(新)高一数学下学期期中质量评估试题

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一下册期中考试数学模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()()2,4,1,1a b ==- ，则2a b -=（）A ．()5,7B ．()5,9C ．()3,7D ．()3,92．已知复数55i2i z -=-，则z 的虚部为（）A ．3-B ．3i -C ．1-D ．i-3．在ABC △中，已知4,45a b A ===︒，则角B 等于（）A ．60°或120°B ．30°或150°C ．60°D ．30°4．将函数π2sin 23y x =+⎛⎫⎪⎝⎭图像上的点向右平移π6个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =，则()y g x =的方程为（）A ．()2sin 4g x x =B ．()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin g x x=D ．()π2sin 3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭5．已知向量()1,a m = ，向量()1,b m =- ．若向量3a b -与向量b 垂直，则a = （）A B ．C ．3D ．56．在ABC △中，3,6AB AC AB AC ===⋅ ，D ，E 分别是BC 边上的三等分点，则AD AE⋅的值是（）A ．6B ．649C ．8D ．8097．已知π3π24βα<<<，若()()123cos ,sin 135αβαβ-=+=-，则sin 2β=（）A ．13B ．13-C ．1665-D ．16658．2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆．大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A （如图2）距离地面的高度AB （AB 与地面垂直），在赛道一侧找到一座高度为25.4米的建筑物PQ ，并从P 点测得A 点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点与P 点的仰角分别为75°和30°（其中B ，M ，Q 三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为（）1.73≈，结果精确到整数）A ．58B ．60C ．66D ．68二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数3i1iz +=-，则下列结论中正确的是（）A ．z 对应的点位于第二象限B ．z 的虚部为2C ．||z =D ．5zz =10．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然，社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，且1OB =，则下列说法正确的是（）A ．AB EF= B ．OA OH ED -= C ．OB OD += D ．22OD OG ⋅=11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0||,πA ωϕ>><）的部分图象如图所示．则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于直线π2x =平对称B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．1y =与图象()π23π1212y f x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的所有交点的横坐标之和为8π312．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，12,e e分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标，记(),OP x y = ．在上述xOy 坐标系中，若()()1,2,2,1a b ==-，则（）A ．()3,1a b +=B ．a b =C ．a b ⊥D ．a 与b夹角的余弦值为2114三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知5,13,2a a b b =⋅=-= ，且e 是与b 方向相同的单位向量，则a 在b上的投影向量为________．14．在ABC △中，若4cos ,105B a ==，ABC △的面积为42，则b 的值为_______．15．将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度．得到函数()g x 的图象，若()g x 是奇函数，则ϕ=__________．16．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边BC 、AC ，点D 在以AC 为直径的半圆上．已知以直角边AC ，BC 为直径的两个半圆的面积之比为3，4cos 5DAB ∠=．则cos DAC ∠=_____．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数()()222123i,z m m m m m R=--++-∈（1）当m 取什么值时，复数z 是纯虚数；（2）当复数z 在复平面内对应的点位于第四象限时，求m 取值的集合．18．（12分）已知向量()()1,0,,1a b m == ，且a 与b的夹角为π4．（1）求2a b +；（2）若a b λ-与a b + 的夹角为钝角，求实数λ取值的集合．19．（12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．（1）证明：2222a b c =+；（2）若255,cos 31a A ==，求ABC △的周长．20．（12分）某中学在4月底举行了秋游活动，其中“旋转木马”项目受到了师生们的喜爱．假设木马旋转时为逆时针方向的水平匀速圆周运动，圆心为O ，半径为5米，周期为1分钟．如图，在旋转木马右侧有一固定相机C （C ，O 两点分别在AB 的异侧），若记木马一开始的位置为点A ，与C 的直线距离为7米．110秒后木马的位置为点B ，与C 的直线距离为8米．（1）求弦长AB 的值；（2）求旋转中心O 到C点的距离．21．（12分）已知向量()()cos ,cos ,sin a x x b x x ==．（1）若π,0,2a b x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈∥，求x 的值；（2）若()π,0,2f x a b x =⋅∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值及相应x 的值．22．（12分）已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM的伴随函数．（1）设函数()()3sin π2πg x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，试求()g x 的伴随向量OM ；（2）由（1）中函数()g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平和2π3个单位长度得到()h x 的图象，已知()()2,3,2,6A B -，问在()y h x =的图象上是否存在一点P ，使得AP BF ⊥．若存在，求出Р点坐标；若不存在，说明理由．试题答案1、A2、C3、D4、A5、A6、B7、C 8、B9、CD 10、BC 11、BCD 12、AD 13、125e -14、2615、π616、31017解：（1）当22210230m m m m ⎧--=⎨+-≠⎩时，解2210m m --=得1m =或12m =-，………………3分解2230m m +-≠得1m ≠且3m ≠-，即12m =-时，复数z 为纯虚数．………………5分当复数z 在复平面内对应的点位于第四象限时，22210230m m m m ⎧-->⎨+-<⎩，解2210m m -->得1m >或12m <-，………………8分解2230m m +-<得31m -<<，所以m 的取值集合为⎭⎫⎩⎨⎧-<<-213|m m ………………10分18(1)解：向量(1,0)a = ，(),1b m = ，可得1a =，b ，且a b m ⋅= ，…………2分因为a 与b 的夹角为4π，可得2b a b a ⋅=⋅ ，解得1m =或1m =-（舍），………………4分所以()1,1b = ，则2(1,0)2(1,1)(3,2)a b +=+⋅=，所以2a b +==………………6分(2)解：由向量(1,0)a = ，()1,1b =，可得(1,0)(1,1)(1,)a b λλλλ-=-=-- ，(1,0)(1,1)(2,1)a b +=+=，………………8分由()()(1,)(2,1)2(1)230a b a b λλλλλλ-⋅+=--⋅=--=-< ，解得23λ>，……………10分当向量a b λ- 与a b +共线时，可得1(1)2λλ⋅-=-⋅，解得1λ=-，所以实数λ的取值集合为2(,)3+∞.………………12分19解：（1）已知)sin(sin )sin(sin A C B B A C -=-可化简为A CB AC B B A C B A C sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin sin -=-，…………2分由正弦定理可得C ab A bc A bc B ac cos cos cos cos -=-即C ab A bc B ac cos cos 2cos -=，………………4分由余弦定理可得abc b a abbc a c b bc ac b c a ac 2222222222222-+--+=-+即得2222c b a +=．………………6分（2）由（1）可知502222==+a c b ，3125225225502cos 222==-=-+=bc bc bc a c b A ，312=∴bc ，………………9分81)(2222=+=++c b bc c b ，9=+∴c b ，14=++∴c b a ，所以ABC 的周长为14.………………12分20解（1）连接,,AO BO AB 由木马旋转的角度为110112ππ603⨯=，即π3AOB ∠=，所以三角形AOB 为等边三角形，所以5m AB OA R ===；………………4分（2）连接OC ，在三角形ABC 中，由余弦定理有2222225871cos 22582AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⋅⨯⨯，因为0πABC <∠<，所以π3ABC ∠=，………………8分又2π3OBC ABC OBA ∠=∠+∠=，在三角形OBC 中，由余弦定理有OC ==故旋转中心O 到C ．………………12分21解：（1）∵()a cosx = ，()b cosx sinx = ，，a b，∴2cosxsinx x ，………………2分∴()0cosx sinx =，∴cos x ＝0或0sinx =，即cos x ＝0或tan x =∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴2x π=或3x π=；………………6分(2)()f x a b =⋅2cos x =1222cos x x +=1262sin x π⎛⎫=++⎪⎝⎭………………8分∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴72666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴12162sin x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，………………10分∴()302f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故f （x ）的最大值为32，此时6x π=．………………12分22解：(1)()3π)sin(π)cos 2g x x x x x =---=+，………………2分故()OM =；………………3分()πcos 2cos3g x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()12cos 2h x x =，………………5分假设存在点1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得AP BP⊥ ，则2211112,2cos 32,2cos 644cos 18cos 1802222AP BP x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-⋅--=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，………………7分因为122cos 22x -≤≤，所以131952cos 2222x -≤-≤-，所以225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤⎝⎭，又因为2252544x -≤，所以当且仅当0x =时，………………10分2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2254x -同时等于254，此时()0,2P ，故在函数()y h x =的图象上存在点()0,2P ，使得AP BP⊥………………12分。

福建省福州第四中学2022-2023学年高一下学期期中检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知复数34iz=-（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（）对应点的坐标是(3,4)-，在第四象限，D 正确．故选：ACD ．10．BD【分析】A. 根据平面向量不能比较大小判断.B. 根据平面向量的三角形法则判断.C.根据 平面向量的数量积定义判断.D. 根据平面向量的三角形法则判断.【详解】A 选项.向量不能比较大小，选项A 错误．B 选项. 根据向量加法运算公式可知，当向量a r 和b r 不共线时，两边之和大于第三边，即||||||a b a b +<+r r r r ，当a r 和b r 反向时，||||||a b a b +<+r r r r ，当a r 和b r 同向时，||||||a b a b +=+r r r r ，所以||||||a b a b +£+r r r r 成立，故B 正确；C 选项，|||||||cos |||||a b a b a b q ×=£r r r r r r ，选项C 错误．D 选项.当向量a r 和b r 不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即||||||a b a b ->-r r r r 当a r 和b r 反向时，||||||a b a b ->-r r r r ，当a r 和b r 同向且||||a b ³r r 时，||||||a b a b -=-r r r r ，当a r 和b r 同向且||||a b <r r 时，||||||a b a b ->-r r r r ，所以选项D 正确.故选：BD11．CD【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案.【详解】A 选项，圆柱的侧面积为22π24πR R R ´=，A 选项错误.与14圆切于点Q，连接AQ60tan q =，60NQ=，。

上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．M有最小值，N有最大值B．M有最大值，N有最小值C．M有最大值，N有最大值D．M有最小值，N有最小值．π2【分析】根据正弦型函数的周期【详解】因为()sinf x læ=çèπæö（3）1122111222a x a x xb x b x x l l +=ìí+=î，可得()()111222,,0x a b x a b l l -+-=．因为12,x x 都不为0，从而向量()11,a b l -与()22,a b l -平行，所以存在实数l 满足()()1221a b a b l l --=，即()21212210a b a b a b l l -++-=．要使l 存在且唯一，则1212a a b b ､､､应满足：()21221Δ40a b a b =-+=．当()f x l l =r r 时，f 有唯一的特征值，且||f l =‖‖．具体证明为：由f 的定义可知：()()1212,,f x x x x l =，所以l 为特征值．此时2112,0,0,b a a b l l ====满足：()2122140a b a b -+=，所以有唯一的特征值．在22121x x +=的条件下()()22212x x l l l +=，从而有||f l =‖‖．【点睛】关键点点睛：新定义题型，考查数乘向量的坐标运算，相等向量的坐标的关系，考查运算求解能力与转化能力，学生的阅读理解能力是解本题的关键.。

2023-2024学年江西省赣州市高一下册期中考试数学模拟试题一、单选题1．已知0m >，则“a b >”是“am bm >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】利用不等式的性质和充要条件的判定条件进行判定即可.【详解】因为0m >，a b >，所以am bm >成立；又am bm >，0m >，所以a b >成立；所以当0m >时，“a b >”是“am bm >”的充分必要条件.故选：C.2．设43(i z i i ⋅=-为虚数单位），则复数z 的虚部为()A ．4-B ．4C ．4i -D ．4i【正确答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的虚部概念得答案．【详解】解：43i z i ⋅=- ，2243(43)43341i i i i i z i i i ---∴====---，∴复数z 的虚部为4-，故选：A ．3．下列命题正确的是（）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C ．正六棱锥的侧棱和底面边长一定不相等D ．棱柱的侧面都是全等的平行四边形【正确答案】C【分析】对A ，根据棱柱的定义可判断；对B ，举出反例判断即可；对C ，根据正六棱锥底面正六边形的性质判断即可；对D ，根据棱柱的性质判断即可【详解】对A ，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体，A 错；对B ，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B 错；对C ，正六棱锥的底面为正六边形，其底面最长的对角线长度为底面边长的两倍，又该对角线和相交的两条侧棱要构成三角形，故侧棱一定大于底面边长，C 对对D ，棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D 错；故选：C.4．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,33C c b a π===，则ABC 的面积为（）AB C D ．4【正确答案】A由余弦定理求出,a b 关系，再结合3b a =可求得,a b ，再用三角形面积公式1S sin 2ab C =计算出面积．【详解】由余弦定理得：2222271cos cos 2232a b c a b C ab ab π+-+-====，∴227a b ab +-=，又3b a =，所以221073a a -=，∴1a =，∴3b =，∴1sin 2ABC S ab C ∆=113224=⨯⨯⨯=.故选.A本题考查余弦定理和三角形面积公式，属于基础题．利用余弦定理求得,a b 的关系，并结合已知求得,a b 的值是关键，三角形的面积公式111S sin sin sin 222ab C ac B bc A ===.5．下列说法中正确的是（）A ．若a b =r r ，则,a b的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b相反向量，则a b =r r C ．若//a b r r，则存在唯一的实数λ使得λa b= D ．在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=【正确答案】B【分析】由相反向量定义、向量模长定义、平面向量共线定理和向量线性运算依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，若a b =r r ，则,a b 的长度相同，方向任意，A 错误；对于B ，由相反向量定义知：a 与b方向相反，模长相等，B 正确；对于C ，当0b = ，0a ≠r r 时，//a b r r，此时不存在唯一的实数λ使得λa b = ，C 错误；对于D ，若O 为BD 中点，则2AB AD AO +=，AC 与2AO 不恒相等，AB AD AC ∴+=不恒成立，D 错误.故选：B.6．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正五边形，且PT AP =）A ．CT =+B ．CT =+C ．1324CT CA CE-=+ D ．3142CT CE=+ 【正确答案】A设AP a =，根据PT AP =,PT CP ==，进而得到,CP PT ===- ，然后由CT CP PT =+ 求解.【详解】设AP a =，因为PT AP =所以,,PT a CP a CA a ，所以,CP PT ===-，因为CT CP PT =+ ，所以1122CT CE -= ，所以CT，=+ ，3322CA CE =+.故选：A7．锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若()2b a ac =+()cos B A A-+范围为（）A ．2⎫⎪⎪⎭B ．,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】首先根据题意，结合余弦定理得到2cos a a B c +=，利用正弦定理转化求得sin sin()A B A =-，根据角的范围，得到=2B A ，根据三角形是锐角三角形，求得64A ππ<<，结()cos =2sin(6B A A A π-++，从而求得结果.【详解】因为()2b a ac =+，所以22b a ac =+，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B a ac +-=+，所以2cos a a B c +=，由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=，因为()C A B π=-+，所以sin 2sin cos sin()sin cos cos sin A A B A B A B A B +=+=+，即sin sin()A B A =-，因为△ABC 是锐角三角形，所以,(0,2A B π∈，所以A B A =-，即=2B A ，所以2022032AB AC Aππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，解得64Aππ<<，()cos cos2sin(6B A A A A Aπ-++=+，因为53612Aπππ<+<，所以2sin()6Aπ+∈，故选：A.该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、余弦定理解三角形，三角形中的三角恒等变换，正弦型函数在给定区间上的值域，属于中档题目.8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一内角大于或等于120 时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知,,a b c分别是ABC三个内角,,A B C的对边，且22()6b a c--=，cos sin2cos6A CBπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若点P为ABC的费马点，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅=（）A．6-B．4-C．3-D．2-【正确答案】C【分析】由余弦定理和两角和的余弦公式化简22()6b a c--=，cos sin2cos6A CBπ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得3Bπ=，6ac=，再根据ABC等面积法即可求得6PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅=，“费马点”定义可得该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ，从而求得答案.【详解】1cos2sin cos,cos2cos cos622A CB AC C Bπ⎛⎫⎛⎫=-∴=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q,即cos cos cos cosA CBC B=-,又A B Cπ++=cos cos()cos cos sin sinA B C B C B C∴=-+=-+,cos cos sin sin cos cos cosB C B C C B C B∴-+=-,即sin sin cosB C C B=,sin sin 0,tancos B C B B≠∴==Q 又(0,),3B B ππ∈∴=.由三角形内角和性质知：△ABC 内角均小于120°，结合题设易知：P 点一定在三角形的内部，再由余弦定理知,2221cos 22a cb B ac +-==,22()6,6b a c ac =-+∴=Q ,12121211sin sin sin sin 6sin 2323232232ABC S PA PB PB PC PA PC ac B ππππ∴=⋅+⋅+⋅==⨯⨯=V ,6PA PB PB PC PA PC ∴⋅+⋅+⋅=.由6PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=等号左右两边同时乘以2cos3π可得：2222coscos cos 6cos 3333PA PB PB PC PA PC ππππ⋅+⋅+⋅=⨯，∴26cos 33PA PB PB PC PA PC π⋅+⋅+⋅=⨯=-uu r uu r uu r uu u r uu r uu u r .故选：C.本题主要考查两角和差的余弦公式、余弦定理，平面向量的数量积以及等面积法的应用；理解新概念灵活运用，属于较难题.二、多选题9．下列各命题中，是充要条件的有（）A ．:0p a ≠，2:q y ax bx c =++为二次函数B ．:0p x >，0y >，:0q xy >C ．:p四边形是正方形，:p 四边形对角线互相平分D ．:1p x =或2x =，:1q x -=【正确答案】AD【分析】根据充要条件依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若0a ≠，2y ax bx c =++为二次函数，满足充分性，若2y ax bx c =++为二次函数，则0a ≠，满足必要性，故A 选项为充要条件.对选项B ，若0x >，0y >时，则0xy >，满足充分性，若0xy >时，则0x >，0y >或0x <，0y <，不满足必要性，故B 不符合充要条件.对选项C ，若四边形是正方形，则四边形对角线互相平分，满足充分性，若四边形对角线互相平分，则四边形为平行四边形，不一定是正方形，不满足必要性，故C 不符合充要条件.对选项D ，若1x =或2x =，则1x -，满足充分性，若1x -，则()2111x x x ⎧-=-⎪⎨≥⎪⎩，解得1x =或2x =，满足必要性，故D 选项为充要条件.故选：AD10．设12,z z 是复数，则（）A ．若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【正确答案】ABC【分析】根据复数的相关概念结合复数的运算逐项分析判断.【详解】对于A ：若120z z -=，则12z z =，所以12z z =，故A 正确；对于B ：若12z z =，根据共轭复数的定义可得12z z =，故B 正确；对于C ：∵22121122,z z z z z z ⋅==⋅，若12=z z ，即2212z z =，可得1122z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D ：例如121,i z z ==，显然12=z z 成立，但22121,1z z ==-，即2212z z ≠，故D 错误；故选：ABC.11．将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，下列叙述正确的是（）A B ．圆锥的侧面积为2πC ．圆锥侧面展开图扇形圆心角为πD【正确答案】BCD【分析】由题中等边三角形就是圆锥轴截面，得出圆锥母线长，底面半径，高，然后计算体积、侧面积，圆锥侧面展开图扇形圆心角，过圆锥顶点的截面面积的最大值判断各选项．【详解】由题意圆锥的母线长为2l =，底面半径为1r =，高为h =2211212333V r h πππ==⨯⨯=，A 错；S 侧122rl πππ==⨯⨯=，B 正确；圆锥侧面展开图扇形圆心角为2212r l ππθπ⨯===，C 正确；由题意圆锥轴截面是等边三角形，任意两条母线夹角的最大值为轴截面顶角3π，因此过圆锥顶点的截面面积的最大值212sin 23S π=⨯⨯=D 正确．故选：BCD ．12．正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意点，AP AB AE λμ=+，则（）A ．μ最大值为1B ．AP ·AB最大值是8C ．λ最大值为14D ．AP ⋅ AC最大值是8+【正确答案】AD【分析】建系，设()2cos ,2sin P θθ，根据向量的坐标运算结合三角函数的有界性逐项分析运算.【详解】如图，以AB 的中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()()()()2,0,2,0,2,2,2,4A B E C -，设()[]()2cos ,2sin 0,πP θθθ∈，可得()()()()2cos 2,2sin ,4,0,4,2,4,4AP AB AE AC θθ=+===uu u r uu u r uu u r uuu r ，则()44,2AB AE λμλμμ+=+uu u r uu u r，由题意可得442cos 222sin λμθμθ+=+⎧⎨=⎩，解得()1cos 2sin 12sin λθθμθ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩.对于A ：∵sin μθ=，且[]0,πθ∈，可得当π2θ=，sin θ取到最大值1，∴μ最大值为1，故A 正确；对于B ：AP ·()()42cos 28cos 1AB θθ=+=+uu u r ，∵[]0,πθ∈，可得当0θ=时，cos θ取到最大值1，∴AP ·AB最大值是()81116+=，故B 错误；对于C ：∵()()11cos 2sin 1cos 222λθθθϕ=-+++，其中πtan 2,0,2ϕϕ⎛⎫=∈⎪⎝⎭，由[]0,πθ∈，则3π0π2ϕθϕϕ<≤+≤+<，令πϕθϕ≤+<，解得0πθϕ≤<-；令ππθϕϕ≤+≤+，解得ππϕθ-≤≤；故()122λθϕ=++在[)0,πϕ-上单调递减，在[]π,πϕ-上单调递增，当0θ=时，则1λ=；当πθ=时，则01λ=<；∴λ最大值是1，故C 错误；对于D ：AP ⋅π8cos 88sin 84AC θθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭uuu r ，∵[]0,πθ∈，则ππ5π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则当ππ42θ+=，即π4θ=时，πsin 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取到最大值1，∴AP ⋅ AC最大值是8+D 正确；故选：AD.方法定睛：1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．三、填空题13．已知空间向量(2,1,3)a =- ，(4,1,)b x =- ，若a b ⊥，则x =__________．【正确答案】3【详解】8130x --+=，得3x =．14．ABC ∆中,60ABC ∠= ，2BA =，3BC =，BD 平分ABC ∠交AC 于D ,则线段BD 的长为______.【分析】由BD 是角平分线，可知23BA DA BC DC ==，设2,3,DA m DC m BD x ===，ABD ∆和BDC ∆中，分别列出余弦定理，再求BD 的长度.【详解】 BD 平分ABC ∠交AC 于D ,ABD ∆中，sin 30sin AD BAADB=∠ ，BDC ∆中，sin 30sin DC BCBDC=∠ ，sin sin ADB BDC ∠=∠ ，23BA DA BC DC ∴==，∴设2,3,DA m DC m BD x ===，ABD ∆中，22444cos30m x x =+-⋅ ，BDC ∆中，22996cos 30m x x =+-⋅ ，两式相除可得，49=，解得.x =本题考查利用正余弦定理解三角形，意在考查转化与化简和计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据正弦定理判断出23DA DC =，问题迎刃而解.15．2020年夏天，国内多地出现洪涝灾情，某地一处长100m 的堤坝需要用土方进行填筑加固，计划将背水坡的坡度由原来的75︒改为45︒（如图所示），其中背水坡长AB 为6m ，则加固这段堤坝需要使用的土方量为__3m .【正确答案】31).计算三棱柱111ABD A B D -的体积得出答案.【详解】解：在ABD △中，754530BAD ∠=︒-︒=︒，6AB m =，由正弦定理可得：sin 45sin 30AB BD =︒︒，故6sin 3032sin 45BD m ︒==︒，于是三棱柱111ABD A B D -的体积为311·326sin105100450(31)2ABD V S AA m ==⨯⨯︒⨯=+ ，故答案为.450(31)+16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，a ＝4，3cos cos cos b A a C c A -=，点D 在线段BC 上，2BD DC =，过点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ，则DEF 面积的最大值是______.【正确答案】28164281【分析】先由3cos cos cos b A a C c A -=结合正弦定理求得cos A ，sin A ，再由余弦定理可得222163b c bc +-=，结合不等式222b c bc +≥证得12bc ≤，又由2BD DC =得223ACD ABD ABC S S S ==△△△，从而求得DE ，DF ，由此得DEF 面积的关于,b c 的表达式，进而求得其最大值．【详解】因为3cos cos cos b A a C c A -=，所以由正弦定理得3sin cos sin cos sin cos B A A C C A -=，则()()3sin cos sin cos sin cos sin sin πsin B A C A A C A C B B =+=+=-=，因为0πB <<，所以sin 0B >，所以1cos 3A =，则2sin 3A =，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即2222163a b c bc =+-=，因为222b c bc +≥，所以22163bc bc -≤，则12bc ≤，当且仅当3c b ==连结AD ，因为2BD DC =，所以223ACD ABD ABC S S S ==△△△，所以112122222323b DF c DE bc ⋅=⨯⨯=⨯⨯，则229DE b =，429DF c =，则11162642sin sin 2224381DEF S DE DF EDF DE DF A bc =⋅⋅∠=⋅⋅=≤△．故答案为.64281.四、解答题17．已知()()()3sin cos tan 22()tan sin f ππααπαααπαπ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若4cos()35πα+=，且α为第三象限角，求()f α【正确答案】（1）()cos f αα=-；（2）33410.【分析】（1）应用诱导公式化简函数式即可.（2）由题意41122336k k ππππαπ+<+<+求sin()3πα+，再根据两角和正弦公式求sin()2πα+，可得cos α，即知()f α.【详解】（1）()()()3sin cos tan (cos )sin (tan )22()tan sin tan sin f ππααπααααααπαπαα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-⋅⋅-⎝⎭⎝⎭==-----⋅cos α=-.（2）∵α为第三象限角，则41122336k k ππππαπ+<+<+，∴3sin()35πα+=-，而sin()sin()cos cos()sin 23636πππππααα+=+++，∴3341433cos 525210α-=-+⨯=33()410f α=-.18．已知z 为虚数，42z z +-为实数．（1）若2z -为纯虚数，求虚数z ；（2）求|4|z -的取值范围．【正确答案】（1）22z i =+或22z i =-；（2）()0,4.【分析】（1）由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，R y ∈，0)y ≠，根据2z -为纯虚数，求得x 的值，再由42z z +-为实数求出y 的值，即得虚数z ；（2）由42z z +-为实数且0y ≠，可得22(2)4x y -+=，根据2204(2)y x =-->，求得x 的范围，根据复数的模的定义，化简为4z -的范围，即可得出|4|z -的取值范围．【详解】解：由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，R y ∈，0)y ≠，（1）则22z x yi -=-+，由2z -为纯虚数，得2x =，2z yi ∴=+，又因为42z z +-为实数，则(442)242z yi y i R z yi y+=++=+-∈-，得40y y-=，2y =±，所以22z i =+或22z i =-.（2） 2222(4442)4[]22(2)(2)x yz x yi x y i R z x yi x y x y-+=++=++-∈-+--+-+，因为42z z +-为实数，∴2240(2)yy x y -=-+，0y ≠ ，22(2)4x y ∴-+=，224(2)0y x =-->∴，则2(2)4x -<，解得：(0,4)x ∈，∴|4||4|z x yi -=+-==由于(0,4)x ∈，则016416x <-<，所以04<<，即0|4|4z <-<，所以|4|z -的取值范围为()0,4.本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法以及复数求模，考查运算求解能力．19．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cosC A c a +=．（1）求c 的值；（2）若3C π=，求ABC 面积的最大值．【正确答案】（1）c =（2）4.（1）根据cos cosC A c a +=，利用正弦定理余弦定理，角化边即可求解.（2）利用正弦定理得到24sin sin sin ab c A B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则4sin sin ab A B =2sin 216A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质求得其最大值，然后代入三角形面积公式求解.【详解】（1）因为cos cosC A c a +=，所以22222222a b c b c a abc abc +-+-+=解得c =（2）因为3C π=所以由正弦定理得24sin sin sin ab c A B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴24sin sin 4sin sin 3ab A B A A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭14sin sin 2A A A ⎫=+⎪⎪⎝⎭．21cos 2A A +-，2sin 216A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当262A ππ-=即3A π=时，ab 取最大值为3．∴11sin 32224ABC S ab C =⨯⨯=，所以ABC 面积的最大值为4．关键点点睛：本题第二问关键是结合（1）和3C π=，利用正弦定理得到24sin sin sin ab c A B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，进而转化为2sin 216ab A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解，20．如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点．已知5,3AB BC CD ===，(1)求该圆柱的表面积；(2)将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．【正确答案】(1)75π2(2)15π【分析】（1）由题意求出柱的底面圆的半径即可求解；（2）ACD 绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可【详解】（1）由题意知AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，且5AB BC ==，可得圆柱的底面圆的半径为52R =，则圆柱的底面积为221525πππ24S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，圆柱的侧面积为252π2π525π2S Rl ==⨯⨯=所以圆柱的表面积为12257522π25ππ42S S S =+=⨯+=．（2）由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥，线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥，所以以ACD 绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为：22221111πππ55π4515π3333V BC AB BD AB =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=．21．已知向量()2cos ,cos a x x = ,πsin ,33b x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设函数3()4f x a b =⋅ x ∈R(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,方程π12142fx m ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭有两个不等的实根,求m 的取值范围;(3)若函数π()12g x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦,使得()()120f x kg x +>,求实数k的取值范围.【正确答案】(1)π5ππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)[3,4)m ∈(3),,22⎛⎫⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】(1)根据数量积的坐标运算,结合三角函数的恒等变换可得1π()sin(2)23f x x =-,由πππ2π22π232k x k -+≤-≤+,Z k ∈即可求得答案;(2)将方程π12()42f x m +=1-有两个不等的实根转化为函数ππ()2()sin(2)46h x f x x =+=+的图象与112y m =-有两个交点,数形结合,求得答案;(3)将对于任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得12()()0f x kg x +>,转化为min 2min ()[()]f x kg x >-成立,求出函数(),()f x g x 的范围,分类讨论,求得k 的取值范围;【详解】（1）由题意可知:2211()cos sin cos22f x x x x x x x x ⎛⎫=⋅+-+⋅-+⎪ ⎪⎝⎭111πsin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin 24444423x x x x x ⎛⎫=++=-=- ⎪⎝⎭,由πππ2π22π232k x k -+≤-≤+,Z k ∈,解得:π5πππ1212k x k -+≤≤+,Z k ∈,故函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）令ππ()2sin 246h x f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,令π26r x =+,则π5π,66r ⎡⎤∈-⎢⎣⎦,且sin y r =在ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增,在π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减,当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,方程π12142fx m ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭有两个不等的实根,则需函数()h x 的图象与112y m =-有两个交点,即sin y r =,π5π,66r ⎡⎤∈-⎢⎣⎦与112y m =-有两个交点,如图所示:,则111122m ≤-<,则[3,4)m ∈.（3）由题意π1ππ1π1()sin 2sin 2cos 2122123222g x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,若对于任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()120f x kg x +>,即()min 2min ()f x kg x ⎡⎤>-⎣⎦,当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,则1π1()sin 2,2342f x x ⎡⎤⎛⎫=-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,111()cos 2,222g x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦,故当0k =时,0不成立;当0k >时,12k -,解得k当0k <时,12k ,解得k <,故实数k 的取值范围为,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．将二次函数2y x =的图象在坐标系内自由平移，且始终过定点()2,P t t，则图象顶点A 也随之移动，设顶点(),A x y 所满足的表达式为二次函数()y f x =.例如，当1t =时，()22f x x x =-+；当2t =时，()24f x x x =-+.(1)当2t =，图象平移到某一位置时，且P 与A 不重合，有OP PA ⊥ ，其中O 为坐标原点，求PA的坐标；(2)记函数()()21g x f x x -=+在区间[]2,4上的最大值为()M t ，求()M t 的表达式；(3)对于常数λ（0λ>），若无论图象如何平移，当A ，P 不重合时，总能在图象上找到两点B ，C ，使得BC PA λ=，且直线BC 与()f x 无交点，求λ的取值范围.【正确答案】(1)11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)()274,238,22,t M t t t t -+⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩3535t t t ≤≥<<(3)Rλ∈【分析】（1）当2t =时，()24f x x x =-+，设点()2000,4A x x x -+，()2,4P ，通过坐标表示向量，并通过OP PA ⊥建立等式关系求出0x 的值，进而求得结果；（2）由题意确定二次函数顶点的表达式()22f x x tx =-+，进而求出()()2221g x x t x =-+-+，由函数区间定轴动的思想进行求解；（3）联立22y kx by x tx=+⎧⎨=-+⎩无解，证得直线BC 与()f x 无交点，设()()1122,,,B x y C x y ，2121y y k x x -=-，通过化简式子发现BC PA λ=恒成立，进而求得λ的取值范围.【详解】（1）当2t =时，()24f x x x =-+，设点()2000,4A x x x -+，()2,4P ()20002,44PA x x x =--+- ，因为OP PA ⊥ ，所以()()20022420O x x P PA ⋅=--+-= ，解得：02x =或052x =，则()2,4A 或515,24A ⎛⎫⎪⎝⎭，当点A 的坐标为()2,4A 时，A 与P 重合，不合题意，所以515,24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,24PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）设二次函数2y x =的图象在坐标系内平移之后的解析式为()2y x a b =-+，(),a b 为二次函数的顶点，因为函数过定点()2,P t t，则22b aat =-+，即()22f x x tx =-+，()()22221221g x x tx x x t x =-+-+=-+-+，对称轴为1x t =-，当12t -≤时，即3t ≤，()g x 在区间[]2,4上单调递减，()()max 274g x g t ==-+；当14t -≥时，即5t ≥，()g x 在区间[]2,4上单调递增，()()max 4238g x g t ==-+；214t <-<时，即35t <<，()g x 在区间[]2,1t -上单调递增，在区间(]1,4t -上单调递减，()()2max 122g x g t t t =-=-+.所以()274,238,22,t M t t t t -+⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩3535t t t ≤≥<<.（3）设直线:BC y kx b =+，则联立22y kx b y x tx=+⎧⎨=-+⎩，()220x k t x b +-+=无解，()2240k t b ∆=--<，则直线BC 与()f x 无交点；设()()1122,,,B x y C x y ，()()12221,,λλλ∴--=-=-= BC PA x t x y y y t x ()2121222-∴=⇒---=--=⇒--y y t x y t y t t k y t x t k x x x ，λ=∴BC PA 恒成立，λ的取值范围为R .。

2023-2024学年四川省绵阳市绵阳东辰高一下学期期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．设复数(1)z i i =⋅-，则z 的虚部是（）A ．1B ．iC ．-1D ．-i【正确答案】C【分析】结合复数的四则运算，计算z ，得到虚部，即可．【详解】1i z =--,所以z 的虚部为-1，故选C ．本道题考查了复数的运算，关键化简复数z ，难度较容易．2．平面向量()1,2a =- ，()2,b x =- ，若//a b，则x 等于（）A ．4B ．2C ．1-D ．4-【正确答案】A【分析】根据向量共线列方程，从而求得x .【详解】由于//a b，所以()()1224x x ⋅=-⋅-⇒=.故选：A3．若函数()()sin f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取的一个值为（）A ．π-B ．2π-C ．4πD ．3π【正确答案】A【分析】sin x 的图象左右平移π,k k Z ∈仍为奇函数，即可求得ϕ.【详解】sin x 的图象左右平移π,k Z k ∈仍为奇函数，则π,k k Z ϕ=∈.故选：A.4．在ABC 中，若cos a B c =，则ABC 的形状是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】B【分析】首先根据正弦定理边化角得到()sin cos sin sin A B C A B ==+，再结合三角函数恒等变换得到cos 0A =，即可得到答案.【详解】因为cos a B c =，所以()sin cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+，所以cos sin 0=A B .因为sin 0B >，所以cos 0A =.又因为00A <<18 ，所以90A = ，ABC 为直角三角形.故选：B5．已知cos 123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．29-B ．13-C ．29D ．13【正确答案】B 【分析】由223122πππθθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题，因为223122πππθθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以221sin 2sin 2cos 22cos 121312212123πππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故选：B6．关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 的图像关于直线()2k x k Z π=∈对称D ．()f x 在每一个区间,,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎝⎭内单调递增【正确答案】A【分析】由周期函数和奇偶性的定义，以及正切函数的对称轴和正切函数的单调性可逐项进项判定.【详解】因为1tan ()22tan f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 错；()|tan()||tan |()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()|tan |f x x =的图像可知，C 、D 均正确，故选：A.本题考查三角函数的性质，熟练掌握正切函数的奇偶性、单调性、对称轴和对称中心是解题的关键，属于中档题.7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【正确答案】A【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB方向上的投影的取值范围是(1,3)-，结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A.该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.8．已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,(0ω>)在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值1,则ω的取值范围是（）A ．10,5⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】C解法一:(复合函数法)令3X x πω=+,根据2536x ππ-≤≤,得出253363X πωππωπ-+≤≤+.再根据sin y X =的单调性得出25,,336322πωππωπππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,解得15ω≤.又因为0x π≤≤时,33X πππω≤≤+,函数在区间,33πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰好取一次最大值1,可得5232ππππω≤+<,即可解得11366ω≤≤.解法二:(特殊值法)带入特殊值当12ω=,112ω=,逐项排除即可.【详解】解：解法一:(复合函数法)令3X x πω=+,2536x ππ-≤≤,则253363X πωππωπ-+≤≤+.所以函数sin y X =在区间25,3363πωππωπ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增,从而可得25,,336322πωππωπππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则22335632ππωππωππ⎧-≤-+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,解得15ω≤.当0x π≤≤时,33X πππω≤≤+,所以函数sin y X =在区间,33πππω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦恰好取一次最大值1,所以5232ππππω≤+<,解得11366ω≤≤.综上所知1165ω≤≤.故选:C解法二:(特殊值法)当12ω=时,令23x X π=+,2536x ππ-≤≤,则304X π≤≤,则函数sin y X =在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,所以12ω=不合题意,排除B 、D .当112ω=时,令123x X π=+,0x π≤≤,则5312X ππ≤≤,则函数sin y X =在区间5,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦取不到最大值1,所以112ω=不合题意,排除A .故选:C本题考查利用正弦型函数的单调性和最值求参数ω的取值,属于基础题.二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．若||0a = ，则0a=B ．0AB BA += C ．若21,e e 为单位向量，则12e e = D ．||aa是与非零向量a 共线的单位向量【正确答案】ABD【分析】对于选项AC ，利用零向量和单位向量的定义即可判断出正误；对于选项B ，利用向量的运算法则即可判断出正误；对于选项D ，利用单位向量及共线向量的判断方法即可得到结果的正误.【详解】选项A ，因为||0a = ，根据零向量的定义知，0a=，故选项A 正确；选项B ，根据向量加法的运算法则知，0AB BA +=，故选项B 正确；选项C ，21,e e为单位向量，则有12e e = ，但1e 与2e 可以方向不同，根据向量相等的定义知，选项C 错误；选项D ，因||aa的模长为1，且与向量a 同向，故选项D 正确.故选：ABD10．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（）A ．7,36b c C π===，B ．564b c C π===，，C．63a b B π===，D ．20156a b B π===，，【正确答案】BC【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得.【详解】A 选项有无穷多解，显然错误；B中，因为sin 2b C =，C 为锐角，所以sin b C b c <<，所以该三角形有一解，B 正确；C中，因为sin a B =B 为锐角，所以sin b a B =，所以该三角形有一解，C 正确；D 中，因为sin 10a B =，B 为锐角，所以sin a B b a <<，所以该三角形有两解，D 错误.故选：BC11．已知函数()()πsin 02||0f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,,的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称C ．函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎣⎦单调递减D ．该图象向右平移π12个单位可得2sin 3y x =的图象【正确答案】AD【分析】根据图象求出()y f x =的解析式，然后根据正弦函数的知识判断ABC ，根据图象的平移变换可判断D.【详解】由图象可得()f x 的最大值为2，即2A =，2πππ4412T ω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即3ω=，所以()()2sin 3f x x ϕ=+，因为π212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 42k k ϕ+=+∈，所以π2π,Z 4k k ϕ=+∈，因为π||2ϕ<，所以π4ϕ=，所以()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，因为0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故正确；对于B ，因为()25π12sin π0f ⎛⎫- ⎪⎝=-=⎭，所以错误；对于C ，当2ππ,36x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，π7ππ3,444x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，所以函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，故错误；对于D ，该图象向右平移π12个单位可得ππ2sin 32sin 3124y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，故正确，故选：AD12．已知函数()sin cos f x x x =+，以下结论正确的是（）A ．它是偶函数B ．它是周期为2π的周期函数C ．它的值域为⎡-⎣D ．它在()-π,2π这个区间有且只有2个零点【正确答案】ACD【分析】根据函数奇偶性定义可知，()()f x f x -=，即A 正确；由周期函数得定义可知，()2πf x +与()f x 不一定相等，故B 错误；将函数()f x 写成分段函数的形式并画出函数图像可得C 正确；结合C 以及偶函数的性质，可判断D 正确.【详解】由于()()sin cos()sin cos f x x x f x x x -=-+-==+，所以它是偶函数，故A 正确；由于π7π044f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它们不相等，所以它不是周期为2π的周期函数，即B 错误；现在来考察这个函数在[]0,2πx ∈内的情况.当π30,π,2π22x ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭当π3,π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()πsin cos sin cos 4f x x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：由此可知函数值域为⎡-⎣，即选项C 正确；又由于这个函数是偶函数，它在[]π,π-内没有零点，而在[]π,2π有2个零点，故D 正确.故选：ACD.方法点睛：在求解含有绝对值的三角函数值域问题时，可以想尽一切办法先把绝对值去掉，然后结合其他函数性质进行求解即可.例如在判断C 选项时，首先可讨论[]0,2πx ∈时的函数解析式，画出图形；当[]2π4πx ∈，时图像重复[]0,2πx ∈的图像，而[]2π0x ∈-，时，关于y 轴作出对称图像即可.三、填空题13．已知复数21iz i=-，则z =________．【详解】试题分析：()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，所以z =复数模的概念与复数的运算.14．已知非零向量a 与b 的夹角为23π，2b = ，若()a ab ⊥+ ，则a = ______.【正确答案】1由()a a b ⊥+，得到22cos 03a ab π+= ，进而得到20a a -= ，即可求解.【详解】由()a a b ⊥+ ，可得()0a a b ⋅+= ，所以20+⋅= a a b ，即22cos03a ab π+= ，又由2b = ，可得20a a -=，解得0a = (舍)或1a = .故1.本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量垂直条件的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和向量垂直条件的运算方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．化简：(4010sin tan ︒︒-＝________.【正确答案】－1【详解】原式sin10sin 40 (cos10＝︒︒︒()sin402sin40 sin1 0 0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝(1sin1 0 0)2︒︒2sin40sin80cos 401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝＝－.故答案为1－本题的关键点有：先切化弦，再通分；利用辅助角公式化简；同角互化.16．如图，直角三角形PQR的三个顶点分别在等边三角形ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且PQ =，2QR =，2PQR π∠=，则AB 长度的最大值为_________【正确答案】3【分析】选取角度作为变量，运用正弦定理将线段表示为角度的函数，进而运用三角函数的知识求解最值可得出结果.【详解】正三角形ABC 中，,60AB BC B C =∠=∠=︒，设QRC θ∠=，则根据题意有：180120RQC C QRC θ∠=︒-∠-∠=︒-，9030BQP RQC θ∠=︒-∠=-︒BPQ 中，180150BPQ B BQP θ∠=︒-∠-∠=︒-BQP中，根据正弦定理得：()150·sin sin sin sin sin 60BQ PQ PQ BPQBQ BPQ B B θ︒-∠=∴==∠∠∠︒RQC 中，根据正弦定理得：·sin 2sin sin sin sin sin 60CQ RQ RQ QRC CQ QRC C C θ∠=∴==∠∠∠︒()1502sin sin 60sin 60AB BC BQ QC θθ︒-∴==+=+︒︒化简计算得：()3AB θϕ=+（tan ϕ=当()sin 1θϕ+=时，AB 有最大值故答案为.3四、解答题17．已知向量()1,2a =-，()3,1b =-，求：(1)求向量a b +与a b - ；(2)求向量a 与b的夹角.【正确答案】(1)()2,1a b +=-- ，()4,3a b -=- (2)135【分析】（1）利用向量的坐标运算可得答案；（2）利用向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）()2,1a b +=-- ，()4,3a b -=- .（2）a =，a = ，325a b ⋅=--=-，cos 2a b a bθ⋅===- ，∴135θ= .18．已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【正确答案】(1)π，π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)最大值为2，最小值为1-.【分析】（1）将简函数为π()2sin(2)6f x x =+，再利用三角函数sin y x =的图像与性质即可求出结果；（2）通过x 的范围，求出π26x +的范围，再利用三角函数sin y x =的图像与性质即可求出结果；【详解】（1）因为22π()cos cos sin cos22sin(2)6f x x x x x x x x =+-=+=+，所以函数()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω===，由ππ63π2π22π,Z 22k x k k +≤+≤+∈得到π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈.所以函数()f x 的单调减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）因为π()2sin(2)6f x x =+，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据函数sin y x =的图像与性质知，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最大值为2，最小值为1-.19．在①222cos sin sin 1sin sin A B C B C ++=+；②2cos cos cos c A a B b A =+；③sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．(1)求角A ；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，()c b c <，若已知a =ABC S = ,b c 的值．【正确答案】(1)3A π=(2)2b =，6c =【分析】（1）若选①，首先转化221cos sin A A -=，再利用正弦定理边角互化，结合余弦定理求角A ；若选②，首先将边化为角，再结合三角函数恒等变形，化简后求角A ；若选③，首先将边化为角，再利用两角差的余弦公式展开，结合辅助角公式，化简求角A ；（2）首先根据面积公式求bc ，再结合余弦定理求b c +，即可求解,b c 的值.【详解】（1）若选①：由已知得：222sin sin 1cos sin sin B C A B C+=-+222sin sin sin sin sin B C A B C +=+由正弦定理可得222b c a bc +=+，可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=．若选②：因为2cos cos cos c A a B b A=+由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，所以()2sin cos sin sin C A A B C=+=因为0C π<<，所以sin 0C >，所以1cos 2A =，因为0A π<<，所以3A π=若选③：因为sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦定理得sin sin sin cos 6A C C A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为0C π<<，所以sin 0C >，故可得1sin cos sin 62A A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，即1sin 2A A ,所以tan A =0A π<<，所以3A π=；（2）由（1）可得3A π=，1sin 24ABC S bc A bc ===△12bc =，由余弦定理得：()22222cos 328a b c bc A b c bc =+-=+-=，所以8+=b c ，又因为b c <，解得2b =，6c =．20．已知sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，.(1)求tan α的值;(2)若()sin 10αβ-=，且π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求角β.【正确答案】(1)tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出sin ,cos αα，()cos αβ-，再根据()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】（1）解：因为sin cos 3sin cos αααα+=-，所以tan 13tan 1αα+=-，解得tan 2α=；（2）解：因为tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，解得sin αα==，又π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因()sin 10αβ-=，所以()cos 10αβ-==，则()sin sin 5105102βααβ=--=⨯-=⎡⎤⎣⎦，所以4πβ=.21．如图，一块铁皮的形状为半圆和长方形组成，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.(1)设30MOD ∠=︒，求三角形铁皮PMN 的面积；(2)求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值.【正确答案】(1)348=+ PMN S【分析】（1）设MN 交AD 交于E 点由30MOD ∠=︒，利用锐角三角函数可求ME ，OE ，进而可求MN ，BN ，代入12PMN S MN BN =⋅ 可求（2）设MOQ θ∠=，由[0θ∈，]2π，结合锐角三角函数的定义可求sin MQ θ=，cos OQ θ=，代入三角形的面积公式1(1sin )(1cos )122PMN MN B S N θθ∆=++⋅=展开利用换元法，令sin cos 4x πθθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，转化为二次函数的最值求解.【详解】（1）解：设MN AD E ⋂=，则cos OE OM MOD =∠=1sin 2ME OM MOD =∠=则1BN AE AO OE ==+=+32MN ME AB =+=，故1324PMN S MN BN =⋅= （2）设MOD θ∠=，[)0,θπ∈，MN AD E ⋂=，则sin 1MN θ=+，cos 1BN AE θ==+1sin cos sin cos 122PMN S MN BN θθθθ+++=⋅= ，令sin cos 4x πθθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，则21sin cos 2x θθ-=，[)0,θπ∈，5,444πππθ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，则sin ,142πθ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以(x ∈-()2212130,444PMN x x x S ⎛++++==∈ ⎝⎦△，即三角形PMN 面积的最大值为34+.22．如图，设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知c ＝1且2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，cos ∠BAD =(1)求b 边的长度；(2)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且AEF △的面积为ABC 面积的一半，求AG EF ⋅ 的最小值.【正确答案】(1)4(2)2【分析】（1）根据2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，利用正弦定理和余弦定理化简求解；（2）设,AE x AF y == 利用D 为中点，得到2AB AC AD += ，两边平方，设,AB AC θ=uu u r uuu r，结合cos 7AB AD BAD AB AD⋅=∠=⋅ ，求得θ，进而得到ABC S ，再根据AEF △的面积为ABC 面积的一半，得到2xy =，然后利用E ，G ，F 共线和基本定理，利用数量积运算求解.【详解】（1）解：因为2c sin A cos B ＝a sin A ﹣b sin B 14+b sin C ，所以，所以222221224a cb ac a b bc ac +-⨯=-+，化简得：4c ＝b ，又c ＝1，所以b ＝4．（2）设,AE x AF y == ，因为D 为中点，所以2AB AC AD += ，设,AB AC θ=uu u r uuu r ，则θθ++⋅⋅+== 2222cos 178cos 44AB AC AB AC AD ，所以= 2AD ，而()114cos 22AB AD AB AB AC θ+⋅=⋅+= ，⋅=∠==⋅ cos AB AD BAD AB AD 即228cos 8cos 110θθ+-=，解得1cos 2θ=或11cos 14θ=-，因为14cos 0θ+>，所以1cos 2θ=，sin 2θ=，所以1sin 2ABC S bc θ== 因为AEF △的面积为ABC 面积的一半，所以1sin 22AEF S xy θ== ，即2xy =，设AG AD λ= ，则22AG AD AB AC λλλ==+ ，又E ，G ，F 共线，设()1AG AD AF μμ=+-，则()()114y AG AE AF x AB AC μμμμ-=+-=+ ，所以：()2142x y λμμλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：4y x y μ=+，所以：2244AG AB AC x y x y =+++ ，又4y EF AC xAB =- ，所以22444y AG EF AB AC AC xAB x y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ,222964444y y y x AC xAB x AC AB x y x y ⎡⎤-⎛⎫=-+-⋅= ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦，又xy ＝2，化简得：22296186321442242y x x AG EF x y x x --⋅===-++++ ，又y ≤4，所以112x ≥≥，所以2AG EF ⋅≥ ，当x ＝1时等号成立．。

2022-2023学年安徽省合肥市高一下学期期中检测数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}14A x x =-≤≤(){}2ln 4B x y x==-A B ⋃=A ．B ．[)1,2-[]1,4-C ．D ．(]2,4-(][),12,-∞-⋃+∞【答案】C【分析】先化简集合B ，再去求即可解决.A B ⋃【详解】因为,(){}{}2ln 422B x y x x x ==-=-<<则，{}{}{}142224A B x x x x x x ⋃==-≤≤⋃-<<=-<≤故选：C2．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【分析】根据圆锥的结构特征即可判断A 选项；根据棱台的定义即可判断选项B;结合圆柱、圆锥、圆台的旋转特征，举出反例即可判断选项C ；由棱柱的定义即可判断选项D.【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．【点睛】解决空间几何体结构特征问题的3个策略(1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力．(2)构建几何模型、变换模型中的线面关系．(3)通过反例对结构特征进行辨析．3．在边长为2的正方形ABCD 中，（ ）()AB AD CD -⋅=A ．-4B ．-2C ．2D ．4【答案】A【分析】作出图形，利用向量的三角形法则与数量积运算即可求得结果.【详解】根据题意，如图可知，，2DC = =45BDC ∠=︒．()AB AD CD DB CD DB DC -⋅=⋅=-⋅cos 2cos 454DB DC BDC =-⋅∠=-︒=-故选：A ．【点睛】4．在中，，，．则ABC π3B =8AB =5BC =外接圆的面积为（ ）ABC A ．B ．C ．D ．49π316π47π315π【答案】A【分析】设外接圆的半径为，由余弦定理可得，再由正弦定理得可得答案.ABC R AC R 【详解】设外接圆的半径为，ABC R 由余弦定理可得，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⨯即，所以，216425285492=+-⨯⨯⨯=AC 7AC =由正弦定理得，所以2sin ===AC RB R =则外接圆的面积为.ABC 249ππ3=R 故选：A.5．刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC 的边长为r ，设，过P 点作平面OP h =PQRS 平行于平面OABC ．，由勾股定理有PQRS 面OS OQ r ==PS PQ ==积是．如果将图一的几何体放在棱长为r 的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等22r h -高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h ，不难发现2h 对于任何高度h ，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ）2h 注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等．A ．B ．C ．D ．383r 38π3r 3163r 316π3r 【答案】C【分析】计算出正方体的体积，四棱锥的体积，根据祖暅原理可得图一中几何体体积，从而得结论．【详解】棱锥，V 23111333Sh r r r ==⨯⨯=由祖暅原理图二中牟合方盖外部的体积等于棱锥V 313r =所以图1中几何体体积为，3331233V r r r =-=所以牟合方盖体积为．31683V r =故选：C ．6．已知函数，若函数在有且仅有两个零()()π12sin sin cos 2032f x x x x ωωωω⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭()f x []0,π点，则实数的取值范围是（ ）ωA ．B ．1117,66⎛⎫ ⎪⎝⎭1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．D ．1117,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】由三角恒等变换化简函数解析式为，由可计算出的()πsin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0πx ≤≤π26x ω+取值范围，再根据已知条件可得出关于的不等式，解之即可.ω【详解】因为()112sin sin cos 222f x x x x x ωωωω⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭211cos 21cos sin cos 22cos 2222x x x x x x x ωωωωωωω-=++-=++-，1π2cos 2sin 226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当时，，0πx ≤≤πππ22π666x ωω≤+≤+因为函数函数在有且仅有两个零点，则，解得.()f x []0,ππ2π2π3π6ω≤+<11171212ω≤<故选：D.7．已知O 为的外心，，则的值为（ ）ABC 3450++=OA OB OC cos ABC ∠A B C D 【答案】A【分析】设的外接圆的半径为R ，将平方后求出，找到ABC 3450++= OA OB OC 3cos 5AOC ∠=-，利用二倍角公式求出2AOC ABC =∠∠cos ABC∠【详解】设的外接圆的半径为R ，ABC ∵，3450++=OA OB OC ∴，且圆心在三角形内部，354OA OC OB +=-∴()()22354OA OCOB+=- ∴，()()()2229253016OA OCOA OC OB++⋅= ∴222292530cos 16R R R AOC R++∠=3cos 5AOC ∴∠=-根据圆心角等于同弧对应的圆周角的两倍得： 2AOC ABC =∠∠∴232cos 1cos 5ABC AOC ∠-=∠=-解得cos ABC ∠故选：A【点睛】方法点睛：（1)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算；（2）求向量夹角通常用，还要注意角的范围.cos ,||||a ba b a b ⋅=⨯8．若函数的定义域为，是偶函数，且．则下列说法正确的()f x R ()21f x +()()226f x f x -++=个数为（ ）①的一个周期为2；()f x ②；()223f =③的一条对称轴为；()f x 5x =④．()()()121957f f f +++= A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据给定条件，结合奇偶函数的定义，可得，，由(2)()f x f x -=(2)(2)0f x f x -+++=此推理计算即可判断各命题作答.【详解】对于①：是偶函数，设，得，()21f x +2t x =()()11f t f t +=-+因，所以，故，()()226f x f x -++=()()46f x f x +-=()()136f t f t ++-=故，即，故，()()136f t f t -++-=()()26f x f x ++=()()246f x f x +++=所以，所以的一个周期为4，故①错误.()()4f x f x =+()f x 对于②：由于，令，得.()()226f x f x -++=0x =()23f =.故②正确.()()()2245223f f f =⨯+==对于③：由知函数的一条对称轴为，因为的一个周期为4，所以也(2)()f x f x -=1x =()f x 5x =是函数的一条对称轴，故③正确.()f x 对于④：因，得，即.()23f =(2)()f x f x -=()03f =()43f =因，所以，()()226f x f x -++=()()136f f +=，故④正确()()()()()()()()()12195123420512457f f f f f f f f f +++=+++-=⨯-=⎡⎤⎣⎦ 故选：C.二、多选题9．设向量，，则（ ）(2,0)a = (1,1)b = A ．B ．与的夹角是=a ba b 4πC ．D ．与同向的单位向量是()a b b-⊥ b 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】由条件算出，，即可判断A ，算出的值可判断B ，算出的值可判断abcos ,a b()a b b -⋅C ，与同向的单位向量是，可判断D.b 【详解】因为，，(2,0)a = (1,1)b =所以A 错误2a =因为，所以与的夹角是，故B 正确cos ,a b a b a b ⋅===⋅a b4π因为，所以，故C正确()()()1,11,1110a b b -⋅=-⋅=-=()a b b -⊥ 与同向的单位向量是，故D 错误b故选：BC10．已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）z =z z A ．B ．z ||1z =C ．为纯虚数D ．在复平面上对应的点在第四象限．3z z 【答案】BD【分析】先利用复数的除法得到，再利用复数的虚部概念判定选项A错误，利用模长12z =公式判定选项B 正确，利用复数的乘方运算得到，再利用复数的分类判定选项C 错误，利用共3z 轭复数的概念、复数的几何意义判定选项D 正确.【详解】因为，12z ====则A 错误；z，即选项B 正确；||1z ==因为，所以12z =3323119(i 288z ==+，即为实数，19188=-=-3z 即选项C 错误；因为，所以，12z =12z =则在复平面上对应的点 在第四象限，z 1(,2即选项D 正确.故选：BD.11．已知函数，下列说法正确的是（ ）()()sin cos sin cos f x x x x x=+⋅-A ．的最正周期为()f x 2πB ．若，则()()122f x f x +=()12πZ 2k x x k +=∈C ．在区间上是增函数()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．的对称轴是()y f x =()ππZ 4x k k =+∈【答案】ABD【分析】把函数化成分段函数，作出函数图象，根据图象判断AC ，由余弦函数的性质判断()f xC ，再结合图象利用函数对称性的性质判断D.【详解】依题意，，函数部分图象如图，3ππcos 2,2π2π44()(Z)π5πcos 2,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-+<<+⎪⎪=∈⎨⎪-+≤≤+⎪⎩()fx 由图象知函数是周期函数，周期为，故A 正确；()f x 2π因且，则当时，且，()11f x ≤()21f x ≤()()122f x f x +=1|cos 2|1x =2|cos 2|1x =则且，，因此，，，B 正确；11π2k x =22π2k x =12,Z k k ∈1212()ππ22k k k x x ++==12Z k k k +=∈观察图象知，在区间上不单调，所以在区间上不是增函数，故C 不正确；()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦观察图象知，，是函数图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，π4x =3π4x =-()y f x =事实上，即图象关于ππππ()[sin()cos()]|sin()cos()|()22222f x x x x x f x π-=-+-⋅---=()y f x =对称，π4x =同理有图象关于对称，而函数的周期是，所以函数图象对称轴()y f x =3π4x =-()f x 2π()y f x =，D 正确.ππ,Z4x k k =+∈故选：ABD 12．在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ）ABC 3B π=B BD ACD 2BD =A ．若，则B ．若，则的外接圆半径是BD BC =ABC BD BC =ABC C ．若，则D ．BD BC =AD DCAB BC +【答案】ACD【分析】A 、B 、C 选项由已知结合正弦定理和差角公式及同角的基本关系进行变形即可判断，D 选项用角表示出结合三角恒等变换以及均值不等式即可判断.θAB BC +【详解】因为，角的平分线交于，所以，，所3B π=B BD ACD 6ABD CBD π∠=∠=2BD BC ==以，，56212C BDC πππ-∠=∠==51234A ∠=--=ππππ由正弦定理得，sin sinBC ABA C ==所以，5sin cos cos sin 112646464AB ⎛⎫⎫==+=+= ⎪⎪⎝⎭⎭πππππππ所以A 正确；)11sin 1222ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯+⨯= 因为，所以，设的外接圆半径是，由正弦定理，，所以BD BC =4A π=ABCR 2sin BCR A ==B 错误；R =因为，由正弦定理，因为和互补，所BD BC =,sin sin sinsin 66ADAB CD BCADB BDC==∠∠ππADB∠BDC ∠以，所以C 正确；si n si n ADB BDC ∠=∠AD AB DC BC ==设，则，A θ∠=2,36C BDC ∠=-∠=+ππθθ因为，,sin sin sinsin BD AB BD BCA ADBC BDC ==∠∠所以2sin 2sin 662sin sin 3AB BC ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+=⎛⎫- ⎪⎝⎭ππθθπθθ若，则，90θ=AB BC +==若，则()()0,9090,180∈ θ，，1tanAB BC +=θ1tan =tθ()0,t ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭)1AB BC t t +===+时，≥)1+=t =t =则或或（舍去），tan θ=tan θ=3πθ=56πθ=综上：当为等边三角形时，D 正确.ABC AB BC +故选：ACD.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.三、填空题13．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则______.ABC A B C a b c sin cos c A C C =【答案】/3π60︒【分析】根据正弦定理，结合同角三角函数的关系求解即可【详解】由正弦定理可得，，又，故，又显然sin sin cos C A A C =sin 0A ≠sin C C =，故，故cos 0C ≠tan C =()0,C π∈3C π=故答案为：3π14．设为复数，若为实数（为虚数单位），则的最小值为___________.z (1i)z +i |2|z +【分析】设，根据为实数（为虚数单位），得到，再利用复数的模()i ,z a b a b R =+∈(1i)z +i =-b a 求解.【详解】解：设，()i ,z a b a b R =+∈则，()()(1i ,)i +=-++∈a z a b b b a R 因为为实数（为虚数单位），(1i)z +i 所以，即，0a b +==-b a所以|2|+z当时，1a =-min |2|+=z15．半径为的球的球面上有四点，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥4,,,A B C D ABC体积的最大值为________.D ABC -【答案】【分析】根据题意，设的中心为，三棱锥外接球的球心为，进而得当体积最ABC O 'D ABC -O 大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，再结合几何关系计算即可求解.D O 'O ABC 【详解】设的中心为，三棱锥外接球的球心为，ABC O 'D ABC -O 则当体积最大时，点，，在同一直线上，且垂直于底面，如图，D 'O OABC 因为为等边三角形且其面积为的边长，故，所以ABCABCx 2x =6x =，，故，'AO =4DO AO =='2OO===故三棱锥的高，所以6DO DO OO ''=+=163V =⨯=故答案为：16．已知平面向量，，满足，，，，则的最小值a b c 1a = 2b = 2aa b =⋅ 22c b c =⋅ 22c a c b -+- 为________.【答案】72【分析】令，，，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，与OA a = OB b = OC c = a的夹角为，由题意，计算C 的轨迹为以OD 为直径的圆，利用向b θπ3θ=量基底表示，将转化为，然后转()()222222+=+-- c b BCa AC c ()222243-+-=+ c b CE c a化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解最小值.()222+-- c a bc 【详解】令，，，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，OA a = OB b = OC c =与的夹角为，连接CA 、CB 、CD 、CO 、EF .a bθ由，，，得，，1a = 2b = 2a a b =⋅ 112cos θ=⨯⨯1cos 2θ=因为，所以，在[]0,πθ∈π3θ=OAB 又由，得，即，22c b c =⋅ 02⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭b c c ()0OC OC OD OC DC ⋅-=⋅= 所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆.因为()()222222+=+-- c b BC a AC c 2222112422EC AB EC AB CE AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，22211434343722CE EF ⎫⎛⎫=+≥-+≥+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭当且仅当点C 、E 、F 共线，且点C 在点E 、F 之间时，等号成立.所以的最小值为22c a c b-+-72故答案为：72【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.四、解答题17．已知向量，．1,2m ⎛= ⎝ (),cos sin x n x = (1)若∥，求的值；m ntan x (2)若且，求的值．13m n ⋅= π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos x 【答案】(1)【分析】（1）由两向量平行可得，即可得的值；1sin 2x x =tan x （2）由可得，进而可得求13m n ⋅=π1cos()33x +=πsin(3x +=ππcos cos[(]33x x =+-解即可.【详解】（1）解：因为∥，所以，m n 1sin 2x x= 即，sin x x =所以；tan x =（2）解：因为，13m n ⋅=即，所以，11cos 23x x =π1cos(33x +=又因为，所以，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π,336x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以πsin(3x +=所以ππππππcos cos[(]cos()cos sin()sin 333333x x x x =+-=+++=18．如图所示，现有一张边长为的正三角形纸片ABC ，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三10cm 个全等的四边形，，（剪去的四边形均有一组对角为直角），然后把三个矩11ADA F 11BD B E 11CE C F 形，，折起，构成一个以为底面的无盖正三棱柱．111A B D D111B C E E 111A C FF 111A B C(1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；(2)求所折成的正三棱柱的表面积为【答案】m(2)12 3cm【分析】（1）设出,表达出,利用正三棱柱的底面边长与高之比求出的长，即为该三棱1A D 11A B 1A D 柱的高；（2）设出,表达出,表达出所折成的正三棱柱的表面积，求出的长，进而求出该三棱柱1A D 11A B 1A D 的体积.【详解】（1）由题意及几何知识得，设, 则，.1A D x=AD=1110A B =-因为，1113A B A D ==所以x =∴.m（2）由题意，（1）及几何知识得，正三棱柱的表面积为设, 则，，1A D x=AD =1110A B=-∴表面积())221111331010S A D DDA B x =⋅=⋅--=解得：x =∴，，1A D =3AD ==11104A B =-=∴该三棱柱的体积为：22111412V A B A D =⋅==3cm 19．已知为三角形的一个内角，复数，且满足．θcos isin z θθ=+11z +=(1)求；21z z ++(2)设z ，，在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求的面积．2z -21z z ++ABC 【答案】(1)0【分析】（1）由求出，得出，再由复数的四则运算求；11z +=cos θz 21z z ++（2）求出复数对应复平面上点的坐标，计算三角形的边长，利用三角形面积公式求解.【详解】（1）且，1(cos 1)isin z θθ+=++ 11z +=，22(cos 1)sin 22cos 1θθθ∴++=+=且，1cos 2θ∴=-(0,π)θ∈1sin 2z θ∴==-，2131442z ∴=-=-.21111022z z ∴++=--=（2）复数，，，12z =-122(12z -=--=210z z ++=在复平面上对应的点分别为，1((0,0)2A B C -，，1CA ∴=2CB =AB =由余弦定理可得，2221431cos 2222CA CB AB ACB CA CB +-+-∠===⋅⨯且，(0,π)ACB ∠∈sin ACB ∴∠=.11sin 1222ABC S CA CB ACB ∴=⋅⋅∠=⨯⨯=△20．已知函数（，且）.()x xk f x a ka -=+Z k ∈0a >1a ≠(1)若，求的值；11()32f =1(2)f (2)若为定义在上的奇函数，且，是否存在实数，使得()k f x R 01a <<m 0对任意的恒成立，若存在，请写出实数的取值范围；若不()21(5)k k f mx mx f m --+->[1,3]x ∈m 存在，请说明理由.【答案】(1)47；(2)存在，.6(,)7-∞【分析】(1)，由此计算即可计算的值.3=1a a +1(2)f (2)由给定条件求出，再探求函数的单调性，然后脱去函数对应法则，分离参数并求出函数k ()k f x 最值作答.【详解】（1）依题意，，由，两边平方得，解1()xxf x a a -=+11(32f =3=129a a ++=得，17a a +=所以.22211(2)()247f a a a a -=+=+-=（2）因为定义在上的奇函数，则，，即，()k f x R R x ∀∈()()0k k f x f x -+=0x x x xa ka a ka --+++=则，而，解得，因此，，(01)()x x k a a -++=0x x a a -+>1k =-()1x x f x a a --=-因，则在上单调递减，在上单调递增，从而得在上单调递减，01a <<x a R xa -R ()1x xf x a a --=-R ()()()()()2211111150155f mx mx f m f mx mx f m f m -------+->⇔-->--=-，而，则，2215(1)6mx mx m x x m --<-⇔-+<⇔22131()024x x x -+=-+>261m x x <-+依题意，，成立，显然在上单调递增，在上单调[1,3]x ∀∈261m x x <-+21x x -+[1,3]261x x -+[1,3]递减，则当时，，于是得，3x =min 2166()7x x =-+67m <所以存在实数满足条件，的取值范围是.m m 6(,7-∞21．已知满足．ABC ()22sin sin 2sin sin sin C B A A C B -=-(1)试问：角是否可能为直角？请说明理由；B (2)若为锐角三角形，求的取值范围．ABC sin sin CA 【答案】(1)角不可能为直角，理由见解析B (2)15,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）使用反证法，假设角为直角，根据题目条件证明假设不成立，得到角不可能为直B B 角；（2）将的取值范围转化为的取值范围，通过为锐角三角形，列出关sin sin CA sin (0)sin C c t t A a ==>ABC 于的不等式，进而求得结果.t 【详解】（1）假设角为直角，则，B π2A C +=所以，sin cos ,sin cos A C C A ==因为，()22sin sin 2sin sin sin C B A A C B-=-所以，2cos cos 2sin cos 1A A A A =-所以，所以，1cos2sin21A A +=-πsin 24A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭显然，所以矛盾，故假设不成立，πsin 214A ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭所以角不可能为直角．B （2）因为，()22sin sin 2sin sin sin C B A A C B-=-所以，22sin sin cos 2sin cos sin 2sin sin sin C B A C B A A C B -=-由正弦定理，得，22cos 2cos 2bc A ac B ac b -=-由余弦定理化简，得，22322b ac a =+因为为锐角三角形，ABC 所以π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩222222222cos 00cos 00,cos 00A b c a B a c b C a b c ⎧⎧>+->⎪⎪⇒>⇒+->⎨⎨⎪⎪>+->⎩⎩令，则有，sin (0)sin C c t t A a ==>222321032103250t t t t t t ⎧+->⎪-+>⇒⎨⎪-++>⎩113R 513t t t t ⎧><-⎪⎪∈⎨⎪⎪-<<⎩或1533t ⇒<<所以的取值范围为．sin sin CA 15,33⎛⎫ ⎪⎝⎭22．如图所示的两边，，设是的重心，边上的高为，过的ABC 1BC =2AC =G ABC BC AH G 直线与，分别交于，，已知，；AB AC E F AE AB λ= AF AC μ=(1)求的值；11λμ+(2)若，，，求的值；1cos 4C =920AEFABCS S =△△λμ>()()EH AF HF EA+⋅+(3)若的最大值为，求边的长.BF CE ⋅ 518-AB 【答案】(1)3(2)321100-(3)2【分析】（1）利用重心的性质以及三点共线的充要条件即可求解（2）先解出与，λμ再利用解三角形的知识求出和，最后将化简即可求解（3）以和EF AH ()()EH AF HF EA+⋅+AB 为基底表示，引入参数，通过分类讨论求解ACBF CE ⋅ 1,22t λη⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1），1AE AB AB AEλλ=⇒= 1AF AC AC AB μμ=⇒= 如图所示，连接并延长交于点，则为中点AG BC D D BC 因为为重心G ABC 所以()22111113323333AG AD AB AC AB AC AE AFλμ⎡⎤==+=+=+⎢⎥⎣⎦ 因为，，起点相同，终点共线AG AEAF 所以，所以11133λμ+=113λμ+=（2）设角，，所对的边分别为，，，，A B C a b c ∴1a =2b =22212cos 1421244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=2c ∴=()11sin sin 22AEF S AE AF EAF AB AC EAF λμ=⨯⨯∠=⨯⨯∠△1sin 2ABC S AB AC BAC =⨯⨯∠△所以,920AEF ABCS S λμ∆==△由解之得113920λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3435λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩33362,24255AE AF ∴=⨯==⨯=在中ABC 2227cos 28b c a A bc +-==在，,AEF △222272cos 50EF AE AF AE AF A =+-⨯⨯=在，中Rt AHC sin AH AC C =⨯=EH AF AH AE AF AH EF+=-+=+HF EA AF AH AE EF AH+=--=- ==()()()()22EH AF HF EA EF AH EF AH EF AH∴+⋅+=+⋅-=- 2715504-321100-（3）()()()221cos BF CE AC AB AB AC bc A c b μλλμλμ⋅=-⋅-=+--==2231432c c λμλμ++⎛⎫+⋅-- ⎪⎝⎭22235321266c c c λμ⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭=222353211112663c c c λμλη⎛⎫⎛⎫+--=-++⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222532115121818c c c λμμλ⎡⎤--⎢⎥=+-+⎢⎥⎣⎦令， 1,22t λη⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦BF CE ∴⋅=()()2221511532121818c c t c t ⎡⎤+--+-⎢⎥⎣⎦①，3c ≤<1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得：()2max15218c BFCE⋅=+185=-42452924480c c -+=解得：2c =②若1c <2>==，()222max 15121253218182c cBF CE c ⎡⎤-⋅=+-+-⎢⎥⎣⎦ 219436c -518-解得：（舍去）2199c =综上可得：2c =。

北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。

首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 下列函数中，既是偶函数又是周期为函数为（ ）．A. B. C. D.2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）．A. B. C.D. 3. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于周角的，即弧度密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数．且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ）A.B.C.D.4. 已知点A （1，2），B （3，7），向量，则A. ，且与方向相同B. ，且与方向相同C. ，且与方向相反D. ，且与方向相反5. 关于函数，则下列结论中：①为该函数的一个周期；②该函数的图象关于直线对称；③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象：④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①③④的πsin y x=cos y x=tan2y x=cos2y x=α(),6P x 3sin 5α=x =4-4±8-8±160002π3606000=︒=003-123-1000-π6π4π3π2(,1),//a x AB a =-25x =AB a25x =-AB a25x =AB a 25x =-AB a π3cos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π-π3x =π63cos 2y x =ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数，，其图象如下图所示.为得到函数图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位8. 若P 是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是（ ）A.B.C. 1D. 29. 如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，圆M 为的外接圆，，，N 为边BC 的中点，则（ ）的a b a b()a ab ⊥+ 111()sin()f x A x ωϕ=+222()sin()g x A x ωϕ=+()g x ()f x 12π6π12π6π3ABC V AP xAB y AC =+xy 1412P O P 2rad /s 0P ()0y x x =-≥O e 012t ≤≤P y t s π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7π11π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC V 4AB =6AC =AN AM ⋅=A. 5B. 10C. 13D. 26第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共5小题，敏小题5分，共25分）11 _________.12. 已知是第四象限角，且，则______，______．13. 在正方形网格中的位置如图所示，则______，向量在向量上的投影的数量为______．14. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.15 已知函数，给出下列四个结论：①存在无数个零点；②在上有最大值；③若，则；④区间是的单调递减区间．其中所有正确结论的序号为__________．三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）16. 如图，在平行四边形ABCD 中，，．设，．..sin 330︒=α5tan 12α=-cos α=πcos()2α+=,a b ,a b 〈〉=a b ()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭1110x π=()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ()2sin πxf x x x=-()f x ()f x ()1,+∞()2023.7f a =()2022.7f a -=1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2AE AB = 13DF DE = AB a =AD b =（1）用，表示，；（2）用向量的方法证明：A ，F ，C 三点共线．17. 已知函数，其中，且的图象过点．（1）求的值；（2）求的单调减区间和对称中心的坐标；（3）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．18. 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点．（1）求的值；（2）若四边形是平行四边形，求点的坐标；（3）求的最小值．19. 在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知，若______，则唯一确定．（1）求的解析式；（2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．20. 设（为正整数），对任意的，，定义（1）当时，，，求；a b AC DE()sin(2)f x x ϕ=-π||2ϕ<()y f x =π(,0)12ϕ()f x 0m >()f x []0,m 12-m xOy ()()()3,3,5,1,2,1A B P M OP PA PB -APBQ Q MA MB ⋅x ∈R ()π6f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭()f x π()f x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()sin ,0,02πf x x ωϕωϕ=+>≤<,ωϕ()f x ()π216g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()210g x mg x --≤m (){}{}12,,,0,1,1,2,,n niS x x x x i n =⋯∈=⋯n ()12,,,nx x x α=⋅⋅⋅()12,,,n y y y β=⋅⋅⋅1122n nx y x y x y αβ⋅=++⋅⋅⋅+3n =()1,1,0α=()1,0,1β=αβ⋅（2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A 中元素个数的最大值；（3）集合，对于任意，，，均有，求A 中元素个数的最大值．3n =n A S ⊆αA β∈αβ⋅n A S ⊆αA β∈αβ≠0αβ⋅≠首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学 简要答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）【1题答案】【答案】D 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】A 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】C第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共5小题，敏小题5分，共25分）【11题答案】【答案】【12题答案】12【答案】 ①.②.【13题答案】【答案】①②.【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①②③三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）【16题答案】【答案】（1），；（2）略【17题答案】【答案】（1）； （2），； （3）.【18题答案】【答案】（1）（2）； （3）.【19题答案】【答案】（1） （2）【20题答案】【答案】（1）1 （2）4（3）.12135133π43π5A C a b =+2DE a b =- π6ϕ=π5π[π,π](Z)36k k k ++∈()ππ,0Z 122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭2π(0,3(6,3)2-()π()sin 32f x x +=8[,)3+∞12n -。

人大附中2023～2024学年度第二学期高一年级数学期中练习2024年4月23日制卷人：宁少华王鼎审卷人：吴中才说明：本试卷共六道大题，共7页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.在平行四边形ABCD 中，BA DA += （）A.CAB.ACC.BDD.DB【答案】A 【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则求解即得.【详解】在ABCD Y 中，,BA CD DA CB ==，所以BA DA CD CB CA +=+=.故选：A2.已知角α终边上一点(1,)P y ，若cos 5α=，则y 的值为（）A.B.2C.D.2±【答案】D 【解析】【分析】利用余弦函数的定义列式计算即得.【详解】由角α终边上一点(1,)P y ，得r =，因此5cos 5α==，解得2y =±，所以y 的值为2±.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（）A.tan y x= B.sin y x= C.cos y x= D.sin y x x=【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断排除AB ，再由单调性排除C 的可得．【详解】由三角函数性质知选项AB 中函数都是奇函数，C 中函数是偶函数，但它在π(0,)2上是减函数，也排除，只有D 可选，实际上，记()sin f x x x =，则()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，它是偶函数，又设12π02x x <<<，则120sin sin x x <<，因此1122sin sin x x x x <，即12()()f x f x <，()f x 在π(0,)2上是增函数，满足题意．故选：D ．4.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uuu r uur，则（）A .1322AP AB AC =-+uuu r uuur uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC =-uuu r uuu r uuu r D.2133AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r 【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+-1322AB AC =-+，故选：A.5.把函数()sin 2f x x =的图象按向量π(,1)6m =- 平移后，得到新函数的解析式为（）A.πsin(2)16y x =++B.πsin(2)16y x =-+C.πsin(2)13y x =++ D.πsin(213y x =-+【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，写出解析式即可.【详解】把函数()sin 2f x x =的图象按向量π(,1)6m =- 平移，即把函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，所以得到新函数的解析式为ππsin 2()1sin(2)163y x x =++=++.故选：C6.在人大附中π节活动的入场券中有如下图形，单位圆M 与x 轴相切于原点O ，该圆沿x 轴向右滚动，当小猫头鹰位于最上方时，其对应x 轴的位置正好是π，若在整个运动过程中当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时（此时记圆心为N ），此时小猫头鹰位于A 处，圆N 与x 轴相切于B ，则劣弧AB 所对应的扇形面积是（）A.1B.2C.π3D.π4【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得.【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M 、圆N 与x 轴分别相切于原点O 和B ，则2OB MN ==，依题意，圆M 沿x 轴向右无滑动地滚动，因此劣弧AB 长等于OB 长2，所以劣弧AB 所对应的扇形面积是11212⨯⨯=.故选：A7.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>≠，则“π2π,Z 2k k ϕ=+∈”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用正余弦函数性质，充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当π2π,Z 2k k ϕ=+∈时，π()si 2n()os π2c f x A x A x k ωω=+=+，()f x 为偶函数；反之，()f x 为偶函数，则π2π,Z 2k k ϕ=+∈或π2π,Z 2k k ϕ=-∈，所以“π2π,Z 2k k ϕ=+∈”是“()f x 为偶函数”的充分不必要条件.故选：A8.已知O 为坐标原点，P 是α终边上一点，其中4cos ,||45OP α==，非零向量a的方向与x 轴正方向相同，若,[0,5]||OQ a a λλ=∈ ，则OP OQ -取值范围是（）A.16,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.12,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.16,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.12,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】根据向量模的坐标表示写出模的表达式，然后由函数性质得结论．【详解】由已知1612(,55P 或1612(,)55-，1612(,)55OP = 或1612(,)55-，(1,0)(,0)OQ a a λλλ=== ，1612(,55OP OQ λ-=-±，OP OQ -= ，又05λ≤≤，所以165λ=时，OP OQ - 取最小值125，0λ=时，OP OQ - 取最大值4，故选：D ．9.函数sin 3sin 5()sin 35x xf x x =++图像可能是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象的对称性排除AC ，再结合函数值π()2f 大小排除B ，从而得正确结论．【详解】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项，但是sin(3π3)sin()sin 3sin 5sin (35π5)(π)sin(π)355x x f x x xx x x f ---=-++=+=+，因此()f x 的图象关于直线π2x =对称，可排除AC ，又3π5πsinsin ππ111322()sin 1122353515f =++=-+=<，排除B ，故选：D ．10.已知函数sin ()xf x x=，下列结论错误的是（）A.()f x 的图像有对称轴B.当(π,0)(0,π)x ∈-⋃时，cos ()1x f x <<C.sin ()xf x x=有最小值 D.方程()cos ln f x x x =-在(1,)π上无解【答案】D 【解析】【分析】选项A ，根据条件可得sin ()xf x x=为偶函数，即可判断选项A 的正误，选项B ，利用偶函数的性质，先判断π()0,x ∈时，cos ()1x f x <<成立，分π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭和π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭两种情况，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，利用三角函数的符号即可判断成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用三角函数的定义及弧长公式，即可判断成立；选项C ，利用sin y x =的周期性及sin ()x f x x=的奇偶性，当0x >，得到sin ()xf x x=存在最小值，则最小值只会在区间()π,2π内取到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可判断出选项C 的正误；选项D ，利用零点存在性原理，即可判断出选项D 的正误，从而得出结果.【详解】对于选项A ，易知sin ()xf x x=的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又sin()sin ()()x x f x f x x x--===-，所以sin ()xf x x =为偶函数，关于y 轴对称，所以选项A 结论正确，对于选项B ，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≤，又0sin 1x <≤，π12x ≥>，所以sin 0()1x f x x <=<，即当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos ()1x f x <<成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图，在单位圆中，设OP 是角x 的终边，过A 作x 轴的垂线交OP 于T ，过P 作x 轴的垂线交x 轴于H ，易知 AP x =，由三角函数的定义知，sin ,tan PH x AT x ==，由图易知OPA OAT POA S S S << 扇形，即111222PH x AT <<，得到 PH APAT <<，所以sin tan <<x x x ，即有sin cos 1xx x<<，。