浙江省衢州市2015年高三4月教学质量检测 数学文 Word版含答案

衢州市高三年级教学质量检测试卷数学（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.已知函数3log ,(0)()2 (0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则(9)(0)f f +=（ ）.0A .1B .2C .3D 2.已知命题:2p x y +≠-， :11q x y ≠-≠-且，则p 是q 的（ ） .A 充要条件 .B 既不充分也不必要条件.C 充分不必要条件 .D 必要而不充分条件3.复数12i（i 是虚数单位）的实部是（ ） .0A .1B - .1C .D i4.右面的程序框图输出的结果为（ ） .62A .126B .254C .510D5.已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则20112006a a =（ ） .2A .3B .6C .36D 或6.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下面有三个命题： ①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥其中假命题的个数为（ ）.3A .2B .1C .0D7.已知,,A B P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且,A B 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积3PA PB k k = ，则该双曲线的离心率为（ ）B .2C8.随机变量ξ的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)aP n n n n ξ===+，其中a 是常数，则15()22P ξ<<的值为（ ） 2.3A 3.4B 4.5C 5.6D 9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆C 相交于A B 、两点.若3AF FB =，则k =（ ）.1ABC .2D 10.记集合3124234{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},{,1,2,3,4}10101010i a a a aT M a T i ==+++∈=，将M 中的元素按从大到小排列，则第2011个数是（ ）2345573.10101010A +++ 2345572.10101010B +++ 2347989.10101010C +++ 2347991.10101010D +++二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.若1)na的展开式中含3a 项，则最小自然数n 是 .12.在ABC ∆中，D 在线段BC 上，2,BD DC AD mAB nAC ==+ ，则mn= .13.已知四个非负实数,,,x y z u ，满足326,231x y z x y u ++=+-=，则61S u z =-+的最大值为 .14.一个几何体的三视图如右图所示，则该 几何体的表面积为 .15.在2010年广州亚运会射箭项目比赛中， 某运动员进行赛前热身训练，击中10环 的概率为12，反复射击.定义数列{}n a 如下：1010 11n n n a ⎧=⎨-⎩（第次射击，击中环）（第次射击，未击中环），n S 是此数列的前n 项的和，则事件73S =发生的概率是 .16.把抛物线2y x =绕焦点F 按顺时针方向旋转45，设此时抛物线上的最高点为P ，则PF = .17.如图，线段AB 长度为2，点,A B 分别在x 非负半 轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一 象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐标原点，则OC OD的取值范围是 .三、解答题：（本大题共5小题，共72分）18.（本题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知cos 2C =. （I ）求cos C 的值；（II ）若cos cos 2a B b A +=，求ABC ∆面积的最大值.19.（本题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21017,100a S ==.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足*cos()2()n n n b a n n N π=+∈，求数列{}n b 的前n 项和.20.（本题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1,60AD DC CB ABC ===∠= ，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.（I ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（II ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面F C B 所成二面角的平面角为(90)θθ≤ ，试求cos θ的取值范围.21.（本题满分15分）在平面直角坐标系xoy 中，过定点(,0)C p 作直线m 与抛物线22(0)y px p =>相交于A 、B 两点. （I ）设(,0)N p -，求NA NB的最小值；（II ）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.22.（本题满分15分）已知函数2()2ln f x x x =-. (I) 求函数()y f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.(II)如果函数()()g x f x ax =-的图像与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x ，且120x x <<./()y g x =是()y g x =的导函数，若正常数,p q 满足1,p q q p +=≥.求证：/12()0g px qx +<.衢州市高三年级教学质量检测试卷数学(理科)参考答案一、选择题：1. D2.B3.A4.D5.B6.C7.C8.D9.B 10.C 二、填空题11. 7 12. 1213. 7 14. 2412π+ 15.21128 16. 1217.[]1,3三、解答题 18.解：(Ⅰ)∵cos 2C =，221cos 2cos 1129C C ∴=-=-=……………7分(Ⅱ) ∵ cos cos 2a B b A +=， 222222222a b c c b a a b ac bc+-+-∴⨯+⨯= 2c ∴= …………………9分2211164222999a b ab ab ab ab ∴=+-⨯≥-⨯=94ab ∴≤(当且仅当a=b=32时等号成立) …………………12分由cosC=19,得…………………13分119sin 224ABC S ab C ∆∴=≤⨯=故△ABC…14分19.解：（I ）设{}n a 首项为1a ,公差为d,则111710(29)1002a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1192a d =⎧⎨=-⎩…………………5分19(1)(2)212n a n n ∴=+-⨯-=-…………………7分（II ）∵cos()2n n n b a n π=+=(1)2n n n a -+当n 为偶数时, 2312123...(2)(2)(2)...(2)n n n n T b b b a a a a =+++=-++++-++++=12(12)(2)22212n n n n +--⨯+=---…………………10分 当n 为奇数时, 2312123...(2)(2)(2)...(2)n n n n T b b b a a a a =+++=-++++-+++-+ = 12312(12)()...()12n n n a a a a a ---+-+-+-= 11192222n n +--+⨯+-= 1222n n ++-…………………13分 1122(222n n n n n T n n ++⎧--∴=⎨+-⎩当为偶数）（当为奇数）…………………14分 20.（I ）证明：在梯形ABCD 中， ∵ //AB CD ,1AD DC CB ===，∠ABC ＝60，∴ 2AB = …………………2分∴ 360cos 2222=⋅⋅-+=oBC AB BC AB AC∴ 222BC AC AB +=∴ BC ⊥AC ………………… 4分∵ 平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE ∩平面ABCD AC =,BC ⊂平面ABCD ∴ BC ⊥平面ACFE …………………6分（II ）解法一：由（I ）可建立分别以直线,,CA CB CF 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系，令)30(≤≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ，()()1,0,,0,1,0λM B∴ ()()1,1,,0,1,3-=-=λ …………8分 设()z y x n ,,1=为平面MAB 的一个法向量， 由⎩⎨⎧=⋅=⋅0011BM n n 得⎩⎨⎧=+-=+-03z y x y x λ取1=x ，则()λ-=3,3,11n ，…………10分 ∵ ()0,0,12=n 是平面FCB 的一个法向量 ∴1212||cos ||||n n n n θ⋅===⋅………12分∵ 0λ≤≤∴ 当0λ=时，θcos 有最小值7， 当λ=时，θcos 有最大值12。

衢州市2007年4月高三年级教学质量检测试卷数学（理工类）参考公式：如果A、B互斥，那么()()()P A B P A P B+=+如果A、B相互独立，那么)()()(BPAPBAP⋅=⋅如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率()()1n kk kn nP k C P P-=-球的表面积公式24S Rπ=，球的体积公式343V Rπ=，其中R表示球的半径试卷Ⅰ请用2B铅笔将答卷Ⅰ上的准考证号和学科名称所对应的括号或方框涂黑，然后开始答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{2,1,2}M=-，},|{2MxxyyN∈==，则NM I是A．}3,2,1{B．}4,1{C．}1{D．∅2. 如果复数2i12ib-+（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，则b等于A．2B．32C．2 D．－323.不等式xx1||<的解集是A．{|1}x x<B．{|0}x x>C．}10|{<<xx D．}1|{≥<xxx或4.函数sin2y x=的图象按向量a平移后，所得图象相应的函数解析式是cos21y x=+,则a等于A. (－4π,1) B. (4π,1) C. (－2π,1) D. (2π,1)5. 对于实数x，规定[]x表示不大于x的最大整数，例如[4.21]=4，[ 2.1-]=3-,则不等式22[]13[]180x x-+<成立的充分不必要条件是（）A．9(2,)2x∈B．[3,4]x∈C．[3,5]x∈D．[2,8]x∈6. 如图，液体从一个圆锥形漏斗漏入一圆柱桶中，开始时漏斗盛满液体，经过3秒漏完，圆柱桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面的高度h与下落时间t的函数关系的图像可能是：命题人:金雪东刘宗良黄茂福7. 设()0,1,x f x x 为有理数为无理数ìïïíïïî=，对所有的实数x ，均满足()()xf x g x £的函数()g x 是 A. ()cos g x x = B. ()g x x = C. ()2g x x = D. ()g x x =8. 经过空间内一定点P 的直线中，与长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的12条棱所在直线成等角的共有 A. 1条 B. 4条 C. 6条 D. 8条9. 设过)0,2(A 的直线交曲线)0(1322>=-x y x 于两点M 、N ，则以线段MN 为直径的圆被直线21=x 所截得的劣弧的弧度数为A ．6πB ．3πC ．π D ．32π10. 如图，三角形ABC 的顶点坐标分别为A （0，B （1-，0），C （1，0），O为原点，从O 点出发的光线经AC上的点1P 反射到AB 边上的点2P ，再由2P 反射回BC 边上的点3P 停止，则光线1OP 的斜率的范围是A. ⎣B.3⎢⎣C. D.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.函数331y x x =+-在点(1,3)P 处的切线方程是 ▲ .12.在120°的二面角内，放入一半径为4的球，分别与两个半平面相切于A 、B 两点， 则A 、B 间的球面距离为 ▲ .13.设12)nx -（的展开式中2x 项的系数为2a ，则22lim 2n n a →∞+的值为 ▲ .14.已知(sin )a x x =r ，(cos ,cos )b x x =r，则满足//a b r r 的x 的集合是 ▲ ．15.已知x ，y 满足约束条件0,1,2210x y x y ì³ïïï£íïï-+?ïïî，则2S x y =-的最小值为 ▲ ．16.关于函数2()23f x x x =+-有下列命题①函数2()23f x x x =+-是奇函数；②函数2()23f x x x=+-在(]0,1上为减函数；③函数()f x 的最小值为1；④设1()n n a f a +=，若递增数列{}n a 首项为1a ，则1a 的取值范围是()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U .其中正确命题的序号为 ▲17.已知A 、B 都是集合{}1,23,45，，的子集，且{}1,2A B I ＝，则符合条件的集合A 、B 的不同的组合个数共有 ▲ 个.衢州市2007年4月高三年级教学质量检测答题卷数学（理工类）考生须知：1．全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答卷Ⅰ、答卷Ⅱ，考试结束后，将答卷Ⅰ、答卷Ⅱ上交。

2015年普通高中毕业班质量检查文 科 数 学 2015.04本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设,x y ∈R ，且1i 3i x y +=+，则i x y +等于A ．2B ．4CD ．102．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为3，则输出的y 的值为x >0?y =3xy =log 3xA ．1B ．3C ．9D ．27 3．不等式102x x -≥-的解集为 A ．[1,2] B ．(,1][2,)-∞+∞C ．[1,2)D ．(,1](2,)-∞+∞4．“2a =”是“{}{}1,1,2,3a ⊆”的Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件5．已知y x ,满足2,1,220,x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．46．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下面命题正确的是Ａ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α Ｂ．若a ∥b ，b α⊂，则a ∥α Ｃ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥ Ｄ．若αβ⊥，a β⊂，则a α⊥7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，若22sin sin sin A B B C -=，c =，则角A 等于A ．30 B ．60 C ．120 D ．1508．若过点(的直线l与曲线y =l 的斜率的取值范围为 A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C．⎡⎣ D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．函数cos(sin )y x =的图象大致是10．在等边ABC ∆中，6AB =,且D ,E 是边BC 的两个三等分点，则AD AE 等于A. 18B. 26C. 27D. 2811．已知1F 为双曲线22:11411x y C -=的左焦点，直线l 过原点且与双曲线C 相交于,P Q 两点．若110PF QF =，则△1PFQ 的周长等于A ．10B ．10C ．22D ．2412．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()f x f x -=,()()22f x f x +=-．若曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为30x y -+=，则曲线()y f x =在5x =处的切线方程为 A ．30x y --= B ．70x y --= C ．30x y +-= D ．70x y +-=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．已知3cos (0)5αα=<<π，则sin 2α=__________． 14．已知函数321,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≥=⎨+<⎩若()1f x =，则x = __________．15．如图，函数cos y x x =+的图象经过矩形ABCD 的顶点,C D ．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________．16．A n ()n ∈N 系列的纸张规格如图，其特色在于：①A 0，A 1，A 2，…，A n 所有规格的纸张的长宽比都相同；② A 0对裁后可以得到两张A 1，A 1对裁后可以得到两张A 2，…，A n-1对裁后可以得到两张A n ．现有每平方厘米重量为b 克的A 0，A 1，A 2，…，A n 纸各一张，若A 4纸的宽度为a 厘米，则这（1n +） 张纸的重量之和1n S +等于__________．（单位：克）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕ><<π的最小正周期为2π，图象过点(0,1)P ． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由函数()y f x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度而得到，且()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，求实数m 的最大值．18．（本小题满分12分）2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：（Ⅰ）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（Ⅱ）设该城市郊区和城区的居民户数比为1:5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一 梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思 想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．19．(本小题满分12分)某几何体的三视图及直观图如图所示，其中侧视图为等边三角形． （Ⅰ）若P 为线段1AA 上的点，求四棱锥C C BB P 11-的体积；（Ⅱ）已知D 为线段1BB 的中点，试在几何体的侧面内找一条线段，使得该线段垂直于平面1ADC ，且它在该几何体的侧视图上的投影恰为线段C A ''，并给予证明．20．(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点坐标为(1,0)，离心率等于12． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；俯视图侧视图正视图直观图11B（Ⅱ）证明斜率为1的所有直线与椭圆C 相交得到的弦的中点共线；（Ⅲ）图中的曲线为某椭圆E 的一部分，试作出椭圆E 的中心，并写出作图步骤．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()415n n S a =-． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5n n n b ta =-，试问：是否存在非零整数t ，使得数列{}n b 为递增数列？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．22．(本小题满分14分)已知函数()e ()xf x x m m =--∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）判断()f x 的零点个数，说明理由；（Ⅲ）若()f x 有两个零点12,x x ，证明：120x x +<．2015年 普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．C 2．A 3．D 4．A 5．C 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．13．2425； 14．0； 15．12； 16．2111()2n b +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）因为()f x 的最小正周期是2π，所以2T ωπ=，得4ω=． ………………….2分 所以()sin(4)f x x ϕ=+．又因为()f x 的图象过点(0,1)P ，所以2()2k k ϕπ=π+∈Z ， 因为0ϕ<<π，所以2ϕπ=． ………………………………….5分 所以()sin(4)2f x x π=+，即()cos 4f x x =． …………………………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()cos 4f x x =，由题设可得2()cos(4)3g x x π=+． ………………………….…..8分因为(0,)x m ∈，所以2224(,4)333x m πππ+∈+，……………….…10分要使函数()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，只有243m π+≤π，所以12m π≤． 因此实数m 的最大值为12π． ……………….…..12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()cos 4f x x =，由题设可得()cos(4)3g x x 2π=+．……………….8分 令2423k x k 2π-π+π≤+≤π()k ∈Z ，则12262k k x 5ππππ-+≤≤-+()k ∈Z ， 因此函数()g x 在[,]123ππ上单调递增， …………………………….9分令2423k x k 2ππ≤+≤π+π()k ∈Z ，则62122k k x ππππ-+≤≤+()k ∈Z ， 因此函数()g x 在[,]612ππ-上单调递减， ………………………….10分要使函数()g x 在区间(0,)m 内是单调函数， 只有(0,)[,]612m ππ⊆-，因此实数m 的最大值为12π． …………………………….12分 18．本小题主要考查古典概型、茎叶图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：（Ⅰ）从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量构成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10个． …………………………….3分 其中年人均用水量都不超过30吨的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3个．…………………………….6分设“从5户郊区居民用户中随机抽取2户，其年人均用水量都不超过30吨”的事件为A ，则所求的概率为3()10P A =． ………………………….8分 （Ⅱ）设该城市郊区的居民用户数为a ，则其城区的居民用户数为3a ．依题意，该城市年人均用水量不超过30吨的居民用户的百分率为：31759752080%6120a aa ⋅+⋅=>．故此方案符合国家“保基本”政策． ………………………….12分 19．本小题主要考查几何体的体积、三视图和直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分．解：（Ⅰ）取线段BC 的中点E ，连接AE ，则BC AE ⊥．又∵ABC BB 平面⊥1，ABC AE 平面⊂， ∴AE BB ⊥1．又∵B BC BB =⋂1 C C BB BB 111平面⊂，C C BB BC 11平面⊂，∴C C BB AE 11平面⊥， ………………………….1分 又点P 在为线段1AA 上的点，且1AA ∥平面11BB C C ，∴AE 是四棱锥C C BB P 11-的高， ………………………….2分又11224BB C C AE ==⨯=正方形， ………………………….4分 ∴33432231311111=⨯⨯⨯=⋅=-AE S V C C BB C C BB P 正方形四棱锥．………………….6分 （Ⅱ）所求的线段是C A 1． ………………………….7分首先，∵1111CC A BC ⊥平面，∴C A 1在该几何体的侧视图上的投影恰好为线段C A ''．………8分下面证明11AC ADC ⊥平面． 连接C A 1，交1AC 于点F ，则点F 为线段1AC 的中点，连接DF ，DC ，1DA ， 在平面C C BB 11中，2=BC ，1=BD ，∴CD =同理，1DA =FE∴1DA CD =，∴C A DF 1⊥， ………………………….10分 又 在正方形11A ACC 中，11AC C A ⊥， ………………………….11分1DFAC F =，1ADC DF 平面⊂，11ADC AC 平面⊂，∴11AC ADC ⊥平面． ………………………….12分 20．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、特殊与一般思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）依题意，得11,2c c a ==，所以2,a b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………….4分 （Ⅱ）设直线1l ：1y x b =+，2l ：2y x b =+，分别交椭圆于()()111111,,,A A B BA x yB x y 及()()222222,,,A A B B A x y B x y ，弦11A B 和22A B 的中点分别为()111,Q x y 和()222,Q x y ．由2211,43,x y y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2211784120x b x b ++-=， 令()()22118474120b b ∆=-⨯⨯->，即1b ．又1118,7A B b x x +=-所以1111427A B x x bx +==-，111137b y x b =+=． 即11143,77b b Q ⎛⎫-⎪⎝⎭． ………………………….6分 同理可得22243,77b b Q ⎛⎫-⎪⎝⎭． ………………………….7分所以直线12Q Q 所在的直线方程为34y x =-． ………………………….8分 设l ：3y x b =+是斜率为1且不同于12,l l 的任一条直线，它与椭圆C 相交于33,A B ，弦33A B 的中点为333(,),Q x y 同理可得33343,,77b b Q ⎛⎫-⎪⎝⎭由于33343747b b ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，故点3Q 在直线34y x =-上． 所以斜率为1的直线与椭圆C（Ⅲ）①任作椭圆的两条组平行弦12A A ∥12B B ，12C C ∥1D 其中12A A 与12C C 不平行．②分别作平行弦1212,A A B B 的中点,A B 及平行弦12,C C 中点,C D ．③连接AB ，CD ，直线AB ，CD 相交于点O ，点O 分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设直线1l ：1y x b =+为斜率是1的任一条直线，它交椭圆于()(),,,,A A B B A x y B x y 弦AB 的中点()00,Q x y ．由2211,43,x y y x b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2211784120x b x b ++-=， 令()()22118474120b b ∆=-⨯⨯->，即1b <147A B b x x +=-，11167A B A B by y x b x b +=+++=． 所以10104,73,7b x b y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………6分所以0034y x =-． ……………….7分 即椭圆C 的斜率为1的任一条弦的中点都在直线34y x =-上，故斜率为1的直线与椭圆C 相交得到的所有弦的中点共线． ……………….9分 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设直线1l ：1y x b =+为斜率是1的任一条直线，它交椭圆于()(),,,,A AB B A x y B x y弦AB 的中点()00,Q x y ．则22143A A x y +=，22143B Bx y +=，所以()()()()043A B A B A B A B x x x x y y y y +-+-+=， 又02A B x x x +=，02A B y y y +=，1A BA By y x x -=-，所以0034y x =-． ……………….7分 即椭圆C 的斜率为1的任一条弦的中点都在直线34y x =-上，故斜率为1的直线与椭圆C 相交得到的所有弦的中点共线． ……………….9分 （Ⅲ）同解法一．注：本题解法一、解法二中，如果没有考虑0∆>，不扣分．21．本小题主要考查数列的通项公式及前n 项和公式、等比数列、数列的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等．满分12分．解法一：(Ⅰ)因为()415n n S a =-， 所以当1n =时，()11415a a =-，解得14a =-； ……………….1分当2n ≥时，()()11441155n n n n n a S S a a --=-=---，即14n n a a -=-，……….3分由14a =-，()142n n a a n -=-≥知0n a ≠，所以{}n a 是以14,4a q =-=-的等比数列．……………………………….4分所以()4nn a =-． ……………….5分 （Ⅱ）假设存在非零整数t ，使得数列{}n b 为递增数列，即对于n *∈N ，都有1n n b b +>．由(Ⅰ)知()4nn a =-，又5n n n b ta =-，所以()54nnn b t =--， ………………6分所以只要对任意n *∈N ，恒有()()115454n nn n t t ++-->--，即只要对任意n *∈N ，恒有()1514n nt -⎛⎫->- ⎪⎝⎭．……..① ………………7分当n 为奇数时，①等价于154n t -⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立．又n 为奇数时，154n -⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为1，所以1t <． ………………8分当n 为偶数时，①等价于154n t -⎛⎫>- ⎪⎝⎭恒成立．又n 为偶数时，154n -⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为54-，所以54t >-．………………10分 综上，514t -<<． ………………11分 又t 为非零整数，故存在非零整数1t =-使得数列{}n b 为递增数列． ………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()4nn a =-，又5n n n b ta =-．所以()54nnn b t =--，所以154b t =+，22516b t =-，312564b t =+．…………………………6分 若数列{}n b 为递增数列，则123b b b <<，所以542516,251612564,t t t t +<-⎧⎨-<+⎩解得514t -<<，要使数列{}n b 为递增数列，且t 为非零整数，则只有1t =-． …………………7分以下证明，当1t =-时，数列{}n b 是递增数列，即证明对于n *∈N ，都有1n n b b +>． 因为1115(4)5(4)n n n nn n b b +++⎡⎤-=+--+-⎣⎦455(4)n n=⨯-⨯-45455nn⎡⎤⎛⎫=-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． …………………………9分当n 为奇数时，444545055n n⎛⎫⎛⎫-⨯-=+⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………10分当n 为偶数时，444545055n n⎛⎫⎛⎫-⨯-=-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………11分因此对任意n *∈N ，都有1n n b b +>． …………………………12分22．本小题主要考查函数的零点、函数的最值、导数及其应用、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．解：（Ⅰ）因为()e 1xf x '=-， ………………1分所以，当(),0x ∈-∞，()0f x '<，当()0,x ∈+∞，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞，……………2分 故当0x =时，()f x 取得最小值为()01f m =-． ………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的最小值为()01f m =-．（1）当10m ->，即1m <时，()f x 没有零点．………………5分 （2）当10m -=，即1m =时，()f x 有一个零点．………………6分 （3）当10m -<，即1m >时，构造函数()e 2(1)xg x x x =-≥，则()e 2xg x '=-，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， 所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以()(1)e 20g x g ≥=->， 因为1m >，所以()e 20mg m m =->，又()e 2(1)mf m m m =->，故()0f m >． ………………8分又()e0mf m --=>，………………9分所以必存在唯一的()1,0x m ∈-，唯一的()20,x m ∈，使得12,x x 为()f x 的两个零点，故当1m >时，()f x 有两个零点．………………10分（Ⅲ）若12,x x 为()f x 的两个零点，设12x x <，则由（Ⅱ）知120,0x x <>．因为()()()()1222f x f x f x f x --=--()()2222e e x x x m x m -=---+-222e e 2x x x -=--．………………11分令()()e e 20x x x x x ϕ-=--≥，则()e e 2x x x ϕ-'=+-20≥=，………………12分所以()x ϕ在[0,)+∞上单调递增，因此，()()00x ϕϕ≥=． 又120x x <<，所以()20x ϕ>，即222e e20xx x --->，故()()12f x f x >-，………………13分又120,0x x <-<，且由（Ⅰ）知()f x 在(),0-∞单调递减，所以12x x <-，所以120x x +<．………………14分。

浙江省衢州市2008年4月高三数学教学质量检测试卷（理工类）考生须知：1．全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答卷Ⅰ、答卷Ⅱ，考试结束后，将答卷Ⅰ、答卷Ⅱ上交。

2．试卷共8页，有三大题，22小题。

满分150分，考试时间120分钟。

3．请将答案做在答卷Ⅰ、答卷Ⅱ的相应位置上，写在试卷上无效。

4．请用钢笔或圆珠笔将姓名、准考证号分别填写在答卷Ⅰ、答卷Ⅱ的相应位置上。

第Ⅰ卷请用2B 铅笔将答卷Ⅰ上的准考证号和学科名称所对应的括号或方框涂黑，然后开始答题。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知集合{|110}P x N x =∈≤≤，集合2{|60}Q x R x x =∈+-≤，则PQ =（▲）．A ．{}2；B ．{}1,2；C ．{}2,3；D ．{}1,2,3 2．设随机变量2(2,8)N ξ，且{}240.3P ξ<<=＝0.3，则{}0P ξ<=（ ▲ ）． A ．0.8 B ．0.2 C ．0.5 D ．0.4 3．右图输出的是（ ▲ ）A ．2005B ．65C ．64D ．63 4．方程052422=+-++m y mx y x 表示圆 的充要条件是（ ▲ ）． A ．141<<m B ．141><m m 或 C ．41<m 5．已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 及ABC ∆所在平面内的一点P ，若0P A P B P C ++=若实数λ满A B A C A P λ+=，则实数λ等于（ ▲ ）． A ．2- B ．2 C ． 1.5 D ．36．已知1F ，2F 是双曲线221x y -=的两个焦点, P 在双曲线上,当△F 1PF 2的面积为1时, 12PF PF ∙的值为（ ▲ ）．A ．0B ．1C ．0.5D ．2 7．下面的图形可以构成正方体的是（ ▲ ）．A B C D8．函数()log 1(01)a f x x a =+<<的图像大致为（ ▲ ）．8．9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导函数()f x '满足：(0)0f '>，若对任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为（ ▲ ）． A ．52 B ．3 C ．32D ． 2 10．设,,a b m 为整数(0)m >，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记作(mod )a b m ≡，已121920202020122a C C C =+++⋅⋅⋅+，且(mod10)a b ≡， 则b 的值可为（ ▲ ）．A ．2001B ．2003C ．2005D ．2007二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分.） 11．设复数212(,)(1)iz a bi a b R i -==+∈+，那么点(,)P a b 所在的象限是 ▲ .12．如图，将正方形按ABCD 沿对角线AC 折成二面角D-AC-B ，使点B 、D 的距离等于AB 的长.此时直线AB 与CD 所成的角的大小为 ▲ . 13．袋子里装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球, 用ξ表示取出的球的最大号码，则E ξ等于 ▲ ．14．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条准线与抛物线26y x =的准线重合，则该双曲线的离心率为 ▲ ．15．某服装商贩同时卖出两套服装，卖出价为168元／套，以成本计算一套盈利20％ 而另一套亏损20％，则此商贩 ▲ ．（赚或赔多少钱）． 16．=⎪⎭⎫⎝⎛+--+-→342231lim 221x x x x x ___ ▲ ．17．若{}n a 是等差数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有：()()()0p m n m n a n p a p m a -+-+-=，类比上述性质，相应地，对等比数列{}n b ，有 ▲ .衢州市2008年1月高三年级教学质量检测答题卷数学（理工类）考生须知：1．全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答卷Ⅰ、答卷Ⅱ，考试结束后，将答卷Ⅰ、答卷Ⅱ上交。

2015届上学期高三一轮复习第三次月考数学（文）试题【新课标II-2】考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则MN =（ ）A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2] 2. 已知R a ∈，若复数iia z +-=12为纯虚数，则=-|3|ai （ ） A.13 B.13 C.10 D.103. 已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tan （ ）A.33B.3-或33-C.33- D.3-4. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）A ．30B ．45C ．90D ．1865. 已知两个单位向量a 与b 的夹角为3π，则a b λ+与a b λ-互相垂直的充要条件是（ ）A ．1λ=-或1λ=B ．12λ=-或12λ=C．λ=λ= D ．λ为任意实数 6．已知某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积等于（ ） A.3160B.160C.23264+D.2888+7. 已知数列{}n a 的首项为3, 数列{}n b 为等差数列, ,2),(31-=∈-=*+b N n a a b n n n1210=b ,则8a 等于（ ）A.0B.3C.8D.118．下列函数中在区间),1(+∞上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（ ） A.122-+-=x x y B.x y cos = C.|1|lg -=x y D.x x x y 3323+-=9. 如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直10. ABC △中，角A B C ，，的对边为a b c ，，，向量1)(cos sin )A A =-=，，m n ，若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ） A ．ππ36， B ．2ππ36，C ．ππ63，D ．ππ33，11.设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．10012.函数[]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=,2),2(212,0,11)(x x f x x x f ，则下列说法中正确命题的个数是（ ）① 函数)1ln()(+-=x x f y 有3个零点；② 若0>x 时，函数x k x f ≤)(恒成立，则实数k 的取值范围是) ,23[∞+； ③ 函数)(x f 的极大值中一定存在最小值；④)2(2)(k x f x f k +=，)(N ∈k ，对于一切) ,0[∞+∈x 恒成立． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．等比数列{}n a 满足15,a a 是方程282810x x -+=的两个根，且15a a <，则3a =___________________. 14．已知数列{}n a 为等差数列，11011-<a a ，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0>n S 的n 的最大值是_____________.15．已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，2=AB ,3=AC ，则⋅=_______________. 16．在从空间中一点P 出发的三条射线P A ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，Q ，使PM=PN=PQ=1，且 90=∠BPC ， 60=∠=∠CPA BPA ，则三棱锥P-MNQ 的外接球的体积为 _______________.三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）函数()3f x a b =⋅-，(3cos ,sin ),(cos ,cos )a x x b x x ωωωω==-,其中0ω>,点()()12,0,,0x x 是函数()f x 图像上相邻的两个对称中心，且122x x π-=（1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()f x 图像向右平移m ()0m >个单位后所对应的函数图像是偶函数图像， 求m 的最小值．18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，⊥AB 面11B BCC ， 且AB BC =1BB =2=,点,M N 为C A AB 1,的中点. （1）求证：MN ∥平面11B BCC ；A（2）求证：⊥MN 平面C B A 11； （3）求三棱锥C B A M 11-的体积. 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，且满足18,36542=++=a a a a ，数列{}n b 满足12,111+==+n n b b b（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n b a c ⋅=，试求数列{}n c 的前n 项和n T . 20．（本小题满分12分）在等腰梯形PDCB 中（如图1），PB DC //,33==CD PB ,2=PD ，PB DA ⊥,垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得AB PA ⊥，得到四棱锥ABCD P -(如图2) （1）求证：平面⊥PAD 平面PCD ；（2）点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥ABCD P -分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比，即45=-ABC M PMACD V V 时，求MBPM的值；（3）在（2）的条件下，求证：PD //平面AMC .21．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 和为n S ，且满足()*∈=+N n S a n n 1 （1）求数列{}n a 的通项公式；PABCDM图2P A BD C 图1（2）是否存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 23λλ为等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由； （3）设)1)(1(2111++=++n n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .22． （本小题满分12分）函数)(1ln )1()(2R m mx x m x f ∈++-= （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若对任意的021>>x x ，总有)(2)()(2121x x x f x f ->-恒成立，求实数m 的取 值范围.参考答案C B C C A C BCD A D B 13-16题 9 1925 π3217题 )62cos(π+x π12118题34(3)19题（1）1+=n a n , =n b 12-n , （2）=n T 2)3(21+-⋅+n n n n20题 （2）2121题12131)3(31)2(21)1(1+-+n n 、 22 题 231)2(+≥m提示：令x x f x h 2)()(-=，x x f x h 2)()(-=在),0(+∞上单调递增0221)(≥-+-='mx xm x h 恒成立。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 24x x =<<，则Q P =I （ ）A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3-2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm 3、设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m5、函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60o ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =o ，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支8、设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin 2b 唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9、计算：2log 2= ，24log 3log 32+= ． 10、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ．11、函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．12、已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ ，()f x 的最小值是 ． 13、已知1e r ，2e r 是平面单位向量，且1212e e ⋅=r r ．若平面向量b r 满足121b e b e ⋅=⋅=r r r r ，则b =r ．14、已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ．15、椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A+的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.17.（本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈L . （1）求n a 与n b ;（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .18.（本题满分15分）如图，在三棱锥111ABC A B C -中，011ABC=90=AC 2,AA 4,A ?=，AB 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.(1)证明: 11D A BC A ⊥平面；(2)求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.19.（本题满分15分）如图，已知抛物线211C 4x ：y=，圆222C (y 1)1x +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点. (1)求点A ，B 的坐标；(2)求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.20.（本题满分15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.(1)当214a b =+时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； (2)已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）参考答案一、 选择题1. A2.C3.D4.A5.D6.B7.C8.B二、 填空题9.【答案】12- 10.【答案】2,13-11.【答案】3,2π12.【答案】162-13.【答案】314.【答案】1515.【答案】2三、解答题16. 【答案】(1)25；(2)9（1）利用两角和与差的正切公式，得到tan 13A =,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论； （2）利用正弦原理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积 试题解析：（1）由tan 12,tan ,43A A π⎛⎫+== ⎪⎝⎭得 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++(2) 由tan 13A =可得，sin A A ==.3,,4a B π==由正弦定理知：b=35又()25sin sin sin cos ,5C A B A B =+==所以S ∆ABC =11sin 22ab C =×3×35×255=9 17. 【答案】(1)2;n n n a b n ==；(2)1*(1)22()n n T n n N +=-+∈（1）由112,2,n n a a a +==得2.n n a =当n=1时，121,b b =-故22b =当n 2≥时，11,n n n b b b n+=-整理得11,n n b n b n ++=所以n b n = （2）由（1）知，2n n n a b n =g所以23n 222322n T n =+++⋅⋅⋅+g gg ()4231n 222222122n n T n n +=+++⋅⋅⋅+-+g g g g所以()1n 122n T n +=-+18. 【答案】(1)略；(2)7（1）设E 为BC 中点，由题意得1A E ⊥平面ABC,所以1.A E AE ⊥ 因为,AB AC =所以AE BC ⊥所以AE ⊥平面1A BC由D,E 分别为11.B C BC 的中点，得1//,DE BB 从而DE//1AA 且DE=A 1A 所以1AA DE 是平行四边形，所以1//A D AE因为AE ⊥平面1,A BC 所以1A D ⊥平面1A BC (2)作1A F DE ⊥，垂足为F ，连结BF.因为AE ⊥平面1A BC ，所以1BC A E ⊥.因为BC AE ⊥，所以BC ⊥平面1AA DE . 所以11,BC A F A F ⊥⊥平面11BB C C . 所以1A BF ∠为直线1A B 与平面11BB C C 所成角的平面角.由2,90AB AC CAB ==∠=o，得EA EB ==.由AE ⊥平面1A BC，得1114,A A A B A E ===由1114,90DE BB DA EA DA E ====∠=o，得1A F =.所以1sin A BF ∠=19. 【答案】(1)222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；(2)32t （1）由题意可知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为().y k x t =-所以()214y k x t y x =-=⎧⎨⎩消去y,整理得：2440x kx kt -+=因为直线PA 与抛物线相切，所以216160k kt ∆=-=，解得k t =.所以2x t =，即点2(2,)A t t . 设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B,O 关于直线PD 对称，故有00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩， 解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t ++. (2)由(1)知，AP =，直线AP 的方程为20tx y t --=， 所以点B 到直线PA的距离为2d =.所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=.20. 【答案】(1)222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；(2)[3,9--（1） 当214a b =+时，()21,2a f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故其对称轴为2a x =- 当2a ≤-时，()()2124a g a f a ==++当-2<a 2≤时，g ()12a a f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当a >2时，g ()()2124a a f a =-=-+ 综上所述，222,2,4()1,22,2,24a a a g a a a a a⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩（2）设s,t 为方程()0f x =的解，且-11t ≤≤，则{s t ast b +=-=由于021b a ≤-≤，因此()2121122t ts t t t --≤≤-≤≤++当01t ≤≤时，2222.22t t t b t t --≤≤++ 由于222032t t --≤≤+和212932t t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当-122220,22t t t t b t t --≤≤≤≤++ 由于2222t t --≤+<0和232t t t --≤+<0，所以-3b ≤<0.综上可知，b 的取值范围是3,9⎡--⎣。

2015年4月浙江省衢州市高三教学质量检测文科综合试卷考生须知：1．全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卷。

考试结束后，将答题卷上交。

2．全卷共10页，有两大题、41小题。

满分300分，考试时间150分钟。

3．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷规定的位臵上。

4．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷相应的位臵上，写在试卷上无效。

试卷Ⅰ请用2B 铅笔将答卷Ⅰ上的准考证号和学科名称所对应的括号或方框涂黑，然后开始答题。

一、选择题（共35小题，每小题4分，共140分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）春分后15天为清明。

据记载，隋唐时的长安（今西安）无冰雪，梅和柑橘都能在关东地区生长，且降水偏多。

读某区域地形图，完成第1～3题。

1．太原盆地在地质构造上称为 A ．冲积平原 B ．向斜 C ．褶皱 D ．地堑 2．对古时 “物至此时皆以洁齐而清明 矣”这句话的理解，正确的有 ①南方地区气温上升，雾气减少 ②北方地区风沙减少，空气通透性好 ③北方地区进入雨季，空气清新 ④北方地区昼变长，大气透明度增加 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②④3．影响酒都杏花村盛产汾酒的主要区位因素有①位于河流沿岸，河水是酿酒的重要水源②位于断层地区，丰富洁净的地下水和泉水是酿酒的重要水源③位于冲积扇地区，地形平坦广阔，土壤肥沃，盛产高粱④位于山前冲积扇，地下水丰富，是酿酒的重要水源A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④读中国人口数量增长分组趋势图，完成第4、5题。

第1～3题图 河流 断层 城市 村落图 例岁4．据图绘制出的中国人口比重增长分组趋势图，正确的是5．据图可知，中国人口2015年以后可能出现的问题是 A ．劳动人口开始减少，而且有加快趋势B ．男女比例严重失衡，比例逐年加大C ．人口数量开始下降，下降速度逐年加快D ．老龄化大幅加剧，35年后几乎有一半老年人读中国大豆产区分布图及下表，完成第6、7题。

衢州市2007年4月高三年级教学质量检测试卷数学（理工类）参考答案及评分标准说明：解答过程分步给分．能正确写出评分点相应步骤的给该步所注分值．除本卷提供的参考答案外，其他正确解法根据本标准相应给分二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．630x y --= 12．43π 13．12 14.|,23x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或15．1 16．②④ 17．27三、解答题18.【解】 (Ⅰ) ξ的取值为4a -,2a -,0,2a ,4a .……………………………………… 1分()241139P a ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,……………… (3分)()21212392P a C ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭……………5分 ()22122111103333P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……… (7分)()21212392P a C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭……… 9分 ()22211394P a C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭……………………………………………………………… 11分(Ⅱ)设总收益亏损的概率为1P .则()()11212993P P a P a ξξ==-+=-=+=.……………………………………… 14分19.【解法1】（I ）∵AB C —A 1B 1C 1为直三棱柱,∴111A B BC ⊥平面 又1BE B C ⊥，∴1BE A C ⊥，过B 作BF AC ⊥，∵AB BC =， ∴F 为AC 的中点而1BF A C ⊥平面，∴1BF A C ⊥，∴1A C BEF ⊥平面…………7分 （II ）设1AC 交EF 于M .由（I ）知1AC ⊥平面BEF ,连BM ,则1A BM ∠即为1A B 与平面BEF 所成的角. …………………………………… 10分由于11B C C ∆∽ECB ∆⇒2EC a a a =⇒12EC a =， 在Rt EMC ∆中,1cos 236MC EC MCE a a =∠=⨯=,16A M =,1A B =.所以，111sin A M A BM A B ∠==.………………………………………………………14分【解法2】(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系Bxyz ，则(,0,0)A a ，(0,,0)C a ，1(,0,2)A a a ，1(0,0,)B a ，设(0,,)E a y ，则(0,,)BE a y ，1(0,,2)CB a a .……… 2分∵1BECB ,∴220a ay ,∴2ay,∴,0,2E a a …… 3分设(,,0)F x y ,则(,,0)AF xa y ,(,,0)x CFya∴AF 与CF 共线,∴()()x a y x a y .………①……………………………………5分∵1AC 平面BEF ,∴1AC BF ,1(,,2)AC a a a ,∴0ax ay ,即x y .…②解①和②得, 2xay.所以F 为AC 的中点. …………………………………………7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知1AC 为平面BEF 的一个法向量.设1A B 与平面BEF 所成的角为.所以，22111111430 sin cos ,56BA AC a aBA ACa aBAAC……………14分20. 【解】（1）当k=1时，12l l，故222OP OA OB m，点P的轨迹为圆，其方程为22x y m……………………4分（2）猜测点P的轨迹为椭圆。

2015年浙江省衢州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（0，1）C．（0，+∞）D．∅2．（5分）若a，b∈R，则“a＝b”是“a2＝b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3+a8＝10，则S10＝（）A．20B．10C．50D．1004．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m5．（5分）将函数y＝cos2x+1的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后得到y＝f（x）的图象，则函数f（x）＝（）A．cos（2x+）B．cos（2x﹣）C．sin2x D．﹣sin2x 6．（5分）已知直线x+y＝0被圆（x+1）2+（y+1）2＝r2（r＞0）所截得弦长|AB|＝2，则r的值是（）A．B．2C．4D．7．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为）A．B．2C．3D．9．（5分）在△ABC中，满足||＝||且（﹣3）⊥，则角C的大小为（）A．B．C．D．10．（5分）已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）＝，则关于x的方程2n f（x）﹣1＝0（n∈N*）的所有解的和为（）A．3n2+3n B．3×2n+2+9C．3n+2+6D．9×2n+1﹣3二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）过点（1，0）且与直线2x+y﹣1＝0平行的直线方程为．12．（4分）已知sinα＝，则cos2α＝．13．（4分）已知平面直角坐标系中有两个定点A（﹣2，0），B（2，0），若动点P满足|P A|+|PB|＝6，则动点P的轨迹方程为．14．（4分）已知实数x，y满足，则的最小值是．15．（4分）定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时．f（x）＝2x，则满足f（1﹣2x）＜f（3）的x取值范围是．16．（4分）数列{a n}满足a1+a2+…+a n＝3n+1，n∈N*，则a1＝，a n＝．17．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设M是△A1BD内任一点（不包括边界），定义f（M）＝（m，n，p），其中m，n，p分别是点M到平面ADD1A1，平面ABB1A1，平面ABCD的距离，若f（M）＝（，x，y），且ax+y﹣18xy≥0恒成立，则实数a的最小值为．三、解答题（共5小题，满分72分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a cos A＝b sin2A．（1）求角B的大小；（2）若a+c＝9，△ABC的面积为，求b的值．19．（14分）已知等比数列{a n}满足a2＝2a1，且a2+1是a1与a3的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．20．（14分）如图，已知P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝∠DAC＝60°，M是AP的中点．（1）求证；BM∥平面PCD；（2）求PD与平面P AB所成角的余弦值．21．（15分）已知f（x）＝|x2﹣2|+x2+ax．（1）若a＝3，求方程f（x）＝0的解；（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：＜+＜2．22．（15分）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点（，a）到焦点F 的距离为3，圆E是以（p，0）为圆心p为半径的圆．（1）求抛物线C和圆E的方程；（2）若圆E内切于△PQR，其中Q，R在y轴上，且R点在Q点上方，P在抛物线C上且在x轴下方，当△PQR的面积取最小值时，求直线PR和PQ的方程．2015年浙江省衢州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（0，1）C．（0，+∞）D．∅【解答】解：由B中不等式解得：x＞1，即B＝（1，+∞），∵A＝（0，2），∴A∩B＝（1，2），故选：A．2．（5分）若a，b∈R，则“a＝b”是“a2＝b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a2＝b2得a＝b或a＝﹣b，即“a＝b”是“a2＝b2”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3+a8＝10，则S10＝（）A．20B．10C．50D．100【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a8＝10，∴S10＝＝＝．故选：C．4．（5分）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选：B．5．（5分）将函数y＝cos2x+1的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后得到y＝f（x）的图象，则函数f（x）＝（）A．cos（2x+）B．cos（2x﹣）C．sin2x D．﹣sin2x【解答】解：把函数y＝cos2x+1的图象向右平移个单位，得y＝cos2（x﹣）+1＝sin2x+1，再向下平移1个单位，得y＝sin2x+1﹣1＝sin2x．∴函数f（x）＝sin2x．故选：C．6．（5分）已知直线x+y＝0被圆（x+1）2+（y+1）2＝r2（r＞0）所截得弦长|AB|＝2，则r的值是（）A．B．2C．4D．【解答】解：圆心（﹣1，﹣1）到直线x+y＝0的距离为d＝＝，∵直线x+y＝0被圆（x+1）2+（y+1）2＝r2（r＞0）所截得弦长|AB|＝2，∴r＝＝故选：D．7．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，∴四棱锥的体积是．故选：B．8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上存在点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为）A．B．2C．3D．【解答】解：设P点的横坐标为x，准线方程为x＝，∵|PF1|＝3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），根据双曲线的第二定义，可得3e（x﹣）＝e（x+），且e＝，∴ex＝2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2，则双曲线的离心率的最大值为2．故选：B．9．（5分）在△ABC中，满足||＝||且（﹣3）⊥，则角C的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，满足||＝||且（﹣3）⊥，∴（）•＝0，∵，∴||2＝2，∴＝﹣2，∴cos C＝＝﹣，∵C∈（0，π），∴C＝．故选：C．10．（5分）已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）＝，则关于x的方程2n f（x）﹣1＝0（n∈N*）的所有解的和为（）A．3n2+3n B．3×2n+2+9C．3n+2+6D．9×2n+1﹣3【解答】解：根据f（x）＝，y1＝，y2＝，…，．作出图象：当n＝1时，方程f（x）＝的所有根之和为：＝3+6+12+12＝3×（1+2+22+22）．依此类推：取n时，方程f（x）＝的所有根之和为：3（1+2+22+…+2n+1+2n+1）＝+3×2n+1＝9×2n+1﹣3．故选：D．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）过点（1，0）且与直线2x+y﹣1＝0平行的直线方程为2x+y﹣2＝0．【解答】解：由平行关系可设所求直线方程为2x+y+c＝0，∵直线过点（1，0），∴2×1+0+c＝0，解得c＝﹣2，∴所求直线方程为2x+y﹣2＝0故答案为：2x+y﹣2＝012．（4分）已知sinα＝，则cos2α＝．【解答】解：∵sinα＝，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．故答案为：．13．（4分）已知平面直角坐标系中有两个定点A（﹣2，0），B（2，0），若动点P满足|P A|+|PB|＝6，则动点P的轨迹方程为．【解答】解：因为动点P满足|P A|+|PB|＝6＞|AB|＝4，所以由椭圆的定义得：动点P的轨迹是以A（﹣2，0），B（2，0）为焦点的椭圆，则a＝3、c＝2，即b2＝9﹣4＝5，所以动点P的轨迹方程是，故答案为：．14．（4分）已知实数x，y满足，则的最小值是．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，设k＝，则k的几何意义是区域内的点与原点的斜率，由图象可知OA的斜率最小，由，得，即A（3，1），则k＝，故的最小值是，故答案为：15．（4分）定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时．f（x）＝2x，则满足f（1﹣2x）＜f（3）的x取值范围是（﹣1，2）．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时．f（x）＝2x，即偶函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数∴自变量的绝对值越大函数值越大∴f（1﹣2x）＜f（3）⇔|1﹣2x|＜3⇔﹣3＜1﹣2x＜3⇔﹣1＜x＜2故答案为（﹣1，2）16．（4分）数列{a n}满足a1+a2+…+a n＝3n+1，n∈N*，则a1＝12，a n＝．【解答】解：在a1+a2+…+a n＝3n+1，n∈N*①中，令n＝1，得a1＝4，a1＝12，由已知，可得当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1＝3（n﹣1）+1，②，①﹣②得，a n＝3，a n＝3n+1，所以a n＝故答案为：12，17．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设M是△A1BD内任一点（不包括边界），定义f（M）＝（m，n，p），其中m，n，p分别是点M到平面ADD1A1，平面ABB1A1，平面ABCD的距离，若f（M）＝（，x，y），且ax+y﹣18xy≥0恒成立，则实数a的最小值为4．【解答】解：如图取CD的中点R，AB的中点GA1B1的中点S，由题意可知平面RGS到平面ADD1A1的距离为：，平面RGS与平面△A1BD的交线为EF，所以M在EF上运动．f（M）＝（，x，y），x，y分别是点M到平面ABB1A1，平面ABCD的距离，如图中红线段，三角形EGF是等腰直角三角形，所以x+y＝，并且0，．ax+y﹣18xy≥0恒成立，即a≥＝＝＝10﹣（18x+）．18x+＝6，当且仅当x＝时，等号成立，此时10﹣（18x+）≤4．∴a≥4．故答案为：4．三、解答题（共5小题，满分72分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a cos A＝b sin2A．（1）求角B的大小；（2）若a+c＝9，△ABC的面积为，求b的值．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）由正弦定理，可得a cos A＝b sin2A．⇒＝⇒⇒B＝60°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）S＝，⇒ac＝15．b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝36，⇒b＝6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（14分）已知等比数列{a n}满足a2＝2a1，且a2+1是a1与a3的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝a n﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）因为a2+1是a1与a3的等差中项，所以2（a2+1）＝a1+a3，即2（2a1+1）＝5a1，解得a1＝2，因为等比数列{a n}满足a2＝2a1，所以公比q＝2数列{a n}的通项公式a n＝2•2n﹣1＝2n；（2）b n＝a n﹣2log2a n＝2n﹣2n，所以S n＝（2+22+…+2n）﹣2（1+2+…+n）＝2n+1﹣n2﹣n﹣2．20．（14分）如图，已知P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝∠DAC＝60°，M是AP的中点．（1）求证；BM∥平面PCD；（2）求PD与平面P AB所成角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AP＝AB＝BC＝2，AD＝4，∠ABC＝∠DAC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴BC∥AD，设N是PD的中点，则MN AD，又∵BC AD，∴MN BC，∴四边形MNCB为平行四边形，∴BM∥CN，又BM⊄平面PCD，CN⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD．（Ⅱ）解：过点D作DO⊥BA，交BA的延长线于O，连结PO，又∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥DO，∴DO⊥平面P AB，∴∠DPO是PD与平面P AB所成角，记为θ，在Rt△PDO中，PD＝2，DO＝2，∠POD＝90°，∠PDO≠90°，∴PO ＝2，∴cosθ＝＝＝．故PD与平面P AB所成角的余弦值为．21．（15分）已知f（x）＝|x2﹣2|+x2+ax．（1）若a＝3，求方程f（x）＝0的解；（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：＜+＜2．【解答】解：（Ⅰ）a＝3时，f（x）＝|x2﹣2|+x2+3x＝所以当x或x≥时，得x＝﹣2，或x＝（舍去）当﹣＜x＜时，2+3x＝0得x＝﹣所以a＝3时，方程f（x）＝0的解是x＝﹣2或x＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）①函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，﹣a＝g（x）＝在（0，2）上有两个零点x1，x2，作出函数g（x）的图象，由图可知：当且仅当＜﹣a＜3，即﹣3＜a＜﹣时，g（x）在（0，2）上有两个零点所以，﹣3＜a＜﹣时，函数（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）（②由①得，＝﹣k，＝﹣k，所以+＝x2，而＜x2＜2所以＜+＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）22．（15分）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点（，a）到焦点F 的距离为3，圆E是以（p，0）为圆心p为半径的圆．（1）求抛物线C和圆E的方程；（2）若圆E内切于△PQR，其中Q，R在y轴上，且R点在Q点上方，P在抛物线C上且在x轴下方，当△PQR的面积取最小值时，求直线PR和PQ的方程．【解答】解：（1）∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点（，a）到焦点F的距离为3，∴＝3，解得p＝1．∴抛物线C：y2＝2x，圆E：（x﹣1）2+y2＝1．（2）设P（x0，y0），R（0，y1），Q（0，y2），y1＞y2，则直线PR的方程为：y ＝x+y1．由直线与圆相切得：＝1，注意到x0＞2，上式化简为+2y0y1﹣x0＝0，同理可得＝0．∴y1，y2是方程﹣x0＝0的两个根，∴|y1﹣y2|＝＝．∴S△PQR ＝×x0＝＝+4≥8，当且仅当x0＝4时，S△PQR有最小值为8．此时，P，y1，2＝．∴直线PR的方程是y＝﹣++2．直线PQ的方程是y＝+﹣2．。

浙江省衢州市2015届高三数学4月教学质量检测试题 文（含解析）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,a b 为正实数，则“1a >且1b >”是“1ab >”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：“1a >且1b >”，根据不等式的性质，必有“1ab >”，故为充分条件.如果“1ab >”，不一定有“1a >且1b >”，比如110,2a b ==.故不是必要条件.选B. 考点：1、不等式；2、充要条件.2.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）A. 3y x x =+B. log a y x =C.3xy = D.1y x=-【答案】A 【解析】试题分析：对A. 3y x x =+既是奇函数又是增函数；对B.log a y x =，不是奇函数，又不一定是增函数 对C.3xy =是增函数，但不是奇函数；对D.1y x=-，取121,1x x =-=，则有1211x x ->-，故不能说1y x=-是增函数.故选A. 考点：函数的性质.3.若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. //,,//l n l nαβαβ⊂⊂⇒ B. ,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥C. ,//l n m n l m ⊥⊥⇒D. ,//l l αβαβ⊥⇒⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：对A. ,l n 有可能为异面直线，故不正确；对B. ,l β有可能斜交，也有可能平行，故不正确；对C. ,l n 可以相交，也可以是异面直线，故错；对D.由于l βP ，故在β内存在直线l l 'P ，又l α⊥，所以l α'⊥，根据平面与平面垂直的判定定理可知，αβ⊥.故选D. 考点：空间直线与平面的位置关系.4.将函数cos(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向右平移6π后，得到的图像关于原点对称，则ϕ的 一个可能取值为（ ） A.3π-B.6πC.3πD.56π 【答案】D考点：三角函数的图象.5.若直线20(0,0)-+=>>ax by a b 被圆224410++--=x y x y 所截得的弦长为6，则23+a b的最小值为（ ） A. 10 B. 46+526+6 【答案】C 【解析】试题分析：若直线20(0,0)-+=>>ax by a b 被圆224410++--=x y x y 的标准方程为22(2)(2)9x y ++-=，由于弦长为6，即为直径，所以2220,1a b a b --+=+=，则22323()()(23)526a b a b a b+=++≥=+ C. 考点：1、直线与圆；2、柯西不等式.6.在ABC ∆中，若1AB =u u u r ，3AC =u u u r AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r ，则AB BCBC⋅=u u u r u u u ru u u r （ ）A. 32-12- C. 12D. 32 【答案】B【解析】试题分析：由||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r知，AB AC ⊥，所以ABC ∆是直角三角形.，||2BC =，利用数量积的几何意义得11122||||AB BC BA BC BC BC ⨯=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r ，选B.考点：平面向量.7.已知∈a R ，若函数21()|2|2=--f x x x a 有三个或者四个零点，则函数2()41=++g x ax x 的零点个数为（ ） A. 1或2 B. 2C. 1或0D. 0或1或2【答案】A考点：函数的零点.8.设点(,)P x y 是曲线1(0,0)a x b y a b +=≥≥上任意一点，其坐标(,)x y 均满足2222212122x y x x y x ++++-+≤2a b +取值范围为（ ）A. (]0,2B. []1,2C. [)1,+∞D. [)2,+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：设12(1,0),(1,0)F F -2222212122x y x x y x ++++-+=P的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆，其方程为22121x y +=.曲线1(0,0)a x b y a b +=>>为如下图所示的菱形ABCD ，11(,0),(0,)C D a b.由于2222212122x y y x y y ++++-+≤112,1a b≤≤，即21a b ≥≥.所以122b+≥+=.选D.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）9.设全集=U R，集合{}{}2|10,|20,=+≤=-<A x xB x x则=I A B，=UA B，R=Bð．【答案】(1];(,)--∞-∞+∞U【解析】试题分析：{|1},{|A x xB x x=≤-=<<，所以(((,)RA B A B B==-∞=-∞+∞I U Uð.考点：集合与不等式.10.设函数1()2cos()26π=+f x x，则该函数的最小正周期为，值域为，单调递增区间为．【答案】74;[2,2];[4,4],33k k kπππ-π-π-∈Z.【解析】试题分析：最小正周期24Tππω==，值域为[2,2]-.由12226k x kππππ-+≤+≤得7122626k x kππππ-+≤≤-，744()33k x k k Zππππ-+≤≤-∈即单调递增区间为7[4,4]()33k k k Z ππππ-+-∈. 考点：三角函数的性质.11.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积为 3cm ，外接球的表面积为 2cm ．【答案】203；12π 【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体是一棱长为2的正方体截去一三棱锥所得的组合体（如下图所示），其体为311202222323V =-⨯⨯⨯⨯=，它的外接球就是正方体的外接球，其直径为2R ==.2412S R ππ==1D 1考点：1、三视图；2、空间几何体的体积及表面积.12.设不等式组0,24,24≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩x x y x y 所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为 ；若直线1=-y ax 与区域D 有公共点， 则a 的取值范围是．俯视图侧视图（第11题图）【答案】47;[,) 34+∞【解析】试题分析：由2424x yx y+=⎧⎨+=得44(,)33B.易得(0,4),(0,2)A C.所以区域D的面积为221212BF CF MF MF a=-=-=，所以点M在双曲线上，.考点：圆锥曲线.14.定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a ，仍是等比数列,则称()f x 为“等比函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的如下函数:①()3=xf x ；②3()=f x x ； ③2()=f x x； ④2()log ||=f x x .则其中是“等比函数”的()f x 的序号为 ． 【答案】②③考点：1、等比数列；2、新定义.15.在∆ABC 中，0⋅=u u u r u u u r AC BC ，点M 在BC 边上，且满足2=u u u u r u u u u rBM MC ，则cos ∠MAB 的最小值为 ． 【答案】32【解析】试题分析：因为0⋅=u u u r u u u r AC BC ，所以90C ∠=o.建立坐标系如图所示，设(,0),(0,),(0,3)A a M b B b ，则(,),(,3)AM a b AB a b =-=-u u u u r u u u r，2242244224222269cos 109(3)(9)AM AB a a b b a a b b AM AB a b a b θ++===++++u u u u r u u u r g u u u u r u u u r g 222242242244431119109610210a b a b a a b b b a=-=-≥-=+++++..小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）,C 所对的边分别为,,a b csin cos A a C =． （Ⅰ）求角C 的大小；cos A B +取得最大值时，试判断ABC ∆的形状． 【答案】（Ⅰ）6Cπ=；（Ⅱ）ABC ∆为等腰三角形.【解析】试题分析：（Ⅰ）由sin cos A a C =变形得sin aA=，由正弦定理变形得: sin sin c a C A =，从而得sin sin a c AC ==cos C C =，所以tanC =在三角形中，0C π<<，所以6C π=.cos A B+的最大值，需将角,A B 换掉一个.由(1)知56B A π=-，所以cos A B+5cos()6A A π=+-1sin 2A A A =+1sin 2A A =+，即cos A B +sin()3A π=+.cos A B +取得最大值时2,63A B ππ==，6C π=，故此时ABC ∆为等腰三角形.试题解析：sin cosA a C=结合正弦定理变形得:sin sina cA C== 3分cosC C=,tan C=, …………………………………6分∵0Cπ<<,∴6Cπ=；…………………………………………………7分（Ⅱ）由(1)知56B Aπ=-………………………………………………………8分cos A B+5cos()6A Aπ=+-1sin2A A A=+1sin2A A=+sin()3Aπ=+11分∵56Aπ<<, ∴7336Aπππ<+<………………………………12分当32Aππ+=时cosA B+取得最大值1, ………………13分此时2,63A Bππ==,6Cπ=, …………………………………………14分故此时ABC∆为等腰三角形 . ……………………………………15分考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.17.（本小题满分15分）已知数列{}na是首项为2的等差数列，其前n项和nS满足14n n nS a a+=⋅．数列{}nb是以12为首项的等比数列，且123164b b b=．（Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）设数列{}nb的前n项和为nT，若对任意n∈*N不等式121111142nnTS S Sλ+++≥-L恒成立，求λ的取值范围．【答案】（Ⅰ）2na n=，1()2nnb=；（Ⅱ）λ的取值范围为(,3]-∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题设将等差数列等比数列的通项公式代入求得{}na的公差d及{}nb的公比q即可得数列{}n a、{}n b的通项公式.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2na n=，所以(1)nS n n=+，从而1111(1)1n S n n n n ==-++， 12111111111(1)()()122311n S S S n n n +++=-+-++-=-++L L .又11(1)12211212n n n T -==--.由此可知，对任意*n N ∈，121111142n n T S S S λ+++≥-L 成立等价于131112124n n λ+--≥+恒成立.所以14λ小于等于1311212n n +--+的最小值.显然1311212n n +--+对∈n *N 递增，min 13113113()2122244n n +--=--=+，从而31344λλ≥⇒≤. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得，1114()a a a d =+，解得2d =，∴2n a n=…………………………………………………………………4分由31232211644b b b b b ==⇒=，从而公比2112b q b ==，∴1()2n n b = …………………………………………………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1111(1)1n S n n n n ==-++ ∴12111111111(1)()()122311n S S S n n n +++=-+-++-=-++L L10分 又11(1)12211212n n n T -==--，……………………………………………12分 ∴对任意*n N ∈，121111142n n T S S S λ+++≥-L 等价于 131112124n n λ+--≥+…………………………………………………13分 ∵1311212n n +--+对∈n *N 递增， ∴min 13113113()2122244n n +--=--=+， ………………………14分∴31344λλ≥⇒≤.即λ的取值范围为(,3]-∞ ……………………15分 考点：数列与不等式. 18.（本小题满分15分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PA 平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==PA AD ，1=AB，=AC （Ⅰ）证明：//MN 平面PCD ；（Ⅱ）求直线MN 与平面PAD 所成角的正切值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）直线MN 与平面PAD． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据直线与平面平行的判定定理，需在平面PCD 内找一条与MN 平行的直线.结合题设可取取PD 中点E ，连结NE ，CE ， 易得四边形MNEC 为平行四边形，从而//MN CE ，问题得证.（Ⅱ）思路一：斜线与平面所成的角，就是斜线与其在该平面内的射影所成的角，故首先作出直线MN 在平面PAD 内的射影. 由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以过M 作MF AD ⊥，则MF ⊥平面PAD ，连结NF ，那么MNF ∠为直线MN 与平面PAD 所成的角，在Rt MNF ∆中，即可求出直线MN 与平面PAD 所成角的正切值．思路二，易证得,,AB AC AP 两两互相垂直，故可分别以,,AB AC AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，然后利用空间向量求解.试题解析：（Ⅰ）证明：取PD 中点E ，连结NE ，CE ．N Q 为PA 中点，//12NE AD ∴=， 又M 为BC 中点，底面ABCD 为平行四边形，1//2MC AD ∴=．D B（第18题图）//NE MC ∴=，即MNEC 为平行四边形， ……………………4分 ∴//MN CEEC ⊂Q 平面PCD ，且MN ⊄平面PCD ，//MN ∴平面PCD ． ……………………………………………7分（其它证法酌情给分） （Ⅱ）方法一：PA ⊥Q 平面ABCD ，PA ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，过M 作MF AD ⊥，则MF ⊥平面PAD ，连结NF ．则MNF ∠为直线MN 与平面PAD 所成的角， ……………………10分 由1AB =，AC =2AD =，得AC CD ⊥， 由AC CD AD MF ⋅=⋅，得2MF =， 在Rt AMN ∆中，1AM AN ==，得MN =在Rt MNF ∆中，2NF ==tan 5MF MNF FN ∴∠===,直线MN 与平面PAD……………………15分 方法二：PA ⊥Q 平面ABCD ，PA AB ⊥，PA AC ⊥，又1AB =Q，AC =2BC AD ==，222AB AC BC ∴+=，AB AC ⊥． ……………………………9分D如图，分别以,,AB AC AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 则13(,,0)2M ，(0,0,1)N ， (0,0,2)P，(1,3,0)D -，13(,,1)22MN ∴=--u u u u r ，(0,0,2)AP =u u u r ，(1,3,0)AD =-u u u r，……………………11分设平面PAD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则由200300z AB n x y AD n ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎪⎩⎩u u u r ru u u r r，令1y =得(3,1,0)n =r ， ……13分 设MN 与平面PAD 所成的角为θ，则36sin cos ,422MN n θ=<>==u u u u r r 5tan θ⇒=， MN ∴与平面PAD 所成角的正切值为15．………………………15分 考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间直线与平面所成的角. 19.（本小题满分15分）如图，设抛物线C ：22(0)=>y px p 的焦点为F ，过点F 的直线1l 交抛物线C 于,A B 两点，且||8=AB ，线段AB 的中点到y 轴的距离为3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）若直线2l 与圆2212+=x y 切于点P ，与抛物线C 切于点Q ,求∆FPQ 的面积.（第19题图）【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）2PQF S ∆=． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用焦点弦公式12||AB x x p =++及弦AB 的中点的坐标即可求出p ，从而求得抛物线C 的方程；（Ⅱ）由于2l 与O e 相切，所以222,||||OP PQ PQ OQ r ⊥=-.点F 到直线2l 的距离即为FPQ ∆的高.所以只要求出直线2l 的方程及点Q 的坐标即可.设2:l y kx m =+，由2l 与O e 相切且直线2l 与抛物线相切可得两个含,k m 的方程，解这个方程组可得,k m 的值，从而求出直线2l 的方程及点Q 的坐标. 试题解析：（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 中点坐标为1212(,)22x x y y ++， 由题意知1232x x +=，126x x ∴+=， ………………………3分 又128AB x x p =++=，2p ∴=， ………………………6分 故抛物线C 的方程为24y x =； ………………………………………7分 （Ⅱ）设2:l y kx m =+，由2l 与O e 相切得22212m k =⇒=+ ① …………………………………9分 由24y kx my x=+⎧⎨=⎩222(24)0k x km x m ⇒+-+= （*）Q 直线2l 与抛物线相切，222(24)40km k m ∴∆=--= 1km ⇒= ②……………………11分由 ①，②得1k m ==±，∴方程（*）为2210x x -+=，解得1x =，(1,1)Q ∴±，2PQ ∴====； ………………13分 此时直线2l 方程为1y x =+或1y x =--，∴令(1,0)F 到的距离为d =1122PQF S PQ d ∆∴=⋅==． ………………………15分 考点：直线与圆锥曲线.20.（本小题满分14分）已知函数2()2=++f x ax bx c (∈x ,R 0)≠a（Ⅰ）若1,0=-=a c ，且()=y f x 在[1,3]-上的最大值为()g b ，求()g b ； （Ⅱ）若0>a ，函数)(x f 在[8,2]--上不单调，且它的图象与x 轴相切，求(1)2-f b a的最小值.【答案】（Ⅰ）212,(1)(),(13)96,(3)--<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩b b g b b b b b ；（Ⅱ）min (1)()42=-f b a ．【解析】试题分析：（Ⅰ）将1,0=-=a c 代入得222()2()=-+=--+f x x bx x b b ，对称轴是直线=x b .由于[1,3]x ∈-，所以分1<-b ，13-≤≤b ，3>b 三种情况讨论.（Ⅱ）(1)222f a b cb a b a++=--，为了求其最小值，可将其中的一个字母换掉.函数)(x f 的图象和x 轴相切，所以22140()4∆=-=⇒=c b b ac a a，这样222111()(1)242222++++++===----b c b bf a b ca a a ab b b a b aa a，接下来就考虑求出b a 的范围.因为)(x f 在[8,2]--上不单调，所以对称轴2(8,2)2=-=-∈--b b x a a ，即(2,8)∈ba.设(2,8)2(0,6)=∈⇒-∈bt t a，则2222111()12(1)1844422422++++++===----b b t t f t t a a b b at t a116[(2)8]42t t =-++-，这样利用重要不等式即可求出其最小值.试题解析：（Ⅰ）1,0=-=a c 时，222()2()=-+=--+f x x bx x b b ， ∴对称轴是直线=x b ，①1<-b 时， max ()(1)12=-=--f x f b②当13-≤≤b 时，2max ()()==f x f b b③当3>b 时，max ()(3)96==-+f x f b综上所述，212,(1)(),(13)96,(3)--<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩b b g b b b b b ； ………………………………6分（Ⅱ）∵函数)(x f 的图象和x 轴相切，∴22140()4∆=-=⇒=c b b ac a a， ∵)(x f 在[8,2]--上不单调， ∴对称轴2(8,2)2=-=-∈--b bx a a∴(2,8)∈ba222111()(1)242222++++++===----b c b bf a b ca a a ab b b a b aa a， 设(2,8)2(0,6)=∈⇒-∈bt t a， ∴2222111()12(1)1844422422++++++===----b b t t f t t a a b b at t a1161[(2)8]8]4424=-++≥+=-t t ， ∴min (1)()42=-f b a，此时当且仅当24(0,6)6-=∈⇒=t t ．………14分 考点：函数及其最值.。