数列和式放缩探究

数列中的放缩问题在数列的世界里，放缩问题就像是打开了一扇新世界的大门。

大家好，今天我们来聊聊这个让人又爱又恨的数列放缩问题，听起来是不是有点高大上？但其实说穿了，就是把一个数列变得更大或更小，让它更好玩，更有趣。

想象一下，你在吃冰淇淋，甜筒那么小，真想把它放大变成一个大大的冰淇淋桶，嘿，放缩就是这个意思嘛！放缩也有可能是让它缩小，比如把一个大披萨切成一小块，还是那么好吃，分量刚好，真是妙不可言。

想知道怎么做吗？好，我们先从简单的开始。

有个数列，像小朋友一样，一个个排列得整整齐齐，突然来个放缩，啊，数列一下子就变得更大了，感觉就像在游乐场里飞起来一样。

你把每个数乘上一个放缩因子，哇，数列立刻就像打了鸡血，瞬间膨胀！比如，原来是1、2、3，变成了2、4、6，这样是不是觉得视觉冲击力十足？你看看，这数列也像长大了，跟着你的心情一起飞扬。

不过，放缩也不是随便来，它可得有讲究。

你不能随便把它放大放小，得要有个合理的依据。

就像选牛排一样，得看肉质，不能一味追求大！你得分析这个放缩因子的来源，是什么原因让你想改变这些数字？是因为想让它更符合某个特定的标准，还是为了让它在某个应用场景中更好地发挥作用？这些都是得考虑的哦。

再说说放缩的类型，真是多得让你眼花缭乱。

首先有线性放缩，就像在街上漫步，走得快慢随心所欲。

然后是非线性放缩，那可就复杂了，像坐过山车一样，有高有低，惊险刺激，心跳加速。

随着时间的推移，放缩可能会变得更加复杂，像是我们生活中的变化，有时候事情一波三折，你得灵活应对。

想象一下，数列放缩就像是调节音量，想听点轻音乐的时候，低一点；想狂欢派对时，调大音量，整个场子都跟着热闹起来。

这样一来，数列的性质也会随之改变。

比如，放缩之后，数列的极限、界限都有可能被打破，可能是好的变化，也可能带来新的挑战，真是好戏连台，妙趣横生。

放缩带来的并不只是简单的数字变化。

它还可能让我们在数学的海洋里遨游，让我们对于数列有更深层次的理解。

数列与不等式综合问题一裂项放缩 放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。

常见裂项放缩技巧：例1 求证（1） 变式训练 [2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. 求数列{a n }的通项(1)公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. [2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1?a 1＋1?＋1a 2?a 2＋1?＋…＋1a n ?a n ＋1?<13. 二等比放缩（一般的，形如 的数列，求证都可以等比放缩）例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. 变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=（1）求{a n }的通项公式2311111()21212121n n *++++<∈++++N 例求证：,n n n n n a a b a a b =-=-12111....nk a a a +++<231111+++......+12222n<（2）证明：对一切正整数n ，都有121113 (2)n a a a +++< 三伯努利不等式应用及推广 对任意的实数()()*1,11nx x nx n N >-+≥+∈有伯努利不等式 例：求证()1111+11+1....13521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭变式训练【2008，福建理】已知函数()()ln 1f x x x =+-（1）求f （x ）的单调区间（2）记f （x ）在[]()0,n n N ∈上的最小值是n b ，令()ln 1n n a x b =+-，求证1313211224242......1...n na a a a a a a a a a a a -+++< 伯努利不等式的推广对任意的实数，例，【2006，江西理】已知数列{a n }满足()11133,2221n n n na a a n a n --==≥+- （1）已知数列{a n }满足（2）证明：对于一切正整数n ，不等式123...2!n a a a a n <恒成立。

数列和不等问题(教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}na 的前n 项的和nS ,满足12+=n n a S ，试求:（1）数列{}na 的通项公式;（2）设11+=n n na a b，数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:21<n B 解:（1)由已知得2)1(4+=nna S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ,作差得：1212224----+=n n nnna a a a a ,所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,又因为{}na 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ,得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a bn n n,所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1:(06全国1卷理科22题）设数列{}na 的前n 项的和,14122333n nnS a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ;（Ⅱ)设2n n nT S =,1,2,3,n =,证明:132ni i T =<∑。

解: （Ⅰ)由 S ｎ=错误!a n －错误!×2n ＋1＋错误!, n=1，２，3，… , ①得 a １＝S 1= ＼f （4，3）a １—错误!×4+错误! 所以a 1=2再由①有 Ｓn —1=＼f （4，3)a n －1－错误!×２ｎ+错误!， n=2,3,4,…将①和②相减得： a n =S n －S ｎ－１= 错误!(ａn －a n-1)-错误!×(2n+１—２n),n=２,3， …整理得: a n +２n=４(ａn-1+2ｎ-1），ｎ=2，3， … ， 因而数列{ a n +２n｝是首项为a １+2=4，公比为4的等比数列,即 : a n +２n =4×4ｎ-１= 4n ， n=1，2,3， …, 因而a n =４n －2n ， ｎ=1,2，３, …，（Ⅱ）将a n ＝４n —2n 代入①得 S n = ＼f （4，3)×(4n -2n)—＼f （１，３）×2n+1 + 错误! = 错误!×（２n+1－１）（2n+1-2) ＝ ＼ｆ(２，3)×（２n+１－1）(2n－１)T ｎ= ＼f(２ｎ，S ｎ) =错误!×错误! = 错误!×(错误! － 错误!）所以， 1ni i T =∑＝错误!1(ni =∑错误! - 错误!) ＝ 错误!×(错误! -1121n +-) ＜ ＼f （3，2）二．先放缩再求和１．放缩后成等比数列，再求和例２．等比数列{}na 中，112a =-,前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设nnn a a b -=12,数列{}nb 前n 项的和为nT ,证明:13nT<． 解：∵9789A A a a -=+,899A A a -=-,899a a a +=-,∴公比9812aq a==-．∴n na)21(-=. nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．（利用等比数列前n 项和的模拟公式n nSAq A=-猜想）∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤nn 。

放缩法典型例题第一篇：放缩法典型例题放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列（1）数列的前项的和的通项公式；，满足，试求：（2）设解：（1）由已知得，数列的前项的和为，所以时，求证：，作差得：，又因为，得为正数数，所列，所以以，即是公差为2的等差数列，由（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.满足条件）求和或者利用分组、裂项、(1)求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令有，得，上述两式相减，注意到∴，又由条件得所以，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{an}中，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是．．（2）∵，，∴公比．∴．．∴3．放缩后为差比数列，再求和．例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m 时Pi＞P（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列．j（1）求a4、a5，并写出an的表达式；的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=综上，..注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．为裂项第二篇：放缩法证明数列不等式经典例题放缩法证明数列不等式主要放缩技能： 1.1111111-=<2<=- nn+1n(n+1)nn(n-1)n-1n114411<===2(-)22n4n-1(2n+1)(2n-1)2n-12n+1n2-42.==>===<=2)=<====<== 4.2n2n2n-1115.n <==-(2-1)2(2n-1)(2n-2)(2n-1)(2n-1-1)2n-1-12n-16.n+22(n+1)-n11==- n(n+1)⋅2n+1n(n+1)⋅2n+1n⋅2n(n+1)⋅2n+1x2-x+n*c=(n∈N)例1.设函数y=的最小值为，最大值为，且abnnn2x+1（1）求cn；（2）证明：例2.证明：16<1+例3.已知正项数列{an}的前n项的和为sn，且an+2（1）求证：数列sn是等差数列；11117+++Λ+< 444c14c2c3cn4+Λ+<17 1=2sn，n∈N*； an{}（2）解关于数列n的不等式：an+1⋅(sn+1+sn)>4n-8（3）记bn=2sn,Tn=331111<Tn<-+++Λ+，证明：1 2b1b2b3bn例4.已知数列{an}满足：⎨n+2⎧an⎫an+1；⎬是公差为1的等差数列，且an+1=nn⎩⎭（1）求an；（2++Λ<2 例5.在数列{an}中，已知a1=2,an+1an=2an-an+1；（1）求an；（2）证明：a1(a1-1)+a2(a2-1)+a3(a3-1)+Λ+an(an-1)<32n+1an例6.数列{an}满足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）设bn=，求bn；（2）记cn=，求证：≤c1+c2+c3+Λ+cn< 162n(n+1)an+1an例7.已知正项数列{an}的前n项的和为sn满足：sn>1,6sn=(an+1)(an+2)；（1）求an；（2）设数列{bn}满足an(2n-1)=1,并记Tn=b1+b2+b3+Λ+bn，b求证：3Tn+1>log2n(a+3)（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）例8.已知正项数列{an}满足：a1=1,nan+1(n+1)an=+1，anan+1 记b1=a1,bn=n[a1+（1）求an；（2）证明：(1+2111++Λ+](n≥2)。

“放缩法”在数列求和中的基本策略放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。

常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

所谓放缩的技巧：即欲证B A ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使B C A ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”。

常用的放缩技巧有：（1）若,A t A ,A t A ,0t <->+>（2,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+),0n (n n )1n (n 2>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1).1n n (2n1n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-（3）若,R m b a +∈、、则.b ma ba ,mb a b a +<+>（4）+++<++++221211!n 1!31!211 .211n -+ （5）.n 12n 11n 1()3121()211(1n131211222-=--++-+-+<++++ （6）11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ 或≥+++++n 212n 11n 1 .21n 2n n 21n 21n 21==++ （7）nn n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ 等等。

注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若,D C ,C B ,B A >>>则D A >。

2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。

3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。

数列的放缩题型一:单调性法例1：证明：11115123136n n n n ++++>++-，2n n N *≥∈，.因为1111111112313233233n a n n n n n n n n =++++<++++++-++++ 所以n a 单调递增，156n a a >=例2：证明：1111121313n n n n<++++<+-，n N *∈.右边：11111(31)213231n n n n n n n++++<•-+=+--左边：1111112313n a n n n n n=+++++++-可以证明：11232n x n x n+>+- 44()(3)2*2n nn x n x n n>+-所以倒叙相加可得 1111111111()()1231333121n n nn n n n nn n++++++++++++++--+ 2*n >422*2nn n = 所以1n a >题型二:裂项法例1：证明：222211117147(32)6n +++<-，n N *∈.211(32)(34)(31)n n n <---例2：证明：2611151(1)(21)493n n n n ≤++++<++ 解析: 一方面⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一21111111111492334(1)11n n n n n n ++++>++++=-=⨯⨯+++方面:当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例3：证明：11112477121017(31)(52)25n n +++<⨯⨯⨯++提示：1313615(31)(52)55(31)(3)(3)(3)522n n n n n n =<++++-+例4：求证：22211171135(21)62(21)n n ++++>---，2n n N *≥∈，. 提示：211(21)(21)(21)n n n >--+例5：证明：222233131312n+++<---，n N *∈ 方法一:13123n n --≥⨯方法二:1111122323113()31(31)3(31)(31)3131n n nn n n n n n +++++⨯⨯=<=-------例6：已知当0x >时sin x x >，求证:211sinln 2(1)nk k =<+∑例7：已知函数()()cos sin 10f x x x x x =-+>。

数列与放缩法一、裂项缩放法： 常见的缩放、裂项技巧： （一）分式类 1、()1111n n k k n k n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭2、2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭3、1111(1)11k n k n k k n ⎛⎫=+ ⎪+-+-+⎝⎭，1111(1)11n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪+++++⎝⎭4、11115(1)112132(1)2nnn n +<+++++<⨯⨯-L （二）根式类 12)n <≥2221==<3<4、<< 5<==6⎛⎫=<==<（三）指数类1、11112(2)22n n n n k k k ⎛⎫=-⎪--⎝⎭2、12111121232(21)2(23)2n n nn n n n -⎛⎫-⋅=-⎪+++⋅+⋅⎝⎭3、1211222211(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n n n n ---=<==----------（n≥2） 4、1212222(31)233(21)2213213n nn nnnnnn +=⋅=-⋅>⇒->⇒->⇒<-5、()()2222211111,21111n n n n a n a a aa a a ---=>⋅>≥---⋅+- 6、()()11111111,*1111n n n n a n N a a a a a a---=<⋅>∈--⋅+-- 【例题1】【2015年，嘉兴市高三第一学期期末考试】已知无穷数列{a n }满足：112015a =，且a n 2-2a n +2a n-1=0(n ≥2). （I ）试判断{a n }的单调性； （II ）求证： （i ）102n a << （ii ）121112015222na a a L +++<---.【变式训练】【2015年，绍兴市高三第一学期教学质量检测】数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 5=6，数列{b n }满足b 1=3，11231n n b b b b b L +=⋅⋅⋅+. （I ）当n ≥2时，求证：111n n n b b b +-=-； （II ）当a 3>1，且a 3*N ∈时，a 3，a 5，12,,,,n k k k a a a L L 为等比数列. （i ）求a 3；（ii ）当a 3取最小值时，求证：1231231111111141111n n k k k k b b b b a a a a L K ⎛⎫++++>++++ ⎪ ⎪----⎝⎭【例题2】【2015年，温州市高三第一次适应性考试】对于任意的n *N ∈，数列{a n }满足：3121231111121212121n na a a a n L ----++++=+++++. （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求证：对于n ≥2，23412222112n n a a a a L +++++<-【变式训练】【2015年，湖州市高三第一学期期末考试】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：2a n -1=S n .（I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）设b n =a n –(-1)n ，记12111n nT b b b L =+++，求证：T n <2.【例题3】【2015年，诸暨市高三第一学期期末考试】已知数列{a n }满足，a 1=1，当n *N ∈时，a 2n =a 2n-1+(-2)n -1，a 2n+1=a 2n +4n . (I)求a 2，a 3，数列{a n }的通项公式； (II)记b n =a 2n+2 – a 2n ，求证： 123111135n b b b b L ++++<.二、糖水不等式以及伪等比数列 1、糖水不等式【知识点】若a>b>0，m >0，则：b b m a a m +<+；若0<a<b ，m>0，则：b b ma a m +>+；若a>b>0，m <0，且|m |≤min{a ，b }，则b b ma a m+>+.2、伪等比数列【知识点】所谓的伪等比数列，是指{a n }的通项类似于a n =pt n +q 的形式，因为数列的本身不是等比数列，故而命名为伪等比数列，对于这样的数列的处理，一般情况下，我们会用以下的方式：1111111111n nn n n n n p q t q q a pt q t t t t a pt q pt q t pt q+++++⎛⎫⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===++++，然后再去进行进一步的处理.或者遇到这种情况，我们可以直接根据糖水不等式加以处理.换言之，遇到伪等比数列，我们用分离系数法或者用糖水不等式均可以处理,【例题4】【2015年，浙江省五大名校高三第一次联考】已知数列{a n }的前n 项和满足： S n =2a n –n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设1n n n a b a +=，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1032n nT -<-<.【变式训练】【2015年，金华十校高三第一学期期末考试】已知数列{a n }是公比为正整数的等比数列，若 a 2=2，且a 1，a 3+12，a 4为等差数列. （1）求数列{a n }的通项a n ；a（2）定义：123nnP P P P L ++++为n 个正整数P 1，P 2,，P 3，…，P n (n *N ∈)的“均倒数”.(i)若数列{b n }前n 项的“均倒数”为121n a -（n *N ∈），求数列{b n }的通项b n ；(ii)试比较123123nnb b b b L ++++与2的大小，并说明理由.【例题5】【2015年，宁波市镇海中学高三5月模拟】的点P 在曲线C ：1y x=（x>0）上，曲线C 在点P 处的切线与直线y=4x 相交于点A ，与x 轴相交于点B .设A ，B 横坐标为x A ，x B ，f (t )=x A x B .正数数列{a n }满足a n =f (a n -1)(n *N ∈，n ≥2)，a 1=a . （I ）写出a n ，a n -1之间的关系式；（II ）若数列{a n }为递减数列，求实数a 的取值范围； （III ）若a =2，34n n b a =-，设数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：32n S <（n *N ∈）.三、代数变形 （一）裂项的技术手段 1、【知识点】遇到211nk k =∑类型的放缩，我们通常用到 （1）2212211111111211nnn k k k k k k k ===⎛⎫<+=+- ⎪--+⎝⎭∑∑∑（2）22133111111111414211nn n k k k k k k k ===⎛⎫<++=++- ⎪--+⎝⎭∑∑∑【例题6】证明：()()()22211111715122343nnnk k k kkk ===<<<∑∑∑【变式训练】证明：()2111421nk k =<+∑【例题7】【2008年，辽宁（理），21】在数列{a n }，{b n }中，a 1=2，b 1=4，且a n ，b n ，a n+1成等差数列，b n ，a n+1，b n +1成等比数列（n *N ∈）.（1）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，证明你的结论； （2）证明：1122331111512n n a b a b a b a b L ++++<++++.【变式训练】【2012年，佛山二模（理）】设曲线C ：x 2 –y 2=1上的点P 到点A n (0，a n )的距离的最小值为d n ，若a 0=0，a n1n -，n *N ∈. （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）是否存在常数M ，使得对*n N ∀∈，都有33312111nM a a a L +++<成立？请说明理由. 2、遇到11nk k =∑这样的形式，我们有等式 11111111111122122342122n n n n n n L L ++++=-+-++-≥++-- 【例题8】求证：对任意的n *N ∈，11111112234212n n L ≤-+-++-<-【变式训练】设数列{a n }满足a 1=1，11n n na a a +=+，)2n a n <<>.3、迭代型()()()121321n n n a a a a a a a a L -=+-+-++-【例题9】【2008年，浙江高考（理），22】数列{a n }，a n ≥0，a 1=0，22111n n n a a a +++-=，记()()()1211211,1111n n n n S a a a T a a a a L L L =+++=++++++. 求证：当n *N ∈时，（I ）a n <a n+1；（II ）S n >n -2；（III ）T n <3.【变式训练】已知正数项数列{a n }满足a n 2≤a n –a n+1(n *N ∈)，证明：1n a n<.（二）伯努利不等式及其变形的应用【知识点】伯努利不等式：对于任意的x > -1，n *N ∈，有(1+x )n ≥1+nx .【例题10】【2008年，山东高考（理），20】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的点(n ，S n )均在函数y=b x +r 上（b >0，且b ≠1，b ，r 均为常数）的图像上. （1）求r 的值；（2）当b =2，记b n =2(log 2a n +1)，证明：1212111n nb b b b b b L +++⋅⋅⋅>【变式训练】【2009年，广东高考（理），21】已知曲线C n ：x 2 -2nx+y 2=0(n *N ∈)，从点P （-1，0）向曲线C n 引斜率为k n （k n >0）的切线l n ，切点为P n (x n ，y n ). （I ）求数{x n }与{y n }的通项公式； （II ）证明：x 1x 2x 2…x nn nxy <.【变式训练】【2006年，重庆高考（理），21】已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和{S n }满足S 1>1，且6S n =(a n +1)(a n +2). （I ）求{a n }的通项公式；（II ）设数列{b n }满足a n ()21n b-=1，记T n 为{b n }的前n 项和，求证：3T n +1>log 2(a n +3)，n *N ∈.【知识点】伯努利不等式的推广：对于任意的x n > -1（n *N ∈），有：()()()()123111111nn ii x x x x xL =++++>+∑【例题11】【2006年，江西高考（理），22】已知数列{a n }满足132a =，且11321n n n na a a n --=+-，（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）证明：对于一切n *N ∈，不等式a 1a 2a 3…a n <2n ! 恒成立.【变式训练】【2009年，成都二诊（理），22】已知数列{a n }中，123a =，289a =，且当n ≥2，n *N ∈时，3a n+1=4a n –a n-1. （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）记1231nin i aa a a a L ==∏，n *N ∈，对一切正整数n ，若不等式11ni i a λ=>∏，λ*N ∈恒成立，求λ的最小值.【课时作业】1、【2015年，宁波市高考模拟考试】已知m 为实数，且m ≠92-，数列的前n 项和为S n 满足S n =41332n n a m +⨯+. （1）求证：{a n -3n+1}为等比数列，并求出公比q ；（2）若a n ≤15对任意正整数n 成立，求证：当m 取到最小正数时，对于n ≥4，n *N ∈，都有451118135n S S S L +++>-.2、【2015年，温州市高三第二次适应性考试】已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，且a n +1=2a n +3a n -1(n ≥2，n *N ∈). （I ）设b n =a n+1+a n （n *N ∈），求证：{b n }是等比数列； （II ）（i ）求数列{a n }的通项公式； （ii ）求证：对于任意的n *N ∈都有1232121111174n n a a a a a L -+++++<成立.3、【2015年，绍兴市高三教学质量调研】已知数列{a n }满足：a 1=a ()0,1∈，且0<a n+1≤a n 2-a n 3，设b n =(a n –a n+1)a n+1. (I)比较a 1 –a 2和21a a 的大小； (II)求证：1n a +>；(III)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n < 25a .4、【2015年，诸暨市高中毕业班教学质量检测】已知数列{a n }满足：a 1=a 2=1，a n +2a n+1+a n+2=(2n+1)λ，λ为常数.（I ）记b n =a n +a n+1-λn (n *N ∈)，求数列{b n }的通项公式和数列{a n }的前n 项和{S n }的表达式；（II ）若λ≥2，求证：121111224217n S S nS L +++<.5、【2015年，杭州市高级中学高考模拟】已知数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1=1，且点(n ，S n +n+2)在函数y=2x +1的图像上.若数列{a n }满足a 1=1，a n =b n 12111n b b b L ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭(n ≥2，n *N ∈).（I ）求数列{b n }的通项公式； （II ）（i ）求证：111n nn n a b a b +++=(n ≥2，n *N ∈)； (ii)求证：12311111011113n a a a a L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6、【2015年，浙江省六校高三联考】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =32n a n -(n *N ∈). （I ）求证{a n +1}是等比数列，并求出{a n }的通项公式； （II ）证明：3122341138n n a a a a n a a a a L +++++>-.7、【2015年，金丽衢十二校高三第二次联考】在单调递增数列{a n }中，a 1=2，a 2=4，a 2n-1，a 2n ，a 2n+1成等差数列，a 2n ，a 2n+1，a 2n+2成等比数列，n *N ∈.（I ）（i ）求证：数列为等差数列；（ii ）求数列{a n }的通项公式； （II ）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ，证明：()433n nS n >+，n *N ∈.。

浅谈数列求和不等式的几种放缩方法从这个角度来看，洛克说过一句富有哲理的话，学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。

我希望诸位也能好好地体会这句话。

我们一般认为，抓住了问题的关键，其他一切则会迎刃而解。

韩非说过一句著名的话，内外相应，言行相称。

我希望诸位也能好好地体会这句话。

我们不得不面对一个非常尴尬的事实，那就是，我们都知道，只要有意义，那么就必须慎重考虑。

既然如此，德国曾经提到过，只有在人群中间，才能认识自己。

这不禁令我深思。

这样看来，经过上述讨论，一般来说，带着这些问题，我们来审视一下浅谈数列求和不等式的几种放缩方法。

浅谈数列求和不等式的几种放缩方法，到底应该如何实现。

莎士比亚说过一句著名的话，本来无望的事，大胆尝试，往往能成功。

这句话语虽然很短，但令我浮想联翩。

所谓浅谈数列求和不等式的几种放缩方法，关键是浅谈数列求和不等式的几种放缩方法需要如何写。

每个人都不得不面对这些问题。

在面对这种问题时，浅谈数列求和不等式的几种放缩方法的发生，到底需要如何做到，不浅谈数列求和不等式的几种放缩方法的发生，又会如何产生。

现在，解决浅谈数列求和不等式的几种放缩方法的问题，是非常非常重要的。

所以，郭沫若说过一句富有哲理的话，形成天才的决定因素应该是勤奋。

这不禁令我深思。

维龙曾经提到过，要成功不需要什么特别的才能，只要把你能做的小事做得好就行了。

带着这句话，我们还要更加慎重的审视这个问题：所谓浅谈数列求和不等式的几种放缩方法，关键是浅谈数列求和不等式的几种放缩方法需要如何写。

我们一般认为，抓住了问题的关键，其他一切则会迎刃而解。

别林斯基在不经意间这样说过，好的书籍是最贵重的珍宝。

这启发了我，那么，既然如此，每个人都不得不面对这些问题。

在面对这种问题时，一般来讲，我们都必须务必慎重的考虑考虑。

池田大作曾经说过，不要回避苦恼和困难，挺起身来向它挑战，进而克服它。

这句话语虽然很短，但令我浮想联翩。

问题的关键究竟为何？这样看来，莎士比亚说过一句著名的话，那脑袋里的智慧，就像打火石里的火花一样，不去打它是不肯出来的。