2012高考数学热点集锦：向量的运算

考点19 平面向量的概念及其线性运算、 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1.（2012·广东高考理科·Ｔ3）若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC =( )（A ）（-2,-4） （B ）(2,4) （C ）(6,10) （D ）(-6,-10)【解题指南】本小题考查了平面向量的坐标运算，解题关键为BC BA AC BA CA =+=-.【解析】选A. (2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC BA CA =+=-=-=--.2.（2012·广东高考文科·Ｔ3）若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =( )（A ）（4，6） （B ）（-4,-6） （C ）（-2，-2） （D ）（2，2）【解题指南】本题考查了平面向量的坐标运算，解题关键是AC AB BC =+.【解析】选A.(1,2)(3,4)(4,6)AC AB BC =+=+=.3.（2012·浙江高考文科·Ｔ7）与（2012·浙江高考理科·Ｔ5）相同 设a ，b 是两个非零向量.( )（A ）若|a +b |=|a |-|b |，则a ⊥b（B ）若a ⊥b ，则|a +b |=|a |-|b |（C ）若|a +b |=|a |-|b |，则存在实数λ，使得b =λa（D ）若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |-|b |【解析】选C. 对于Ａ：若|a +b |=|a |-|b |，则a 与b 共线，且a 与b 反向，故选项Ｂ也不对，因为选项D 中λ不一定为负，所以选项D 也不正确，故选项Ｃ正确．二、填空题4.（2012·湖北高考文科·Ｔ13）已知向量a =（1,0），b =（1,1），则（1）与2a +b 同向的单位向量的坐标表示为____________.（2）向量b -3a 与向量a 夹角的余弦值为____________.【解题指南】本题考查向量的坐标运算,解答本题的关键是明确同向的单位向量和向量夹角的余弦值的求法.【解析】（1）2(2,0)(1,1)(3,1)a b +=+=,2223110a b ∴+=+=,则与2a b +同向的单位向量为231010(,)2a b a b +=+.（2）设所求夹角为θ.向量3(2,1)b a -=-,(3)25cos 553a b a a b a θ•-∴===--. 【答案】（1）31010(,)1010 （2）255- 5.（2012·山东高考文科·Ｔ16）与（2012·山东高考理科·Ｔ16）相同 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为______________.【解题指南】本题考查圆周运动的距离即为P 点转过的弧长，再利用单位圆中的三角函数可求得P 点坐标，即为OP 的坐标.【解析】设圆心运动到C 时，圆与x 轴的切点为D ，则弧PD 长为2，所以2=∠PCD ,点P 的横坐标为2sin 222cos 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--π，点P 的纵坐标为2cos 122sin 1-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+π，所以点P 的坐标为()2cos 1,2sin 2--，即OP 的坐标为()2cos 1,2sin 2--.【答案】()2cos 1,2sin 2--。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 向量（精解精析）一、选择题1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴211BC ==，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅， 所以,3a bπ=．4．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为120.618≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 ．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．5．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则a ( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．6．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )头顶咽喉肚脐足底A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A解析：在ABC△中，AD 为BC 边上的中线，E为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 7．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( ) A ． B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BDAP AB AD λμ=+λμ+32A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC∆BD =1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△111222CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=1,2P θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()1,2,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线而此时点到直线151λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2λμθθ+=()2sin θϕ=++sin ϕ=cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =BD =1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△CE =P FH DB λμ+A BD C BD A FH 22r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，3AFAB ==λμ+3P λμ+AG xAB yAD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y ()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离，，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤≤13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC=BD BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0112x μθ==01y λθ==(其中，当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．8．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法∵，∴112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤sin ϕ=cos ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP (OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),PO PA x y x y ⋅=--⋅-222234PO PA x y x y ⎛⋅=+=+- ⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 9．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量1(,)22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得112222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A . 10．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．11．(2015高考数学新课标1理科)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则 ( )OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PA PO PA AO PA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算12．(2014高考数学课标2理科)设向量a ,b 满足|a +b，|a -b，则a b = ( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：（1）平面向量的模；（2）平面向量的数量积难度：B 备注：常考题 二、填空题13．(2021年高考全国甲卷理科)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．14．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．⋅故答案为：35． 【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．15．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．16．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________．【答案】2解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．17．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．18．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ．【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b +所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 19．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量,的夹角为,,,则__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法a b 60︒2a =1b =2a b +=222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +2依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．20．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ． 【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-． 21．(2015高考数学新课标2理科)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=． 考点：向量共线．22．(2014高考数学课标1理科)已知A ,B ,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______．【答案】解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想难度:B备注:高频考点23．(2013高考数学新课标2理科)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅＝________．【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：（1）5．1．2向量的线性运算；（2）5．3．1平面向量的数量积运算()2,0a=13,22b ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭()((22,0a b +=+=(223a b +=+=1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090难度： A备注：高频考点24．(2013高考数学新课标1理科)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____．【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1）5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点。

1. （安徽8）在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量OQ则点Q 的坐标是（ ） ()A (2)- ()B(- ()C(2)--()D (-【解析】选A【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=-【方法二】将向量(6,8)OP = 按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-则)(OQ OP OM =+=-2. （安徽14）若平面向量,a b满足：23a b -≤ ；则a b的最小值是_____ 【解析】a b 的最小值是_____98-22222349494449448a b a b a ba b a b a b a b a b a b -≤⇔+≤++≥≥-⇒+≥-⇔≥-3.北京 13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________，DC DE ⋅的最大值为______。

【解析】根据平面向量的数量积公式=⋅=⋅DA DE CB DE θcos ||||DA DE ⋅，由图可知，||cos ||DA DE =⋅θ，因此1||2==⋅DA CB DE ，=⋅=⋅αcos ||||DC DE DC DE αcos ||⋅DE ，而αcos ||⋅DE 就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DC DE ⋅最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为DC ，所以长度为1． 【答案】1，14.广东3. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==；则BC = ( )()A (2,4)-- ()B (2,4) ()C (,)610 ()D (,)-6-10【解析】选A (2,4)B C B A C A =-=--5.广东8. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ= ；若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b = ( )()A 12()B 1 ()C 32()D 52【解析】选C21cos 0,cos 0()()cos (,1)2a b a b b a a b b a baθθθ=>=>⇒⨯=∈,a b b a 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中得：*12123()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=6.江苏9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形ABCD中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB AF = AE BF的值是 ▲ ．。

高考数学专题复习题：空间向量运算的坐标表示一、单项选择题（共8小题）1．已知两平行直线的方向向量分别为(42,1,1)a m m m =−−−，(4,22,22)b m m =−−，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．以上答案都不正确 2．已知空间中两点(,1,2)A x，(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（ ） A ．6−B ．2−或6C ．4−D ．4−或23．如果点(3,1,4)A −，(7,1,0)B ，那么线段AB 的中点M 在yOz 平面上的射影点的坐标一定是（ ） A ．(0,1,2)B ．(2,1,2)C ．(2,1,2)−D ．(2,1,2)−−4．若点()(),,0P x y z xyz ≠关于xOy 的对称点为A ，关于z 轴的对称点为B ，则A 、B 两点的对称是（ ） A ．关于xOz 平面对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称D ．关于坐标原点对称5．如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．136．已知()4,2,5a =−，()2,1,b x =−，且a b ⊥，则x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设,x y ∈R ，如果向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()2,4,2c =−，且a b ⊥，//b c ，那么a b +等于（ ） A ．B C ．3D ．48．已知向量()1,,2AB a =−与()2,4,AC b =−共线，则a b +=（ ） A ．2−B ．0C ．2D ．6二、填空题（共3小题）9．已知()()2,3,0,,0,3,,120=−==a b k a b ，则k =________．10．若正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，则AB 在1AC uuu r上的投影向量的模为________． 11．在空间直角坐标系中，已知()1,2,2A t ，(),0,31B t t −，则AB的最小值是________．三、解答题（共2小题）12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O xyz −.（1）若点P 在线段1BD 上，且满足13BP BD =，试写出点P 的坐标，并写出点P 关于y 轴的对称点P '的坐标．（2）在线段1C D 上找一点M ，使得点M 到点P 的距离最小，求出点M 的坐标.13．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==−． （1）若2a kb a b ++（）∥（），求实数k ． （2）若向量a kb +rr与2a b +所成角为锐角，求实数k 的范围．。

2012高考数学复习详细资料(精品)——向量知识清单一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法: ⑴字母表示法:如,,,a b c 等.⑵AB ,CD 等.⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA 的起点O 为在坐标原点,终点A 坐标为(),x y ,如此(),x y 称为OA 的坐标,记为OA =(),x y .注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.a 与b 相等,记为a b =.注:向量不能比拟大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向一样或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线. 注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的〞，它们都有明显的物理学的意义与几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。

研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了根底,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言加法与减法OA --→+OB --→=OC --→ OB --→OA --→-=AB --→记OA --→=(x 1,y 1),OB --→=(x 1,y 2) 如此OA OB +=(x 1+x 2,y 1+y 2) OB OA -=〔x 2-x 1,y 2-y 1〕OA --→+AB --→=OB --→实数与向量的乘积AB --→=λa →λ∈R记a →=(x ,y ) 如此λa →=(λx ,λy )两个向量的数量积cos ,a b a b a b ⋅=⋅ 记1122(,),(,)a x y b x y ==如此a →·b →=x 1x 2+y 1y 2加法：①a b b a +=+(交换律); ②()()a b c a b c ++=++(结合律) 实数与向量的乘积：①()a b a b λλλ+=+; ②()a a a λμλμ+=+;③()()a a λμλμ= 两个向量的数量积:①a →·b →=b →·a →; ②(λa →)·b →=a →·(λb →)=λ(a →·b →);③(a →+b →)·c →=a →·c →+b →·c →注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法如此，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 例如(a →±b →)2=222a a b b →→→→±⋅+ (三)运算性质与重要结论⑴平面向量根本定理:如果12,e e 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+，称1122e e λλ+为12,e e 的线性组合。

向量运算技巧总结向量是数学中非常重要的概念，它们在多个领域中被广泛应用，如物理学、计算机图形学和数据分析等。

本文将总结一些常见的向量运算技巧，帮助读者更好地理解和应用向量。

一、向量的表示与性质在讨论向量运算技巧之前，首先需要了解向量的表示与性质。

向量通常用有序数对或有序数组表示，如(A, B)或[A, B]。

一个向量可以表示为一行或一列的矩阵形式。

向量的长度记为||A||，方向可以用弧度或角度表示。

二、向量的加法与减法向量的加法与减法是最基本的向量运算。

两个向量的加法可通过将对应分量相加得到，即A + B = (A1 + B1, A2 + B2)。

相应地，向量的减法可通过将对应分量相减得到，即A - B = (A1 - B1, A2 - B2)。

加法和减法运算使得我们能够方便地处理多个向量的组合和计算。

三、数量乘法向量的数量乘法是指将一个标量与一个向量的每个分量相乘。

即kA = (kA1, kA2)。

这个操作可以改变向量的长度，同时保持其方向不变。

数量乘法在求解方程组、平移和缩放等问题中经常被使用。

四、点积与数量积点积（也称为数量积或内积）是一种特殊的向量运算，其结果是一个标量。

两个向量A和B的点积记为A·B，可以通过对应分量相乘再相加得到。

即A·B = A1B1 + A2B2。

点积具有交换律和分配律，因此在计算中非常有用。

点积的应用包括计算向量的长度、求解夹角和判断向量的正交性等。

五、叉积与向量积叉积（也称为向量积或外积）是一种向量运算，其结果是一个向量。

两个向量A和B的叉积记为A×B，可以通过求解一个垂直于A和B的向量得到。

叉积的计算涉及到向量的长度和夹角等属性。

叉积在计算平面的法向量、计算曲面的面积和计算物体的转动矩等方面具有广泛的应用。

六、向量的投影与正交分解向量的投影是指将一个向量投影到另一个向量上，得到一个新的向量。

投影的长度等于向量的长度乘以两个向量之间的夹角的余弦值。

高中数学向量运算题解题技巧在高中数学中，向量运算是一个重要的知识点，也是考试中常常出现的题型之一。

掌握好向量运算的解题技巧，可以帮助我们更好地解答相关问题。

本文将介绍一些高中数学向量运算题解题技巧，希望对广大高中学生及其父母有所帮助。

一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基本的操作。

在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B +C)。

这样的性质可以帮助我们在计算过程中进行合理的变换，简化计算步骤。

2. 在计算向量的加法和减法时，我们需要保持向量的方向和大小不变。

可以通过画图的方式来帮助理解和计算。

举例说明：题目：已知向量A = 3i + 2j，向量B = 4i - 5j，求向量A + B和向量A - B。

解析：根据向量的加法和减法定义，我们可以直接对向量的i和j分量进行运算。

计算得到向量A + B = (3 + 4)i + (2 - 5)j = 7i - 3j，向量A - B = (3 - 4)i + (2 + 5)j= -1i + 7j。

二、向量的数量积向量的数量积是向量运算中的另一个重要概念。

在解题过程中，我们需要注意以下几点：1. 向量的数量积满足交换律和结合律，即A·B = B·A，(kA)·B = k(A·B)，其中k为常数。

这样的性质可以帮助我们在计算过程中进行合理的变换，简化计算步骤。

2. 在计算向量的数量积时，我们需要注意向量的方向和大小。

向量的数量积等于向量的模长乘积与夹角的余弦值的乘积。

举例说明：题目：已知向量A = 3i + 2j，向量B = 4i - 5j，求向量A·B的值。

解析：根据向量的数量积定义，我们可以直接对向量的i和j分量进行运算。

计算得到向量A·B = (3)(4) + (2)(-5) = 12 - 10 = 2。