10)有序分配逐分法:有序分配是指把

元素按要求分成若干组,常采用逐分的方法

求解。

一、定位问题优先法(特殊元素和特殊位

置优先考虑)

例1 由0,1,2,3,4,5可以组成多少

个没有重复数字的五位奇数?

解析:由于末位和首位有特殊要求,应该

优先安排,以免不合要求的元素占了这两个

■墨　

排列组合解题策略梳理　

武　军　

（肥城市第一高级中学，山东肥城２７１６００）　

排列组合问题是解决概率问题的基础．多以选择填空形　

式出现，小巧灵活，有很强的抽象性和综合性；同时又对分类　

讨论、数形结合、转化化归等数学思想有着较高要求，学生不　

易掌握，为历年高考必考内容．因此我们有必要将相关思维方　

法和解题策略梳理一下．　

１．用好两个原理：分类问题用加法，完成一件事的几类方　法之间是独立的，计数时不重不漏；分步问题用乘法，完成一　

件事的几步之间是连续的。计数时缺一不可　

例１．（２０１０年天津理１０）如图，用四种不　

同颜色给图中的Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个点涂　

色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线　

段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方　

法共有（　）　

Ａ．２８８种　Ｂ．２６４；种　Ｃ．２４Ｏ种　Ｄ．１　６８种　

【答案】Ｂ　【解析】分三类：（１）Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｆ用四种颜　

色，则有Ａ：＝２４种方法；（２）Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｆ用三种颜色，则有Ａ＝×２×２＋　

Ａ：×２×ｌ×２＝１９２种方法；（３）Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｆ用二种颜色，则有Ａ－×２×２＝　

４８种方法，所以共有不同的涂色方法２４＋１９２＋４８＝２６４种．　

例２．（２００９ＪＥ京卷文）用数字１，２，３，４，５组成的无重复数　

字的四位偶数的个数为（　）　

Ａ．８　Ｂ．２４　Ｃ．４８　Ｄ．１２０　

【答案】ｃ　

【解析】２和４排在末位时，共有２种排法，其余三位数从余　

下的四个数中任取三个有Ａ：种排法，于是由分步计数原理，符　

合题意的偶数共有２Ａ：个．故选Ｃ．　

２．相邻问题捆绑法。相邻的几个元素捆绑成一起，视作一　

个元素参与排列。　

例３．（２００９四川卷文）２位男生和３位女生共５位同学站成　

一排，若男生甲不站两端，３位女生中有且只有两位女生相邻，　则不同排法的种数是（　）　

Ａ．６０　Ｂ．４８　Ｃ．４２　Ｄ．３６　【答案】Ｂ　【解析】解法一：从３名女生中任取２人“捆”在一起记作Ａ，　

解排列组合应用题的26种策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。 实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

1、相邻排列——捆绑法：

n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？

先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有

种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有

种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共

种．

例1.

五人并排站成一排，如果

必须相邻且

在

的右边，那么不同的排法种数有（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

解析：把

视为一人，且

固定在

的右边，则本题相当于4人的全排列，

种，答案：

.

例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？

解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有

种排法；女生内部的排法有

种，男生内部的排法有

种．故合题意的排法有

种．

2.相离排列——插空法：

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻

，有多少种排法？

先把

个元素排成一排，然后把k个元素插入

个空隙中，共有排法

种．