陕西师大《高等数学(二)》作业+答案

高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。

解：选A 。

23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。

2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。

x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。

解：选D 。

()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。

4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。

模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。

（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。

2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。

高等数学A （二）带答案一、单项选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A A D B C C BA 得分1、设三个向量,,a b c 满足关系式0a b c ++= ，则a b ⨯= （ ）。

(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯2、函数()22,y x y x f +=在点)2,1(处沿向量→l =（ ）的方向导数最大。

(A) )2,1( (B) )4,2( (C) )4,4( (D) )2,2(3、函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数都存在且连续是()y x f ,在该点处可微的（ ）条件。

(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要4、空间曲线3,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线方程是（ ）。

(A) 12142121-=--=-z y x (B) 121411-=--=z y x (C) 02184=-+-z y x (D) 0284=++-z y x 5、取}01),({22>≤+=x y x y x D ，，则下面二重积分中其值为0的是 （ ）。

(A) ()σd y x D ⎰⎰+22 (B) ()σd xy x D⎰⎰+23(C) ()σd y x D ⎰⎰+33 (D) σd y x D ⎰⎰sin cos6、()=+⎰ds y x L22（ ），其中L 为圆周222=+y x 。

(A) π2- (B) π24 (C) 238π (D) 17、设曲面∑为上半球面2222x y z R ++=0)z ≥（，曲面1∑是曲面∑第一卦限的部分，则下面等式成立的是（ ）。

(A) 14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D) 14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 8、下列级数中，绝对收敛的是（ ）。

二级学院高等数学Ⅱ（参考答案及评分标准）2009. 7. 1 一、填空题（每空3分，共15分）1、函数)ln(),(y x y x f +=的定义域为 {(x , y ) | x +y > 0} .2、函数xy x z +=2在点(1, 1)处的梯度为 (3, 1) .3、过原点且与平面0123=-+-z y x 平行的平面方程为 3x -2y +z =0 .4、设)(x f 是以π2为周期的周期函数，它在),(ππ-上表达式为1)(+=x x f ，)(x s 为)(x f 的Fourier 级数的和函数，则=)0(s 1 ，=)(πs 1 .二、选择题（每题3分，共15分）1、 二元函数),(y x f 在),(00y x 处的两个偏导数),(y x f x '，),(y x f y '连续，是),(y x f 在),(00y x 处可微的（ B ）A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2、下列等式中不正确的是（ D ） A.⎰⎰⎰⎰≥≤++≤++=011222222222y y x y x y x y x d e d e σσ B.⎰⎰⎰⎰≤+≤+=112222cos cos y x y x yd x xd y σσC.012322=⎰⎰≤+y x d x y σ D.⎰⎰⎰⎰≥≤++≤++=01122222y y x y x y x yx d e d e σσ3、曲线t x =，2t y =，3t z =在1=t 处的切线为（ C ）A. 111-=-=-z y xB. 321-=-=-z y xC. 312111-=-=-z y x D. 321zy x ==√√4、幂级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛域是（ A ）A. ]1,1(-B. )1,1[-C. ]1,1[-D. )1,1(-5、级数∑∞=11n pn收敛，则（ B ）A. 1≥pB. 1>pC. 1≤pD. 1<p三、计算题（第1小题8分，其它每小题9分，共62分）1、已知y e v y e u uv z x x sin ,cos ,===，求yz x z ∂∂∂∂,. 解：y ue y ve xv v z x u u z x z x x sin cos +=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ ……………………………..……………..….. 4分 y ue y ve yv v z y u u z y z x x cos sin +-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ …………………………………..………….. 4分2、求通过点)2,3,1(-且与平面13=+z x 和25=-z y 平行的直线方程.解：（法一）平面13=+z x 和25=-z y 的法向量分别为)3,0,1(1=n ，)5,1,0(2-=n………… 4分 则所求直线方向向量)1,5,3()5,1,0()3,0,1(21-=-⨯=⨯=n n n……………………... 7分从而所求直线方程为125331-=+=--z y x ………………………………………….... 9分 （法二）设所求直线方向向量为),,(c b a n =平面13=+z x 和25=-z y 的法向量分别为)3,0,1(1=n ，)5,1,0(2-=n………… 4分 则1n n ⊥及2n n ⊥，于是得031=+=⋅c a n n 及052=-=⋅c b n n从而c a 3-=且c b 5=)1,5,3(-=⇒c n………………………….…………………… 7分 因此所求直线方程为125331-=+=--z y x ……………………………….…………... 9分3、计算⎰⎰+Ddxdy y x )(2，其中D 是由直线x y =，x y -=及1=y 围成的闭区域. 解：（法一）积分区域D 关于y 轴对称，从而=+⎰⎰D dxdy y x )(2⎰⎰=122D dxdy y ………….….... 3分 ⎰⎰=10122x dy y dx ……………..… 6分⎰-=103)1(312dx x ………….…. 8分 21=………………………….…. 9分 （法二）⎰⎰⎰⎰-+=+122)()(dx y x dy dxdy yx yyD……...…. 6分⎰=132dy y 21=…………….… 9分 4、计算三重积分⎰⎰⎰ΩdV z 2，其中Ω是由曲面22y xz +=及平面1=z 所围成的闭区域.解：（法一）⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω=102222zy x dxdy z dz dV z ………….. 5分⎰⋅=12dz z z π4π=……….….. 9分（法二）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+≤+Ω=12122222yx y x dz z dxdy dV z …….... 5分⎰⎰≤++-=132222])(1[31y x dxdy y x 4)1(3120106πθπ=-=⎰⎰rdr r d …………….….. 9分 5、求曲线积分⎰+-Lxdy ydx ，其中L 是抛物线2y x =上从点)0,0(到点)1,1(的一段弧.解：（法一）⎰⎰+⋅-=+-12]2)[(dy y y y xdy ydx L…...... 6分3112-=-=⎰dy y ……….….. 9分（法二）添加直线AB ：)01:(1→=y x 及B0：)01:(0→=x y ，则⎰⎰⎰⎰⎰+--+---=+-≤≤≥y y x Lxdy ydx xdy ydx dxdy xdy ydx 1022…………..…. 6分3102011012-=---=⎰⎰⎰dy dx dyy ………….……………………..... 9分1 xyD 1 11yzAOxyB6、求曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面221y x z +-=(0≥z )的上侧. 解：（法一）添加平面)1(0221≤+=∑y x z ：，取下侧⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰∑+-≤≤++-=122103zdxdy ydzdx xdydz dxdydz y x z ……… 5分0311222-=⎰⎰⎰-≤+）（z y x dxdy dz………. 7分ππ=-=⎰12)1(3dz z ………….. 9分（法二）⎰⎰⎰⎰≤+∑+-++⋅++⋅=++122222222)1(y x dxdy y x y x y y y x x x zdxdy ydzdx xdydz ….. 6分⎰⎰≤+=122y x dxdy π=………………..…………………………………. 9分7、将函数321)(2--=x x x f 展开成x 的幂级数.解：)1131(41)1(31)(+--=+-=x x x x x f ）（)(1141311121x x --⋅--⋅-=………………………………………………………………..…… 4分 ∑∑∞=∞=----=00)(41)3(121n nn n x x （1||1|3|<-<-x x 且）……………………….………….. 8分∑∞=+--=01)311(4)1(n n n n x （1||<x ）……………………………………………….…………. 9分四、（8分）求点)2,8(到抛物线24x y =的距离.解：设点(8, 2) 到抛物线上任一点(x , y )的距离为d ，则所求问题等价于22224..)2()8(min xy t s y x d =-+-=………………………………………………………………...…… 2分令)4()2()8(222y x y x L -+-+-=λ…………………………………………………..….…….. 4分则 ⎪⎩⎪⎨⎧==--==+-=2404)2(202)8(2xy y L x x L y x λλ ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⇒4444y x y x 或……………...………………………… 6分 148)4,4(=-d ，20)4,4(=d ，从而所求距离为148)4,4(=-d …………….………...………. 8分y。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！12022年陕西成人高考专升本高等数学(二)真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间150分钟.第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设函数则（ ）2()sin ,(),f x x g x x ==(())f g x =A ．是奇函数但不是周期函数B ．是偶函数但不是周期函数C ．既是奇函数又是周期函数D. 既是偶函数又是周期函数2. 若，则（ ）20(1)1lim2x ax x→+-=a =A. 1B. 2C. 3D. 43.设函数在处连续，在处不连续，则在处（）()f x 0x =()g x 0x =0x = A. 连续 B. 不连续()()f x g x ()()f x g x C. 连续 D. 不连续()()f x g x +()()f x g x +4. 设，则（）arccos y x ='y =A.B. C.D.5.设，则（）ln()xy x e -=+'y =A. B. C.D. 1x xe x e --++1x xe x e---+11x e --1xx e-+6.设，则（）(2)2sin n yx x -=+()n y =A.B.C. D.2sin x -2cos x -2sin x +2cos x +7.若函数的导数，则（）()f x '()1f x x =-+A. 在单调递减()f x (,)-∞+∞B. 在单调递增()f x (,)-∞+∞C. 在单调递增()f x (,1)-∞D. 在单调递增 ()f x (1,)+∞8.曲线的水平渐近线方程为（ ）21xy x =-A. B. C.D.0y =1y =2y =3y =9.设函数，则（）()arctan f x x ='()f x dx =⎰A. B.arctan x C +arctan x C -+C.D. 211C x++211C x-++10.设，则 (）x yz e+=(1,1)dz =A. B. C. D.dx dy +dx edy +edx dy +22e dx e dy +第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题（11-20小题，每题4分，共40分）11. .lim2x x x e xe x→-∞+=-12.当 时，函数是的高阶无穷小量，则 .0x →()f x x 0()limx f x x→=13. 设，则.23ln 3y x =+'y =14.曲线在点（1，2）处的法线方程为.y x =+15..2cos 1x xdx x ππ-=+⎰16..=⎰17. 设函数，则 .()tan xf x u udu =⎰'4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭18.设则.33,z x y xy =+2zx y∂=∂∂19.设函数具有连续偏导数，则.(,)z f u v =,,u x y v xy =+=zx∂=∂20.设A ，B 为两个随机事件，且则.()0.5,()0.4,P A P AB ==(|)P B A =三、解答题（21-28题，共70分。

⾼等数学（⼆）考试题答案1单选(3分)已知，复合函数对的导数为，则等于（）．得分/总分A.2B.1C.D.正确答案：D你没选择任何选项2单选(3分)定积分的值为（）.得分/总分A.B.D.正确答案：B你没选择任何选项3单选(3分)设函数在内连续，且满⾜，则（）．得分/总分A.B.C.D.正确答案：B你没选择任何选项4单选(3分)极限的值为（）．B.C.D.正确答案：D你没选择任何选项5单选(3分)设函数，则的值为（）.得分/总分A.-48B.48C.2设是的⼀个原函数，则（）.得分/总分A.B.C.D.设函数在区间上连续，其图形如下图所⽰，，则（）．第28题图得分/总分A.函数的图形在内⽆拐点B.函数在内取到极⼩值C.函数在内取到极⼤值D.函数在上单调增加正确答案：B你没选择任何选项8单选(3分)A.B.C.D.正确答案：D你没选择任何选项9单选(3分)函数的单调增加区间为（）.得分/总分A.B.与C.正确答案：B你没选择任何选项10单选(3分)已知⼆阶可导，且，是它的反函数，则等于（）．得分/总分A.B.C.D.正确答案：B你没选择任何选项11单选(3分)曲线的渐近线条数为（）．得分/总分A.3C.4D.2正确答案：A你没选择任何选项12单选(3分)曲线的拐点个数为（）．得分/总分A.4B.1C.3D.2正确答案：A你没选择任何选项13单选(3分)若不定积分的结果中不含反正切函数，则（）.A.B.C.D.正确答案：D你没选择任何选项14单选(3分)定积分的值为（）.得分/总分A.B.C.正确答案：B你没选择任何选项15单选(3分)设函数在内连续，则函数的导数为（）.得分/总分A.B.C.D.正确答案：A你没选择任何选项16单选(3分)反常积分的值为（）.得分/总分A.B.C.D.正确答案：B你没选择任何选项17单选(3分)设函数在点的某邻域内有定义，则在点处可导的充分条件是（）．得分/总分A.存在B.存在C.存在D.存在正确答案：B你没选择任何选项18单选(3分)已知，则的值为（）.A.1B.-2C.-1D.正确答案：B你没选择任何选项19单选(3分)设函数由⽅程确定，则的值为（）.得分/总分A.-2B.1C.-1正确答案：D你没选择任何选项20单选(3分)设函数⼆阶可导，其图形在处的曲率圆的⽅程为，则函数的⼆阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为（）．得分/总分A.B.C.D.正确答案：B你没选择任何选项21多选(4分)设函数是闭区间上可导的偶函数，则下列函数中在上⼀定为奇函数的是（）．得分/总分A.C.D.正确答案：C、D你没选择任何选项22多选(4分)设函数在点处可导，在点处连续但不可导，则（）.得分/总分A.函数点处连续B.函数点处不可导C.是函数点处可导的充分条件D.是函数点处可导的必要条件正确答案：A、C、D你没选择任何选项23多选(4分)A.B.该参数⽅程确定的曲线在原点的曲率半径为C.D.正确答案：A、B、C你没选择任何选项24多选(4分)下列定积分（或反常积分）中，其值为0的有（）.得分/总分A.B.C.D.正确答案：A、B、C你没选择任何选项25多选(4分)已知函数在上连续，在内可导，且，则（）.得分/总分A.存在，使得B.存在，使得C.对任意正数，在内存在相异的两点，使得D.存在，使得正确答案：B、C、D你没选择任何选项26判断(2分)若函数在点处不可导，则函数在点处也不可导.得分/总分A.正确答案：B你没选择任何选项27判断(2分)设函数在内可导，，则.得分/总分A.设函数在上可积，且，则在上恒等于零.A.若函数在点处可导，则曲线在点处存在切线.得分/总分设函数在点处⼆阶可导，且在点处取极⼩值，则必有，.得分/总分A.对任何正整数，⽅程⾄多只有⼀个实数根.得分/总分A.设函数连续，且满⾜，则.得分/总分A..得分/总分A.B.正确答案：A你没选择任何选项34判断(2分)设函数在内具有⼀阶连续导数，且在内A.B.正确答案：A你没选择任何选项35判断(2分)反常积分收敛的充分必要条件是.得分/总分A.B.正确答案：A你没选择任何选项。

下册各章习题答案 第七章第八章习题8.11. (1) 1; (2) 0; (3) 41－; (4) e ; (5) 2; (6) 0. 2.)(2122y x xy +≤习题8.2 1. (1)323y y x x z -=∂∂,233xy x y z -=∂∂; (2) )ln(21xy x x z =∂∂,)ln(21xy y y z =∂∂;(3)y x y x y x z csc sec 1=∂∂,y x y x yx y z csc sec 12-=∂∂; (4)1-=∂∂z y z x y x u ,z y zx y u z y z ln 1-=∂∂,y x x y zu z y z ln ln =∂∂; (5)z z y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-,zz y x y x z y u 21)(1)(-+--=∂∂-,zz y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=∂∂;(6))]2sin()[cos(xy xy y xu-=∂∂,)]2sin()[cos(xy xy x y u -=∂∂, .3. 4π=α.4. (1)2222812y x x z -=∂∂,2222812x y yz -=∂∂,xy y x z 162-=∂∂∂; (2)22222)(2y x xy x z +=∂∂,22222)(2y x xy y z +-=∂∂,222222)(y x x y y x z +-=∂∂∂;(3)y y x z x 222l n =∂∂，222)1(--=∂∂x y x x yz ，)ln 1(12y x y y x z x +=∂∂∂-； (4)[]22222sin cos 22x x x y x z +-=∂∂,2322cos 2x yy z =∂∂,222sin 2x x y y x z =∂∂∂.5.223231,0y y x z y x z -=∂∂∂=∂∂∂.6. ⎪⎩⎪⎨⎧+≠++=∂∂000)(222222323＝当当y x y x y x y x f ；⎪⎩⎪⎨⎧+≠++=∂∂000)(222222323＝当当y x y x y x x y f .习题8。

高等数学（二）05062B一、填空题（每题4分）（1）微分方程)1()1(322y x y +-='的通解____________（2）直线⎩⎨⎧=-+=-+212z y x z y x 的方向向量 （3）设),(y x z z =是由0=-xyz e z 所确定的函数,则x z ∂∂= （4）过原点P （1，2，3）且与原点与P 的连线垂直的平面方程为（5）改变积分次序⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx = （6）∑∞=-+1)2)1(1(n n nn 是 （收敛、发散）级数 （7）∑∞=-122)1(n n nn x 的收敛半径R= 收敛域 二、计算题（8）（10分）D xydxdy D,⎰⎰是有直线0,2,=-==y x y x y 所围成的闭区域（9）（6分）判别级数∑∞=⋅1!5n n nn n 的收敛性（10）（10分）求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体（11）（10分）求曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程（12）（10分）把2)4(1)(x x f -=展开成x 的幂级数，并求出收敛区间.（13）（8分）求微分方程xy x y 2sin tan '=⋅+的通解。

（14）（10分）设函数)(x φ连续，且满足⎰-+=x dt t x t x x 02)()()(φφ，求)(x φ（15）（8分）求由2,2+==x y x y 围成图形的面积，以及此图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积高等数学（二）05062B 解答及评分标准一、填空题（每题4分）（1）])1tan[(3C x y +-= （2）{}1,1,0 （3）xye yz z - （4）1432=++z y x （5）⎰⎰-+-101122),(y y dx y xf dy （6）发散 （7）2；)2,2(-二、计算题（8）解：{}y x y y y x D -≤≤≤≤=2,10),(……………….2分 ⎰⎰⎰⎰-=y y D xydx dy xydxdy 210……………….6分⎰⎰+-=⋅=-1022102)244(|2dy y y x y dy y y …….8分 31321023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=y y ……………10分 （9）解：!5)!1(5)1(lim lim 111n n n n u u n nn n n n n n ⋅++=++∞→+∞→……………………3分 155)11(lim <=+=∞→e n nn ………………………………..4分 故原级数收敛…………………………………….6分（10）解： 建立空间直角坐标系，原点在球心设在第一卦限的长方体的顶点为),,(z y x则xyz V 8= 且满足2222a z y x =++……………..3分)(82222a z y x xyz L -+++=λ……………………5分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=)4()3(028)2(028)1(0282222a z y x z xy L y xz L x yz L zy x λλλ由)3)(2)(1(得z y x == 由)4(得a z y x 33===……8分当长方体为正方体且边长为a 332时体积最大……………10分 （11）解：设切点),,(000z y x ，则有 {}0006,4,2z y x n =………………2分 有条件得：664412000z y x ==，即0002z y x ==及2132202020=++z y x ……4分 解得：2,1000±==±=z y x …………………………………………………6分 曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程为： 2164±=++z y x ……………………………………………………10分（12）解：14)4(4141141410<⋅=-⋅=-∑∞=x x x x n n …………5分 两边求导2)4(1x -= 14)4(4112<⋅-∞=∑x x n n n ………………10分 （13）解：x x Q x x P 2sin )(,tan )(==])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-…………………………4分]2sin [tan tan C dx xe e xdx xdx +⎰⎰=⎰-)cos 2(cos c x x +-=……………………………………………………8分（14）解：两边求导数，得⎰-=xdt t x x 0)(2)('φφ 及 )(2)(''x x φφ-=（1）0)( )( "=+x x φφ的特征方程为01 2=+ri r i r -==21,，则：x c x c y sin cos 21+=………………………………4分（2）观察知2)(*=x φ …………………………………………6分（3）通解为：2sin cos )(21++=x c x c x φ…………………………8分 0)0(=φ，0)0('=φ 得：0,221=-=c c即：2cos 2)(+-=x x φ……………………………………………10分（15）解：)4,2(),1,1(22-⇒⎩⎨⎧+==x y x y{}2,21|),(2+≤≤≤≤-=x y x x y x D …………2分dx x x S )2(212⎰--+=………………………………3分 =29)31221(2132=-+-x x x ………………………4分 dx x dx x V ⎰⎰---+=214212)2(ππ…………………………6分 =ππ572]51)2(31[2153=-+-x x ………………………………8分版权所有，翻版必究、本事。

《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 VIII 卦限。

2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 2(,)t f x y .3x y y-的定义域为 {}(,)0x y x y ≥> 。

4．设25(,),f f x y x y y x y∂=-=∂则245x x y - 。

5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得111(,)(,)xydx f x y dy dy f x y dx ⎰⎰⎰⎰或。

6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰=2 。

7．平面2250x y z -++=的法向量是 （2，-2，1） 。

8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为{222(1)90x y x z ++-== 。

9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x-4y 。

10．函数z x y =-的定义域为 }{2(,)0,0,x y x y x y ≥≥> 。

11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到222211111(,,)x x x y dx f x y z dz ---+⎰⎰ 。

12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰ 5615-。

13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。

向量1212M M M M =的模 3 ；向量12M M 的方向余弦cos α=1/3 ，cos β= -2/3 ，cos γ= 2/3 。

14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 34 。

一、填空题（每一小题2分，共10分）1．设()1(1)sin ,11,1x x f x x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩，若()x f 在()+∞∞-,上是连续函数，则a 1- ．2．设()0f x '存在，则()()0003limx f x x f x x∆→+∆-=∆ 3()0f x ' ．3．函数x xe y =的n 阶导数()=n y x e n x )(+ ．4．x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的ξ=__ 1-e ____ _． 5．反常积分2122dx x x +∞-∞++⎰=_____π_________．二、求下列极限(每一小题5分，共20分）6．x x x x 3)1212(lim -+∞→ 7．xx x 11lim 20-+→解：6．原式xx x 3)1221(lim -+=∞→ 2分 .)1221(lim 3126212e x x xx x =-+=-⋅-∞→ 5分 7．原式.011lim )11(lim 20220=++=++=→→x xx x x x x 5分8．222111lim ()12n n n n n n →∞++++++ 9．2050cos lim xx x t dtx →-⎰ 解：8．令)12111(222nn n n n x n ++++++= ，则有 n n n n n n x n +=+>12，又.11222n n n n n x n +=+< 2分 且.11lim 1lim22=+=+∞→∞→n n n nn n所以由夹逼准则得222111lim ()12n n n n n n→∞++++++.1= 5分 9．利用洛必达法则，有2050cos lim xx x t dtx →-⎰4205cos 1lim xx x -=→ 3分 .10140cos 4lim 20sin 2lim 20320===→→x x x x x x x x 5分三、求下列函数的导数或微分(每一小题5分，共20分）10．设(x y e x =，求.dy解：10．dx x x e dy x ])1([2'++= 2分.)111(22dx x x x x e x +++++= 5分11．设函数()x y y =由方程()x y x y x sin ln 32+=+确定，求.0=x dx dy解：方程两边对x 求导得.cos 32322x dx dy x y x yx dx dyx ++=++3分所以有.1)cos 3)((23522-+++-=y x x x y x y x x dx dy 且.10==x y从而.110)0cos 0)(10(00=-++-==x dx dy 5分 12．已知2ln(1)tan x t y t arc t⎧=+⎨=-⎩，求dx dy ，22d y dx .解：.21211122t t t t dx dy =++-= 3分 22d y dx .411221)(22t t t t dt dx dx dy dt d +=+== 5分 13. 求函数(1)x y x =+的导数y '.解：(1)x y x =+.)1ln(+=x x e 2分].1)1[ln()1(]1)1[ln()1ln(++++=+++='+x xx x x x x e y x x x 5分四、求下列积分(每一小题5分，共20分）14. dx xx e x ⎰++)2cos 32(解：原式dx xdx x dx e x ⎰⎰⎰++=2cos 32 2分.2sin 2ln 32C xx e x +++= 5分15. ⎰-232)1(x dx解：法(1) 原式)1()1(21)1(1)1(1223221223222x d x xdx x dx x x x ----=-+-=⎰⎰⎰212212)1(1)1(1x d x dx x -+-=⎰⎰ 3分 .1)1(11)1(122122212C x x dx x x x dx x +-=---+-=⎰⎰ 5分 法(2) 令).2,2(,sin ππ-∈=t t x 则.cos tdt dx = 2分原式.1tan sec cos cos 223C xx C t tdt t tdt +-=+===⎰⎰5分 16. arctan x xdx ⎰解：原式⎰=2arctan 21xdx 3分 .arctan arctan 211arctan 212222C x x x x dx x x x x ++-=+-=⎰ 5分 17.21e ⎰解：令.ln 1t x =+ 则dt dx x=1，且当1=x 时，1=t ；2e x =时，.3=t 3分所以有原式).13(223131-===⎰t tdt5分五、综合题(每一小题6分，共24分）18．设0>x ，证明: ()x x x x <+<-1ln 22． 证明: 法(1) 由于函数()x x f +=1ln )(在),1(∞+-内3阶可导，于是由泰勒公式得()21221)1(2!2)(!1)0()01ln(1ln ξξ+-=''+'++=+x x x f x f x ，其中).,0(1x ∈ξ 2分 ()3232322)1(32!3)(!2)0(!1)0()01ln(1ln ξξ++-='''+''+'++=+x x x x f x f x f x ，其中 ).,0(2x ∈ξ由于当0>x 时，有0)1(2212>+ξx ，.0)1(3323>+ξx 所以 ()x x x x <+<-1ln 22． 5分法(2) 令()().1ln )(,21ln )(2t t t g t t t t f +-=+-+=则)(),(t g t f 在),0(∞+内可导，且.01111)(,01111)(2>+=+-='>+=+-+='ttt t g t t t t t f 3分即)(),(t g t f 在),0(∞+内严格递增，又)(),(t g t f 在0=t 处连续，所以)(),(t g t f 在),0[∞+内严格递增，从而当0>x 时有).0()(),0()(g x g f x f >> 即().1ln 22x x x x <+<- 5分19．设()x f 在[]1,0上可导，且()10<<x f ，对于任何()1,0∈x ，都有()1≠'x f ，证明：在()1,0内，有且仅有一个数0x ，使()00f x x =． 证明：令.)()(x x f x g -= 先证)(x g 在()1,0内，有一个零点。