【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 仿真模拟卷(二)理

辽宁省大连市2016届高三数学下学期第二次模拟考试试题理（扫描版）大连市2016年第二次模拟考试参考答案及评分标准数学（理科）说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1.A2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.D9.B 10.D 11.C 12.A 二．填空题13. 48 14. 2 15. (-1，2) 16. 6 三．解答题17.解：(Ⅰ)cos sin b a C a C =+3C A C A B sin sin 33cos sin sin +=∴.........................................................................................2分C A C A C A C A sin sin 33cos sin sin cos cos sin +=+...........................................................4分即C A C A sin sin 33sin cos = 又0sin ≠C A A sin 33cos =∴ 即3tan =A 3π=∴A ....................................................................................................................6分(Ⅱ)A bc c b a cos 2222-+=bc c b bc c b 3)(22222-+=-+=∴..............................................................................................8分bcc b 2≥+416)(2≤+≤+∴c b c b ，即 又由题意知4≥+c b ，4=+∴c b .(当2==c b 时等式成立.).........................................................................................10分33sin 2221=⨯⨯⨯=∴∆πABC S ..................................................................................................12分18.解：（Ⅰ）设比赛局数分别为3,4,5时,甲获胜分别为事件123,A A A ，， 则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得：3128()()327P A ==，2323218()()3327P A C =⋅⋅=,23342116()()3381P A C =⋅⋅=2（），...........3分所以由互斥事件的概率加法公式可得，甲获胜的概率为12388166=()+()+27278P P A PA P A................................................6分（Ⅱ）由题意可知，X 的取值为3,4,5， 则332191(3)()+()=33273P X ===，232333211210(4)()+()333327P X C C ==⋅⋅=,2224218(5)()()3327P X C ==⋅=..................................................................................................9分数学期望1108107=3+4+5=3272727E X ⨯⨯⨯（）..............................................................12分19.证明：(Ⅰ)取中点MC ，记为点D ,连结QD PD ,中点为中点，为MC D MA P PD ∴//AC又131DC CD = ,=113BQ QC ,QD ∴//BC又D QD PD =PQD平面∴//平面ABC (4)分又PQD PQ 平面⊂PQ ∴//平面ABC .........................................................6分 （Ⅱ）1,,BB BA BC 两两互相垂直，∴建立如图所示空间直角坐标系B xyz -，设,,BC a BA b ==则各点的坐标分别为： 1(,0,0),(0,,0),(0,,2),(,0,1)C a A b A b M a ， 1(0,,2),(0,,0),(,0,1)BA b BA b BM a ∴===....................................................................8分设平面ABM 的法向量为(,,)n x y z = ，则0n BA n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,00by ax z =⎧∴⎨+=⎩， 取1x =，则可得平面ABM 的一组法向量(1,0,)n a =-，1cos ,n BA ∴<>==，...................................................................10分又因为228a b +=，4224120,2a a a ∴+-=∴=或6-（舍）.即6,21222sin ,2π=∠∴==∠∴=BAC BAC a ..................................................................12分 20.解：22==a c e ，c a 2=∴ 224222222121+=+=+=++c c c a F F MF MF22==∴a c ，............................................................3分∴椭圆方程为12422=+y x .............................................4分 （Ⅱ）︒=∠+∠902121F QF F PF ，..............................5分证明如下：设),(),(1100y x D y x B ，，则),(00y x A -, 直线BD 方程为)(110101x x x x y y y y ---=-，令0=x ，则101010x x x y y x y --=)0(101010x x xy y x Q --∴，同理)0(101010x x xy y x P ++，.....................................................................................................................7分 21F PF ∠ 和21F QF∠均为锐角， )(tan 10101010101021x x c x y y x c x x x y y x F PF ++=++=∠∴ )(tan 10101021x x c x y y x F QF --=∠)()()(tan tan 21202212021201010101010102121x x c x y y x x x c x y y x x x c x y y x F QF F PF --=--⋅++=∠⋅∠∴ 1)(221)22()22(212120212021202021212=--=----=x x x x x x x x x x ..................................................................10分 21F PF ∠∴与21F QF∠互余, ︒=∠+∠∴902121F QF F PF ........................................................................................................12分21.解：（Ⅰ）1k =-时，1()ln ()101f x x x f x x x'=-⇒=->⇒<，()f x ∴在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，故函数()f x 有唯一的极大值点1x =，无极小值点...................2分 （Ⅱ）0k =时，()ln b b f x a x a x x +-=+-，设()ln ,(0)bg x x a x x=+->， 则221()b x bg x x x x-'=-=. 当0b ≤时，则()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞单调递增，又0x >且0x →时，()g x →-∞与题意矛盾，舍.当0b >时，则()0g x x b '>⇒>，所以()g x 在(,)b +∞单调递增，(0,)b 单调递减， 所以m ()g x =，..............................................................................................5分所以11ln 101ln 11a a b a a b eb e b --+-≥⇒-≤⇒≤⇒-+≤， 故11a e b --+的最大值为1...............................................................................................................7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当11a e b --+取最大值1时，1ln 1ln (),(0)a b e b a b F b m b b -=⇒-=⇒=->， 记ln (),(0)x F x m x x=->.............................................................................................................9分 方法一：()0ln 0F x x mx =⇒-=，设()ln h x x mx =-，则1()h x m x '=-， 若0m ≤，则()0h x '>恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞单调递增，与题意不符，舍.若0m >，则1()0h x x m '>⇒<，()h x ∴在1(0,)m 单调递增，在1(,)m+∞单调递减，所以若函数()F x 有两个零点，则只需1()0h m >，解得10m e<<. 不妨设12x x <，则1210x x m<<<， 设111()()(),(0)G x h x h x x m m m =+--<<，则11()()(),G x h x h x m m'''=++- 化简可得32222()01m x G x m x '=>-，所以函数()G x 在1(0,)m 单调递增，11()(0)()()0G x G h h m m>=-= 10x m ∴<<时，11()()h x h x m m +>-，1122()()()h x h x h x m∴->=，又因为1221,(,+x x m m -∈∞），且函数()h x 在1(,)m +∞单调递减，122x x m∴-<，121222x x mx mx m∴+>⇒+>，即12ln ln 2x x +>， 所以212x x e >成立.........................................................................................................................12分方法二：不妨设12x x <，由题意1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩， 则221121221121lnln (),ln ()x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，欲证212x x e ⋅>，只需证明：12ln()2x x ⋅>，只需证明：12()2m x x +>，即证：122211()ln 2x x x x x x +>-， 即证2122111ln 21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->⋅+， 也就是证明：1l n 201t t t --⋅>+.....................................................................................................10分 记1()ln 2,(1)1t u t t t t -=-⋅>+，22214(1)()0(1)(1)t u t t t t t -'∴=-=>++， ()u t ∴在(1,)+∞单调递增，()(1)0u t u ∴>=，所以原不等式成立.....................................................................................12分22.（Ⅰ）证明：CA 为圆O 的切线，CAE ABC ∴∠=∠，又BE 为直径，45,45ADF AFD ∠=∴∠= .又,ADF ABC DCB AFD CAE ACD ∠=∠+∠∠=∠+∠ ,,ACD BCD ∴∠=∠CD ∴为ACB ∠的平分线................................................................................................................4分（Ⅱ）解：,,=∴∠=∠=∠AB AC B ACB CAE Q 又+++180∠∠∠∠=B ACB CAE BAE o Q ， =30∴∠=∠=∠B ACB CAE o ，所以s is iAC BC ==.............................................................................................................10分23.解：（Ⅰ）设1C 上任意一点的极坐标为()θρ，则点()θρ，2在圆C 上，故θρsin 42=，所以1C 的极坐标方程为)0(sin 2≠=ρθρ..................................................................................4分（Ⅱ）B A ,两点的极坐标分别为),sin 2(),,sin 4(ααααB A ，又因为πα<≤0， 所以ααααsin 2sin 2sin 2sin 4==-=AB =3，故23sin =α，所以323ππα或=..............................................................................................10分24.证明：(Ⅰ)acbc ab c b a 222)111(2222++≥++ acbc ab c b a 111111222++≥++∴ 又acbc ab c b a c b a 222111)111(2222+++++=++ ）（2221113c b a ++≤ 由题中条件知1111222=++cb a ， 3)111(2≤++∴c b a 即3111≤++cb a ............................................................................................................................5分 （Ⅱ）22422422121ba b a a b a =⋅≥+ 同理：224221c b c b ≥+，224221ac a c ≥+ )111(2111222222424242cb ac b a a c c b b a ++≥+++++∴ 21424242≥+++∴ac c b b a 1424242≥++∴ac c b b a ........................................................................................................................10分。

绝密★启用前2016年第一次全国大联考【新课标Ⅱ卷】理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1。

设集合{}2log(1)0M x x =->，集合{}2N x x =≥-，则=R N C M ( )A ．{}2x x ≤-B ．{}22x x -<≤C ．{}23x x -≤≤D ．{}22x x -≤≤ 2。

复数21iz i=+的共轭复数是( ）A ．1i + B ．1i - C ．i 2121+ D ．i 2121- 3．设,x y R ∈，则4()0x y x-<是x y <的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设双曲线2221(0)2x y b b-=>与抛物线28y x =交于两点A B 、,且=8AB ，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．13B ．23C ．4D 65．已知0,0m n >>,在32(1)(13)mx nx ++的展开式中，当2x 项系数为3时，则m n +的最大值为( )A ．53B 2C ．22D ．236．执行下图的程序框图，则输出S 的值为( ）A ．199200B ．197198C ．197199D ．1981997．已知圆心在原点，半径为R 的圆与ABC ∆的边有公共点，其中(2,2),(2,1)A B -，1(,1)2C ，则R 的最小值为（）A ．12B ．55C ．255D ．88．已知'()f x 是函数()f x 的导函数，()f x 的图象如图所示，则不等式'()()0f x f x <的解集为（ )A ．5(1,2)(,3)2(,1)-∞-B ．5(,1)(,3)2-∞-C ．(,1)(3,)-∞-+∞D ．(1,2)9.方程sin(2)03x m π++=在(0,)π内有相异两解,αβ,则tan()αβ+=（ )A ．16B ．13C ．33D ．23310. 已知数列{}na 的前n 项和为nS ，11a=．当2n ≥时,1221n n a S n -+=+,则299S =是否1n n =+1(1)S S n n =++开始1,0n S ==198n ≤输出S结束（ )A ．246B ．299C ．247D ．248 11．网格纸的各小格都是边长为1的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，其中正视图是正三角形,则该几何体的外接球表面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．163π12. 已知定义域为{}0x x ≠的偶函数()f x ，其导函数 为()'f x ，对任意正实数x 满足()()'2xf x f x >-，若()()2g x x f x =，则不等式()(1)g x g x <-的解集是（ ）A ．1(,+)2∞ B ．1(,)2-∞C ．1(,0)(0,)2-∞ D ．1(0,)2第Ⅱ卷（共90分)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知向量(1,2),(2,)a b m ==-，a b +与a b -垂直，则m =________． 14．已知钝角三角形ABC 的面积为32,1,2AB BC ==，则=B _________． 15．已知1a b >>，且2log 4log 9a b b a +=，则函数2()f x b x a =-的单调递增区间为_____________．16．设抛物线28yx =的焦点为F,过点F 作直线l 与抛物线分别交于A B、两点,若点M 满足1()2OM OA OB =+，过M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P ，若||4PF =，则M点的横坐标为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）已知在ABC ∆中，c b a ,,为角C B A ,,所对的边，且22cos (cos )cos 12CB B A +=． (Ⅰ）求角A 的值;(Ⅱ)求()4cos cos()f x x x A =-在[0,]2x π∈的值域．18。

♦专题二函数与导数第1讲函数的图象与性质热点精讲考向分析年份考点201120122013 2014 2015I II I II I n函数的定义域、值域及解析式13函数的图象及其应用12 911 函数的性质及其应用 3 16515 121駅2014新课标全国卷I，文5)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(C )⑷f(x)g(x)是偶函数(B) |f(x)|g(x)是奇函数(C)f(x) |g(x)| 是奇函数(D)|f(x)g(x)|是奇函数解析:f* (x)是奇函数，则F (-x) —f (x), g (x)是偶函数, 则g (-x)・g (x)则f (-x) g (-x) =-f (x) g (x),选项A错；If (-x) Ig(-x)-lf(x) |g(x),选项B错；f (-X)|g (-X)| =-f (x) | g (x) |,选项C正确；If (-x).g(-x) | = |f*(x)g(x) |,D错.故选C.Yf (x) =2sin 2— • sin x, x € [-兀，n],因此函数f (x)为奇函数,故可排除选项B, 2 当x€ [-TT ,O]时，sin x<0,因此f(x) <0,故可排除选项A. 0<x< -时，0<f (x) <1,排除 D.故选 C.2全国卷II •文⑴ 如图，长方形ABCD 的边AB=2, BC=1, 0是AB 的•点P 沿着边DC, CD 与DA 运动，记zTBOP=x.将动点P 到A, D两点距离之和匕P°辰鄴x°子裁x(0(D)解析:排除法求解.(A) (B)表X的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(B )P 位于边 BC 上时，ZBOP^x, 0 < x V f ,则釜-tan x,所以 BP-tan x,AP- tan 2 x ，所以 F (x)-tan x+ >/4 + tan 2 x(0< x < 壬)，可见 y ・F (x)图象的变 47C57化不可能是一条直线或线段，排除A, C.当点P 位于边CD 上时，ZBOP-x, -<x< —，则4 4AP当点 P 位于边 AD 上时，ZBOP=x,——< x < 7T,则=tan(n-x) =-tan x,所以 AP=-tan x 4OA所以 BP->/4 + tan x ,所以 f (x)—tan x+>/4+ tan 、x (— < x < rr),根据函数的解析式 4 可排除D,故选B.点P 位于点C 时，x=壬，此时AP+BP=AC+BO1+亦，当点P 位于CD 的中点4BP+AP= >JBC 2 + CP 2 + yJAD 2 + DP 2时：,此时AP+BP-2 >/2 <1+>/5 ,故可排除C, D,当点P 位于点D 时 2A”BP ・AD+BD ・l+$ ,而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故选B.解析:设(X, y)是函数y・F (x)图象上任意一点，它关于直线y—x的对称点为(-y, -x),由y=f (x)的图象与yTx"的图象关于直线y=-x对称，可知(-y, -x)在y=2xg的图象上，即-x=2_y+a,解得y=-log2 (~x) +a,所以f (-2) +f (-4) =-log22+a-log24+a=l,解得a=2,故选C.解析：由题意可知(-1, 4)在函数图象上, 即4=-a+2,所以a=-2.答案：-2(卩对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考査以基础知识为主，难度中等偏下.(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容,对图象的考査主要有两个方面:一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题;对函数性质的考査,则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考査，既有具体函数也有抽象函数•常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大.2.怎么办(1)应熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，加强函数性质的应用意识.(2)与分段函数有关的问题要明确自变量的取值范围，找准对应关系是解题的关键，同时要加强函数与方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用意识.文域、值域和对应关系•其中值域由函数的定义域和对应关系完全确定，因此定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数.温馨提示⑴ 映射三要素不要忘，集合A中元素不可余,B中元素可多余，可以多对一、不允许一对多.(2)求解与函数、导数有关的问题，如值域、单调区间、判断奇偶性，求极值、求最值等等，都必须注意定义域优先的原则.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还要使实际问题有意义.(3)分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.Xi, X2,（X1 -X2）［f（X1） -f（X2）］ >0 «0） o f (x)在D上是增(减)函数;对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x b X2,小上/ 色)Qf (x)在D上>0 (<0)是增(减)函数.不一£②奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意X, f (x)+f (-X)=0of(X)是奇函数;对于定义域 (关于原点对称)内的任意x, f (x)-f (-x)=onf (x)是偶函数.③周期性设函数y=f (x),xeD.若T为f (x)的一个周期，则nT(n^0,nez)也是f (x)的周期.若对任意xWD都有f(x+a)=-f(x) (a^O),则f (x)是以2|a|为周期的函数.若对任意xeo都有f “士扁则f (”是以迪为周期的函数若对任意xWD都有f(x+a)=f(x+b) (aHb),则f(x)是以lb-a|为周期的函数.的图象关于点@，0)中心对称.关于直线XF对称.对于函数y二f(x)定义域内任意一个x的值，若f (a+x) =-f (b-x),则函数f (x) 的图象关于点中心对称•特别地，若f(a+x)=-f(a-x),则函数f (x)如郭福高数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)• 罪：x)是奇函数of (x)的图象关于原点对称;f (x)是偶函数Of(X)的图象关于池对称.③若函数尸f (x)的图象有两条对称轴XF和x=b(aHb),则f (x)是以2lb-a|为盾期的函数，特别地,若函数f(x)是偶函数，其图象又关于直线对称，则f(x)是以2|a|为周期的函数.④若函数y=f (x)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b, 0) (aHb),则f(x)是以4|b-a|为周期的函数.特别地，若函数f(x)是奇函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是以4|a|为周期的函数.⑤若函数尸f (x)的图象有两个对称中心(a, 0)和(b, 0) (aHb),则f (x)是以2山-al 为周期的函数.求函数单调区间时，易错误地在多个单调区间之间添加符号和“或”，它们之间-般用“，”隔开或者用“和”字连按. 判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称.解析：(2)因为 l<log 34<2,所以 f (logs4) =f (l+log 34) =f (2+log 34) = 32',og '4 =36. 故选C.【例 1】(1) (2013 山东卷)函数 f(x) = >/l-2v +-4=(A) (-3, 0] (B) (-3, 1](0 (-oo,-3) U (-3, 0](D) (-oo,-3)U (-3, 1]的定义域为（）解析：(1)由 f(x)= Jl_2乂Jx + 3得:二囂心““故选A ・热点精讲函数的定义域、值域及解析式)求函数y=f (x)的定义域时，只要构建使解析式有意义的不等求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可，在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式；求解函数值域的方法有:公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等,要做到具体问题具体分析，选取适当的求解方法.即答案：{x|^Wx<2 且xHl}_______ , f(x)的最小值是__________ .解析：因为f (-2)=4,f ⑷=-寸，所以f (f (-2)) =- |;x< 1 时，f (x)^=O,x>l 时, f (x) *0=2 \/6 -6,又2 >/6 -6<0,所以F (x)血=2 >/6 -6.答案:- ；2^6-62(A)①④(B)④①@@(C) ®@@® (D)③④带斫KD ①y ・x • sin x 是偶函数，其图象关于y 轴对称； W=X ・cos X 是奇函数，其图象关于原点成中心对称；@y=x • |cos x |是奇函数，且在y 轴右侧，图象位于x 轴上方； ④y=x ・2*是非奇非偶函数.根据以上分析从左到右图象对应的函数序号排序是①④②③•故选C.sin TLX .O < x <\,f’若a,b,c 互不相等，且1002015 匕兀 > 1，酚)二f (b)二f (c),则a+b+c 的取值范围是()(A) (1,2015) (B) (1,2016)由正弦曲线的对称性可知a+b=l,而1“<2015, 所以2<a+b+c<2016.所以选C.⑵(20己知函数f(x)二丿(C) (2, 2016) (D) [2, 2016]■识图.用图的技巧图：常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩⑵识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.(3)用图：由函数图象确定函数性质及由方程根的存在情况求有关参数的取值范围等.解析：(1)由f (x)与g(x)都是偶函数，得F(x)g(x)是偶函数,可排除A, D;当0<x<l 时,f (x) <0, g (x) >0,排除B,故选C.答案：⑴C求解•根据绝对值的意在立角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示. 根据图象可知， 当OCkCl 或l<k<4时有两个交点. 答案：(2)(0, 1)U (1,4)(1) (2015赣州市十二县(市)联考)在实数集R 中定义一种运算“时 :beR, a*b为唯一确定的实数，且具有性质:1)*对任意 a^R, a*0=a; 2)对任意 a, beR, a*b=ab+ (a*0) + (b*0)•关于函数f(x) = (e x )*丄的性质，有如下说法：e①函数f(x)的最小值为3;②函数f (x)为偶函数； ③函数f (x)的单调递增区间为(-8, 0］・ 其中正确说法的序号为()义,yx+ l(x >< —1),—x —1(— 1 < X < 1).解析：⑵先去掉绝对值符号,在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合其应用U 点三⑷①(B)①②(C)①®③(D)②③⑵(2014安徽卷)若函数f(x) (xGR)是周期为4的奇函数，且在［0, 2］上的解析式为则f啓)+班¥)=______________________________________________ ・I sin 7txJ < x <2, 4 6所以f (x)ou・3,故①正确；因为f 丄e A所以f (-x) =l+e+e"x=f (x),所以函数f (x)为偶函数，故②正确; e2x—] 因为& (x) =e x-e x=一，所以当T (x) > 0 时,x>0,e即函数f(x)的单调递增区间为[0, +8),故③错误.所以正确说法的序号为①②，故选B.答案:(1)B (2) 416⑵定义在R上的函数f (x)满足f(x+6)=f(x),当-3Wx<-l时,f(x)=-(x+2)2,当-lWx<3时,f (x) =x,则f(l)+f⑵十f⑶十・・・+f (2016)等于( )(A)336 (B)337 (C)338 (D)2016解析：⑴易知y= 71 +A-2与y=2x+—是偶函数,y=x+ —是奇函数，故选D.2' 兀(2)因为f (x+6) -f (x),所以函数F (x)的周期为6,因为f (1) -1, f (2) -2, F (3) =f (-3+6) -f (-3) —1, f (4) -f (-2+6) =f (-2) -0,f (5) -f (-1+6) -f (-1) —1, f (6) -f (0) »0,所以F (1) +f (2) +f (3) +...+f (2016) -336 [f (1) +f (2)+...+f (6) ] =336.故选A.函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、相互转化来解决相对综合的问题.主要的解题思路：奇偶性(-x)与f(x)的关系；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解;周期性主要转化方向是利用f (x) =f (x+a)把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性和奇偶性解决相关问题.1 ] (2015福州市质量检测)函数f(x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析 以是()(A)f(x)=x+sin x(B)f(x)二竺^XIT37E(C)f (X )=XCOS X (D)f(x)=x(x -)(X-J ) 2 27T解析：因为将(一，0)代入A 选项不成立，所以排除A,由于B 选项的定义域为XH 20,所以排除B.由于D 选项中只有三个零点，所以排除D 选项.通过验算可得C 选 项的函数成立•故选C.(3-a}x — 3,x< 7, 解析：因为数列{&}是递增数列,f(x)=丿' ) {aj=f(n) (n€NXa x ^,x>7,所以1<X3且f (7) <f (8),所以7 (3-a) -3<a 2,解得a<-9,或a>2.故实数a 的取 值范围是(2, 3).答案：(2, 3)数列｛&｝满足选例(3-6F )X —3,x < 7, a x^,x>l,a n -f(n) (neN-),且&是递增数列,则实数a 的取值范围是。

2016年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．23．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或05．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．56．已知双曲线，它的一个极点到较近核心的距离为1，核心到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=17．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．3010．已知△ABC三边长组成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值范围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．212．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为_______．14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为_______．15．设函数f（x）=lnx的概念域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为_______．16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F别离在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．19．甲、乙两同窗参加数学竞赛培训，现别离从他们在培训期间参加的若干次初赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同窗这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同窗中哪一名的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同窗在此后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的散布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 520．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是不是存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是不是存在知足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE彼此平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣别离交于A，B两点，求△AOB的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．2016年河南省周口市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．（1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，求出A的补集，再计算（∁U A）∩B．【解答】解：全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁U A={x|x＜﹣1或x＞1}，∴（∁U A）∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：C．2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则|+z|=（）A．2 B．C．3 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先求出+z，再求出其模即可．【解答】解：∵z=1+i，∴+z=+1+i===1﹣i+1+i=2，故|+z|=2，故选：A．3．不等式|2x﹣1|＞x+2的解集是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，+∞）【考点】绝对值三角不等式．【分析】选择题，对x+2进行分类讨论，可直接利用绝对值不等式公式解决：|x|＞a等价于x＞a或x＜﹣a，最后求并集即可．【解答】解：当x+2＞0时，不等式可化为2x﹣1＞x+2或2x﹣1＜﹣（x+2），∴x＞3或2x﹣1＜﹣x﹣2，∴x＞3或﹣2＜x＜﹣，当x+2≤0时，即x≤﹣2，显然成立，故x的范围为x＞3或x＜﹣故选：B．4．若函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）=（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0【考点】正弦函数的图象．【分析】由f（+x）=f（﹣x），可得x=是函数f（x）的对称轴，利用三角函数的性质即可取得结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+θ）对任意x都有f（+x）=f（﹣x），∴x=是函数f（x）的对称轴，即此时函数f（x）取得最值，即f（）=±2，故选：B5．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，按照已知即可求解．【解答】解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，∵y=，∴sin（）=∴=2kπ+，k∈Z，即可解得x=12k+1，k∈Z．∴当k=0时，有x=1．故选：C．6．已知双曲线，它的一个极点到较近核心的距离为1，核心到渐近线的距离是，则双曲线C的方程为（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c﹣a=1，求出渐近线方程和核心的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b=，由a，b，c的关系，可得a，进而取得所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线的一个极点（a，0）到较近核心（c，0）的距离为1，可得c﹣a=1，由双曲线的渐近线方程为y=x，则核心（c，0）到渐近线的距离为d==b=，又c2﹣a2=b2=3，解得a=1，c=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1．故选：A．7．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①② B．②③ C．①④ D．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的千米、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质彼此转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，①中正方体从同一点动身的三条线，知足已知可是a⊥c，所以①错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c，知足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或异面，所以③错误；④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；故选：D．8．设点M（x，y）是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点，O为坐标原点，则|OM|≤2的概率为（）A． B．C． D．【考点】几何概型．【分析】若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．知足|OM|≤2的点M组成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积，即可求出概率．【解答】解：这是一个几何概率模型．若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．知足|OM|≤2的点M组成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，面积为2[﹣（﹣）]= +，故|OM|≤2的概率为．故选：D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17=170，则a7+a9+a11的值为（）A．10 B．20 C．25 D．30【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9，而s17=17a9，故本题可解．【解答】解：∵a1+a17=2a9，∴s17==17a9=170，∴a9=10，∴a7+a9+a11=3a9=30；故选D．10．已知△ABC三边长组成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值范围为（）A．＜α≤B．＜α＜πC．≤α＜πD．＜α≤【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知按照三角形内角和定理得3α＞π，从而解得α＞，妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），利用余弦定理可得cosα=2﹣＞﹣1，结合三角形内角的范围即可得解．【解答】解：∵α为△ABC最大内角，∴3α＞π，即α＞，由题意，不妨设三角形三边为a﹣d，a，a+d，（a＞0，d＞0），则由余弦定理可得，cosα===2﹣=2﹣，又∵三角形两边之和大于第三边，可得a﹣d+a＞a+d，可得a＞2d，即，∴cosα=2﹣＞﹣1，又α为三角形内角，α∈（0，π），可得：α∈（，π）．故选：B．11．已知f（x）=在x=0处取得最小值，则a的最大值是（）A．4 B．1 C．3 D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】按照分段函数，别离讨论x的范围，求出函数的最小值，按照题意得出不等式a2＜a+2，求解即可．【解答】解：∵f（x）=，当x≤0时，f（x）的最小值为a2，当x＞0时，f（x）的最小值为2+a，∵在x=0处取得最小值，∴a2＜a+2，∴﹣1≤a≤2，故选D．12．若对∀x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（）A．B．1 C．2 D．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用大体不等式和参数分离可得a≤在x＞0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可取得a的最大值．【解答】解：当x=0时，不等式即为0≤e y﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；当x＞0时，设f（x）=e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立，即为不等式4ax≤f（x）恒成立．即有f（x）=e x﹣2（e y+e﹣y）+2≥e x﹣2•2+2=2+2e x﹣2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4ax≤2+2e x﹣2，即有a≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即有（x﹣1）e x﹣2=1，令h（x）=（x﹣1）e x﹣2，h′（x）=xe x﹣2，当x＞0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x﹣1）e x﹣2=1的根为2，当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为，则有a≤．当x=2，y=0时，a取得最大值．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为存在x0≤0，都有．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x≤0，都有x2＜0”的否定为：存在x0≤0，都有；故答案为：存在x0≤0，都有；14．若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则ab的值为 1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x3项的系数为20，取得ab的值．【解答】解：（ax2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•a6﹣r•b r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，故（ax2+）6的展开式中x3项的系数为•a3•b3=20，∴ab=1．故答案为：1．15．设函数f（x）=lnx的概念域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为．【考点】三角形的形状判断；函数的值．【分析】不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c，则可得ab＞M2，结合题意可得，结合a2+b2≥2ab可求c的范围，进而可求M的范围，即可求解【解答】解：不妨设c为斜边，则M＜a＜c，M＜b＜c∴ab＞M2由题意可得，∴∵a2+b2≥2ab＞2c∴c2＞2c即c＞2∴ab＞2∴故答案为：16．已知||=1，||=， =0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n （m、n∈R），则等于 3 ．【考点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．【分析】先按照=0，可得⊥，又因为===|OC|×1×cos30°==1×，所以可得：在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为，又按照=m+n=n+m，可得答案．【解答】解：∵||=1，||=， =0，⊥===|OC|×1×cos30°==1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵=m+n=n+m∴，两式相较可得： =3．故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），则数列{b n}中，b1=1，点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），可得a1=5，a2=3，a3=1．利用等差数列的通项公式即可得出．由点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，可得b n=a•2n．利用b1=1，解得a，即可得出．（II）c n=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）等差数列{a n}的公差为d（d＜0），a i∈{1，﹣2，3，﹣4，5}（i=1，2，3），∴a1=5，a2=3，a3=1．∴d=3﹣5=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n．∵点B n（n，b n）在函数g（x）=a•2x（a是常数）的图象上，∴b n=a•2n．∵b1=1，∴1=a×21，解得a=．∴b n=2n﹣1．（II）c n=a n•b n=（7﹣2n）•2n﹣1．∴数列{c n}的前n项和S n=5×1+3×2+1×22+…+（7﹣2n）•2n﹣1．∴2S n=5×2+3×22+…+（9﹣2n）•2n﹣1+（7﹣2n）•2n，∴﹣S n=5﹣2（2+22+…+2n﹣1）﹣（7﹣2n）•2n=5﹣﹣（7﹣2n）•2n=9﹣（9﹣2n）•2n，∴S n=（9﹣2n）•2n﹣9．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F别离在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，且设=，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．【分析】（1）成立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．（2）利用四点共面， =x+y，成立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F别离在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．∴成立以A为坐标原点，AB，AC，AA1别离为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），A1（0，0，6），B（2，0，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，2，4），则=（2，0，2），=（0，2，4），设平面AEF的法向量为=（x，y，z）则令z=1．则x=﹣1，y=﹣2，即=（﹣1，﹣2，1），平面ABC的法向量为=（0，0，1），则cos＜，＞===即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是；（2）若G为BC的中点，A1G与平面AEF交于H，则G（1，1，0），∵=，∴==λ（1，1，﹣6）=（λ，λ，﹣6λ），=+=（λ，λ，6﹣6λ）∵A，E，F，H四点共面，∴设=x+y，即（λ，λ，6﹣6λ）=x（2，0，2）+y（0，2，4），则，得λ=，x=y=，故λ的值为．19．甲、乙两同窗参加数学竞赛培训，现别离从他们在培训期间参加的若干次初赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同窗这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x；并由图中数据直观判断，甲、乙两同窗中哪一名的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同窗在此后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的散布列及数学期望Eξ．甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 5【考点】离散型随机变量的期望与方差；极差、方差与标准差；离散型随机变量及其散布列．【分析】（1）由题意利用平均数的概念仔细分析图表即可求得；（2）由题意记“甲同窗在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A，则，而随机变量ξ的可能取值为0、一、二、3，由题意可以分析出该随机变量ξ～B（3，），再利用二项散布的期望与散布列的概念即可求得．【解答】解：（1）依题意，解x=4，由图中数据直观判断，甲同窗的成绩比较稳定．（2）记“甲同窗在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A，则，随机变ξ的可能取值为0、一、二、3，ξ～B（3，），，其k=0、一、二、3．所以变ξ的散布列为：ξ0 1 2 3P20．已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长，设点P的轨迹为曲线E；（1）求曲线E的方程；（2）是不是存在一点Q（m，n），过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点，点（，）都在以原点为圆心，定值r为半径的圆上？若存在，求出m、n、r的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得，整理可得切线E 的方程（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角），代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0，由韦达定理得，，若使得点（，）在以原点为圆心，定值r为半径的圆上，则有=为定值【解答】解：（1）设P（x，y），圆方程x2﹣7x+y2+4=0化为标准式：则有∴（x﹣2）2=x2﹣7x+y2+4，整理可得y2=3x∴曲线E的方程为y2=3x．（2）过点Q任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）代入曲线E的方程y2=3x，得（n+tsinα）2=3（m+tcosα），sin2αt2+（2nsinα﹣3cosα）t+n2﹣3m=0由韦达定理得，，==═令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0得n=0，，此时为定值故存在．21．已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是不是存在知足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）按照所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，取得函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，问题转化为解一元二次不等式，注意对于a值进行讨论．（Ⅲ）求出函数g（x）在[0，a]上的极值、端点值，比较其中最小者即为h（a），再利用奇函数性质及大体不等式求出f（x）的最小值，对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，等价于f（x）min＞h（a），在上只要找到一a值知足该不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，得，∴，∴，得，令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，经查验x=±1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）因为，∴，令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，单调递增区间为，②当a＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ）因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．当x转变时，g'（x）与g（x）的转变情况如下表：x （0，x0）x0（x0，a）g'（x）+ 0 ﹣g（x）↗↘∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．又g（0）=0，，∴h（a）=g（a），∴，b=0时，由函数是奇函数，且，∴x＞0时，，当x=1时取得最大值；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，，∴函数f（x）的最小值为，要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，∴存在知足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．请考生在2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，P为圆外一点，PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，过点P作AB的垂线交圆于C、E两点（C、D两点在AB的同侧），垂足为F，连接AD交PE于点G．（1）证明：PC=PD；（2）若AC=BD，求证：线段AB与DE彼此平分．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，证明：∠DGP=∠PDG，即可证明PC=PD；（2）若AC=BD，证明DE为圆的一条直径，即可证明线段AB与DE彼此平分．【解答】证明：（1）∵PD为圆的切线，切点为D，AB为圆的一条直径，∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∵PE⊥AB∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，∴∠FGA+∠DAB=90°，∴∠FGA=∠DBA．∵∠FGA=∠DGP，∴∠DGP=∠PDA，∴∠DGP=∠PDG，∴PG=PD；（2）连接AE，则∵CE⊥AB，AB为圆的一条直径，∴AE=AC=BD，∴∠EDA=∠DAB，∵∠DEA=∠DBA，∴△BDA≌△EAD，∴DE=AB，∴DE为圆的一条直径，∴线段AB与DE彼此平分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣别离交于A，B两点，求△AOB的面积；（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C 在直角坐标系下的普通方程．将其化为极坐标方程为，别离代入和，可得|OA|，|OB|，，利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x﹣y﹣2=0，与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程为，将其化为极坐标方程为，别离代入和，得，∵，故△AOB的面积．（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程，得x﹣y﹣2=0，联立方程，解得x=2，y=0，或，∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或．[选修4-5：不等式选讲]24．已知：函数f（x）=|1﹣3x|+3+ax．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）若a=﹣1，不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，去掉绝对值解不等式f（x）≤5；（2）分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=|3x﹣1|+3﹣x，所以不等式f（x）≤5，即为|3x﹣1|≤x+2，讨论：当时，3x﹣1﹣x+3≤5，解之得；当时，﹣3x+1﹣x+3≤5，解之得，综上，原不等式的解集为…（2），分析知函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3…。

某某省某某市2016届高三数学下学期第二次模拟考试试题理（扫描版）NCS20160607项目第二次模拟测试卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCDCDABADBAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2π； 14．7； 15．20π； 16．98 三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．解：（Ⅰ）当点P 在三角形ABC 外，且CP AB ⊥时，23BCP π∠=， 又1,cos36CP BC AB π==⋅=，所以22||19213cos133BP π=+-⨯⨯=，…………4分 所以11339sin 2sin 26sin 3BCP BCP π=⇒∠=∠；………………………………………6分（Ⅱ）以点C 为原点，过点C 且平行于AB 的直线为x 轴，建立直角坐标系， 则33333(,),(,)2222A B ---，设(cos ,sin )P θθ，则 33333(cos ,sin )(cos ,sin )2222PA PB θθθθ⋅=++⋅-+2299cos 3cos sin 3sin 3sin 3cos 144θθθθθθ=--+++=-+23sin()16πθ=-+，…………………………………………………………………10分所以PA PB ⋅的取值X 围是[231,231]-++．……………………………………12分18．解：（Ⅰ）投资甲项目4万元，一年后获利1万元、12万元、1-万元的概率分别是0.2,0.4,0.4，投资项目乙4万元，一年后获利2万元、0万元、1-万元的概率分别是0.4,0.2,0.4，……2分 所以一年后这两个项目盈利和不低于0万元的概率是：0.410.20.60.40.20.6P =⨯+⨯+⨯=；………………………………………………5分（Ⅱ）设投资项目甲x 万元，投资项目乙8x -万元， 盈利期望和11110.20.40.4(1)0.4(8)0.4()(8)4424y x x x x =⨯+⨯-+⨯-+⨯--zyxBDB 1AA 1CC 1D 1E化简得2820x x y -++=，………………………………………………………………9分所以当1x =时，y 最大，最大值是25万元， 综上：应该投资项目甲1万元，项目乙7万元．…………………………………………12分19．（Ⅰ）证明：2221112cos 603AB AB BB AB BB =+-⋅︒=，所以22211AB AB BB +=，所以1B A AB ⊥，又因为侧面11AA B B ⊥底面ABCD ，所以1B A ⊥底面ABCD ，所以1B A BD ⊥，………………………………………………3分 又因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，所以BD ⊥平面1AB C ， 所以平面1AB C ⊥平面1BDC ；……………………………5分 所在直线（Ⅱ）由（1）知11,B A AB B A AD ⊥⊥，如图以1,,AB AD AB 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,3)A B C D B ， 平面1AB C 的法向量为(1,1,0)BD =-，设111A E A D λ=， 平面ACE 的法向量(,,)m x y z =，则1(0,,0)A E AD λλ==，所以1111(1,3)AE AA A E BB A E λ=+=+=-， 由030m AE x y z λ⋅=⇒-++=，由00m AC x y ⋅=⇒+=，令1x =，则1,3y z =-=，即(1,3m =-，………………………………………………………………8分所以2cos ,(1)223BD m λ<>=+⋅+，226(1)2333(1)223λλ+=⇒+=+⋅+，解得31λ=，所以在棱11A D 上存在点E ，使二面角1E AC B --的余弦值是63，11131A EA D =-．…12分 20．解：（1）设点1122(,),(,)A x y D x y ，则11(,)B x y --，则2222112222221,1,x y x y a b a b+=+= 因为AD AB ⊥，所以1AD k k=-，因此2121212111,4y y y y k k x x x x -+-==-+， 所以22222221221222222121()1144b x x y y b a x x x x a ----==⇒=--，………………………………4分 又223a b -=，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.……………………………6分 （2）因为11y k x =，所以12111:()4yl y y x x x +=+， 令0y =得13M x x =，令0x =得134N y y =-， 所以1119||||||28OMN S OM ON x y =⋅=△，……………………………………………9分 因为2211111||4x y x y =+≥，且当11||2||x y =时，取等号， 所以OMN △面积的最大值是98．………………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）22'()[(1)1](21)[(1)]xxxf x e x m x e x m e x m x m ---=-+-+++-=-++-()(1)x e x m x -=---，………………………………………………………………1分设切点为(,0)t ，则'()0,()0f t f t ==，即2()(1)0[(1)1]0tt e t m t e t m t --⎧---=⎪⎨+-+=⎪⎩，…………3分解得：13t m =⎧⎨=⎩或1t mm =⎧⎨=-⎩， 所以m 的值是3或1-；………………………………………………………………5分 （Ⅱ）依题意，当[0,1]x ∈时，函数max min ()2()f x f x >，………………………6分（一）1m ≥时，当[0,1]x ∈时，'()0f x ≤，函数()f x 单调递减， 所以(0)2(1)f f >，即31232m em e ->⨯⇒>-；……………………………7分 （二）0m ≤时，[0,1]x ∈时，'()0f x ≥，函数()f x 单调递增， 所以(1)2(0)f f >，即3232mm e e->⇒<-；………………………………8分 （三）当01m <<时，当(0,)x m ∈时'()0f x <，当(,1)x m ∈时，'()0f x >，所以min 1()()m m f x f m e+==，max ()(0)f x f =或(1)f ，………………………………9分 记函数1()m m g m e +=，'()m mg m e-=，当0m ≥时，'()0g m ≤，()g m 单调递减，所以(0,1)m ∈时，2()(1)g m g e >=，所以min 2(1)42()1(0)m m f x f e e+=>>=，min 2(1)4332()(1)mm mf x f e e e e+-=>>>=，不存在(0,1)m ∈使得max min ()2()f x f x >， 综上:实数m 的取值X 围是(,32)(3,)2ee -∞-⋃-+∞．………………………………12分请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 解：（Ⅰ）设圆B 交线段AB 于点C ，因为AB 为圆O 一条直径，所以BF FH ⊥，………………2分 又DHBD ，故B 、D 、F 、H 四点在以BH 为直径的圆上所以，B 、D 、F 、H 四点共圆.……………………3分 所以AB AD AF AH ⋅=⋅．……………………4分（Ⅱ）因为AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得 2AC AB BD =-=，2AF AC AD =⋅,即()2222AD =⋅，=4AD ，………………………………6分所以()1=112BD AD AC BF BD -===，又AFB ADH ∆∆, 则DH ADBF AF=, 得2DH =………………………………8分 连接BH ,由（1）可知BH 为BDF 的外接圆直径223BH BD DH =+=,故BDF 的外接圆半径为3……………10分 23.解：（Ⅰ）由2sin 2cos ρθθ=-，可得22sin 2cos ρρθρθ=-所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y x +=-，…………………………4分（Ⅱ）直线l的方程为22:2x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化成普通方程为2y x =+……………………………………………………………7分由22222x y y x y x ⎧+=-⎨=+⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或20x y =-⎧⎨=⎩…………………………………9分所以AB =10分 24．解：（Ⅰ）当1a 时，不等式()2f x 可化为|1||21|2x x①当12x ≥时，不等式为32x ，解得23x ≥，故23x ≥；②当112x -≤<时，不等式为22x ，解得0x ≤，故10x -≤≤；③当1x <-时，不等式为32x ，解得23x ≤-，故1x <-；……………4分综上原不等式的解集为20,3x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或………………………………………5分（Ⅱ）()2f x x 在1[,1]2x ∈时恒成立，当1[,1]2x ∈时，不等式可化为|1|1ax +≤，………………………………………7分解得2200ax a x-≤≤⇒-≤≤，因为1[,1]2x ∈，所以2[4,2]x-∈--，……………………………………………9分所以a 的取值X 围是[2,0]-．………………………………………………………10分。

【全套】全国新课标通用2016年高考数学（理）专题复习高考仿真卷目录第三部分 高考仿真卷 (1)高考仿真卷(A 卷) (1)高考仿真卷(B 卷) (9)参考答案 (18)第三部分 高考仿真卷 (18)第三部分 高考仿真卷高考仿真卷(A 卷)(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |y ＝lg 2－x x }，N ＝{x |x ＜1}则M ∪N ＝( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(－∞，2)D ．(0，＋∞) 2．已知复数z 满足z (1＋i)3＝1－i ，则复数z 对应的点在________上( )A ．直线y ＝－12xB ．直线y ＝12xC ．直线y ＝－12D ．直线x ＝－123．已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M ＝2a ，N ＝5－b ，P ＝ln c ，则M ，N ，P 的大小关系为( )A ．P ＜N ＜MB ．P ＜M ＜NC ．M ＜P ＜ND ．N ＜P ＜M4．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝ln 2－x 2＋xC ．f (x )＝－|x ＋1|D ．f (x )＝12(e x －e －x )5．已知实数x ∈[1，10]，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为( )A.13B.49C.25D.3106．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B.3 C.3＋12 D.5＋127．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和为S n ＝42，则n ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．38．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π49．已知变量x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为( ) A ．4 B ．2 2 C ．2 D.210.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为()A.16B.13C.23D.5611．已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，点A 、B 是抛物线上的两点，且AF→＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为( ) A.83 B ．2 C.43 D.5312．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ＜1时，f (x )＝x ，则函数g (x )＝f (x )－ln |x |的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ＋y 的值为________.14.设O 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知边b ＝2，c ＝7，则BC →·AO→＝______． 15．设，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 6展开式的常数项为______． 16．已知函数f (x )＝x ＋sin x ，项数为19的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，且f (a k )＝0，则k 的值为________．三、解答题(本小题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知b ＝a cos C ＋c sin A ，cos B ＝45.(1)求cos C 的值；(2)若BC ＝10，D 为AB 的中点，求CD 的长．18．(本小题满分12分)为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办一场数学知识竞赛，共分为甲乙两组，其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生，现从得满分的学生中，每个组任选2个学生，作为数学组的活动代言人．(1)求选出的4个学生中恰有1个女生的概率；(2)设X 为选出的4人学生中女生的人数，求X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AB ＝2CB ＝2.在梯形ACEF 中，EF ∥AC ，且AC ＝2EF ，EC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥AF ；(2)若二面角D －AF －C 为45°，求CE 的长．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，若过点M (2，0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS→＋OT →＝tOP →(O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1，g (x )＝－x 2＋(a ＋1)x ＋1.(1)若对任意的x ∈[1，e]，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数h(x)在其定义域内存在实数x0，使得h(x0＋k)＝h(x0)＋h(k)(k≠0且为常数)成立，则称函数h(x)为保k阶函数，已知H(x)＝f(x)－(a－1)x＋a－1为保a阶函数，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，已知∠EAD＝∠PCA.证明：(1)AD＝AB；(2)DA2＝DC·BP.23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，曲线C 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α. (1)写出直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0，4]．(1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值．高考仿真卷(B 卷)(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2≥4}，B ＝{y |y ＝|tan x |}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(－∞，2]B ．(0，＋∞)C ．(0，2)D ．[0，2)2．复数z 为纯虚数，若(3－i)·z ＝a ＋i(i 为虚数单位)，则实数a 的值为( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－33．已知平面向量a ，b 的夹角为45°，且a ＝(2，－2)，|b |＝1，则 |a －b |＝( ) A. 2 B ．2 C. 5 D ．34．下列命题中为真命题的是( )A ．a －b ＝0的充要条件是a b ＝1B ．∀x ∈R ，e x ＞x eC ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0D ．若p ∧q 为假，则p ∨q 为假5.函数y ＝sin(ωx ＋φ)(φ＞0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若cos ∠APB ＝－55，则ω的值为( )A.π4B.π3C.π2 D ．π6．以下三个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②老张身高176 cm ，他爷爷、父亲、儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm ，因儿子的身高与父亲的身高有关，用回归分析的方法得到的回归方程为y ^＝x ＋a ，则预计老张的孙子的身高为180 cm ； ③若某项测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)，且P (ξ≤4)＝0.9，则 P (ξ≤－2)＝0.1.其中真命题的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．07．执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．5B ．6C ．7D ．88．将函数f (x )＝sin x cos x 的图象向左平移π4个长度单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋34π(k ∈Z )9．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为233，则该锥体的俯视图可以是( )10．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n (n ∈N *)的展开式中，所有项的二项式系数和与所有项的系数和分别为a n 、b n ，则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n ＝( )A ．2n －1＋3B ．2(2n －1＋1)C ．2n ＋1D ．111．已知函数f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1与y ＝g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，P ，Q 分别是函数f (x )，g (x )图象上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A.55 B. 5 C.255D ．2 512．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT | B ．b －a ＞|MO |－|MT | C ．b －a ＜|MO |－|MT | D ．b －a ＝|MO |＋|MT |第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝3，A ＝120°，且S △ABC ＝1534，则边长a ＝________.14．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为________．16．对于函数f (x )，若存在区间A ＝[m ，n ]，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A }＝A ，则称函数f (x )为“同域函数”，区间A 为函数f (x )的一个“同域区间”，给出下列四个函数：①f (x )＝cos π2x ；②f (x )＝x 2－1；③f (x )＝|x 2－1|；④f (x )＝log 2(x －1)． 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是________(请写出所有正确的序号)．三、解答题(本小题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝18，且S 2＋116，S 3，S 4成等差数列，数列{b n }满足b n ＝8n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S －ABC 中，SB ⊥底面ABC ，SB ＝AB ＝2，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 、E 分别是SA 、SC 的中点． (1)求证：平面ACD ⊥平面BCD ； (2)求二面角S －BD －E 的平面角的大小．19.(本小题满分12分)为了了解两种电池的待机时间，研究人员分别对甲、乙两种电池做了7次测试，测试结果统计如下表所示：(1)试计算7次测试中，甲、乙两种电池的待机时间的平均值和方差，并判断哪种电池的性能比较好，简单说明理由；(2)为了深入研究乙电池的性能，研究人员从乙电池待机时间测试的7组数据中随机抽取4组分析，记抽取的数据中大于121的个数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．(本小题满分12分)如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2，已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM 与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xln x＋ax，x＞1.(1)若f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a＝2，求函数f(x)的极小值；(3)若方程(2x－m)ln x＋x＝0在区间(1，e]上有两个不相等实根，求实数m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲切线AB与圆切于点B，圆内有一点C满足AB＝AC，∠CAB的平分线AE交圆于D，E，延长EC交圆于F，延长DC交圆于G，连接FG.(1)证明：AC ∥FG ； (2)求证：EC ＝EG .23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C以M 为圆心，4为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)试判定直线l 与圆C 的位置关系．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋1|. (1)解关于x 的不等式f (x )≥4－x ；(2)设a ，b ∈{y |y ＝f (x )}，试比较2(a ＋b )与ab ＋4的大小．参考答案第三部分 高考仿真卷高考仿真卷(A 卷)1．C [∵M ＝{x |y ＝lg 2－xx }＝(0，2)，N ＝{x |x ＜1}， ∴M ∪N ＝(0，2)∪(－∞，1)＝(－∞，2)．] 2．D [由z (1＋i)3＝1－i ，得z ＝1－i （1＋i ）3＝－12，∴复数z 对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0在直线x ＝－12上．]3．A [∵M ＝2a ＞20＝1，P ＝ln c ＜0，又N ＝5－b ，0＜b ＜1，知0＜N ＜1，因此M ＞N ＞P .]4．B [f (x )＝sin x ，f (x )＝12(e x －e －x)在[－1，1]上均是增函数，且f (x )＝－|x ＋1|为非奇非偶函数，只有f (x )＝ln 2－x2＋x 是奇函数，且在[－1，1]上是减函数．]5．A [由程序框图知，输出的值为2[2(2x ＋1)＋1]＋1， 依题设，有8x ＋7≥63，∴x ≥7.从而7≤x ≤10. 根据几何概型，所求的概率P ＝10－710－1＝13.]6．D [不妨设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点F (－c ，0)，虚轴的顶点B (0，b )．又直线FB 与双曲线的一条渐近线垂直， ∴b －00－（－c ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，则b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－ca －1＝0，则e ＝ca ＝5＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝1－52舍去.] 7．D [由等比数列的性质，a 1·a n ＝a 3·a n －2＝64， ∴a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根． 又数列{a n }递增，∴a 1＝2，a n ＝32， 从而S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q1－q＝42，则q ＝4. 又a n ＝32＝a 1·q n －1， ∴2·4n －1＝32＝25，n ＝3.]8．C [∵f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴平移后的函数φ(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ.又平移后函数的图象关于y 轴对称，∴π4－2φ＝k π＋π2，φ＝－k π2－π8，k ∈Z ，取k ＝－1，得φ的最小正值为38π.]9．A [作出可行域如图所示(阴影部分)．设t ＝2x ＋y ，当直线t ＝2x ＋y 过点A (1，2)时，t ＝2x ＋y 有最大值t max ＝2×1＋2＝4，因此z ＝ (2)2x ＋y 的最大值为(2)4＝4.]10．D [由三视图知，几何体为正方体截去一个三棱锥后剩余部分(如图)．∵V正方体＝1，V棱锥A －DA 1B＝13×12×1×1×1＝16，∴所求几何体的体积V ＝1－16＝56.]11．A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且F (1，0)． ∵AF →＝3FB →，∴(1－x 1，－y 1)＝3(x 2－1，y 2)， 因此x 1＝4－3x 2，且y 1＝－3y 2，又y 21＝4x 1，知9y 22＝16－12x 2，代入y 22＝4x 2，得x 2＝13，从而x 1＝3，由抛物线定义，弦AB 的中点到准线的距离d ＝12⎝⎛⎭⎪⎫13＋3＋1＝83.] 12．B [∵f (x ＋1)＝－f (x )，且0≤x ＜1时，f (x )＝x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ＜1，1－x ，1≤x ＜2.又易知y ＝f (x )的最小正周期T ＝2，在同一坐标系中作y ＝f (x )与y ＝ln |x |的图象(如图)．由图象知，两函数图象有3个交点，因此函数g (x )＝f (x )－ln |x |有3个零点．]13．13 [根据茎叶图，甲组的中位数为10＋x ＝15，∴x ＝5.又∵9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，解得y ＝8，∴x ＋y ＝5＋8＝13.] 14．－1 [设M 为边BC 的中点，则AO →＝23AM →，又BC→＝AC →－AB →，AM →＝12(AB →＋AC →)，所以BC →·AO →＝(AC →－AB →)·13(AB →＋AC →)＝13(AC →2－AB →2)． 由于AC →2＝b 2＝4，AB →2＝c 2＝7.所以BC →·AO →＝13(4－7)＝－1.]15．160 [∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 6展开式中的常数项为T 4＝C 36·23＝160.] 16．10 [f (x )＝x ＋sin x 为奇函数，∴f (0)＝0.又等差数列{a n }中有19项，且a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，由f (a k )＝0，知a k ＝0.∵f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a k )＋…＋f (a 19)＝0， ∴f (a 10)＝0，则a k ＝a 10，从而k ＝10.]17．解 (1)由b ＝a cos C ＋c sin A 及正弦定理，得sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C sin A ，则cos A sin C ＝sin C sin A ，由于0<C <π知sin C ≠0，∴tan A ＝1，又A ∈(0，π)， 所以A ＝π4.又cos B ＝45，B ∈(0，π)，知sin B ＝35，∴cos C ＝cos(π－A －B )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫34π－B＝cos 34πcos B ＋sin 34πsin B ＝－210.(2)由(1)可得sin ∠ACB ＝1－cos 2∠ACB ＝7210，在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin A ＝ABsin ∠ACB ，则AB ＝14.在△BCD 中，BD ＝12AB ＝7，根据余弦定理得，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝72＋102－2×7×10×45＝37，所以CD ＝37.18．解 (1)设“从甲组内选出的2个同学均为男生；从乙组内选出的2个同学中，恰1个男生，1个女生”为事件A .“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件B ，由于事件A 、B 互斥，且P (A )＝C 23C 12C 14C 24C 26＝415，P (B )＝C 13C 24C 24C 26＝15，故所求事件的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝415＋15＝715. (2)依题意，X 可能的取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 23C 24C 24C 26＝15，P (X ＝1)＝P (A ＋B )＝715，P (X ＝2)＝C 11C 13·C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝310，P (X ＝3)＝C 22C 13C 11C 26C 24＝130，∴随机变量X 的分布列为因此X 的数学期望E (X )＝0＋1×715＋2×310＋3×130＝76.19．(1)证明 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 60°＝3，所以AB 2＝AC 2＋BC 2，由勾股定理知∠ACB ＝90°，所以BC ⊥AC .又因为EC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥EC .又因为AC ∩EC ＝C ，所以BC ⊥平面ACEF .又AF ⊂平面ACEF ，所以BC ⊥AF .(2)解 因为EC ⊥平面ABCD ，又由(1)知BC ⊥AC ，所以以点C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CE ＝h ，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，h ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0. ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，h .设平面DAF 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧AD →·n 1＝0，AF →·n 1＝0.即⎩⎨⎧－32x －12y ＝0，－32x ＋hz ＝0.令x ＝3，所以n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－3，32h . 又平面AFC 的法向量n 2＝(0，1，0)， 所以cos 45°＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝22，解得h ＝64.所以CE 的长为64.20．解 (1)由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2.∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|c ＋1|2＝a (*)∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c ，a ＝2b ＝2c ，代入(*)式得b ＝c ＝1，所以a ＝2b ＝2，故所求的椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝k (x －2)，设P (x 0，y 0)，将直线方程代入椭圆方程得：(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， ∴Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝－16k 2＋8＞0，则k 2＜12. 设S (x 1，y 1)．T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.由OS→＋OT →＝tOP →， ①当t ＝0时，直线l 为x 轴，P 点在椭圆上适合题意．②当t ≠0时，得⎩⎨⎧tx 0＝x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，ty 0＝y 1＋y 2＝k （x 1＋x 2－4）＝－4k1＋2k 2，∴x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2，代入椭圆方程，得32k 4t 2（1＋2k 2）2＋16k 2t 2（1＋2k 2）2＝1.从而得t 2＝16k 21＋2k2.由k 2＜12，知0＜t 2＜4，则－2＜t ＜2且t ≠0. 综上①②知，实数t 的取值范围为(－2，2)．21．解 (1)因为对任意的x ∈[1，e]，不等式f (x )≥g (x )恒成立， 即a ln x －x ＋1≥－x 2＋(a ＋1)x ＋1恒成立，a (x －ln x )≤x 2－2x 恒成立．由于x ∈[1，e]，所以ln x ≤ln e ＝1≤x .因为等号不能同时成立，所以ln x ＜x ，即x －ln x ＞0. 所以a ≤x 2－2xx －ln x恒成立．令F (x )＝x 2－2xx －ln x ，所以a ≤F (x )min (x ∈[1，e]，)由于F ′(x )＝（x －1）（x ＋2－2ln x ）（x －ln x ）2，由于1≤x ≤e ，所以x －1≥0，x ＋2－2ln x ＝x ＋2(1－ln x )＞0，所以F ′(x )＞0.所以函数F (x )＝x 2－2x x －ln x 在区间[1，e]上单调递增．因此F (x )≥F (1)＝12－21－0＝－1，故a ≤－1.所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)因为H (x )＝f (x )－(a －1)x ＋a －1＝a ln x －ax ＋a (x ＞0)，根据保a 阶函数的概念，所以存在x 0＞0，使得H (x 0＋a )＝H (x 0)＋H (a )， 即a [ln(x 0＋a )－(x 0＋a )＋1]＝a (ln x 0－x 0＋1)＋a (ln a －a ＋1)＝a (ln x 0－x 0＋1＋ln a －a ＋1)，所以ln(x 0＋a )－(x 0＋a )＋1＝ln x 0－x 0＋1＋ln a －a ＋1所以ln(x 0＋a )＝ln x 0＋ln a ＋1，则ln ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋a ax 0＝1. 所以x 0＋a ax 0＝e ，从而a ＝1e －1x. 因为x 0＞0，所以a ＞1e ，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 22.证明 (1)∵EP 与⊙O 相切于点A ，∴∠EAD ＝∠DCA . 又∠EAD ＝∠PCA ，∴∠DCA ＝∠PCA ，∴AD ＝AB.(2)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠D ＝∠PBA .又∠DCA ＝∠PCA ＝∠P AB ， ∴△ADC ∽△PBA ， 因此DA BP ＝DC BA ，即DA BP ＝DCDA . 故DA 2＝DC ·BP23．解 (1)由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝12， ∴32y －12x ＝12，因此直线l 的方程为x －3y ＋1＝0. (2)由已知，曲线C 上任意点P 为(2＋2cos α，2sin α)． 所以，点P 到直线l 的距离d ＝|2＋2cos α－23sin α＋1|2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋32≤72.故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为72. 24．解 (1)不等式m －|x －2|≥1化为|x －2|≤m －1， ∴1－m ≤x －2≤m －1，即3－m ≤x ≤m ＋1. 又不等式m －|x －2|≥1的解集为[0，4]，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＝0，m ＋1＝4，故m ＝3.(2)法一 由(1)知，a ＋b ＝3， 又(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2≥92，当且仅当a ＝b ＝32时，等号成立，故a 2＋b 2的最小值为92.法二 由(1)知，a ＋b ＝3，根据柯西不等式，得(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ×1＋b ×1)2＝(a ＋b )2＝9，∴a 2＋b 2≥92，当且仅当a ＝b ＝32时等号成立．故a 2＋b 2的最小值为92.高考仿真卷(B 卷)1． D [A ＝{x |x 2≥4}＝{x |x ≥2或x ≤－2}，B ＝{y |y ＝|tan x |}＝[0，＋∞)，∴(∁R A )∩B ＝(－2，2)∩[0，＋∞)＝[0，2)．] 2．A [设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，且(3－i)·z ＝a ＋i ， ∴(3－i)·b i ＝a ＋i ，即3b i ＋b ＝a ＋i.由复数相等的定义，a ＝b 且3b ＝1，因此a ＝13.]3．C [∵|a －b |2＝a 2－2a·b ＋b 2，又a ＝(2，－2)，|b |＝1，且〈a ，b 〉＝45°，所以|a －b |2＝8－2|a ||b |cos 45°＋1＝5，则|a －b |＝ 5.]4．C [“a －b ＝0”是“ab ＝1”的必要不充分条件，则A 为假命题；显然B 中当x ＝e 时不成立，B 为假命题；当x 0＝0时，|x 0|≤0成立，故C 为真命题；D 为假命题．]5．C [过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，由cos ∠APB ＝－55，得tan ∠APB ＝－2，∵∠APB ＝∠APC ＋∠CPB ，且tan ∠APC ＝T 4，tan ∠CPB ＝3T 4，∴tan ∠APB ＝tan ∠APC ＋tan ∠CPB1－tan ∠APC ·tan ∠CPB＝T 4＋3T 41－T 4·3T 4＝－2，因此T ＝4，所以ω＝2πT ＝π2.]6．C [①应为系统抽样，①不正确；命题②中，x ＝173＋170＋1763＝173，y ＝170＋176＋1823＝176，∴176＝173＋a ，知a ＝3. 因此预计老张的孙子的身高y ^＝182＋3＝185(cm)，②为假命题；③中，ξ～N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝0.9，∴P (ξ≤－2)＝P (ξ＞4)＝1－P (ξ≤4)＝0.1，因此③为真命题． 综合①，②为假命题，只有③为真命题．] 7．B [执行1次循环后，n ＝8，i ＝2； 执行2次循环后，n ＝31，i ＝3； 执行3次循环后，n ＝123，i ＝4； 执行4次循环后，n ＝119，i ＝5； 执行5次循环后，n ＝476，i ＝6. 此时476＞123退出循环体，输出i ＝6.]8．A [∵f (x )＝12sin 2x ，所以函数g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12cos 2x .令2k π－π≤2x ≤2k π，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .]9．C [由正视图和侧视图知，锥体的高h ＝22－12＝ 3. 由V ＝13·S 底·h ，得S 底＝2，在四个选项中，只有C 项满足S 底＝2.] 10．C [由题设，a n ＝2n，b n ＝12n ，∴数列{a n }的前n 项和S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，数列{b n }的前n 项和T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ＝2n－12n ，故a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝S n T n＝2·2n ＝2n ＋1.] 11．D [依题意，当P ，Q 是与直线2x －y －3＝0平行的直线分别与y ＝f (x )，y ＝g (x )的切点时，|PQ |最小． 设P (x 0，y 0)，由f ′(x )＝e x ＋2x ＋1， ∴f ′(x 0)＝e x 0＋2x 0＋1＝2，∴e x 0＋2x 0＝1，易知e 0＋2×0＝1，且y ＝e x ＋2x ＋1是增函数，∴x 0＝0，从而切点P 为(0，2)．又点(0，2)到2x －y －3＝0的距离d ＝|－2－3|22＋12＝5，故|PQ |min ＝2 5.]12．A [∵M 为PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点，∴2|OM |＝|PF 2|. 由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴2|MF 1|－2|OM |＝2a ，即|MF 1|－|OM |＝a (*)．∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|TF 1|2＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b 2，则|TF 1|＝b ，因此|MF 1|＝|MT |＋|TF 1|＝|MT |＋b ，代入(*)式，|MT |＋b －|OM |＝a ，于是b －a ＝|OM |－|MT |.]13．7 [∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32b ·32＝1534，∴b ＝5.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋9＋15＝49，所以a ＝7.]14.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32[作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1所表示的区域，由1≤ax ＋y ≤4得，由图可知，a ≥0且在(1，0)点取得最小值，在(2，1)点取得最大值，所以a ≥1，2a ＋1≤4，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.]15．12π [设O 1为斜边BC 的中点，则O 1为△ABC 的外接圆的圆心，∴OO 1⊥平面ABC ，则O 1O ＝1.在Rt △OBO 1中，O 1B ＝12BC ＝2，于是OB ＝O 1O 2＋O 1B 2＝3，∴球的半径R ＝OB ＝3，则球的表面积S ＝4πR 2＝12π.]16．①②③ [①中的存在A ＝[0，1]，②中存在A ＝[－1，0]，③中存在A ＝[0，1]，使得{y |y ＝f (x )，x ∈A |}＝A .因此①②③为“同域函数”．④中，当1＜x ＜2时，f (x )＜0；当x ≥2时，f (x )≥0，不满足．] 17．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，∵S 2＋116，S 3，S 4成等差数列，∴2S 3＝S 2＋S 4＋116，即a 3＝a 4＋116.又a 3＝18，从而a 4＝116， ∴公比q ＝a 4a 3＝12，则a 1＝a 3q 2＝12，故a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n ，n ∈N *. (2)当b n ＝8n 时，a n b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n·8n ，T n ＝12·8＋122·16＋123·24＋…＋12n ·8n ，①12T n ＝122·8＋123·16＋124·24＋…＋12n ·8(n －1)＋12n ＋1·8n ，② ①－②得12T n ＝12·8＋122·8＋123·8＋…＋12n ·8－12n ＋1·8n ＝8－16＋8n 2n ＋1，故T n ＝16－16＋8n2n .18.(1)证明 由∠ABC ＝π2，得BA ⊥BC .又SB ⊥底面ABC ，∴以B 为坐标原点建立如图所示的坐标系B －xyz .则A (2，0，0)，C (0，6，0)，D (1，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，1，S (0，0，2)．易得：AD →＝(－1，0，1)，BC →＝(0，6，0)，BD →＝(1，0，1)．又AD →·BC →＝0，AD →·BD→＝0，∴AD →⊥BC →，AD →⊥BD →， ∴AD ⊥BC ，AD ⊥BD .又BC ∩BD ＝B ，∴AD ⊥平面BCD .又AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD .(2)解 又BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，1，设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，1)，所以⎩⎨⎧BE →·n ＝0，BD →·n ＝0⇒⎩⎨⎧62y ＋1＝0，x ＋1＝0⇒n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－63，1.又平面SBD 的法向量为BC→，BC →＝(0，6，0)，∴cos 〈BC →，n 〉＝BC →·n |BC →||n |＝－26·83＝－24＝－12. ∴二面角S －BD －E 平面角的大小为π3. 19．解 (1)由统计图表知，x 甲＝120＋0＋5＋2＋4＋4＋3＋37＝123(h)， x 乙＝120＋－2＋3＋7＋0＋4＋0＋27＝122(h)， ∴s 2甲＝17[(120－123)2＋(125－123)2＋(122－123)2＋(124－123)2×2＋(123－123)2×2]＝167，s 2乙＝17[(118－122)2＋(123－122)2＋(127－122)2＋(120－122)2×2＋(124－122)2＋(122－122)2]＝547，则s 2甲＜s 2乙，x 甲＞x 乙．故甲电池的待机时间及稳定性均优于乙电池，甲电池的性能较好． (2)乙电池的7组数据中大于121的有4个，小于或等于121的有3个，因此随机变量X 的可能取值为1，2，3，4.∴P (X ＝1)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝2)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝3)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝4)＝C 44C 03C 47＝135.故X 的分布列为：故数学期望E (X )＝1×435＋2×1835＋3×1235＋4×135＝167.20．解 (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，0)，F 4(3b ，0)， 于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2， 故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1，0)， 故可设直线AB 的方程为x ＝my －1.由⎩⎨⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式Δ＝(－2m )2－4×(－1)×(m 2＋2)＝8(m 2＋1)>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根， 所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ， 即mx ＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m 2x ，x 22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2， 从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ， 则点B 到直线PQ 的距离也为d ， 所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧， 所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|， 从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4. 又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m2m ＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4. 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m 22－m2＝22·－1＋32－m2. 而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.21．解 (1)f ′(x )＝ln x －1ln 2x ＋a ，且f (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴f ′(x )≤0在x ∈(1，＋∞)上恒成立， 则a ≤1ln 2x －1ln x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14，∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，∴1ln x －12＝0时函数t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14的最小值为－14，∴a ≤－14.(2)当a ＝2时，f (x )＝x ln x ＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2x ln 2x .令f ′(x )＝0，得2ln 2x ＋ln x －1＝0，解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍)，于是x ＝ e. 当1＜x ＜e 时，f ′(x )＜0；当x ＞e 时，f ′(x )＞0. ∴当x ＝e 时，f (x )有极小值f (e)＝eln e ＋2e ＝4 e.(3)将方程(2x －m )ln x ＋x ＝0化为(2x －m )＋xln x ＝0， 整理得xln x ＋2x ＝m ，因此函数f (x )＝xln x ＋2x 与直线y ＝m 在(1，e]上有两个交点，由(2)知，f (x )在(1，e)上递减，在(e ，e]上递增．又f (e)＝4e ，f (e)＝3e ，且当x →1时，f (x )→＋∞. ∴4e ＜m ≤3e.故实数m 的取值范围为(4e ，3e]22．证明 (1)∵AB 切圆于B ，∴AB 2＝AD ·AE ，又∵AB ＝AC ，∴AC 2＝AD ·AE ，即AC AE ＝AD AC ，又∠CAD ＝∠EAC ，∴△ACD ∽△AEC ，∴∠ACD ＝∠AEC ，又∵∠AEC ＝∠DGF ， ∴∠ACD ＝∠DGF ，∴AC ∥FG . (2)连接BD ，BE ，EG .由AB ＝AC ，∠BAD ＝∠DAC 及AD ＝AD ， 知△ABD ≌△ACD ，同理有△ABE ≌△ACE ， ∴∠BDE ＝∠CDE ，BE ＝CE . ∴BE ＝EG ，∴EC ＝EG .23．解(1)直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos π3·t ，y ＝－5＋sin π3·t (t 为参数)⇒⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t(t 为参数)．M 点的直角坐标为(0，4)，圆C 方程x 2＋(y －4)2＝16且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得圆C 极坐标方程ρ＝8sin θ.(2)直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0， 圆心M 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32＞4. ∴直线l 与圆C 相离．24．解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1 （x ＜－1），3 （－1≤x ≤2），2x －1 （x ＞2）.由f (x )≥4－x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－2x ＋1≥4－x或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，3≥4－x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，2x －1≥4－x ， ∴x ≤－3或1≤x ≤2或x ＞2.所以不等式的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． (2)由(1)已知f (x )≥3， 所以a ≥3，b ≥3，由于2(a ＋b )－(ab ＋4)＝2a －ab ＋2b －4＝a (2－b )＋2(b －2)＝(a －2)(2－b )，由于a ≥3，b ≥3， 所以a －2＞0，2－b ＜0. 所以(a －2)(2－b )＜0， 所以2(a ＋b )＜ab ＋4.。

2016年普通高考模拟考试理科数学2016．5本试卷分为选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前．考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷 (共50分)一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．l ．已知i 是虚数单位，复数z 满足1z i z=+，则z 的模是2 (C)1 (D) 12 2．已知m ，n ∈R ，集合A={2，log 7 m}，B={m ，2n }，若A ∩B={l}，则m+n=(A)5 (B)6 (C)7 (D)83．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图，设s 1，s 2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，12x x 、分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有 (A) 1212x x s s >>， (B) 1212x x s s <>， (C) 1212x x s s <<， (D) 1212x x s s ><，4．将函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()g x 的图象，则函数()g x 的一个减区间为 (A) 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (B) 11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (C) ,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (D) 5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．已知tan 24x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2x = (A) 35 (B) 35- (C) 45 (D) 45-6．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，若()()3x f x g x +=，则下列结论正确的是(A) ()813f = (B) ()1013g = (C)若a>b ，则()()f a f b >(D)若a>b ，则()()g a g b > 7．已知0sin a xdx π=⎰，若从[0，10]中任取一个数x ，则使1x a -≤的概率为 (A) 15 (B) 310 (C) 25 (D) 458．如图，在三棱锥P-ABC 中，面PAC ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，AB=BC=PA=PC=2，M ，N 为线段PC 上的点，若MN=A —MNB 的体积为(A) 23 (B) 3 (C) 3 (D) 13 9．对于同一平面内的单位向量a ，b ，c ，若a 与b 的夹角为60°，则(a-b)·(a-2c)的最大值为 (A ) 32 (B) 2 (C) 52(D) 3 10．已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[0，1]，总存在唯一的y ∈[-1，1]，使得2x +y 2e y -a =0成立，则实数a 的取值范围是 (A) 11,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦(B) 11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ (C) (]1,e (D)12,e e⎛⎤+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷 (共100分)二、填空题：本大题共5个小题。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作海南侨中三亚学校2016届高考数学（理）模拟卷（二）参考答案（命题人：）考场：___________座位号：___________本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U A B =，则集合()U A B ð中的元素共有(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个 【解析】本小题考查集合的运算，基础题。

解：{3,4,5,7,8,9}AB =，{4,7,9}(){3,5,8}U A B A B =∴=ð故选A 。

也可用摩根定律：()()()U U U A B A B =痧?（2）（2） 复数3223ii+=-( ) （A ）1 （B ）1- （C ）i (D)i - 【解析】本小题考查复数的运算，基础题。

解：选C 。

（3）不等式111<-+x x 的解集为( ) （A ）{}}{011x x x x 〈〈〉 （B ）{}01x x 〈〈（C ） }{10x x -〈〈 （D ）}{0x x 〈 【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。

解：0040)1()1(|1||1|11122<⇔<⇔<--+⇔-<+⇔<-+x x x x x x x x ， 故选择D 。

（4）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)= (A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713-【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。

解：由题3tan =β，11712134tan tan 1tan tan )tan(-=-+=⋅-+=+βαβαβα，故选择B 。