圆单元测试卷含答案

单元测试(四) 圆

(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个正确的.

题号

1

2

3 4 5 6 7 8 9 10

答案 C D C D A B C D D B

1．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是(C)

A．2.5 B．3 C．5 D．10

2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC等于(D)

A.2 B.3 C．23 D．22

3．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是(C)

A．3 B．2.5 C．2 D．1

4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC.若OB＝BC，则∠BAC等于(D)

A．60° B．45° C．20° D．30°

5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点．若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为(A)

A．65° B．55° C．60° D．75°

6．如图，用一个半径为30 cm，面积为300π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为(B)

A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．5π cm

7．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD.若∠BOD＝∠BCD，则BD︵的长为(C)

A．π B.32π C．2π D．3π

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于D，交BC于E，连接AE，则下列结论中不一定正确的是(D)

A．AE⊥BC B．BE＝EC C．ED＝EC D．∠BAC＝∠EDC

9．如图，正方形ABCD的边长为4，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A点作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积为(D) A．12 B．24 C．8 D．6

10．如图，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB＝y(单位：度)，那么y关于点P运动的时间x(单位：秒)的函数图象大致是(B)

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4.若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则点A，点B，点C，点D四点中在⊙A外的是点C．

12．正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是2．

13．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心．若∠BAC＝80°，则∠BOC＝130°．

14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC︵交AB︵于点C.若OA＝2，则阴影部分的面积为3－13π．

15．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕的长度取值范围是23≤CD＜4．

三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)

16．(8分)如图，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.

证明：∵AB︵＝AC︵，∴AB＝AC.

∴△ABC是等腰三角形．

∵∠ACB＝60°，

∴△ABC是等边三角形．

∴AB＝BC＝CA.

∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.

17．(9分)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AB＝5，AC＝3，求BC，BD的长．

解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.

在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝3，

∴BC＝AB2－AC2＝52－32＝4.

∵CD平分∠ACB，∴∠DCA＝∠BCD.∴AD︵＝BD︵.∴AD＝BD.

∴在Rt△ABD中，2BD2＝AB2.∴BD＝522.

18．(9分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(3，3)，C(4，2)．

(1)请在图中作出经过A，B，C三点的⊙M，并写出圆心M的坐标；

(2)若D(1，4)，则直线BD与⊙M的位置关系是相切．

解：如图所示，圆心M的坐标为(2，1)．

19．(9分)《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”(如图1)

图1 图2

阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图(如图2)，其中BO⊥CD于点A，问径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB＝1寸，CD＝10寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．

解：连接CO.∵BO⊥CD，∴CA＝12CD＝5寸．

设CO＝OB＝x寸，则AO＝(x－1)寸，

在Rt△CAO中，∠CAO＝90°，∴AO2＋CA2＝CO2.∴(x－1)2＋52＝x2.解得x＝13.

∴⊙O的直径为26寸．

20．(9分)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C.

(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；

(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长．

解：(1)连接OA.

∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，

∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°.

∵∠ADE＝25° ，∴∠AOE＝2∠ADE＝50°.

∴∠C＝90°－∠AOE＝90°－50°＝40°.

(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∴∠AOC＝2∠B＝2∠C.

∵∠OAC＝90°，∴∠AOC＋∠C＝3∠C＝90°.

∴∠C＝30°.∴OA＝12OC.

设⊙O的半径为r.

∵CE＝2, ∴r＝12(r＋2)．解得r＝2.

∴⊙O的半径为2.

21．(10分)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD＝OC.

(1)求证：四边形OCAD是平行四边形；

(2)探究：

①当∠B＝30°时，四边形OCAD是菱形；

②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由．

解：(1)证明：∵OA＝OC，AD＝OC，

∴OA＝AD.

∴∠OAC＝∠OCA，∠AOD＝∠ADO.

∵OD∥AC，

∴∠OAC＝∠AOD.

∴∠OAC＝∠OCA＝∠AOD＝∠ADO.

∴∠AOC＝∠OAD.

∴OC∥AD. ∴四边形OCAD是平行四边形．

(2)②当∠B＝45°时，AD与⊙相切．

理由：∵∠B＝45°，∴∠AOC＝90°.

又由(1)知OC∥AD，∴∠OAD＝∠AOC＝90°.

又∵OA是⊙O的半径，∴AD与⊙O相切．

22．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y轴的正半轴于点N.劣弧MN︵的长为65π，直线y＝－43x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B.

(1)求证：直线AB与⊙O相切；

(2)求图中所示的阴影部分的面积．(结果用π表示)

解：(1)证明：作OD⊥AB于D，

∵劣弧MN︵的长为65π，∴90π·OM180＝6π5.解得OM＝125.

故⊙O的半径为125.

∵直线y＝－43x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，

当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝4.

∴A(3，0)，B(0，4)．∴OA＝3，OB＝4.∴AB＝32＋42＝5.

∵S△AOB＝12AB·OD＝12OA·OB，∴OD＝OA·OBAB＝125.

∴OD是⊙O的半径．∴直线AB与⊙O相切．

(2)S阴影＝S△AOB－S扇形OMN＝12×3×4－90π×（125）2360＝6－3625π.

23．(11分)问题背景： 如图1，在四边形ACBD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处(如图2)，易证点C，A，E在同一条直线上，且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝2CD，从而得出结论：AC＋BC＝2CD.

简单应用：

(1)在图1中，若AC＝2，BC＝22，则CD＝3；

(2)如图3，AB是⊙O的直径，点C，D 在⊙O上，AD︵＝BD︵.若AB＝13，BC＝12，求CD的长；

(3)如图4，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n(m＜n)，求CD的长．(用含m，n的代数式表示)

图1 图2 图3 图4

解：(2)连接AC，BD，AD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.

∴AC＝AB2－BC2＝5.

∵AD︵＝BD︵，∴AD＝BD.

将△BCD绕点D顺时针旋转90°到△AED，则∠EAD＝∠DBC.

∵∠DBC＋∠DAC＝180°，∴∠EAD＋∠DAC＝180°.

∴E，A，C三点共线．

∵BC＝AE，∴CE＝AE＋AC＝17.

∵CD＝ED，∠CDE＝90°，∴△EDC是等腰直角三角形．

∴CD＝22CE＝1722.

(3)以AB为直径作⊙O，连接DO并延长交⊙O于点D1，连接D1A，D1B，D1C，如图．

由(2)的证明可知：AC＋BC＝2D1C，

∴D1C＝2（m＋n）2.

又∵D1D是⊙O的直径，

∴∠DCD1＝90°.

∵AC＝m，BC＝n，

∴由勾股定理可求得：AB2＝m2＋n2.

∴D1D2＝AB2＝m2＋n2.

∵D1C2＋CD2＝D1D2，

∴CD2＝m2＋n2－（m＋n）22＝（m－n）22.

∵m＜n，

∴CD＝2（n－m）2.