安徽2015届高考数学(文科)二轮复习之高效课时检测试卷11Word版含答案

2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1、（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A、3+3iB、﹣1+3iC、3+iD、﹣1+i2、（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A、{1，2，5，6}B、{1}C、{2}D、{1，2，3，4}3、（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A、充分必要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件4、（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A、y=lnxB、y=x2+1C、y=sinxD、y=cosx5、（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A、﹣1B、﹣2C、﹣5D、16、（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A、x2﹣=1B、﹣y2=1C、x2﹣=1D、﹣y2=17、（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A、3B、4C、5D、68、（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A、﹣2或12B、2或﹣12C、﹣2或﹣12D、2或129、（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A、1+B、1+2C、2+D、210、（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A、a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B、a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C、a＜0，b＜0，c＜0，d＞0D、a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11、（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=、12、（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=、13、（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于、14、（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为、15、（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是、（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥、三、解答题16、已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x、（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值、17、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率、18、已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8、（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n、19、如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°、（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值、20、设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为、（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB、21、已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值、参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1、（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A、3+3iB、﹣1+3iC、3+iD、﹣1+i题目分析：直接利用复数的多项式乘法展开求解即可、试题解答解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i、故选：C、点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查、2、（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A、{1，2，5，6}B、{1}C、{2}D、{1，2，3，4}题目分析：进行补集、交集的运算即可、试题解答解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}、故选：B、点评：考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合、3、（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A、充分必要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件题目分析：判断必要条件与充分条件，推出结果即可、试题解答解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q 成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件、故选：C、点评：本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查、4、（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A、y=lnxB、y=x2+1C、y=sinxD、y=cosx题目分析：利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答、试题解答解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D、点评：本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系、5、（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A、﹣1B、﹣2C、﹣5D、1题目分析：首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值、试题解答解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A、点评：本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键、6、（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A、x2﹣=1B、﹣y2=1C、x2﹣=1D、﹣y2=1题目分析：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案、试题解答解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x、故选：A、点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题、7、（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A、3B、4C、5D、6题目分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4、试题解答解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4、故选：B、点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题、8、（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A、﹣2或12B、2或﹣12C、﹣2或﹣12D、2或12题目分析：化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值、试题解答解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12、故选：D、点评：本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题、9、（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A、1+B、1+2C、2+D、2题目分析：判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，运用面积求解即可、试题解答解：∵∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，故选：C、点评：本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力、10、（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A、a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B、a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C、a＜0，b＜0，c＜0，d＞0D、a＞0，b＞0，c＞0，d＜0题目分析：根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可、试题解答解：f（0）=d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，则f′（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，故选：A、点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键、二、填空题11、（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=﹣1、题目分析：根据指数幂和对数的运算法则计算即可、试题解答解：lg+2lg2﹣（）﹣1=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1、故答案为﹣1、点评：本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础、12、（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=2、题目分析：由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC、试题解答解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2、故答案为：2、点评：本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题、13、（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于27、题目分析：通过a n=a n﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论、试题解答解：∵a n=a n﹣1+（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=（n≥2），∴数列{a n}的公差d=，又a1=1，∴a n=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+•d=9+36×=27，故答案为：27、点评：本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题、14、（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为、题目分析：由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a、试题解答解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，由于y=x﹣a为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a 过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：、点评：本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数、15、（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是①④⑤、（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥、题目分析：利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择、试题解答解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确、故答案为：①④⑤、点评：本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系、三、解答题16、已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x、（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值、题目分析：（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由0≤x≤求出2x+的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值、试题解答解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+2，…（4分）所以f（x）的最小正周期为T=π；…（6分）（Ⅱ）由0≤x≤得，0≤2x≤π，所以≤2 x+≤；…（8分）根据正弦函数y=sinx的图象可知当时，f（x）有最大值为2+，…（11分）当时，f（x）有最小值为1、…（13分）点评：本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目、17、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率、题目分析：（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答、试题解答解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2、从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=、点评：本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率、18、已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8、（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n、题目分析：（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n、试题解答解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8、∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8、解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣、点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键、19、如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°、（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值、题目分析：（1）利用V P=•S△ABC•PA，求三棱锥P﹣ABC的体积；﹣ABC（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求的值、试题解答（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，==、可得S△ABC因为PA⊥平面ABC，PA=1，=•S△ABC•PA=；所以V P﹣ABC（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN、因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM、在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=、由MN∥PA得==、点评：本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题、20、设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为、（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB、题目分析：（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用•=0即得结论、试题解答（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），解得x=a，y=b，即M（a，b），又∵直线OM的斜率为，∴=，∴a=b，c==2b，∴椭圆E的离心率e==；（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴=（，），又∵=（﹣a，b），∴•=（﹣a，b）•（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（1）可知a2=5b2，故•=0，即MN⊥AB、点评：本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题、21、已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值、题目分析：（1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间；（2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点，计算即可、试题解答解：（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）、又∵f（x）==，∴f′（x）==，∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，∴x=r是f（x）的极大值点，∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100点评：本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题。

课时跟踪训练1．已知tan α＝－12，则sin 2α－2 cos 2α－1＝( )A ．－175B ．－174C ．－165D ．－2解析：sin 2α－2cos 2 α－1＝2sin αcos α－2 cos 2α－(sin 2 α＋cos 2 α)＝2sin αcos α－3 cos 2 α－sin 2 αsin 2 α＋cos 2 α＝2tan α－3－tan 2 α1＋tan 2 α＝－175.答案：A2．(2014年全国大纲卷)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：∵b ＝sin 35°，∴b ＞a ；∵b －c ＝cos 55°－sin 35°cos 35°＝cos 55°cos 35°－sin 35°cos 35°＝sin 35°cos 35°－sin 35°cos 35°＝sin 35°(cos 35°－1)cos 35°＜0，∴b ＜c ，∴c ＞b ＞a ，故选C. 答案：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2 B ＝( )A ．－12B.12 C ．－1D ．1解析：由a cos A ＝b sin B 得，sin A ·cos A ＝sin B ·sin B ，即sin A ·cos A ＝sin 2B ，∴sin A ·cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.答案：D4．(2014年昆明模拟)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案：B5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则角B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，即sin(B ＋A )＝sin C sin C ，因为sin(B ＋A )＝sin C ，所以sin C ＝1，C ＝90°.根据三角形面积公式和余弦定理得，S ＝12bc sinA ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，代入已知得12bc sin A ＝14·2bc cos A ，所以tan A ＝1，A ＝45°，因此B ＝45°.答案：C6．(2014年洛阳模拟)已知2sin α＋cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.34 B.43 C ．－34D ．－43解析：∵(2sin α＋cos α)2＝3sin 2 α＋2sin 2α＋1＝52，∴52－32cos 2α＋2sin 2α＝52，tan 2α＝34.答案：A7．(2014年江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：由c 2＝(a －b )2＋6可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6①.由余弦定理及C ＝π3可得a 2＋b 2－c 2＝ab ②.所以由①②得2ab －6＝ab ，即ab ＝6.所以S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.答案：C8．在△ABC 中，若a ＝2b ，面积记作S ，则下列结论中一定成立的是( ) A ．B ＞30° B ．A ＝2B C ．c ＜bD ．S ≤b 2解析：由三角形的面积公式知S ＝12ab sin C ＝122b ·b sin C ＝b 2sin C ，因为0＜sin C ≤1，所以b 2sin C ≤b 2，即S ≤b 2，故选D.答案：D9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c ＝( )A ．4 B.15 C ．3D.17解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ＝13，即cos C ＝－13，所以cos C ＝－13＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋22－c22×3×2，解得c ＝17.答案：D10．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝( )A.32B ．2－ 3 C.3－1D.22解析：在△ABC 中，由正弦定理可知，BC ＝AB ·sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100·sin 15°sin (45°－15°)＝50(6－2)m.在△BCD 中，sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠CBD CD ＝50(6－2)·sin 45°50＝3－1，所以cos θ＝sin ∠BDC＝3－1.答案：C11．已知角α，β，γ构成公差为π3的等差数列．若cos β＝－23，则cos α＋cos γ＝________.解析：由α，β，γ构成公差为π3的等差数列，可得α＝β－π3，γ＝β＋π3，cos α＋cos γ＝cos ⎝⎛⎭⎫β－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝2cos βcos π3＝－23. 答案：－2312．(2014年广东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________.解析：由已知及余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简得a ＝2b ，则ab ＝2.答案：213．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.解析：由于tan A ＝13，0°＜A ＜180°，∴sin A ＝110，根据正弦定理，得BC sin A ＝ABsin C ，∴AB ＝102. 答案：10214．(2014年沈阳模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos Acos B ＝－a b ＋2c，则角A 的大小为________．解析：依题意得(b ＋2c )cos A ＝－a cos B ，(sin B ＋2sin C )cos A ＝－sin A cos B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝－2sin C cos A ，sin(A ＋B )＝sin C ＝－2sin C cos A ，cos A ＝－12.又0＜A ＜π，因此A ＝2π3.答案：2π315．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝3 2.答案：3 2薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i2．（5分）（2015•安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁R B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4} 3．（5分）（2015•安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（5分）（2015•安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．x2﹣=1D．﹣y2=17．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3B．4C．5D．6 8．（5分）（2015•安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12 9．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11．（3分）（2015•安徽）lg+2lg2﹣（）﹣1=．12．（3分）（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．13．（3分）（2015•安徽）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．14．（3分）（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．15．（3分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．（2015•安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．（2015•安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（2015•安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．（2015•安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．（2015•安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．解答：解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）（2015•安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁R B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：进行补集、交集的运算即可．解答：解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．点评：考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．3．（5分）（2015•安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：判断必要条件与充分条件，推出结果即可．解答：解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．点评：本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx考点：函数的零点；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．解答：解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D点评：本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．5．（5分）（2015•安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．解答：解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．点评：本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．x2﹣=1D．﹣y2=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．解答：解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．7．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）（2015•安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12。

2015年高考文数真题试卷（安徽卷）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（2015·安徽）设i是虚数单位，则复数（1-i）（1+2i)=（）A. 3+3iB. -1+3iC. 3+iD. -1+i2.（2015·安徽）设全集，，，则=（）A. {1,2,5,6}B. {1}C. {2}D. {1,2,3,4,}3.（2015·安徽）设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.（2015·安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A. y=lnxB.C. y=sinxD. y=cosx5.（2015·安徽）已知x，y满足约束条件，则z=-2x+y的最大值是（）A. -1B. -2C. -5D. 16.（2015·安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.（2015·安徽）直线3x+4y=b与圆相切，则b=（）A. -2或12B. 2或-12C. -2或-12D. 2或128.（2015·安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A. B. C. D.9.（2015·安徽）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A. a>0，b<0，c>0，d>0B. a>0，b<0，c<0，d>0C. a<0，b<0，c<0，d>0D. a>0，b>0，c>0，d<0二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡相应的位置10.（2015安徽）________。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学安徽卷（文科）一、选择题.1. 设i 是虚数单位，则复数(1i)(12i)()-+=A. 3+3iB. -1+3iC. 3+iD. -1+i 【参考答案】 C【测量目标】 复数的四则运算.【试题解析】 因为(1-i)(1+2i)=1+2i-i-22i =3+i, 所以选C. 2. 设全集{1,2,3,4,5,6},={1,2},{2,3,4}U A B ==，则()()U A B = ð A. {1, 2, 5, 6} B. {1} C. {2} D. {1, 2, 3, 4}【参考答案】 B【测量目标】 集合的运算.【试题解析】 因为U B ð={1, 5, 6}, 所以()U A B ð={1}. 故选B. 3. 设p ：x <3, q ： -1<x <3, 则p 是q 成立的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【参考答案】 C【测量目标】 充要条件的判断.【试题解析】 因为p ： x <3, q ： -1<x <3, 所以,q p ⇒但是p 不能推出q ， 所以p 是q 成立的必要不充分条件，故选C. 4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A. y =㏑xB. 2y x =+1 C. y =sin x D. y =cos x【参考答案】 D【测量目标】 函数的奇偶性；零点.【试题解析】 对选项A ： y =㏑x 的定义域为（0，+∞），不具有奇偶性，排除A; 对选项B ：2y x =+1是偶函数，但2y x =+1=0无解，即不存在零点，排除B; 对选项C ：y =sin x 是奇函数，排除C; 对选项D ：y =cos x =0,2x k k π⇒=+π∈Z ， 所以D 正确.5. 已知,x y 满足约束条件0401x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，则2z x y =-+的最大值是（ ）A.-1B.-2C.-5D. 1 【参考答案】 A【测量目标】 简单的线性规划.【试题解析】 根据题意作出约束条件确定的可行域，第5题图由22z x y y x z =-+⇒=+，可知在图中点（1,1）处，2z x y =-+取到最大值-1，故选A.6. 下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）A. 2214y x -= B. 2214x y -= C. 2212y x -= D. 2212x y -= 【参考答案】 A【测量目标】 渐近线方程.【试题解析】 由双曲线的渐近线的公式知道选项A 的渐近线方程为2y x =±，故选A. 7. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6第7题图【参考答案】 B【测量目标】 程序框图.【试题解析】 执行第一次循环体：3,22a n ==,此时 1.414 1.5 1.4140.086a -=-=； 执行第二次循环体：7,35a n ==,此时 1.414 1.4 1.4140.0140.005a -=-=≥； 执行第三次循环体：17,412a n ==,此时 1.4140.005a -<，不满足判断条件，输出 4n =, 故选B.8. 直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12【参考答案】 D【测量目标】 直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式.【试题解析】 把圆的方程化为标准形式：22(1)(1)1x y -+-=，则圆心（1,1），半径为1，又直线与圆相切，所以223+4=1=2123+4b b -⇒或. 故选D.9. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） A. 13+ B. 122+ C. 23+ D. 22第9题图【参考答案】 C【测量目标】 几何体的三视图；锥体的表面积.【试题解析】 由给出的三视图可知该几何体的直观图如下所示.第9题图其中侧面P AC ⊥底面ABC ,且PAC ABC △≌△, 由三视图中所给数据可知：P A=PC=AB=BC =2, 取AC 中点O ,连接PO, BO , 则Rt POB △中，PO=BO =1⇒PB =2, 所以面积S 可计算为1612222123222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选C.10. 函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）第10题图A. 0,0,0,0a b c d ><>>B. 0,0,0,0a b c d ><<>C. 0,0,0,0a b c d <<<>D. 0,0,0,0a b c d >>>< 【参考答案】 A【测量目标】 函数的图形与性质.【试题解析】 由函数()f x 的图象可知0a >，令'200.()3+2x d f x ax bx c =⇒>=+，可知12,x x 是'()0f x =的两个根，由图可知120,0x x >>. 所以由韦达定理得12122003003b x x b ac c x x a ⎧+=->⎪<⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪=>⎪⎩， 故选A.二、填空题.11. lg52+2lg2-11()2-=________ . 【参考答案】-1【测量目标】 指数幂运算；对数运算.【试题解析】 原式=lg5-lg2+2lg2-2=lg5+lg2-2=-1 . 12. 在ABC △中，AB =6, 75,45A B ∠=∠= , 则AC =________ .【参考答案】 2【测量目标】 正弦定理. 【试题解析】 由正弦定理可知：6sin[180(7545)]sin 45sin 60sin 45AB AC AC=⇒=-+,所以2AC =.13. 已知数列{n a }中，1111,(2)2n n a a a n -==+≥，则数列{n a }的前9项和等于_____.【参考答案】 27【测量目标】 等差数列的定义与前n 项和. 【试题解析】 由11(2)2n n a a n --=≥知道数列{n a }是以1为首项，12为公差的等差数列.则其通项公式为12n n a +=，所以前9项和9919[1]2272S ++==. 14. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为________. 【参考答案】 12-【测量目标】 函数与方程；函数的图象.【试题解析】 在同一坐标系内，作出所给直线与函数的大致图象如图，则1212a a =-⇒=-.第14题图15. ABC △是边长为2的等边三角形，已知向量、a b 满足22AB AC ==+，a a b , 则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)① a 为单位向量； ② b 为单位向量； ③ ⊥a b ； ④ BC ∥b ； ⑤ (4)BC +⊥a b .【参考答案】 ①④⑤【测量目标】 平面向量的基本概念和性质.【试题解析】 由题意可知：等边三角形ABC 的边长为2，2AB = a ，则22AB ==a ，所以a =1， 故①正确；+2,AC AB BC BC BC ==∴=a +b 2⇒=b , 故②错误，④正确；=2AB BC =∴ ，，与a b a b的夹角为120，故③错误； 1(4)(4)412()+4=02BC +⋅=+⋅=⨯⨯⨯- a b a b b ，(4)BC ∴+⊥ a b , 故⑤正确.三、解答题.16. 已知函数2()(sin cos )+cos2f x x x x =+ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,2π]上的最大值和最小值.【参考答案】 （1）π； （2）最大值为21+，最小值为0. 【测量目标】 (1)三角函数的性质; (2)三角函数在区间上的最值. 【试题解析】（1）化简可得()2sin(2)14f x x π=++,则()f x 最小正周期22T π==π；（2）52[0,],2[,],sin(2)[,1]244442x x x πππππ∈∴+∈∴+∈- ， 故()2sin(2)14f x x π=++的最大值为21+，最小值为0.17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问了50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 [40,50], [50,60], [60,70], … ,[80,90],[90,100].第17题图（1）求频率分布图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40, 60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40, 50]的概率. 【测量目标】 (1)频率分布直方图； (2)古典概型;(3)随机事件的概率.【试题解析】 （1）由频率分布直方图可知：（0.004+a +0.018+0.022×2+0.028）×10=1,解得0.006a =.（2）由分布直方图可知，评分不低于80的人数为（0.022+0.018）×10×50=20(人)， 所以评分不低于80分的概率为25. （3）在[40, 50]、[50,60]内的人数分别为：0.004×10×50=2，0.006×10×50=3，故在[40,60]内的受访职工中随机抽取2人，此2人评分均在[40,50]之间的概率为：2225C 1C 10P ==. 18. 已知数列{n a }是递增的等比数列，且14239,8a a a a +==.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设n S 为数列{n a }的前n 项和，1+1n n n n a b S S +=，求数列{n b }的前n 项和n T .【测量目标】(1)等比数列的通项公式；(2)裂项相消法求和. 【试题解析】 （1）{n a }是递增的等比数列，且14239,8a a a a +==，14134144114918288a a a a a a q q a a a a +=⎧=⎧⎪<⇒⇒==⇒=⎨⎨=⎩⎪=⎩ ， 1112n n n a a q --∴==. （2）由（1）可知1(1)1221112n nn n a q S q --===---，11211(21)(21)2121n n n n n n b ++∴==-----， +1111111113377152121n n n T ∴=-+-+-++--- =11121n +-=-112221n n ++--.19. 如图三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC , P A =1，AB =1，AC =2，60BAC ∠=. （1）求三棱锥P -ABC 的体积；（2）证明：在线段PC 上存在点M , 使得AC ⊥BM , 并求PMMC的值.第19题图【测量目标】(1)三棱锥的体积公式； (2)线面垂直的判定定理和性质.【试题解析】 （1）在ABC △中， AB =1， AC =2， 60BAC ∠=, 113s i n 12s i n 60222ABC S AB AC BAC ∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= △. 又因为P A ⊥面ABC ， -113313326P A B C A B C V P A S ∴=⋅=⨯⨯=△. （2）过点B 作BN 垂直AC 于点N , 过N 作NM P A 交PC 于M , 则有第19题图=M N A B C M N A C A C B M NM N B NN A C A B C B M B M N⊥⊥⊥⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨⊂⊂⎩⎩⎩ 面面面面 AC BM ⇒⊥. 此时M 即为所要找的点，在ABN △中，131====243CM CN PM AN PC AC MC ⇒⇒. 20. 设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（,0a ），点B 的坐标为(0, b ),点M 在线段AB 上,满足2BM MA =,直线OM 的斜率为510. （1）求E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为(0,)b -，N 为线段AC 的中点，证明：MN AB ⊥. 【测量目标】 (1)椭圆的离心率；(2)直线与椭圆的位置关系.【试题解析】 （1）212,(,0),(0,),(,)33BM MA A a B b M a b =∴ ，又OM 的斜率为510，222222215114253=21055553bb ac c e a a a a -∴=⇒=⇒=⇒=⇒. （2）由题意可知N 点的坐标为（,22a b -），11553262326MN b b b b K a a a a +∴===-， 225,1.A B M N A B bb K K K MN AB aa =∴⋅=-=-∴⊥-， 21. 已知函数2()(0,0)()ax f x a r x r =>>+（1）求()f x 的定义域，并讨论()f x 的单调性； （2）若400ar=，求()f x 在(0,)+∞内的极值.【测量目标】 (1)导数在函数单调性中的应用； (2)函数的极值.【试题解析】(1)由题意可知x r ≠-，所以函数的定义域为,)(,)r r --+ (-∞∞. 222'44()2()()()()()a x r ax x r a x r f x x r x r +-+--==++, 0,0,a r >> 令'()0(,)()f x x r r f x >⇒∈-∴的单调递增区间为(,)r r -；令'()0(,)f x x r <⇒∈--∞和(,)r +∞，()f x ∴的单调递减区间为(,)r --∞和(,)r +∞. （2）由（1）可知()f x 在(0,)+∞内的极大值为2()10044ar af r r r===. 且()f x 在(0,)+∞内无极小值.。

word 文档可编写——2015 年一般高等学校招生全国一致考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求．（ 1）【 2015 年安徽，文1】设i是虚数单位，则复数 1 i 1 2i （）（ A）3 3i（ B） 1 3i（ C）3 i（ D） 1 i【答案】 C【分析】 1 i 1 2i 1 2i i2i 2 3 i ，应选 C．（ 2）【 2015 年安徽，文（A）1,2,5,6【答案】 B【分析】U B1,5,6（3）【 2015 年安徽，文（A）充足必需条件【答案】 C2】设全集 U 1,2,3,4,5,6， A1,2 ，B2,3,4 ，则 A R B（）（B） 1（C） 2（ D） 1,2,3,4，A R B1，应选 B．3】设 p : x 3， q : 1 x 3 ，则p是q建立的（）（ B）充足不用要条件（ C）必需不充足条件（D ）既不充足也不用要条件【分析】 p : x 3 ， q : 1 x 3 ，q p ，但 p q ，则 p 是 q建立的必需不充足条件，应选C．（ 4）【 2015 年安徽，文4】以下函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（ A） y ln x（B ） y x21（ C） y sin x（ D）y cosx【答案】 D【分析】选项 A ：y ln x 的定义域为 0,，故 y ln x 不具备奇偶性，故 A 错误；选项 B： y x2 1 是偶函数，但 y x2 1 0 无解，即不存在零点，故 B 错误；选项C：y sin x 是奇函数，故 C 错；选项 D：y cosx 是偶函数，且 y cosx0x k,k z，应选D．2x y0（ 5）【 2015 年安徽，文5】已知 x ，y知足拘束条件x y40，则 z 2 x yy1的最大值是（）（A）-1（B）-2（C）-5（D）1【答案】 A【分析】依据题意作出拘束条件确立的可行域，以以下图：令z 2 x y y 2 x z，可知在图中 A1,1 处， z2x y 取到最大值 -1，应选 A ．（ 6）【 2015 年安徽，文6】以下双曲线中，渐近线方程为y 2 x 的是（）（ A） x2y21（B） x2y21（C）x2y21（D） x2y21【答案】 A4422【分析】由双曲线的渐进线的公式可行选项 A 的渐进线方程为y 2 x ，应选 A ．（ 7）【 2015 年安徽，文7】履行以下图的程序框图（算法流程图），输出的 n 为（）（A）3（B） 4（C） 5（D）6【答案】 B【分析】由题意，程序框图循环以下：① a 1，； n1②a1113， n 2 ；17， n 3117， n12③ a1；④ a14，此时，35712112517 0.003 0.005 ，所以输出 n4 ．应选 B ．1.41412（ 8）【 2015 年安徽，文 8】直线 3 x 4y b 与圆 x 2y 22x 2 y 1 0 相切，则 b （） （A ）-2 或 12（B ） 2 或-12（C ）-2 或-12（D ）2 或 12 【答案】 D【分析】直线 3 x 4 yb 与圆心为 1,1 ，半径为3 4 b2 或 12，故1 的圆相切，21 b23 4选 D ．（ 9）【 2015 年安徽，文 9】一个四周体的三视图以下图，则该四周体的表面积是（）（A ）1 3（B ）1 2 2（C ）2 3（D ）2 2【答案】 C【分析】由题意，该四周体的直观图以下，ABD ， ACD 时直角三角形，ABC ， ACD 是等边三角形，则 S BCD S ABD 122 1，S ABCSACD1 22 sin 603 2 2，所2以四周体的表面积S S BCDS ABD S ABC S ACD 2 1323 ，应选 C ．2ax 3bx 22（ 10）【 2015 年安徽，文 10】函数 fxcx d 的图像以下图，则以下结论建立的是（）（ A ） a 0 ， b 0 ， c 0 ， d 0 （ B ） a 0 ， b 0 ， c 0 ， d 0（ C ） a0 ， b 0 ， c 0 ， d 0（ D ） a 0 ， b 0 ， c 0 ， d 0【答案】 A【分析】由函数fx 的图像可知 a0 ，令 xd 0 ，又 fx 3ax 22bx c ，可知 x 1 ， x 2x 1 x 22b 0b 0是 fx0 的两根，由图可知3a ，应选 A ．x 1 0 ， x 2 0 ，cc 0x 1x 23a第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共5 小题，每题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡的相应地点．（ 11）【 2015 年安徽，文 11】 lg 5 2lg2 ( 1 ) 1 =． 【答案】 -1 2 2【分析】 lg 5 1 1 lg5 lg2 2lg22 lg5 lg2 2 1 21 ．2 2lg2 ( )2（ 12）【 2015 年安徽，文 12】在 ABC 中， AB6 ， A 75 ， B 45 ，则 AC．【答案】 2【分析】由正弦定理可知：ABAC 6 AC AC2 ．sin1807545sin 45sin 60 sin 45（ 13）【 2015 年安徽，文 13】已知数列 a n 中，a 1 1 ，a n a n 1 1 2) ，则数列a n 的前 9 项和等于．(n 【答案】 27 2【分析】 n2时， a na n 11，且 a 2 a 1 1 ， a n 是以 a 1 为首项， 1为公差的等差数列．2 2 2S 99 9 8 1918 27 ．122（ 14）【 2015 年安徽，文 14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线 y 2a 与函数 yxa 1 的图像只有一个交点，则 a 的值为．【答案】 12【分析】在同向来角坐株系内，作出 y2a 与 y x a 1 的大概图像，以以下图：由题意，可知2a1a 1 ．2（ 15）【 2015 年安徽，文15】ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a 、 b 知足 AB2a ， AC2a b ，则以下结论中正确的选项是．（写出全部正确结论得序号）① a 为单位向量；② b 为单位向量；③ a b ；④ b / / BC ；⑤ (4 a b)BC ．【答案】①④⑤【分析】∵等边三角形 ABC的边长为2， AB2a，AB 2 a2 a 1 ，故①正确；AC AB BC2a BC ，BC b b 2 ，故②错误，④正确；因为AB2a ， BC b a 与 b 夹角为 120 ，故③错误；又214a b BC4a b b4ab b412404a b BC ，故⑤正确．所以，正确的2编号是①④⑤．三、解答题：本大题共 6 题，共 75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定地区内．（ 16）【 2015 年安徽，文16】（本小题满分12 分）已知函数 f (x)(sin x cos x) 2cos2 x ．（Ⅰ）求 f x最小正周期；（Ⅱ）求 f x在区间 0,上的最大值和最小值．2解：（Ⅰ）化简可得 f ( x) 2 sin 2 x 1 ，即可求出 f x 的最小正周期 T2．24x0,时， 2x,5sin 2 x2xmax1 2 ， fxmin0 ．（Ⅱ）44，,1 ， f2442（ 17）【2015 年安徽，文17】（本小题满分12 分）某公司为认识部下某部门对本公司员工的服务状况，随机接见50 名员工，依据这50 名员工对该部门的评分，绘制频次散布直方图（以下图），此中样本数据分组区间为40,50，50,60，， 80,90， 90,100 ．（Ⅰ）求频次散布图中 a 的值；（Ⅱ）预计该公司的员工对该部门评分不低于80 的概率；（Ⅲ）从评分在40,60的受访员工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在40,50的概率．解：（Ⅰ）因为0.004a0.0180.02220.02810 1 ，所以a0.006．（Ⅱ）由所给出频次散布直方图知，50名受访员工评分不低于80 的频次为0.0220.018100.4 ，所以该公司员工对该部门评分不低于80的概率的预计值为0.4．（Ⅲ）受访员工中评分在50,60的有： 500.006 10 3 (人)，记为 A1 , A2 , A3；受访员工中评分在40,50的有： 500.004102(人 )，记为B1,B2．从这 5名受访员工中随机抽取2人，全部可能的结果共有10种，它们是A1, A2，A1, A3， A1,B1， A1,B2， A2, A3， A2 ,B1，A2 ,B2， A3, B1， A3,B2，B1 , B2，又因为所抽取 2 人的评分都在40,50的结果又 1 种，即B1, B2，故所求的概率为p 1 ．10（ 18）【 2015 年安徽，文18】（本小题满分12 分）已知数列a n是递加的等比数列，且a1 a49 ， a2a38 ．（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设 S n为数列a n的前 n 项和， b n a n 1，求数列b n的前 n 项和T n．S n S n 1解：（Ⅰ）由题设知： a 1 a 4 a 2 a 3 8 ，又 a 1 a 4a 1 1 a 1 89 ，可解得 或a 4（舍去）．a 481由 a 4 a 1q 3 得公比 q2 ，故 a n a 1q n 12n 1 ．a 1 1 qn1 2nnb n2n（Ⅱ） S nq1 221 ，2n1 2n 1 11T n 11 1 11 1 2n 1 1 1 1 3 3 7 7 15 1 2n 1 1 2n 1 （ 19）【 2015 年安徽，文 19】（本小题满分 13 分）如图，三棱锥 P PA 1， AB 1， AC2 ， BAC 60 ．（Ⅰ）求三棱锥 P ABC 的体积；1 1， 2n 12n 112n 1 2 ．1 2n 1 1ABC 中， PA 平面 ABC ，（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点 M ，使得 ACBM ，并求PM的值．MC解：（Ⅰ）由题设 AB 1， AC2 ，BAC 60 ，可得 S ABC1AB AC sin 603 ．2 2由 PA 平面 ABC ，可知 PA 是三棱锥 PABC 的高，又 PA 1 ，所以三棱锥 PABC 的体积 V1 S ABC PA 3 ．（Ⅱ）在平面 ABC 内，过点 B 作 BN 3 6AC ，垂足为 N ．在平面 PAC 内，过点 N 作 MN / / PA交PC 于点 M ，连结 BM ．由PA 平面 ABC 知 PA AC ．因为 BN MN N ，故AC 平面 MBN ，又 BM平面 MBN ，所以 AC BM ．在直角BAN 中， ANAB cos BAC1 ，2从而 NCACAN3．由 MN / /PA ，得PMAN 1 ．2MCNC 3x 2 y 2（ 20）【 2015 年安徽，文 20】（本小题满分 13 分）设椭圆 E 的方程为1 a b0 ，点 O 为坐标原点，22ab点 A 的坐标为， ，点 B 的坐标为 0 ， ，点 M 在线段 AB 上，知足 BM2 MA，直线OM 的斜率为5 ．a 0 b10（Ⅰ）求 E 的离心率 e ； （Ⅱ）设点 C 的坐标为0， b ， N 为线段 AC 的中点，证明 MN AB ．解：（Ⅰ）由题设条件知，点M 的坐标为 2 a, 1 5 ，从而b 5 ，(b) ，又 k OM10 2a1033从而得 a5b, cab2b ，故 ec25 ．22a5（Ⅱ）由 N 是 AC 的中点知，点N 的坐标为 a ,b，可得 NMa , 5b ．又 AB a,b ，2 26 6从而有 AB NM1 a2 5 b 2 1 5b 2 a 2 ．66 6由（Ⅰ）的计算结果可知a 22，所以 AB NM0，故 MNAB ．5b（ 21）【 2015 年安徽，文 21】（此题满分 13 分）已知函数 f (x)ax2 (a0 ， r0) ．( x r )（Ⅰ）求 fx 的定义域，并议论 f x 的单一性；（Ⅱ）若 a400 ，求 f x 在 0, 内的极值．rax ax解：（Ⅰ）由题意知 xr ，所求的定义域为, rr ,． fx，x r 2x22rx r2f xa x 2 2rx r 2ax 2x 2ra rx x r，所以当 xr 或 xr 时， f x0 ，x 2r 22rx2xr4当 r x r 时，f x0 ．所以， f x 的单一递减区间为,r 和 r ,， f x 的单一递加区间为r ,r．（Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知 f r0 ， f x在 0, r上单一递加，在 r ,上单一递减，所以， x r 是 f x 的极大值点．所以 f x 在 0, f r ar a400内的极大值为24r 100 ．2r4所以 f x 在 0,内极大值为100，无极小值．。

课时跟踪训练1．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫θ2＝0，求cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x . 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1＋32. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫θ2＝0，所以12－32sin θ＝0，即sin θ＝33，又θ是第二象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－63. 所以cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ2cos 2θ－2sin θcos θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)2cos θ(cos θ－sin θ)＝cos θ＋sin θ2cos θ＝－63＋332×⎝⎛⎭⎫－63＝6－326＝2－24.2．函数f (x )＝cos 2xsin x ＋cos x＋2sin x .(1)在△ABC 中，cos A ＝－35，求f (A )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程． 解：(1)由sin x ＋cos x ≠0得x ≠k π－π4，k ∈Z .f (x )＝cos 2xsin x ＋cos x＋2sin x＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x ＋2sin x ＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，在△ABC 中，cos A ＝－35＜0，所以π2＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以f (A )＝sin A ＋cos A ＝45－35＝15.(2)由(1)可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π.因为函数y ＝sin x 图象的对称轴为x ＝k π＋π2，k ∈Z 又由x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π4，k ∈Z ，所以f (x )图象的对称轴的方程为x ＝k π＋π4，k ∈Z . 3．已知向量a ＝(sin x,2cos x )，b ＝(2sin x ，sin x )，设函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝a·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝2×1－cos 2x 2＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1， 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )． (2)由题意g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π4＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋1， 由π12≤x ≤7π12得π4≤2x ＋π12≤5π4， ∴0≤g (x )≤2＋1，即g (x )的最大值为2＋1， g (x )的最小值为0.4．已知函数f (x )＝23cos 2x ＋2sin x cos x －m (x ∈R )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上，函数f (x )的最大值为2.(1)求实数m 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c .若A 为锐角，且满足f (A )＝0，sin B ＝3sin C ，△ABC 的面积为334，求边长a .解：(1)∵f (x )＝23cos 2 x ＋2sin x cos x －m ＝3(cos 2x ＋1)＋sin 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3－m .∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3. ∴函数f (x )在2x ＋π3＝π2时取得最大值，即2＋3－m ＝2，解得m ＝ 3.(2)∵f (A )＝0，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝0，由A 为锐角，解得A ＝π3. ∵sin B ＝3sin C ，由正弦定理得b ＝3c ，① ∵△ABC 的面积为334，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π3＝334，即bc ＝3.②由①和②解得b ＝3，c ＝1.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝32＋12－2×3×1×cos π3，∴a ＝7.5．黄岩岛是中国中沙群岛中唯一露出水面的岛礁，黄岩岛四周为距水面0.5 m 到3 m 之间的环形礁盘．礁盘外形呈等腰直角三角形，其内部形成一个面积为130 km 2、水深为10～20 m 的湖．湖东南端有一个宽400 m 的通道与外海相连，中型渔船和小型舰艇可由此进入湖中进行维修或者避风，受热带季风的影响，四月份通道一天中偶数整点时的水深的近似值如下表：来刻画．(1)根据以上数据画出其近似图象，并求出水深y (m)与时间x (h)的具体函数关系式； (2)若某渔船吃水深度为5 m ，船底与海底的安全间隙为2.5 m ，该船需进湖休息，一天中什么时刻可以进入湖内？解：(1)如图，由图可知该函数的最大值为15，最小值为5，最小正周期为24，即A ＋h ＝15，h －A ＝5，T ＝2πω＝24，解得A ＝5，h ＝10，ω＝π12.又函数的图象过点(16,15)，即y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π12×16＋φ＋10＝15，所以φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又|φ|＜π，所以φ＝－5π6.所以水深y (m)与时间x (h)的函数关系式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π12x －5π6＋10. (2)因为该渔船吃水深度为5 m ，船底与海底的安全间隙为2.5 m ，所以要使该渔船进湖休息，需水深不小于7.5 m 时进入，即一天中需y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π12x －5π6＋10≥7.5 h 进入， 解得x ＝0或8≤x ≤24，所以一天中0 h 或8 h 到24 h 可以进入湖内．。

课时跟踪训练1．已知点P ⎝⎛⎭⎫－1，32是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上两个动点，满足：P A →＋PB →＝λPO →(0＜λ＜4，且λ≠2)．求直线AB的斜率．解：(1)∵PF 1⊥x 轴，∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)，c ＝1.|PF 2|＝22＋⎝⎛⎭⎫322＝52，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4，a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由P A →＋PB →＝λ PO →得⎝⎛⎭⎫x 1＋1，y 1－32＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1，y 2－32＝λ⎝⎛⎭⎫1，－32， ∴x 1＋x 2＝λ－2，y 1＋y 2＝32(2－λ)．① 又3x 21＋4y 21＝12,3x 22＋4y 22＝12，两式相减，得3(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.②将①式代入②式，可得AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 2．(2014年石家庄模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是直线x ＝1上的动点，直线P A 与椭圆的另一交点为M ，直线PB 与椭圆的另一交点为N .求证：直线MN 经过一定点．解：(1)依题意e ＝c a ＝32， 过焦点F 与长轴垂直的直线x ＝c 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1联立解得弦长为2b 2a＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设P (1，t )，则k P A ＝t －01＋2＝t 3，直线l P A ：y ＝t 3(x ＋2)， 联方⎩⎨⎧ y ＝t 3(x ＋2)x 24＋y 2＝1.得(4t 2＋9)x 2＋16t 2x ＋16t 2－36＝0，可知－2x M ＝16t 2－364t 2＋9，所以x M ＝18－8t 24t 2＋9， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x M ＝18－8t 24t 2＋9y M ＝12t4t 2＋9.同理得到⎩⎪⎨⎪⎧ x N ＝8t 2－24t 2＋1y N ＝4t 4t 2＋1.由椭圆的对称性可知这样的定点在x 轴上．不妨设这个定点为Q (m,0)，则k MQ ＝12t 4t 2＋918－8t 24t 2＋9－m ，k NQ ＝4t4t 2＋18t 2－24t 2＋1－m ， k MQ ＝k NQ ，故(8m －32)t 2－6m ＋24＝0，m ＝4.3．如图，已知O (0,0)，E (－3，0)，F (3，0)，圆F ：(x －3)2＋y 2＝5.动点P 满足|PE |＋|PF |＝4.以P 为圆心，|OP |为半径的圆P 与圆F 的一个公共点为Q.(1)求点P 的轨迹方程；(2)证明：点Q 到直线PF 的距离为定值，并求此值．解：(1)由|PE |＋|PF |＝4＞|EF |及椭圆定义知，点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，4为长轴长的椭圆．设P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：设圆P 与圆F 的另一个公共点为T ，连结QT ，并设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则由题意知，圆P 的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋y 20.又Q 为圆P 与圆F 的一个公共点，故⎩⎨⎧(x 1－3)2＋y 21＝5(x 1－x 0)2＋(y 1－y 0)2＝x 20＋y 20， 所以(x 0－3)x 1＋y 0y 1－1＝0.同理(x 0－3)x 2＋y 0y 2－1＝0.因此直线QT 的方程为(x 0－3)x ＋y 0y －1＝0.设PF 交QT 于H ，则PF ⊥QT .设|QH |＝d (d ＞0)，则在Rt △QHF 中，|FH |＝|3(x 0－3)－1|(x 0－3)2＋y 20. 又x 204＋y 20＝1，故|FH |＝|3(x 0－3)－1|(x 0－3)2＋1－x 204＝2×|3(x 0－3)－1|[3(x 0－3)－1]2＝2. 在Rt △QHF 中，d ＝5－|FH |2＝1.所以点Q 到直线PF 的距离为1.4．(2014年浙江高考)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3 FM →.(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标；(2)求△ABP 面积的最大值．解：(1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)．由PF →＝3 FM →，分别得M ⎝⎛⎭⎫－223，23或M ⎝⎛⎭⎫223，23. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0. 于是Δ＝16k 2＋16m ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF →＝3 FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0 得k 2＝－15m ＋415. 由Δ＞0，k 2≥0，得－13＜m ≤43又因为|AB |＝41＋k 2 k 2＋m ，点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2. 所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝1615 3m 3－5m 2＋m ＋1. 记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝⎛⎭⎫－13＜m ≤43. 令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1. 可得f (m )在⎝⎛⎭⎫－13，19上是增函数，在⎝⎛⎭⎫19，1上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1，43上是增函数．又f ⎝⎛⎭⎫19＝256243＞f ⎝⎛⎭⎫43.所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243， 此时k ＝±5515. 所以，△ABP 面积的最大值为2565135.。