人教B版高中数学必修五课件3.2第2课时

4．已知正数 x、y 满足 x＋2y－xy＝0，则 x＋2y 的最小值为____8____.
导学号 27542683 [解析] ∵x＋2y－xy＝0，∴1y＋2x＝1.
∵x>0，y>0，∴(x＋2y)(1y＋2x)＝xy＋4xy＋4≥2 当且仅当xy＝4xy，即 x＝2y 时，等号成立．
xy·4xy＋4＝8，
课时作业
[解析] ①ab≤a＋2 b2＝1，成立． ②欲证 a＋ b≤ 2，即证 a＋b＋2 ab≤2，即 2 ab≤0 显然不成立．
③欲证 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，即证 4－2ab≥2，即 ab≤1，由①知成立．
④a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)≥3⇔a2－ab＋b2≥32⇔(a＋
命题方向3 ⇨均值不等式的综合应用
已知 a、b、c、d 都是实数，且 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，求证：|ac＋ bd|≤1. 导学号 27542689
[解析] 证法一(综合法)：因为 a、b、c、d 都是实数，所以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd| ≤a2＋2 c2＋b2＋2 d2＝a2＋b2＋2 c2＋d2. 又因为 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以|ac＋bd|≤1.
[解析] ∵a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，c2＋a2>2ca， 以上三式相加：2(a2＋b2＋c2)>2ab＋2bc＋2ca， ∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.

[点评] 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换 a→b→c→a后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通常几个字母就 需几个表达式)迭加(乘)，从而获解．
[解析] A 中 a＋b＋ 1ab≥2 ab＋ 1ab≥2 2， B 中(a＋b)·(1a＋1b)≥2 ab·2 a1b＝4，当且仅当 a＝b 时取等号． C 中(a2＋b2)2－ab(a＋b)2＝(a－b)(a3－b3)≥0 当且仅当 a＝b 时，取等号．∴选 D．
2．若 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则 a＋b,2 ab，2ab，a2＋b2 中最大的一个是
证法二(比较法)：显然有|ac＋bd|≤1⇔－1≤ac＋bd≤1. 先证 ac＋bd≥－1. ∵ac＋bd－(－1)＝ac＋bd＋12＋12 ＝ac＋bd＋a2＋2 b2＋c2＋2 d2＝a＋c2＋2 b＋d2≥0， ∴ac＋bd≥－1.再证 ac＋bd≤1.
∵1－(ac＋bd)＝21＋21－(ac＋bd) ＝a2＋2 b2＋c2＋2 d2－ac－bd＝a－c2＋2 b－d2≥0， ∴ac＋bd≤1.综上得|ac＋bd|≤1. 证法三(分析法)：要证|ac＋bd|≤1， 只需证明(ac＋bd)2≤1， 即只需证明 a2c2＋2abcd＋b2d2≤1.①
3．在△ABC 中，a、b、c 分别为 A、B、C 的对边，若 a、b、c 成等差数列，
则 B 的取值范围是 导学号 27542682 ( B )
A．0<B<π4
B．0<B≤π3
C．0<B≤π2
D．π2<B<π
[解析] ∵a、b、c 成等差数列，∴2b＝a＋c. ∴cosB＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋c22－aca＋2 c2 ＝3a82＋acc2－14≥68aacc－14＝12， 当且仅当 a＝c 时，等号成立． ∵余弦函数在(0，π)上为减函数，∴0<B≤π3.故选 B．
[点评] 含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形 的思路，构造出均值不等式，在条件“a＋b＋c＝1”下，1的代换一般有上面两 种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到．
〔跟踪练习 2〕 导学号 27542688 已知 x>0，y>0，z>0，且 x＋y＋z＝1. 求证： x＋ y＋ z≤ 3. [解析] ∵x>0，y>0，z>0， ∴x＋y≥2 xy，x＋z≥2 xz，y＋z≥2 yz， ∴2(x＋y＋z)≥2( xy＋ xz＋ yz)． ∵x＋y＋z＝1，∴ xy＋ xz＋ yz≤1 成立． ∵x＋y＋z＋2( xy＋ xz＋ yz)≤3， 即( x＋ y＋ z)2≤3，∴ x＋ y＋ z≤ 3.
由2x＋1y＝1 x＝2y
，得xy＝＝42 .
∴x＝4，y＝2 时，x＋2y 取最小值 8.
5．若 a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的 a、b 恒成立的是 __①__③__⑤___(写出所有正确命题的编号). 导学号 27542684
①ab≤1； ② a＋ b≤ 2； ③a2＋b2≥2； ④a3＋b3≥3； ⑤a1＋b1≥2.
〔跟踪练习 1〕 导学号 27542686 若 a、b、c 均为正数，求证：a3＋b3＋c3≥3abc. [解析] a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋ b)， ∵a、b 为正数，∴(a－b)2≥0，a＋b>0， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2，① 同理可得 b3＋c3≥b2c＋bc2，② a3＋c3≥a2c＋ac2.③
∴1＝a＋b≥2 ab.
∴ ab≤12， 1ab≥2，－ ab≥－12，
∴
1－ ab
ab≥32，∴(
ab－
1ab)2≥94.
∴左边≥94＋2＋2＝245，(当且仅当 a＝b＝12时取等号)．
求函数 y＝ xx2＋2＋54的最小值. 导学号 27542691 [错解] y＝ xx2＋2＋54＝x2＋x24＋＋41＝ x2＋4＋ x21＋4≥2.∴函数的最小值为 2. [辨析] 误解中忽视了判定等号是否成立．
b)2－3ab≥32⇔4－
3 2
≥3ab⇔ab≤56，由①知，ab≤56不恒成立．
⑤欲证a1＋b1≥2，即证a＋ abb≥2，即 ab≤1，由①成立．
课堂典例讲练
命题方向1 ⇨不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法
已知 a、b、c 为两两不相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ ca. 导学号 27542685
〔跟踪练习 3〕 导学号 27542690
已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(a＋a1)(b＋1b)≥245. [解析] 左边＝(a＋1a)(b＋1b)
＝ab＋a1b＋ba＋ab＝(
1－ ab
ab)2＋ab＋ba＋2.
∵a、b∈(0，＋∞)，
∴ba＋ab≥2，又 a>0，b>0，a＋b＝1，
将①②③式两边分别相加，得 2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2 ＝(a2b＋bc2)＋(ab2＋ac2)＋(b2c＋a2c) ＝b(a2＋c2)＋a(b2＋c2)＋c(a2＋b2) ≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab＝6abc， ∴a3＋b3＋c3≥3abc. 显然，当且仅当a＝b＝c时， a3＋b3＋c3＝3abc.
命题方向2 ⇨利用均值不等式证明不等式
已知
a>0 ， b>0 ， c>0 ， 且
a
＋
b
＋
c
＝
1.
求
证
：
1 a
＋
1 b
＋
1 c
≥9. 导学号 27542687
[解析] 证法一：∵a>0，b>0，c>0，
∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc＋c＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc
＝3＋(ab＋ba)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9.
即1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
证法二：∵a>0，b>0，c>0， ∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)(a1＋b1＋1c) ＝1＋ba＋ac＋ab＋1＋bc＋ac＋bc＋1 ＝3＋(ab＋ba)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)≥3＋2＋2＋2 ＝9. ∴1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
导学号 27542681 ( D )
A．a2＋b2 C．2ab
B．2 ab D．a＋b
[解析] 解法一：∵0<a<1,0<b<1， ∴a2＋b2>2ab，a＋b>2 ab，a>a2，b>b2， ∴a＋b>a2＋b2，故选 D． 解法二：取 a＝21，b＝31，则 a2＋b2＝1336， 2 ab＝ 36，2ab＝13，a＋b＝56，显然56最大．
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
新课标导学
数学
必修5 ·人教B版
第三章
不等式 3.2 均值不等式
第2课时 均值不等式的应用——证明问题
1
课前自主学习
2
课堂典例讲练
3
课时作业
课前自主学习
现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B的底面积均为a2，高分别为a和b， C、D的底面积均为b2，高分别为a和b(其中a≠b)．现规定一种游戏规则：每人一 次从四个容器中取两个，盛水多者为胜．先取者有没有必胜的方案？若有，有 几种？
[正解] y＝ xx2＋2＋54＝x2＋x24＋＋41＝ x2＋4＋ x21＋4≥2. 当且仅当 x2＋4＝ x21＋4，即 x2＋4＝1 时，等号成立，这显然不可能． ∴令 t＝ x2＋4，∵x2＋4≥4，∴t≥2. ∴y＝t＋1t 在[2，＋∞)上为增函数，∴当 t＝2 时，函数取最小值52.
常见的不等式：
1．a2＋b2≥___2_a_b___(a、b∈R)． 2．ab≤__(a_＋_2_b_)_2_ ≤a2＋2 b2(a、b∈R)．
1．已知 a、b∈R＋，则下列不等式不一定成立的是 导学号 27542680 ( D )
A．a＋b＋ 1ab≥2 2 C．a2＋abb2≥a＋b