人教版八年级数学下册习题课件：专题训练3 与一次函数有关的面积问题 (共25张PPT)

【方法归纳】
本题考查了一次函数的性质，全等三 角形的判定与性质，理解全等三角形 的判定定理是关键.
例3 (九龙坡区期末) 若关于 x 的分式方程
5 ax 3 2 的解是正整数，且一次函数 y =
2x x2
(a - 1)x + (a + 10) 的图象不经过第三象限，则满足条
件的所有整数 a 的和是( )
O C -1
x
∴ 点 D 的坐标为(-5，-3).
D·
故 D 的坐标为(1，3)或(-5，-3) .
专题二：一次函数与几何、代数的综合问题
例2 (溧阳市期末)如图，直线 y = 1 x+2 与 x 轴、y 轴
2
交于 A、B 两点，在 y 轴上有一点 C (0，4)，动点 M
从 A 点出发以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左移动.
于C，A 两点，且与正比例函数 y = kx 的图象交于点
B (-1，m).
y
(1) 求 m 的值； (2) 求正比例函数的解析式；
BA O
(3) 点 D 是一次函数图象上的一点， C -1
x
且△OCD 的面积是 3，求点 D 的坐标.
分析：(1) 把点 B (-1，m) 代入一次函数 y = x + 2 即 可求得； (2) 利用待定系数法即可求得； (3) 根据三角形面积求得 D 点到 x 轴的距离，即可 求得 D 的纵坐标，代入 y = x + 2 即可求得横坐标.
∵直线 y = kx + b 经过点 M (-3， 2)，又 k = 4， B
∴4×(-3) + b = 2，解得，b = 14，
所以这个函数的解析式为 y = 4x + 14.

(3)求两直线宇坐标轴所围成的图形的面积
y=-x-1
y y=x+3
D P
C
x
A OB
ห้องสมุดไป่ตู้
例3: 已知：点P是一次函数y=-2x+8的图象上一点，
如果图象与x轴交于Q点，且△OPQ的面积等于6，
求P点的坐标。
y
y=-2x+8
P
Q
o
x
P
变式、若一次函数的图象交x轴于点A（-6，0），交正
比例函数的图象于点B，且点B在第二象限，它的横坐
D P
oA
B
y=x-1
C
x
续下页
例1 已知：如图,直线y=x-1交x轴、y轴于点A、B， 直线y=-0.5 x+2交x轴、y轴于点C、D，两直线交于 点P。
(3)将△PBD中的线段__B_D
y
作为底,它的长度为_3__, y=-0.5x+2 △PBD的高为__2_,面积为
__3__。
D P
oA
B
y=x-1
的值.
C
x
续下页
(4) S四边形PAOD =_S_△_C_OD_ - _S_△__PA_C
5
=__2___
(5) S△PBC=___S_△_PAC+ __S_△_B_AC S△PBC=__S_△_C_BD- __S_△__PBD= _____ 3
返回
例2 已知：直线y=2x和y=kx+b交于点A(1,m),直线y=kx+b交x轴于
专题学习
与一次函数有关的面积问题
例1 已知：如图,直线y=x-1交x轴、y轴于点A、B，
直线y=-0.5 x+2交x轴、y轴于点C、D，两直线交于 点P。

3k +b=2，
解得
k =－1， b=5，
∴直线 AB 的解析式为 y＝－x＋5.
(2)在(1)的条件下，求四边形 BODC 的面积． (2)把 x＝0 代入 y＝－x＋5 得 y＝5， ∴B(0，5)． 由(1)知 A(5，0)． 把 y＝0 代入 y＝2x－4 得 x＝2，
∴D(2，0)． ∴DA＝3. ∴四边形 BODC 的面积为 S△AOB－S△ACD＝12×5×5－12×3×2＝9.5.
2．如图，已知直线 y＝kx＋b 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，直线 y＝2x－4 交 x 轴于点 D，与直线 AB 相交于点 C(3，2)． (1)若点 A 的坐标为(5，0)， 求直线 AB 的解析式；
解：(1)把点 A(5，0)，C(3，2)代入 y＝kx＋b 可得 5k+b=0，
得 －2k+b=6，解得 k=－1，
k +b=3，
b=4，
∴直线 AB 的解析式是 y＝－x＋4.
(2)若点 D 在 y 轴负半轴，且满足 S△COD＝13S△BOC， 求点 D 的坐标． (2)y＝－x＋4 中，令 y＝0， 则 x＝4，∴B(4，0)． 设 D(0，m)(m＜0)， 则 S△BOC＝12OB·|yC|＝12×4×3＝6，
1．(教材 P108T10 变式)点 P(x，y)在第一象限，且 x ＋y＝4，点 A 的坐标为(3，0)．设△OPA 的面积为 S. (1)当点 P 的横坐标为 1 时，试求△OPA 的面积； 解：(1)由题意可知 P(1，3)． ∵点 A 的坐标为(3，0)， ∴OA＝3.∴S＝12×3×3＝92.
3．(2020·成华区期末)如图，一次函数 y＝kx＋b 的 图象经过点 A(－2，6)，与 x 轴交于点 B，与正比例 函数 y＝3x 的图象交于点 C， 点 C 的横坐标为 1. (1)求直线 AB 的解析式；

无三钱角之 形人的脚底杆在硬坐，标有轴钱上之时人，骨利头用酥点。到坐标轴的距离求出高后直接求面积即可：
21、底在yx轴上时，高是交点坐标的纵横坐标的长度。 了掌解握并 将熟面练积应问用题数转形化结为合线与段分、类坐讨标论的的关数系学问思题想 注学意会:应点用到已坐知标面轴积的求距解离析要式带（绝已对知值解号析式求面积）题目
应用练习
应用练习
知识讲解
例题讲解
E
解题方法
应用练习
例题讲解
解题方法
【解题技巧】 利用两函数的交点坐标，可直接带入求出正比例函数解析式。然后利用三角形的面 积求出一次函数与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法可求得解析式
应用练习应用练习来自注意:点到坐标轴的距离要带绝对值号
1、底在x轴上时，高是交点坐标的纵坐标的长度。
课程目标
学会应用已知面积求解析式（已知解析式求面积）题目 了解并熟练应用数形结合与分类讨论的数学思想 掌握将面积问题转化为线段、坐标的关系问题
思维导图
人生不得行胸怀，虽寿百岁犹为无也。 男儿不展同云志，空负天生八尺躯。 人生不得行胸怀，虽寿百岁犹为无也。 有志始知蓬莱近，无为总觉咫尺远。 不怕路远，就怕志短。 人生志气立，所贵功业昌。 顶天立地奇男子，要把乾坤扭转来。 雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 心随朗月高，志与秋霜洁。 沧海可填山可移，男儿志气当如斯。 人无志向，和迷途的盲人一样。 古之立大事者，不惟有超世之材，亦必有坚忍不拨之志。 人之所以异于禽者，唯志而已矣! 桐山万里丹山路，雄风清于老风声 治天下者必先立其志。 壮志与毅力是事业的双翼。 无钱之人脚杆硬，有钱之人骨头酥。 有志者能使石头长出青草来。 追踪着鹿的猎人是看不见山的。 莫为一身之谋，而有天下之志。 有志者，事竟成。 贫困教会贫困者一切。 鸭仔无娘也长大，几多白手也成家。 对没志气的人，路程显得远;对没有银钱的人，城镇显得远。

例1.如图,直线l1 : y x 3 与两坐标轴分别交于A、B两点.
(1)直线l1 与两坐标轴围成△AOB，则 S△AOB=_4_._5 _.
y x 3
l1：y x 3
A(0,3)
A(0,3) B(3,0)
AO 3, BO 3
S△ ABC
1 2
AO• BO
O
1 3 3 4.5
2
B(3,0)
巩固练习
3.如图，已知一次函数 的图象经过点A(2，6)， B(-4,-3). 求△OAB的面积.
巩固练习 (三线两两相交)
4.如图,直线l1 : y x 3 与两坐标轴分别交于A、B两点.
(6)直线x=1交AB于点D,交x轴于点E，P是直线x=1
上一动点，且在点D的上方，设P(1，n).
l1：y x 3
求出点的坐标 线段的长 三角形的面积
典型图形
(一线两轴)
(两线一轴)
(两线一轴变式)
新知探究 (三线两两相交)
例1.如图,直线l1 : y x 3 与两坐标轴分别交于A、B两点.
(5)在(2)的基础上, 连接AC.求△ACD的面积.
S△ACD S△ACM S△AMD l1：y x 3
新知探究 (两线一轴)
例1.如图,直线l1 : y x 3与两坐标轴分别交于A、B两点.
(2)若直线l2：y x 1与x轴交于点C,直线l1与l2交于点D.则
S△BCD =__4___. l1：y x 3
l2：y x 1
y x 3 y x 1
A(0,3)
B(3,0) C(1,0) D(1,2)
y x 3
l1：y x 3
l2：y x 1
x 2 y x 1

意多解情况！
能力训练
2.已知直线y=kx+b与x轴交于点A，经过点P(2，2）, 且△OAP的面积为4，求此直线的解析式。
P
能力训练 课本P99#9改编
3、点P(x,y)在第一象限，且在直线y=8-x上，点A(6，0)， 设△OPA的面积为S.
（1）求S关于x的函数解析式； （2）当点P横坐标为5时， 求△OPA的面积？ （3）当S=12时，求P点坐标? y
第十九章 一次函数
二、由面积关系求一次函数解析式
例2.已知直线y=kx+b与y轴交于点A（0，4），与x轴交于 点B,且△OAB的面积为4，求此直线的解析式。
解:∵直线与y轴交于点A（0，4）
∴OA=4
SOAB
1 2
• OA•距O离B 与4坐标互化时，坐标 有符号性，要注意多解情
∴OB=2
况！
∴B（-2，0）或（2，0）
八年级 数学
第十九章 一次函数 一、由一次函数解析式求面积
例1.已知一次函数y = -2x-4的图象与 x轴、y轴分别 交于A、B两点，求△OAB的面积?
A(-2,0) B(0,-4)
归纳总结1:
求一次函数图象与坐标轴所围成的三角形面积的方法：
函数解析式
与坐标轴的 交点坐标
线段长
三角形面积
A(-2,0) B(0,-4)
八年级 数学
第十九章 一次函数
专题：一次函数与面积
八年级 数学
第十九章 一次函数
1、一次函数的图象是一条直线, 如何画出一次函数的 图像?
2、一次函数解析式y = kx+b中，直线与x轴的交点坐标为 _(___bk_,0_)___，与y轴的交点坐标为_(_0_，__b_)__；

（3）如图，过点A作AC⊥x轴于C，AC＝1
令y＝0，则 x﹣4＝0，解得 x＝．
∴点B的坐标为 （，0），则OB＝
∴S△AOB=OB⋅AC＝××1＝
∴这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积为．
若三角形的底边落在坐标轴上，则高是两条直线的交点到坐标车轴的距离，即交点的纵坐标或横坐标的绝对值 运用数形结合思 想是求解此类问题的关键.
所以一次函数解析式为y＝﹣3x﹣5，
图象如图：
（2）由直线y＝﹣x﹣5可知与y轴相交于C（0，﹣5），所以S△AOB＝×5×3﹣×5×1 ＝5．
如果三角形的三条运边都不在坐标轴上(如典例3中△AOB)，那么应应设法把所求三角形的面积转化为两个底边落在坐标轴上的三角形的面积的和或差.
（3）△OPA的面积不能大于24．理由如下：
∵S＝﹣3x+24，﹣3＜0；
∴S随x的增大而减小，
又∵x＝0时，S＝24，
∴当0＜x＜8，S＜24．
即△OPA的面积不能大于24．
本题考查了一次函数的图象与性质及三角形的面积，难度一般，解答本题的关键是正确地求出S与x的关系，另外作图的时候要运用两点作图法，并且注意自变量的取值范围．
∴×AC×h＝×BC×h，
∴AC＝5BC，
∴AB＝4BC，
∴BC＝×6＝，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠DBC＝∠ABO＝45°，
∴C（﹣7.5，﹣1.5）；
当点C在线段AB上时，C（﹣5，1）；
综上所述，点C的坐标为（﹣7.5，﹣1.5）或（﹣5，1）．
本题考查了一次函数的性质，体现了分类讨论的思想，一次函数图象上点的坐标特征，根据S△OAC＝5S△OBC，得到AC＝5BC是解题的关键．

x
O
B(1,1)
(1)
B
(2)
2. 如图(2)，△ABC的面积为
.
课堂拓展
已知点P（x，y）是第二象限内直线y=x+6上
的一个动点，点A的坐标为（-4，0），在点P
运动的过程中， △OPA的面积为S.
（1）试写出S与x的函数关系式， 并写出x的取值范围.
y
y=x+6
（△2O）PA当的点面P积运为动8到. 什么位置时PP，PPPP
已知如图：直线y=x+2与直线y=-2x+5交于点A.
直y=x线+2y分=-2别x+交5分x轴别、交yx轴轴于、点y轴E、于D点. B、Cy，直线
（1）求△ACE的面积.
y=x+2
（2）求四边形ADOB的面积.
C
A
D
E O Bx
y=-2x+5
如何求平面直角坐标系中的 图形的面积？
１．如果三角形有一边在坐标轴上（或平 行于坐标轴），直接用面积公式求面积．
２．如果三角形任何一边都不在坐标轴上， 也不平行于坐标轴，则需转化为几个有边 在坐标轴上的三角形面积之和（或差）．
３．四边形面积常转化为若干个三角形 面积之和（或差）．
即学即练
1.已知：如图(1)，在平面直角坐标系中，
A（-1,3）、B（3,-2），则△AOB的面积
为
.y
A
C
A(3,6)
C(7,4)
PP
Ox
A
课堂小结：
谈谈作业你： 的收获！ 1、优化设计54页第11题 2、优化设计64页第9题 3、整理课堂拓展问题
P
MO（H1,0） B
F y=-x-2