人教版《导数及其应用》单元测试

4 27《导数及其应用》训练题一、选择题（每小题5分，共50分）1 .设函数y = f （x ）可导，则 蚂 f （1 +^x ） - f（1）等于（ A . f'(1)B . 3f'(1)3LX1C . - f'(1) 3 ).D .以上都不对 1 2.已知物体的运动方程是 S r ^t 44-4t 3 16t 2 （t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度 为0的时刻是A . 0 秒、 C . 2 秒、 ）.2秒或4秒 8秒或16秒 B . 0秒、D . 0秒、 2秒或16秒 4秒或8秒3.若曲线y = xx 3在x = x 0处的切线互相垂直，则 X ）等于（）.336B .64•若点P 在曲线 3-3x 2• (3 - . 3)x 3上移动，经过点 4P 的切线的倾斜角为:-,则角〉的取值范围是A . [0,二] ).B .[02)U [2 二兀）能的是（ ).6.函数 f （X ）= x37.已知函数 f(x )C .［訂：）II 2■:D .叱七P5 •设f '（x ）是函数•ax -2在区间［1「二）内是增函数，则实数 a 的取值范围是（).C . (-3,::)D . (-3 2=x - px -qx 的图像与x 轴切于点（1,0），则 f （x ）的极大值、 极小值分别为（4 A .).4B . 0,27 4C . —, 0 D . 0,27271 1&由直线x , x = 2，曲线y 及x 轴所围图形的面积是(2x1517 1 , A.B.C. In 2D. 2ln 244239.函数f(x)二x -3bx 3b 在(0,1)内有极小值，则().A . 0 ::: b < 1B . b =1C . b 010. y = ax 2V 的图像与直线y = x 相切，则a 的值为().111A .B .C .-8 4 2、填空题(每小题5分，共20分)11.由定积分的几何意义可知I 4 一 x 2 = -----------12. 函数f(x)=xln x(x 0)的单调递增区间是13.已知函数f(x)二ax-lnx ，若f(x)・1在区间(1,=：)内恒成立，则实数 a 的范围为14.设函数f(x)=x 「ax 的导数为f'(x)=2x ・1，则数列{-^}( n ・N *)的前n 项和 f (n) 是 _______________ .三、解答题(共6题，共80分)15.(本题12分)1求经过点(2,0)且与曲线y相切的直线方程x16.(本题12分)已知 x 1，求证：x In(1 - x).).D .b ：.-17.(本题14分) 已知函数f (x) = -x3 3x2 9x a ,(i)求f (x)的单调递减区间；(n)若f (x)在区间［一2,2］上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.18.(本题14分)已知函数f (x) =x4 -4x3• ax2 -1在区间［0,1］上单调递增，在区间［1,2］上单调递减，(i)求a的值；(n)设g(x) =bx2 -1，若方程f (x) =g(x)的解集恰有3个元素，求b的取值范围.19.(本题14分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格。

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

第五章 一元函数的导数及其应用 单元过关检测 基础A 卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟一、单选题1．设()f x 是可导函数，且()()0002lim2x f x x f x x∆→-∆-=∆，则()0f x '=（ ）A ．12B ．-1C ．0D ．-22．已知函数y =f(x)的导函数的图象如图所示，则y =f(x)的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数()1sin 2=-f x x x 在[0,]2π上的最小值和最大值分别是A ．6π B ．1,04π- C ．164ππ- D ．1122,-4．已知函数2()(21)3x f x x e ax =-+-（0x >）在(0,)+∞上为增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)-+∞B ．[)+∞C ．[,-∞-D ．3[,)2e -∞-5．若曲线x y e =在0x =处的切线，也是ln y x b =+的切线，则b =（ ） A ．1- B ．1 C ．2D ．e6．函数()3222f x x cx c x =-+在2x =处取极小值，则c =（ ）A ．6或2B ．6或2-C ．6D ．27．已知函数()cos xf x e x =+，设()10.3a f -=，()0.32b f -=，()2log0.2c f =，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．已知()y f x =为()0,∞+上的可导函数，且有()()'0f x f x x+>，则对于任意的(),0,a b ∈+∞，当a b >时，有( ) A ．()()af a bf b < B ．()()af a bf b > C ．()()af b bf a > D ．()()af b bf a <二、多选题 9．若直线12y x b =+是函数()f x 图像的一条切线，则函数()f x 可以是（ ） A ．1()f x x=B ．4()f x x =C ．()sin f x x =D ．()x f x e =10．已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图，则下列叙述正确的是（ ）A ．函数()f x 只有一个极值点B ．函数()f x 满足()()41f f -<-，且在4x =-处取得极小值C ．函数()f x 在2x =处取得极大值D ．函数()f x 在(),4-∞-内单调递减11．素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：()ln xx xπ≈，其中()x π表示不大于x 的素数的个数，即随着x 的增大，()x π的值近似接近ln xx的值．从猜想出发，下列推断正确的是（ ）A ．当x 很大时，随着x 的增大，()x π的增长速度变慢B ．当x 很大时，随着x 的增大，()x π减小C ．当x 很大时，在区间(,)x x n +（n 是一个较大常数）内，素数的个数随x 的增大而减少D ．因为(4)2π=，所以4(4)ln 4π>12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()1xf x e x -=-．则下列结论正确的是（ ）．A ．当0x <时，()()1xf x ex =+B ．函数()f x 有五个零点C ．若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是()()22f m f -≤≤D ．对12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -<恒成立三、填空题13．若函数的的导数为()f x '，且()()322,f x f x x =+'则()2f '=_______________14．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A 对应________，B 对应________，C 对应________，D 对应________，15．若函数1()ln f x x a x=+-有且只有一个零点，则实数a 的值为_______. 16．已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大体积是______立方米.四、解答题17．已知函数32()f x x ax bx =++在1x =与23x =-处都取得极值． (1)求函数()f x 的解析式及单调区间；(2)求函数()f x 在区间[1,2]-的最大值与最小值．18．设函数329()62f x x x x a =-+-． （1）求函数的单调区间．（2）若方程()0f x =有且仅有三个实根，求实数a 的取值范围．19．已知函数 ()ln f x x a x =+．（1）当 1a =时，求曲线 ()y f x = 在点 (1,(1))f 处的切线方程； （2）求 ()f x 的单调区间．20．某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为x 千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(2x +万元.设余下工程的总费用为y 万元.（1）试将y 表示成关于x 的函数；（2）需要修建多少个增压站才能使总费用y 最小？21．已知函数()e cos 2xf x x =+-(其中0x ≥)，()f x '为()f x 的导数.（1）求导数()f x '的最小值；（2）若不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围.22．函数()1ln f x x mx x=++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()()()1122120f x mx f x mx x x -=-<<，求证：122x x +>.。

导数及其应用一、单选题1．由抛物线212y x =与直线4y x =+所围成的图形的面积是 A ．16 B ．338C ．316 D ． 18【答案】D 【解析】 试题分析：抛物线212y x =与直线4y x =+的交点()()2,2,4,8-，结合图形可知围成的面积为4234221130|1826S S x dx x --=-=-=⎰梯形 考点：定积分的几何意义 点评：若函数()f x 满足()0f x >，则()baf x dx ⎰的值等于直线,,0x a x b y ===与()f x 曲线围成的曲边形的面积2．下列式子不正确的是( )A ．(3x 2+xcosx )′=6x +cosx −xsinxB ．(sin2x )′=2cos2xC ．(sinx x)′ =xcosx−sinxx 2D ．(lnx −1x 2)′＝1x－2x3【答案】D 【解析】 【分析】对四个选项逐一求导验证即可得到答案 【详解】∵(3x 2+xcosx )′=6x +cosx −xsinx ，故A 正确 (sin2x )′=2cos2x ，故B 正确 (sinx x)′=xcosx−sinxx 2，故C 正确(lnx −1x 2)′＝1x +2x 3，故D 错误 故选D 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式和导数的运算法则及其应用，属于基础题。

3．函数在区间上的值域为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，当时，f ′(x)>0，，∴f(x)是上的增函数．∴f(x)的最大值为．f(x)的最小值为．∴f(x)的值域为．4．已知函数f(x)={2x−2,x ≥2−x 2+2x+1,x<2，且存在不同的实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）=f （x 2）=f （x 3），则x 1•x 2•x 3的取值范围是（ ） A ．(0,3) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(1,3) 【答案】A 【解析】 【分析】作出y ＝f （x ）的函数图象，设x 1＜x 2＜x 3，f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝t ，1＜t ＜2，求得x 1，x 2，x 3，构造函数g （t ）＝（t ﹣1）（2+log 2t ），1＜t ＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围． 【详解】函数f(x)={−x 2+2x +1，x ＜22x−2，x ≥2的图象如图所示：设x 1＜x 2＜x 3，又当x ∈[2，+∞）时，f （x ）＝2x ﹣2是增函数，当x ＝3时，f （x ）＝2，设f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝t ，1＜t ＜2， 即有﹣x 12+2x 1+1＝﹣x 22+2x 2+1＝2x 3−2=t ， 故x 1x 2x 3＝（1−√2−t ）（1+√2−t ）（2+log 2t ） ＝（t ﹣1）（2+log 2t ），由g （t ）＝（t ﹣1）（2+log 2t ），1＜t ＜2，可得g ′（t ）＝2+log 2t +t−1tln2＞0，即g （t ）在（1，2）递增，又g （1）＝0，g （2）＝3， 可得g （t ）的范围是（0，3）． 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档．5．)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(22222.02.0f c f b f a ===，，，则 （ ） （A ）b a c << （B ） c a b << （C ） c b a << （D ） a b c << 【答案】A 【解析】试题分析：令,)()(x x f x g =则,)()()(2xx f x f x x g -'='因为当0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，所以)(x g 在()+∞,0上单调递减，因为24log 5log 22=>，04.02.0,22122.0=<<，所以>5log 222.02.02>所以b a c <<.考点：导数的应用.6．曲线y ＝212x x +在点（2,4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A 、1 B 、2 C 、43 D 、23【答案】D 【解析】试题分析：'1y x =+，所以切线在点(2,4)处的斜率为3，切线方程为43(2)y x -=-， 令0x =，得2y =-，令0y =，得23x =，所以切线与坐标轴围成的三角形面积为122|2|233S =⨯-⨯=.考点：1.函数的切线方程；2.三角形的面积公式.7．已知函数f(x)＝alnx －bx 2，a ，b∈R.若不等式f(x)≥x 对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e 2]都成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[e ，＋∞) B ．[，＋∞) C ．[，e 2) D ．[e 2，＋∞) 【答案】B 【解析】 【分析】将问题逐步进行转化．由题意得到b ≤alnx−x x 2对所有的x∈(e，e 2]恒成立，由于b≤0，故只需alnx−x x 2≥0对任意的x∈(e，e 2]恒成立，再进一步转化为alnx≥x，即a ≥xlnx 对任意的x∈(e，e 2]恒成立，只需求出函数ℎ(x)=x lnx,x ∈(e,e 2]的最大值即可．【详解】由题意可得bx 2≤alnx－x 对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e 2]恒成立， 所以b ≤alnx−x x 2对所有的x∈(e，e 2]恒成立．由于b∈(－∞，0]，所以对任意的x∈(e，e 2]，都有alnx−x x 2≥0恒成立，即alnx≥x 对所有的x∈(e，e 2]恒成立， 所以a ≥xlnx 对所有的x∈(e，e 2]恒成立． 令ℎ(x)=x lnx ,x ∈(e,e 2]，则h′(x)＝>0，所以h(x)在区间(e ，e 2]上单调递增， 故h(x)max ＝h(e 2)=． 所以a≥.所以实数a 的取值范围是[，＋∞)． 故选B. 【点睛】（1）分离参数法解决恒成立问题是常用的方法，通过分离参数可将恒成立问题转化为求函数的最值的问题．（2）对于含有多个变量的恒成立问题，可通过逐步消去参数的方法求解，但求解的原则仍为转化成求最值的问题． 8．已知函数()()()21,,2xx f x e a e e aex b a b R =+--+∈（其中e 为自然对数底数）在1x =取得极大值，则a 的取值范围是（ ）A ．0a <B ．0a ≥C ．0e a -≤<D ．a e <- 【答案】D 【解析】因为()()21,2xx f x e a e e aex b =+--+所以可得()()()()2x x x x f x e a e e ae e a e e =+-+'-=-。

人教版导数及其应用多选题单元综合模拟测评学能测试一、导数及其应用多选题1．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a b be e-<恒成立 【答案】AD 【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误.【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a ba ab a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a bb a，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =；min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误.故选：AD 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.2．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（ ） A．函数在x =12eB ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．()f x 有两个不同的零点 D．(2)f f f <<【答案】ABD 【分析】求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项. 【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln 212ln ()x x xx x f x x x ⋅-⋅-'==， 令()0f x '=，解得：x =所以当x =2fe =，故A 正确；对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在),e +∞32e π<<<，则(2)3)f f f π<<，故D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.4．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x =【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'， 所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.5．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x-'=， 令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．6．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数． 当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥． 故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．7．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34， 则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点： ①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.8．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】 由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<， 令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<-- 当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.9．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．10．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>，所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.。

导数及其应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数()21)(x x x f -⋅=的极值点的个数是（ ）(A) 3； (B)2； (C)1； (D) 0 【答案】B【解析】()22()12(1)3410f x x x x x x '=---=-+=,解之得121,13x x ==.所以极值点的个数为2.2．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是2-28s t t =+，此物体在某一时刻的速度为0，则相应的时刻为（ ）．A ．0t =B ．1t =C ．2t =D ．4t = 【答案】C【解析】480,2s t t =-+=='，选C.3．（2012•南宁模拟）函数f （x ）=x 3+ax 2+3x ﹣9，已知f （x ）在x=﹣3时取得极值，则a 等于 ． 【答案】5 【解析】试题分析：对函数求导可得，f ′（x ）=3x 2+2ax+3 ∵f （x ）在x=﹣3时取得极值 ∴f ′（﹣3）=0⇒a=5考点：函数在某点取得极值的条件点评：本题主要考查函数在某点取得极值的性质．属基础题．比较容易，要求考生只要熟练掌握基本概念，即可解决问题4．曲线y =e x +x 在x =0处的切线的斜率等于（ ） A ．e B ．e +1 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导数，结合函数导数的几何意义求出对应的导数即可．【详解】函数的导数为f′(x)=e x +1，则在x =0处的导数f′(0)=e 0+1=1+1=2，即切线斜率k =f′(0)=2， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数是解决本题的关键．5．【2018湖北武汉高中毕业生二月调研】已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −5≥0y −x ≥0y −12x −2≤0，若不等式(1−a )x 2+2xy +(4−2a )y 2≥0恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．73 B ．53 C ．√5 D ．√6 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数t =yx ，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点C(2，3)处取得最大值t max =y x=32，在点A 或点B 处取得最小值t min =1，即t ∈[1，32]．题中的不等式即：a (x 2+2y 2)≤x 2+2xy +4y 2，则：a ≤x 2+2xy+4y 2x 2+2y 2=4t 2+2t+12t 2+1恒成立，原问题转化为求解函数f (t )=4t 2+2t+12t 2+1(1≤t ≤32)的最小值，整理函数的解析式有：f (t )=2×t 2+12t+14t 2+12=2×(1+12t−14t 2+12)=2(1+1t−12+34t−12+1)，令m =t −12，则12≤m ≤1，令g (m )=m +34m，则g (m )在区间(12，√32)上单调递减，在区间(√32，1)上单调递增， 且g (12)=2，g (1)=74，据此可得，当m =12，t =1时，函数g (m )取得最大值，则此时函数f (t )取得最小值，最小值为：f (1)=4×12+2×1+12×12+1=73．综上可得，实数a 的最大值为73．本题选择A 选项．【方法点睛】本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题．6．已知函数()1ln 12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则不等式()1232f x -<的解集为（ ）A ．3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ B ．1|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ C ．{}|1x x < D ．3|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】函数()1ln 12xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0∞+，上单调递增，且()112f = 所以()1232f x -<等价于()()23?1f x f -< 即230{231x x ->-<,解得：322x <<，所以不等式()1232f x -<的解集为3|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故选：D点睛：处理抽象不等式主要是借助函数的单调性去掉对应法则转化为具体不等式问题，注意奇偶性的利用以及定义域的限制.7．对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)('1≤-x f x，则必有 （ ）A ．)1(2)2()0(f f f ＜+ B ．)1(2)2()0(f f f ≤+ C ．)1(2)2()0(f f f ＞+ D ．)1(2)2()0(f f f ≥+【答案】C 【解析】试题分析：因为0)('1≤-x f x，所以,1-x≥0即x≤1时，()f x '<0, 1-x≤0即x≥1时，()f x '>0,即函数)(x f 在 [1,+∞)上的单调增，在（-∞，1）上单调递减，所以f(0)>f(1),f(2)>f(1) f(0)+f(2)>2f(1) 所以f(0)+f(2)>=2f(1) ，故选C. 考点：函数导数的性质 8．已知函数x e x f x 3)(1-=+，则=')0(f （ ）A ．0B ．2-C ．eD ．3-e【答案】D 【解析】9．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()()(0,1)x f x a g x a a =⋅>≠且；②()0g x ≠；③()()()()''f x g x f x g x ⋅<⋅．若()()()()115112f fg g -+=-，则实数a 的值为 ( ) A ．2或 B ．2 C ． D ． 【答案】D【解析】由①可知()()x f x a g x = ， ()()()()()()()'20f x f x g x f x g x g x g x ⎡⎤-=<⎢⎥⎢⎥⎣⎦''，可知函数()()f xg x 是单调递减函数，即01a << ，又根据()()()()115112f f g g -+=- 得到152a a -+=，可知12a =，故选D. 【点睛】本题考查了导数的运算，以及指数函数的性质，本题的难点是这三个条件如何联系在一起，并且不漏条件，尤其是代入最后一个条件，解出2a =或12a =，容易忽略第二个条件就是判断函数单调性的.10．设函数f (x )是R 上可导的偶函数，且f (3)=2，当x >0，满足2f (x )+xf ′(x )>1，则x 2f (x )>18的解集为（ ）A．(−∞,−3)B．(−∞,−3)∪(3,+∞)C．(3,+∞)D．(−3,3)【答案】B【解析】【分析】先构造函数g(x)=x2f(x)，再利用函数单调性解不等式.【详解】令g(x)=x2f(x)，因为函数f(x)在(−∞,+∞)上是可导的偶函数，所以g(x)=x2f(x)在(−∞,+∞)上也是偶函数又当x>0时，2f(x)+xf′(x)>1,∴2xf(x)+x2f′(x)>x>0,∴g′(x)>0,∴g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上是增函数∵f(3)=2由x2f(x)>18得x2f(x)>18=32f(3)∴g(|x|)>g(3),∴|x|>3∴x∈(−∞−3)∪(3,+∞).选B.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.11．直线y=kx+b与曲线y=ax2+2−lnx相切于点P(1,4)，则b的值为（）A．3B．−3C．−1D．1【答案】D【解析】【分析】把切点P的坐标代入y＝ax2+2-lnx求出a，再求函数导数求出k，再把P（1，4）代入y＝kx+b求b．【详解】∵点P（1，4）在曲线y＝ax2+2-lnx上，∴a+2＝4，解得a＝2，由题意得，y′=2ax−1x =4x−1x，∴在点P（1，4）处的切线斜率k＝3，把P（1，4）代入y＝kx+b，得b＝1，故选：D．【点睛】本题考查了导数的几何意义，熟记某点处的切线的斜率是该点处的导数值，熟练运用切点在曲线上和切线上是关键,是基础题12．已知函数f(x)=sinxcosx ,则此函数的导函数f ′(x)=（ ） A ．cos 2x −sin 2x B ．−cosxsinx C ．cos 2x +sin 2x D ．cosxsinx【答案】A 【解析】f ′(x )=(sinx )′cosx +sinx (cosx )′=cos 2x −sin 2x .故选A ．二、填空题13．若不等式sin 3x −m +2>cos 2x +sinx 在区间[0,π2]上恒成立，则实数m 取值范围是___.【答案】(−∞,2227)【解析】 【分析】因为不等式sin 3x −m +2>cos 2x +sinx 在区间[0,π2]上恒成立，等价于m <sin 3x +sin 2x −sinx +1在区间[0,π2]上恒成立，求出sin 3x +sin 2x −sinx +1在区间[0,π2]上的最小值即可. 【详解】因为不等式sin 3x −m +2>cos 2x +sinx 在区间[0,π2]上恒成立， 所以m <sin 3x +sin 2x −sinx +1在区间[0,π2]上恒成立； 令t =sinx ∈[0,1]，则f (t )=t 3+t 2−t +1,所以f ́(t )=3t 2+2t −1=(3t −1)(t +1)=0得t =13，所以t ∈(0,13)时，f ́(t )<0，函数f (t )单调递减； t ∈(13,1)时，f ́(t )>0，函数f (t )单调递增；所以f (t )min =f (13)=2227. 所以m <2227. 故答案为(−∞,2227) 【点睛】本题主要考查导数的方法研究不等式恒成立的问题，根据不等式恒成立求参数的问题，通常需要分离参数，构造函数，由导数的方法求新函数的最值即可，属于常考题型. 14．曲线y =1x 和y =x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 【答案】【解析】解：曲线y =1x 和y=x 2在它们的交点坐标是（1，1），两条切线方程分别是y=-x+2和y=2x-1， 它们与x 轴所围成的三角形的面积是．15．已知曲线2122y x ＝－上一点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则在点P 处的切线的倾斜角为________．【答案】45° 【解析】∵y＝12x 2－2，∴()()2221112212222x x x x x x y x x x x x ⎛⎫+---+ ⎪∆⎝⎭===+∴当Δx →0时，yx∆→x . ∴y ′|x ＝1＝1，∴在点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线斜率为1， 切线倾斜角为45°. 答案：45°16．直线l:y =m （m 为实常数）与曲线E:y =|lnx|的两个交点A,B 的横坐标分别为x 1、x 2，且x 1<x 2,曲线E 在点A,B 处的切线PA 、PB 与y 轴分别交于点M 、N ．有下面4个结论： ①|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2; ②三角形PAB 可能为等腰三角形； ③若直线l 与y 轴的交点为Q,则|PQ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1; ④当x 1是函数g(x)=x 2+lnx 的零点时,|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |（O 为坐标原点）取得最小值． 其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③． 【解析】试题分析：对于①，由|lnx 1|=|lnx 2|可得，x 1x 2=1，且0<x 1<1,x 2>1，且A(x 1,−lnx 1),B(x 2,lnx 2)，在点A 处的切线斜率为−1x 1，在点B 处的切线斜率为1x 2，则设M(0,s),N(0,n)，则由s+lnx 1−x 1=−1x 1，解之得s =1−lnx 1；由n−lnx 2−x 2=1x 2，解之得n =lnx 2−1；则有|MN|=1−lnx 1−(lnx 2−1)=2−ln(x 1x 2)=2，故①正确；对于②，若三角形PAB 为等腰三角形，即PA =PB 或PA =AB 或PB =AB ，若PA =PB ，则点P 在AB 的中垂线上，不可能；若PA =AB ，则易知点P 的横坐标小于1，不成立；若PB =AB ，则由−1x 1·1x 2=−1，即有PA ⊥BP ，则不成立，故②不正确；对于③，Q(0,m)，由y +lnx 1=1−1x 1x 和y −lnx 2=1x 2x −1，x 1x 2=1，解得交点P(2x 11+x 12,1−lnx 1−21+x 12)，由于m =lnx 2=−lnx 1，则有|PQ|=√(2x 11+x 12)2+(x 12−11+x 12)2=1，故③正确；对于④，当x 1是函数g(x)=x 2+lnx 的零点时,即有x 12+lnx 1=0，|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 12+(lnx 1)2=√x 14+x 12，由于0<x 1<1，则取不到最小值，故④不正确．故应填①③．考点：1、函数的基本性质；2、导数的综合应用；3、命题及其关系；三、解答题17．已知函数f(x)=x 2−xlnx ．（Ⅰ）求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若kx +x2−f(x)x<0在(1,+∞)上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）y =x （Ⅱ）k ≤12 【解析】 【分析】（1）利用导数求得斜率，再求得切点坐标，由此求得切线方程.（II ）将原不等式分离常数得k <−xlnx +12x 2，构造函数y =−xlnx +12x 2，利用导数求得y >12，由此求得k 的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）f(x)=x2−xlnx的导数为f′(x)=2x−(lnx+1)，可得切线的斜率为1，切点为(1,1)，切线方程为y−1=x−1，即y=x；（Ⅱ）若kx +x2−f(x)x<0在(1,+∞)上恒成立，可得k<−xlnx+12x2在(1,+∞)上恒成立，令y=−xlnx+12x2，则y′=−lnx−1+x，y′′=−1x+1>0，可得y′在(1,+∞)上单调递增，则y′>−ln1−1+1=0，可得y在(1,+∞)上单调递增，则y>12，则k≤12．【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题. 18．已知函数f(x)=4alnx−ax−1．（1）若a≠0，讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)>ax(x+1)在(0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）(−∞,−13)【解析】试题分析:(1)先求导数,根据a的正负讨论确定导函数符号，进而确定对应单调性(2)分离变量转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值即得实数a的取值范围.试题解析:（Ⅰ）依题意f′(x)=4ax −a=a(4−x)x，若a>0，则函数f(x)在(0,4)上单调递增，在(4,+∞)上单调递减；若a<0，则函数f(x)在(0,4)上单调递减，在(4,+∞)上单调递增. （Ⅱ）因为f(x)>ax(x+1)，故4alnx−ax2−2ax−1>0，①当a=0时，显然①不成立；当a>0时，①化为：1a<4lnx−x2−2x；②当a<0时，①化为：1a>4lnx−x2−2x；③令ℎ(x)=4lnx−x2−2x(x>0)，则ℎ′(x)=4x−2x −2 =−2x 2+2x−4x=−2(x−1)(x+2)x，∴当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)>0时，x ∈(1,+∞)，ℎ′(x)<0，故ℎ(x)在(0,1)是增函数，在(1,+∞)是减函数，∴ ℎ(x)max =ℎ(1)=−3， 因此②不成立，要③成立，只要1a>−3，a <−13，∴所求a 的取值范围是(−∞,−13).点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 19．（本小题满分12分）已知函数21()ln ()2f x x a x a R =-∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）设()()2g x f x x =+，若()g x 在[1,]e 上不单调且仅在x e =处取得最大值，求a 的取值范围．【答案】（1）若0a ≤：则()f x 在(0,)+∞上单调递增，若0a >：则()f x 在上单调递减，)+∞上单调递增；（2）实数a 的取值范围是25(3,2]22e e +-．【解析】试题分析：（1）考虑通过求导来判断函数21()ln ()2f x x a x a R =-∈的单调性：2'()(0)a x af x x x x x -=-=>，因此需对()f x 的取值情况进行分类讨论，从而可得()f x 的单调性；（2）由题意可得：22'()2(0)a x x ag x x x x x+-=-+=>，设2()2(0)h x x x a x =+->，从而()g x 在[1,]e 上不单调等价于()g x 在(1,)e 上存在零点，即2(1)032()0h a e e h e <⎧⇒<<+⎨>⎩，再由()g x 在x e =处取得最大值，∴只需()(1)g e g ≥，即25222e a e ≤+-，从而实数a 的取值范围是25(3,2]22e e +-． 试题解析：（1）∵21()ln 2f x x a x =-，∴2'()(0)a x a f x x x x x -=-=>，∴若0a ≤：则()f x 在(0,)+∞上单调递增，若0a >：则()f x 在上单调递减，)+∞上单调递增；（2）∵()()2g x f x x =+，∴22'()2(0)a x x a g x x x x x+-=-+=>，设2()2(0)h x x x a x =+->，∵()g x 在[1,]e 上不单调，∴()g x 在(1,)e 上存在零点，∴2(1)032()0h a e e h e <⎧⇒<<+⎨>⎩，又∵()g x 在x e =处取得最大值，∴只需()(1)g e g ≥，即25222e a e ≤+-，综上所述，实数a 的取值范围是25(3,2]22e e +-．考点：1．导数的运用；2．二次方程根的分布． 20．设()()1x x f x e e ax =--且()0f x ≥恒成立． （1）求实数a 的值；（2）证明： ()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<．【答案】（1）1a =；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）将问题转化为()10xx e ax ϕ=--≥恒成立的问题处理，分0a ≤和0a >两种情况判断即可；（2）由（1）得()()22x x f x e e x '=--，故问题可转化为()22x h x e x =--有零点的问题，并进一步得到()f x 存在唯一的极大值点。

单元测评(三)第三章本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分， 共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x cos x 的导数为( ) A ．y ′＝cos x －x sin x B ．y ′＝cos x ＋x sin x C ．y ′＝x cos x －sin x D ．y ′＝x cos x ＋sin x2．已知函数f (x )＝ln x －ax 的图像在点()1，f （1）处的切线平行于x 轴，则a ＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．23．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－1)，(0，1) B ．(－1，0)，(1，＋∞) C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)4．已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)－ln x ，则f ′(e)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．e D.1e5．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋2在R 上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3) B ．(－∞，－3] C ．(－3，0) D ．[－3，0)6．函数f (x )＝x ln x 的大致图像为( )图C3­17．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0为函数f (x )的“和谐点”．如果函数g (x )＝x 2(x ∈(0，＋∞))，h (x )＝sin x ＋2cos x ()x ∈（0，π），φ(x )＝e x ＋x 的“和谐点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b8．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( ) A.827π B.1627π C.89π D.169π 9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋9上的任意一点，曲线在P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB.⎣⎡⎭⎫2π3，πC.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD.⎝⎛⎦⎤π2，5π610．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足f (x )＋xf ′(x )>0且f (－1)＝0，则f (x )>0的解集是( )A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－1，0)11．若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0，2)上根的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值 请将选择题答案填入下表： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总分 答案第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f(x)＝e x ＋2x(e 是自然对数的底数)的图像在点(0，1)处的切线方程是________． 14．函数f(x)＝2x 2－ln x 的单调递增区间是________．15．已知函数f(x)＝ax 4－4ax 2＋b(a>0)，当1≤x ≤2时的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________．16．若函数f(x)＝x 3＋ax 2－2x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫13，12上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)求下列函数的导数： (1)y ＝1x·cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3.18．(12分)已知函数f(x)＝e x (x 2－3)． (1)求曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数y ＝f(x)的极值．19．(12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2在x ＝2处取得极值－14. (1)求a ，b 的值；(2)若f(x)≥kx 在(]0，2上恒成立，求实数k 的取值范围．20.(12分)已知函数f(x)＝12x 2＋ln x.(1)求函数f(x)在区间[1，e ]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝23x 3的图像的下方．21．(12分)某企业拟建造如图C 3­2所示的容器(不计厚度，长度单位为米)，容器的中间为圆柱，左右两端均为半球，按照设计要求容器的体积为80π3立方米，且l ≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱部分每平方米的建造费用为3万元，半球部分每平方米的建造费用为c 万元(c>3)．设该容器的建造费用为y 万元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时r 的值．图C 3­222．(12分)已知函数f(x)＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x(a ∈R 且a ≠0)．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(－2，f (－2))处的切线方程； (2)当a ＞0时，求函数y ＝f (x )的单调区间和极值；(3)当x ∈[2a ，2a ＋2]时，不等式|f ′(x )|≤3a 恒成立，求a 的取值范围．单元测评(三)1．A [解析] 根据(μv)′＝μ′v ＋μv′可得y′＝x′cos x ＋x(cos x)′＝cos x －x sin x.2．C [解析] ∵f(x)＝ln x －ax ，∴f ′(x)＝1x －a ，则f′(1)＝1－a.又函数f(x)＝ln x －ax的图像在点()1，f （1）处的切线平行于x 轴，∴1－a ＝0，即a ＝1.3．A [解析] y′＝4x 3－4x ＝4x(x 2－1)，令y′<0，得单调递减区间为(－∞，－1)，(0，1)．4．D [解析] ∵f(x)＝2xf′(e )－ln x ，∴f ′(x)＝2f′(e )－1x ，令x ＝e ，则f′(e )＝2f′(e )－1e ，即f′(e )＝1e.5．B [解析] 由f(x)＝ax 3＋3x 2－x ＋2，得f′(x)＝3ax 2＋6x －1，因为函数在R 上是减函数，所以f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0在R 上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0，由Δ＝36＋12a ≤0，解得a≤－3，则a 的取值范围是(－∞，－3]．6．A [解析] ∵函数f (x )＝x ln x 只有x ＝1一个零点，∴可以排除C ，D ，又∵f ′(x )＝ln x ＋1，在⎝⎛⎭⎫0，1e 上，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴A 符合题意．7．D [解析] 函数g (x )＝x 2，x ∈(0，＋∞)，g ′(x )＝2x ，由x 2＝2x 可得x ＝2，即a ＝2；函数h (x )＝sin x ＋2cos x ()x ∈（0，π），h ′(x )＝cos x －2sin x ，由题意可得sin x ＋2cos x ＝cos x －2sin x ，即tan x ＝－13>－33，∵x ∈(0，π)，∴5π6<x <π，即5π6<b <π；函数φ(x )＝e x ＋x ，由φ′(x )＝e x ＋1，可得e x ＋1＝e x ＋x ，解得x ＝1，即c ＝1.综上可知c <a <b .8．A [解析] 设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则2R ＋h ＝2.∵V ＝πR 2h ＝πR 2(2－2R )＝2πR 2－2πR 3，∴V ′＝2πR ·(2－3R )．令V ′＝0，则R ＝0(舍)或R ＝23.经检验知，当R＝23时，圆柱的体积最大，此时h ＝23，V max ＝π·49×23＝827π. 9．C [解析] 因为y ′＝3x 2－3≥－3，所以tan α≥－3，又α∈[)0，π，所以α∈[0，π2)∪[2π3，π)．10．C [解析] 令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＞0，∴函数g (x )＝xf (x )为单调递增函数，又f (－1)＝0，∴g (－1)＝(－1)f (－1)＝0.故当x ＜－1时，xf (x )＜0，f (x )＞0；当－1＜x ＜0时，xf (x )＞0，f (x )＜0；当x ＞0时，xf (x )＞0，f (x )＞0.故f (x )＞0的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．11．B [解析] 设f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，因为a >2，所以2a >4，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1×⎝⎛⎭⎫83－4a ＋1＝113－4a <0，所以f (x )＝0在(0，2)上恰有1个根，故选B.12．D [解析] 因为函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝[]x 2·f （x ）′＝e xx ，所以当x >0时，[]x 2·f （x ）′＝e x x >0，令函数g (x )＝x 2·f (x )，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝e 28，得g (2)＝e 22.又f (x )＝g （x ）x 2，所以f ′(x )＝g ′（x ）·x 2－g （x ）·2x x 4＝x ·g ′（x ）－2g （x ）x 3＝e x －2g （x ）x 3，x >0，令h (x )＝e x －2g (x )，则h ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫1－2x ，故当x ∈(0，2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.故h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (2)＝e 2－2g (2)＝0，所以f ′(x )＝e x －2g （x ）x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )既无极大值也无极小值．13．y ＝3x ＋1 [解析] ∵函数f (x )＝e x ＋2x ，∴导数f ′(x )＝e x ＋2，∴f (x )的图像在点(0，1)处的切线斜率k ＝e 0＋2＝3，∴图像在点(0，1)处的切线方程为y ＝3x ＋1.14.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ [解析] 由题，函数的定义域是(0，＋∞)，∵f (x )＝2x 2－ln x ，∴f ′(x )＝4x －1x ，令f ′(x )≥0，即4x －1x ≥0，解t ≥12，∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 15.214 [解析] 令f ′(x )＝4ax 3－8ax ＝0，得x ＝2(x ＝0及x ＝－2舍去)．当x ∈[1，2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(2，2]时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．故当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝b －4a ，又f (1)＝－3a ＋b ，f (2)＝b ，a >0，所以f (1)<f (2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＝－6，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝3，所以a ＋b ＝214.16.⎝⎛⎭⎫54，52 [解析] ∵f (x )＝x 3＋ax 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax －2.根据题意，函数在区间⎝⎛⎭⎫13，12上至少有一个零点，①若只有一个零点，则f ′⎝⎛⎭⎫13f ′⎝⎛⎭⎫12<0，得a ∈⎝⎛⎭⎫54，52；②若有两个不同零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f′⎝⎛⎭⎫13>0，f′⎝⎛⎭⎫12>0，Δ>0，13<－a3<12，得a∈∅.综上所述，a∈⎝⎛⎭⎫54，52.17．解：(1)y′＝⎝⎛⎭⎫1x·cos x′＝⎝⎛⎭⎫1x′cos x＋1x(cos x)′＝⎝⎛⎭⎫x－12′cos x－1xsin x＝－12x －32cos x－1xsin x＝－cos x2x3－1xsin x＝－cos x＋2x sin x2x x.(2)∵y＝x⎝⎛⎭⎫x2＋1x＋1x3＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.18．解：(1)函数f(x)＝e x(x2－3)，则f′(x)＝e x(x2＋2x－3)＝e x(x＋3)(x－1)，故f′(0)＝－3，又f(0)＝－3，故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＋3＝－3x，即3x＋y＋3＝0.(2)由(1)知，令f′(x)＝0，可得x＝1或x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3(－3，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由表可知，当x＝－3时取得极大值，极大值为6e－3，当x＝1时取得极小值，极小值为－2e.19．解：(1)f′(x)＝3ax2＋b，由f(x)在x＝2处取得极值－14，得⎩⎪⎨⎪⎧f（2）＝－14，f′（2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧8a＋2b＋2＝－14，12a＋b＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝－12，经检验，a＝1，b＝－12符合题意，∴a＝1，b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋2，由f(x)≥kx得x3－12x＋2≥kx，又x∈(]0，2，∴k≤x2＋2x －12，设g(x)＝x2＋2x－12，x∈(]0，2，则g′(x)＝2x－2x2＝2（x3－1）x2，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在(0，1)上单调递减；当1<x≤2时，g′(x)>0，g(x)在(1，2]上单调递增．故g(x)在x＝1处取得极小值g(1)＝－9，也是最小值，故得k≤－9，即k的取值范围为(－∞，－9]．20．解：(1)由已知得f′(x)＝x＋1x，当x∈[1，e]时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大值、最小值分别为f(e)＝e22＋1，f(1)＝12.(2)证明：设F(x)＝12x2＋ln x－23x3，则F′(x)＝x＋1x－2x2＝（1－x）（1＋x＋2x2）x.因为x >1，所以F ′(x )<0，所以函数F (x )在区间(1，＋∞)上单调递减．又F (1)＝－16<0，所以在区间(1，＋∞)上，F (x )<0恒成立，即12x 2＋ln x <23x 3，结论得证．21．解：(1)因为容器的体积为80π3立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r 3，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr (803r 2－4r 3)＝160π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以y ＝160πr －8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0，l 2]．(2)因为y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝8π[（c －2）r 3－20]r 2，所以令y ′>0，得r >320c －2；令y ′<0，得0<r <320c －2.故当r ＝320c －2时，该容器的建造费用最小． 22．解：(1)∵当a ＝－1时，f (x )＝－13x 3－2x 2－3x ，f ′(x )＝－x 2－4x －3，∴f (－2)＝83－8＋6＝23，f ′(－2)＝－4＋8－3＝1，∴所求切线方程为y ＝[x －(－2)]＋23，即3x －3y ＋8＝0.(2)∵f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )(x －3a )．当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得a ＜x ＜3a ；由f ′(x )＜0，得x ＜a 或x ＞3a .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为(a ，3a )，单调递减区间为(－∞，a )和(3a ，＋∞)．∵f (3a )＝0，f (a )＝－43a 3，∴当a ＞0时，函数y ＝f (x )的极大值为0，极小值为－43a 3.(3)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －2a )2＋a 2，∵在区间[2a ，2a ＋2]上f ′(x )单调递减，∴当x ＝2a 时，f ′(x )取得最大值a 2，当x ＝2a ＋2时，f ′(x )取得最小值a 2－4.∵不等式|f ′(x )|≤3a 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2≤3a ，a 2－4≥－3a ，解得1≤a ≤3，故a 的取值范围是[1，3]．。

人教版导数及其应用多选题单元同步练习试题一、导数及其应用多选题1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=， 解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅；③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=.综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论． 【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||2PQ =，而2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ． 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．3．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<； C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点； D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点. 【答案】ABD 【分析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x ae -=，设sin (),(,)xxg x x e π=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 【详解】A.当1a =时，()sin x f x e x =+，所以()cos x f x e x '=+，0(0)cos 02f e '=+=，0(0)01f e =+=，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=，故正确；B. 因为()sin 0x f x e x ''=->，所以()'f x 单调递增，又()202f π'-=>，334433()cos 442f e e ππππ--⎛⎫'-=+-=- ⎪⎝⎭，又233442e e e ππ⎛⎫= ⎪⎝>>⎭，即34e π>，则3()04f π'-<，所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，即 00cos 0x e x +=，则在()0,x π-上()0f x '<，在()0,x +∞上，()0f x '>，所以()f x 存在唯一极小值点0x，因为000000()sin sin cos 4xf x e x x x x π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以03,44x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭()01,04x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故正确； C.令()sin 0x f x e a x =+=，当0a ≠时，可得1sin x xa e-=，设sin (),(,)x x g x x eπ=∈-+∞，则cos sin 4()x x x x x g x e e π⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令()0g x '=，解得,,14x k k Z k ππ=+∈≥-当52,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时()0g x '<，当592,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()0g x '>，所以当524x k ππ=+，,1k Z k ∈≥-时，()g x 取得极小值，即35,,...44x ππ=-，()g x 取得极小值，又35 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为在3,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上，()g x 递减，所以()34342g x g e ππ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，所以当24x k ππ=+，,0k Z k ∈≥时， ()g x 取得极大值，即9,,...44x ππ=，()g x 取得极大值，又9 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以 ()442g x g e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以(),x π∈-+∞时，()34422g x e ππ-≤≤，当3412e a π-<-，即34a e π>时，()f x 在(,)π-+∞上不存在零点，故C 错误； D.当412ae π-=，即4a e π=时，1=-y a 与()sin x xg x e =的图象只有一个交点，所以存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．4．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（ ）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25x y k ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'= 令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增lnf fπ∴<<<∴>，故：B正确C．()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证：212x x e<，即要证：221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭，则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时，2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e+∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=，即：()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾，故C错D．设25x y k==，且,x y均为正数，则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．5．函数()()320ax bx d af x cx=+++≠有两个极值点1x、()212x x x<，则下列结论正确的是（）A．230b ac->B．()f x在区间()12,x x上单调递减C．若()10af x<，则()f x只有一个零点D．存在x，使得()()()1202f x f x f x+=【答案】ACD【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.6．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则213x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x-==≥，B对，C选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a af--，，又23()(1)()333a a af x x x f-+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f-++--=-，∴函数()f x的图像关于点(())33a af--，成中心对称，C对，D选项，令0a c==得3()f x x x=-，()f x在(0)0，处切线方程为y x=-，且3y xy x x=-⎧⎨=-⎩有唯一实数解，即()f x在(0)0，处切线与()f x图像有唯一公共点，D错，故选：ABC．【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 7．定义在(0,)+∞上的函数()f x的导函数为()'f x，且()()f xf xx'<，则对任意1x、2(0,)x∈+∞，其中12x x≠，则下列不等式中一定成立的有（）A．()()()1212f x x f x f x+<+B．()()()()21121212x xf x f x f x f xx x+<+ C．()1122(1)x xf f<D．()()()1212f x x f x f x<【答案】ABC【分析】构造()()f xg xx=，由()()f xf xx'<有()0g x'<，即()g x在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x的单调性即可判断正误.【详解】由()()f xf xx'<知：()()xf x f xx'-<，令()()f xg xx=，则()()()2xf x f xg xx'-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >；A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.8．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.9．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确.故选：AD. 【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.10．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】BCD 【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12xf x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD. 【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。

一、导数及其应用多选题 1．下列说法正确的是（ ）A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】化简函数解析式为()2cos 12f x x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3231t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误. 【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-，()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min 1g t g===-所以，函数()f x 的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥，12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D 选项，()2222cos tx x x xf x x x⎫+++⎪⎝⎭=+ ()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x++⋅+⋅+==+++， 所以，()()()()22sin sin 2cos 2cos t x x t x xf x t t x xx x --+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.2．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>， 可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确； 对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．3．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则21x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x -==≥，B 对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.4．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.5．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点；当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确； 对C ，令()xh x e ax =-，则()xh x e a '=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥，即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()xf x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．7．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x -'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =，此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=，又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x e =， 所以21ln 12()e k e e -==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.8．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在x e =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．(23fff π<<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k > 【答案】ACD【分析】 求得函数的导数312ln ()-'=x f x x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】 由题意，函数2ln ()x f x x =，可得312ln ()(0)x f x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0x x -=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln 2ln ,42f f ππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以f f f <<，所以C 正确；由()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x = 所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e e g e =-=， 所以2e k >，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．9．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】CD【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出.【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-，∴()()()()()12112x x f x x e a x x e a '=-+-=-+， ①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=， 函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意；②若0a >，那么20x e a +>恒成立，当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数；此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点；当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+- ()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->，故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意；③若02e a -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减， 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦ (){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若2e a =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若 2e a <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120x f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减， 当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.10．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a c b d -+-的值可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】BCD【分析】 由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】 由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=- 由1121c d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。

导数及其应用一、单选题 1．函数xxy cos 1-=的导数是（ ）A ．x xx x cos 1sin cos 1--- B ．2)cos 1(sin cos 1x x x x --- C ．2)cos 1(sin cos 1x x x -+- D ．2)cos 1(sin cos 1x xx x -+-【答案】B 【解析】试题分析：因为x xy cos 1-=，所以21cos sin (1cos )x x x y x --'=-.故选B ．考点：导数的运算．2．已知函数()()f x x R ∈满足()11f =，且()f x 的导函数()13f x '<，则()233x f x <+的解集为（ ） A ．{|11}x x -<< B ．{| 1x x <-或}1x > C ．{|1}x x <- D ．{1}x x 【答案】D【解析】设()()233x g x f x =--，则函数的()g x 的导数()()()1'',3g x f x f x =-的导函数()()()11',''033f xg x f x <∴=-<，则函数()g x 单调递减，()()()1211,1111033f g f ==--=-=，则不等式()233x f x <+，等价为()0g x <，即()()1g x g <，则1x >，即()233x f x <+的解集{}1x x ，故选D.3．曲线在点处切线的倾斜角为 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】 【分析】求出 ，令 得切线斜率，设切线的的倾斜角为 ，则 ，从而可得结果. 【详解】因为，所以 ，所以曲线在点处切线的斜率为 ， 设切线的的倾斜角为 ，则 ， 所以 ，故选C. 【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2) 己知斜率 求切点 即解方程 ；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用求解.4．已知函数，则等于（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】分析：先对函数 求导，再将代入即可.详解： 函数，将 代入，得故选D.点睛：本题考查复合函数的导数，解题的关键是准确掌握导数计算的公式.5．对于在R 上可导的任意函数()f x ，若其导函数为'()f x ，且满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A ．(0)(2)2(1)f f f +≤B ．(0)(2)2(1)f f f +<C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +>【答案】C 【解析】试题分析：当1>x 时，()0≥'x f ，当1<x 时，()0≤'x f ，所以当1=x 时，函数取得最小值，或是函数满足()0='x f ，函数是常函数，所以()()01f f ≤，()()21f f ≤，即()()()1220f f f ≥+，故选C ． 考点：导数与函数的单调性6．已知定义在 上的函数 满足 ，且对任意 ， （0，3)都有，若 ， ， ，则下面结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】 【分析】由条件 ，可知函数 关于 对称，由对任意 ， （0，3)都有，可知函数在 （0，3)时单调递减，然后根据单调性和对称性即可得到 ， ， 的大小． 【详解】因为 ，得函数 关于 对称， 又对任意 ， （0，3)都有，所以函数 在 （0，3)时单调递减，因为 ，所以 ，又 ， ，所以 ，所以 ，故选C . 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,利用条件求出函数的单调性和对称性,利用单调性和对称性之间的关系是解决本题的关键.7．水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象（ ）【答案】A 【解析】试题分析：由于容器上细下粗，所以水以横速注入水，开始阶段高度增加的慢，以后高度增加的越来越快，因此h 与t 图象越来越陡峭，th∆∆原来越大，选A 考点：函数的单调性与导数的关系.8．若函数 在 ， 内有且仅有一个极值点，则实数 的取值范围是（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 【答案】C 【解析】分析：对函数 求导，根据函数 在 内有且只有一个极值点，则 ，求出实数 的范围。