【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第2章 第2节 函数的单调性与最值

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第2章 第1节 函数及其表示 新人教A 版一、选择题1．(文)若函数f (x )的定义域是[0,4]，则函数g (x )＝f 2xx的定义域是( ) A ．[0,2] B ．(0,2) C ．(0,2] D ．[0,2)[答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤4，x ≠0.∴0<x ≤2，故选C ．(理)(2013·某某某某期末)函数f (x )＝1xln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1) [答案] D[解析] 要使函数f (x )有意义，必须且只需⎩⎨⎧x≠0，x 2－3x ＋2≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，解得－4≤x <0或0<x <1.故选D ．2．(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1.则f (f (3))＝( )A ．15 B ．3 C ．23 D ．139[答案] D[解析] 由条件知f (3)＝23，f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f x －3，x >0，则f (2016)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3[答案] B[解析] f (2016)＝f (2013)＝f (2010)＝……＝f (0)＝2×0＋1＝1.3．(2013·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) [答案] A[解析] 由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解之得－3<x <1或x >3，∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A ．4．(文)(2014·某某市调研)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－lg|x |D ．y ＝2x[答案] C[解析] 四个函数中，是偶函数的有A ，C ，又y ＝x 2在(0，＋∞)内单调递增，故选C ． (理)(2014·某某市质检)下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是( ) A ．y ＝(12)xB ．y ＝sin xC ．y ＝x 3D ．y ＝log 12x[答案] C[解析] A 、D 中的函数为非奇非偶函数，B 中函数在定义域内既有增区间又有减区间，y ＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上既是奇函数，又是增函数，故选C ．5．(文)函数f (x )＝22x－2的值域是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[答案] D [解析] 1f x＝2x －1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f (x )∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．(理)若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103][答案] B[解析] 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，可得值域为[2，103]，选B ．6．已知a 、b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f (x )＝x ，则a ＋b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1[答案] C[解析] ∵f (x )＝x ，∴f (1)＝1＝a ，若f (b a )＝1，则有b a＝1，与集合元素的互异性矛盾， ∴f (b a)＝0，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1. 二、填空题 7．(文)函数y ＝16－x －x2的定义域是________．[答案] (－3,2)[解析] 由6－x －x 2>0，得x 2＋x －6<0， 即{x |－3<x <2}．(理)(2013·某某模拟)函数f (x )＝x ＋12x ＋1－1－x 的定义域为________．[答案] (－∞，－1)∪(－1,1][解析] ∵要使函数f (x )＝x ＋12x ＋1－1－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．[失误与防X] 本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值X 围．防X 错误的有效方法是每一步变形时观察一下是否为等价变换，否则应附加限制条件保持等价．8．(文)如果函数f (x )＝1－x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋…f (2016)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12016)的值为________．[答案] 0[解析] 由于f (x )＋f (1x )＝1－x21＋x 2＋1－1x 21＋1x2＝1－x 21＋x 2＋x 2－1x 2＋1＝0，f (1)＝0，故该式值为0.(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a ⊕b ＝ab ＋a ＋b ＋1，其中a 、b 是正实数，已知1⊕k ＝4，则函数f (x )＝k ⊕x 的值域是________．[答案] (2，＋∞)[解析] 1⊕k ＝k ＋k ＋2＝4，解之得k ＝1，∴f (x )＝x ＋x ＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x >0，∴f (x )>2.9．已知f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2， x >2，2－x，x ≤2，则f (1)＝________.[答案] 10[解析] f (1)＝f (3－2)＝1＋32＝10. 三、解答题10．(文)函数f (x )＝x 2＋x －14.(1)若定义域为[0,3]，求f (x )的值域；(2)若f (x )的值域为[－12，116]，且定义域为[a ，b ]，求b －a 的最大值．[解析] ∵f (x )＝(x ＋12)2－12，∴对称轴为x ＝－12.(1)∵3≥x ≥0>－12，∴f (x )的值域为[f (0)，f (3)]， 即[－14，474]．(2)∵x ＝－12时，f (x )＝－12是f (x )的最小值，∴x ＝－12∈[a ，b ]，令x 2＋x －14＝116，得x 1＝－54，x 2＝14，根据f (x )的图象知当a ＝－54，b ＝14时，b －a 取最大值14－(－54)＝32.(理)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12(x 2－32)2－18， 当x 2＝32时，y 取最小值－18.∴函数y ＝f (x 2－2)的值域为[－18，＋∞)．一、选择题11．(文)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx2－1<x <0，e x －1x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．1，－22C ．－22D ．1，22[答案] B [解析] f (1)＝1， 当a ≥0时，f (a )＝e a －1，∴1＋ea －1＝2，∴a ＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)， ∴1＋sin(πa 2)＝2， ∴πa 2＝π2＋2k π(k ∈Z )，∵－1<a <0，∴a ＝－22，故选B ． (理)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －4a x <1，log a x x ≥1是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值X 围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[35，3)D ．(1,3)[答案] D[解析] 解法1：由f (x )在R 上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a >1，① 又由f (x )在(－∞，1)上单增，∴3－a >0，∴a <3，②又由于f (x )在R 上是增函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1]上的最大值3－5a 要小于等于f (x )在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a ≤0，即a ≥35，③由①②③可得1<a <3.解法2：令a 分别等于35、0、1，即可排除A 、B 、C ，故选D ．[点评] f (x )在R 上是增函数，a 的取值不仅要保证f (x )在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x 1<1，x 2≥1时，有f (x 1)<f (x 2)．12．(2014·乌鲁木齐地区诊断)若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <a <c[答案] B[解析] 解法1：ln22－ln33＝3ln2－2ln36＝ln8－ln96<0，∴a <bln55－ln22＝2ln5－5ln210＝ln25－ln3210<0，∴c <a ， ∴c <a <b .解法2：设f (x )＝ln x x (x >1)，则f ′(x )＝1－ln x x2，当x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (3)>f (4)>f (5)，∴ln33>ln44>ln55，∴ln33>ln22>ln55，∴b >a >c . 13．(2014·某某省协作校联考)下图可能是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝2x －x 2－1 B ．y ＝2xsin x4x ＋1C ．y ＝(x 2－2x )e xD ．y ＝xln x[答案] C[解析] 由图象可知，x <0时，函数值恒大于0，排除A 、B 、D ，故选C ．14．(2014·某某省九校联合体摸底)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x ，y ∈R ，f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )<0恒成立，则当x >3时，x 2＋y 2的取值X 围是( )A ．(3,7)B ．(9,25)C ．(13,49)D ．(9,49)[答案] C[解析] ∵y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，∴y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称，即函数y ＝f (x )是奇函数，又∵y ＝f (x )是增函数，∴不等式f (x 2－6x ＋21)＋f (y 2－8y )<0⇔f (x 2－6x ＋21)<f (8y －y 2)⇔x 2－6x ＋21－8y ＋y 2<0⇔(x －3)2＋(y －4)2<4.即点(x ，y )是以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内的点，如图当x >3时，点(x ，y )是右半圆内部分，x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，∵A (3,2)，C (3,4)，∴|OA |2＝13，|OC |2＝25，∴|OB |＝7，∴13<x 2＋y 2<49. 二、填空题15．(文)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，若f (x 0)＝1，则x 0的值为________．[答案] －1或1[解析] 当x 0≤0时，f (x 0)＝2－x 0－1，∵f (x 0)＝1， ∴2－x 0－1＝1，∴2－x 0＝2，∴x 0＝－1；当x 0>0时，f (x 0)＝，∵f (x 0)＝1，∴＝1，∴x 0＝1.综上可得x 0的值为－1或1.(理)(2013·某某省内江市第一次模拟)设函数f (x )＝|x |x ＋bx ＋c ，则下列命题中正确命题的序号有________．①函数f (x )在R 上有最小值；②当b >0时，函数在R 上是单调增函数； ③函数f (x )的图象关于点(0，c )对称；④当b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根的充要重要条件是b 2>4|c |； ⑤方程f (x )＝0可能有四个不同实数根． [答案] ②③④[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≥0－x 2＋bx ＋cx <0取b ＝0知，①⑤错； 容易判断②，③正确；b <0时，方程f (x )＝0有三个不同实数根，等价于c －b 24<0且c ＋b 24>0，∴b 2>4c 且b 2>－4c ，∴b 2>4|c |，故填②、③、④.三、解答题16．(文)某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：元)与日产量x (单位：t)满足函数关系式C ＝10 000＋20x ，每日的销售额R (单位：元)与日产量x 的函数关系式为R ＝⎩⎪⎨⎪⎧－130x 3＋ax 2＋290x ，0<x <120，20 400，x ≥120.已知每日的利润y ＝R －C ，且当x ＝30时，y ＝－100. (1)求a 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． [解析] (1)∵当x ＝30时，y ＝－100，∴－100＝－130×303＋a ×302＋270×30－10 000，∴a ＝3.(2)当0<x <120时，y ＝－130x 3＋3x 2＋270x －10 000.令y ′＝－110x 2＋6x ＋270＝0，可得：x 1＝90，x 2＝－30(舍去)，所以当x ∈(0,90)时，原函数是增函数，当x ∈(90,120)时，原函数是减函数． ∴当x ＝90时，y 取得极大值14 300. 当x ≥120时，y ＝10 400－20x ≤8 000.所以当日产量为90t 时，每日的利润可以达到最大值14 300元．(理)某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如表所示：第t 天5 15 20 30 Q (件)35252010(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 0<t <25，t ∈N*，－t ＋100 25≤t ≤30，t ∈N *.(2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *)． (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋8000<t <25，t ∈N *，t 2－140t ＋4000 25≤t ≤30，t ∈N *.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t －102＋900 0<t <25，t ∈N*，t －702－900 25≤t ≤30，t ∈N*.若0<t <25(t ∈N *)，则当t ＝10时，y max ＝900； 若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125. 由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大． 17．(文)(2014·某某某某联考)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论．[解析] (1)令x 1＝x 2＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)＝2f (－1)， 又∵f (1)＝0，∴2f (－1)＝0，∴f (－1)＝0. 令x 1＝x ，x 2＝－1，则f (－x )＝f (x )＋f (－1)， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )在定义域D 上为偶函数．(理)(2014·某某某某质检)已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f ba ＋b>0成立．word - 11 - / 11 (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式f (x ＋12)<f (1x －1)； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，某某数m 的取值X 围．[解析] (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)， 由已知得f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[－1,1]上单调递增．(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，解得－32≤x <－1. (3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增， ∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1， 即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 下面来求m 的取值X 围． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0，∴m ≤－2或m ≥2.∴m 的取值X 围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.。

第二章 第二节一、选择题1．(文)函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12[答案] D[解析] 使y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k ＋1<0，即k <－12.(理)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x |[答案] C[解析] 本题考查了偶函数的判断及单调性的判断，y ＝1x是奇函数，A 错；y ＝e －x 是非奇非偶函数，B 错；y ＝lg|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0lg (－x )，x <0，，当x >0时是增函数，D 错；由二次函数图像性质知C 正确.2．(文)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |[答案] B[解析] 本题考查函数的奇偶性以及单调性．对于A ，y ＝x 3不是偶函数，A 错误；B 正确，既是偶函数又在(0，＋∞)上单增；对于C ，在(0，＋∞)上单调递减，错误；对于D ，在(0，＋∞)上单调递减，错误，故选B ．(理)函数y ＝1－1x －1( )A ．在(－1，＋∞)内是增加的B ．在(－1，＋∞)内是减少的C ．在(1，＋∞)内是增加的D ．在(1，＋∞)内是减少的 [答案] C[解析] 函数定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．根据复合函数的单调性可知，y 1＝1x －1在(1，＋∞)上是减少的．所以y ＝1－1x －1在(1，＋∞)上是增加的． 3．“函数f (x )在[0,1]上单调”是“函数f (x )在[0,1]上有最大值”的( ) A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充分且必要条件 D ．既非充分也非必要条件 [答案] B[解析] 函数f (x )在[0,1]上单调，则函数f (x )在[0,1]上有最大值，而函数f (x )在[0,1]上有最大值，f (x )在[0,1]上不一定单调，故选B ．4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)[答案] A[解析] 本题考查了指、对函数的基本性质，复合函数的值域问题． 3x >0⇒3x ＋1>1⇒log 2(3x ＋1)>log 21＝0，选A ．5．(文)函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)[答案] A[解析] 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．(理)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，32]B ．[32，＋∞)C ．(－1，32]D ．[32，4)[答案] D[解析] 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－(x －32)2＋254的减区间为[32，4)，∵e >1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4)．6．(2015·潍坊质检)若f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x2，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)[答案] D[解析] 因为y ＝e x 和y ＝－e －x 在R 上均为递增函数，∴f (x )在R 上单调递增，所以0＝f (0)<f (2)<f (3)，又g (0)＝－1<0，所以g (0)<f (2)<f (3)．二、填空题7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥12x ， x <1的值域为________．[答案] (－∞，2)[解析] 本题考查了分段函数值域问题．当x ≥1时，y ＝log 12x 单调递减，值域为(－∞，0]，而x <1时，y ＝2x 单调递增，值域为(0,2)，所以f (x )值域为(－∞，2)，指对函数图像性质是高考常考内容，应加强练习．8．(2015·温州模拟)若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的值域为[13，1]，则a ＋b ＝________.[答案] 6[解析] 解法一：由题意可知x －1>0， 又x ∈[a ，b ]，∴a >1，f (x )在[a ，b ]上单调递减，∴⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，所以a ＋b ＝6. 解法二：简解：作出函数f (x )的图像(如图)由图可知⎩⎨⎧1a －1＝11b －1＝13即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6. 9．(文)若在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________．[答案] 3[解析] 对于g (x )＝x ＋1x在x ＝1时，g (x )的最小值为2，则f (x )在x ＝1时取最小值2，∴－p2＝1，4q －p 24＝2.∴p ＝－2，q ＝3.∴f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴f (x )在该区间上的最大值为3.(理)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，1][解析] 本题考查指数函数与分段函数的对称性． ∵f (x )＝e |x |的对称轴为x ＝0，∴f (x )＝e |x －a |的对称轴为x ＝a ，若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴a ≤1.三、解答题10．函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0,1](a 为实数)．(1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，求a 的取值范围；(3)求函数y ＝f (x )在x ∈(0,1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值． [解析] (1)因为f (x )＝2x ＋1x≥22x ·1x＝2 2. 当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号．所以函数y ＝f (x )的值域为[22，＋∞)． (2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，则任取x 1，x 2∈(0,1]且x 1<x 2都有f (x 1)>f (x 2)成立，即(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋a x 1x 2>0，只要a <－2x 1x 2即可，由x 1，x 2∈(0,1]，故－2x 1x 2∈(－2,0)，所以a ≤－2， 故a 的取值范围是(－∞，－2]． (或用导数来判断)．(3)当a ≥0时，函数y ＝f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ； 由(2)得当a ≤－2时，函数y ＝f (x )在(0,1]上单调递减，无最大值， 当x ＝1时取得最小值2－a ； 当－2<a <0时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－2a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－2a2时取得最小值2－2a .一、选择题1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)[答案] A[解析] 由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．在A 中，由f ′(x )＝－1x 2<0，得x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；在B 中，由f ′(x )＝2(x －1)<0得x <1， 所以f (x )在(－∞，1)上为减函数．在C 中，由f ′(x )＝e x >0，知f (x )在R 上为增函数． 在D 中，由f ′(x )＝1x ＋1且x ＋1>0知，f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．2．(文)定义在R 上的函数f (x )的图像关于x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23 B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13 D ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32 [答案] B[解析] ∵f (x )的图像关于x ＝1对称， ∴f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫53，f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫43.又∵x ≥1时，f (x )＝3x －1为增函数，且43<32<53，∴f ⎝⎛⎭⎫43<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫53，即f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13. (理)函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数．设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f (x 3)＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )．则f (13)＋f (18)＝( )A ．12B ．34C ．1D ．23[答案] B[解析] 由③，令x ＝0，可得f (1)＝1，由②，令x ＝1，可得f (13)＝12f (1)＝12，令x ＝13，可得f (19)＝12f (13)＝14.由③结合f (13)＝12，可知f (23)＝12，令x ＝23，可得f (29)＝12f (23)＝14，因为19<18<29且函数f (x )在[0,1]上为非减函数，所以f (18)＝14.所以f (13)＋f (18)＝34.二、填空题3．(文)函数y ＝x ＋2x 在区间[0,4]上的最大值M 与最小值N 的和为________． [答案] 8[解析] 函数y ＝x ＋2x 在其定义域上是增函数，所以x ＝0时有最小值N ＝0，x ＝4时有最大值M ＝8，M ＋N ＝8.(理)函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤0，32 [解析] y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0).作出该函数的图像，观察图像知递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32.4．(文)(2014·徐州模拟)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减少的，则a 的取值范围是________．[答案] [0，34][解析] 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，显然f (x )在(－∞，3)上是减少的．当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，3)上是减少的，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)2×2a ≥3，即0<a ≤34.综上可知a ∈[0，34]．(理)设a ，b ∈R ，定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥b b a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )，则f (x )的最小值是______．[答案] 32[解析] 令y 1＝|x ＋1|，y 2＝|x －2|，在同一坐标系中分别作出其图像，如图所示，根据条件知函数f (x )的图像为图中的射线P A ，PB 构成，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝x ＋1，解得y ＝32.即为函数f (x )的最小值．三、解答题5．(文)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调增加的； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．[解析] (1)设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0. f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调增加的． (2)f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.∴⎩⎨⎧1a －2＝121a －12＝2，∴a ＝25.(理)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝4时，求f (x )的最小值； (2)当a ＝12时，求f (x )的最小值；(3)若a 为正常数，求f (x )的最小值．[分析] 在解决该类型函数的最值时，首先考虑到应用均值不等式求解，但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件，若条件不具备，应从函数单调性的角度考虑．[解析] (1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x＋2，易知f (x )在[1,2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的．∴f (x )min ＝f (2)＝6.(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，易知f (x )在[1，＋∞)上为增加的，∴f (x )min ＝f (1)＝72.(3)函数f (x )＝x ＋ax ＋2在(0，a ]上是减少的，在[a ，＋∞)上是增加的．若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋ ∞)上先减后增，f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2； 若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间 [1，＋∞)上是增加的． ∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.综上所述，f (x )min ＝⎩⎨⎧a ＋3(0<a ≤1)2a ＋2(a >1).6．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f (xy )＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域． [解析] (1)∵当x >0，y >0时，f (xy )＝f (x )－f (y )，∴令x ＝y >0，则f (1)＝f (x )－f (x )＝0.(2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)，∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f (x 2x 1)>0.∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x )在(0，＋∞)上是增加的． (3)由(2)知f (x )在[1,16]上是增加的． ∴f (x )min ＝f (1)＝0，f (x )max ＝f (16)． ∵f (4)＝2，由f (xy)＝f (x )－f (y )，知f (164)＝f (16)－f (4)，∴f (16)＝2f (4)＝4，∴f (x )在[1,16]上的值域为[0,4]．。