§2.3 递推数列的通项公式

数列的递推公式及通项公式数列是数学中一个重要的概念，是由一组按照特定规律排列的数所组成的序列。

数列有两种常见的表示方式：递推公式和通项公式。

本文将从基本概念入手，详细介绍数列的递推公式和通项公式，并结合实例加深理解。

一、数列的基本概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列中的每一个数称为该数列的项，用an表示。

通常用字母n表示项的位置。

例如，1, 3, 5, 7, 9, ... 是一个递增的奇数数列。

其中1是第1项，3是第2项，5是第3项，以此类推。

二、递推公式递推公式也称为递推关系式或递推式，用于表示数列中的每一项与前一项之间的关系。

通过递推公式，可以通过给定的前几项，求解后面的任意项。

递推公式的一般形式为an = f(an-1)，其中f表示规定的函数或运算。

可以根据数列的特点来确定递推公式。

例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9, ...，我们可以观察到每一项与前一项之间的关系是+2。

因此，递推公式可以表示为an = an-1 + 2。

三、通项公式通项公式是用一个公式直接表示数列的第n项，无需通过前面的项推导得到。

通项公式更为简洁，可以方便地计算数列中任意一项的值。

通常用公式an = f(n)表示数列的通项公式，其中f(n)表示与项的位置n有关的函数或运算。

以等差数列为例，假设首项是a1，公差是d，那么通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d。

其中，a1表示首项的值，n表示项的位置，d表示公差。

四、使用递推公式和通项公式的实例1. 递推公式实例：考虑一个数列，首项是2，每一项都是前一项的3倍。

我们可以得到递推公式an = 3 * an-1。

根据递推公式，可以计算数列的前几项：a1 = 2a2 = 3 * a1 = 3 * 2 = 6a3 = 3 * a2 = 3 * 6 = 18a4 = 3 * a3 = 3 * 18 = 54...2. 通项公式实例：考虑一个等差数列，首项是1，公差是4。

数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。

一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。

一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。

1.1 线性递推公式线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。

一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。

其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。

例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。

利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。

1.2 非线性递推公式非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。

非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。

以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。

在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。

此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。

二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。

通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。

通项公式也常被称为数列的一般项公式。

2.1 等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。

例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。

通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。

数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。

本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。

一、递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。

递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。

1.1 线性递推线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。

其一般形式如下：an = a(n-1) * r + d其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。

例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。

根据数列的特点可以确定递推公式为：an = a(n-1) + 2通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。

1.2 非线性递推非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是通过其他的方式来确定。

例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性递推数列。

斐波那契数列的递推公式为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，a1 = 1，a2 = 1。

根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的每一项。

二、通项公式通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。

通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。

2.1 线性通项线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。

其一般形式如下：an = a1 + (n-1) * d其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。

以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。

2.2 非线性通项非线性通项是指数列的每一项不能用位置n的线性关系来计算，而是通过其他的方式来确定。

例如，等比数列就是一个常见的非线性通项数列。

等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，r为公比。

数列的通项公式及递推公式数列是按照一定的规律排列的一系列数字。

在数学中，我们常常使用通项公式和递推公式来描述数列。

一、通项公式通项公式是指能够给出数列中第n项的公式。

也就是说，通过通项公式，我们可以直接计算出数列中任意一项的值，而不需要知道前面的所有项。

1.1等差数列的通项公式等差数列是指相邻两项之间的差值都是相等的数列。

一般地，等差数列可以写作a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a是首项，d是公差（即相邻两项之间的差值）。

等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d，其中an是数列中第n项的值，a是数列的首项，d是数列的公差。

举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 + 3(n-1)。

1.2等比数列的通项公式等比数列是指相邻两项之间的比值都是相等的数列。

一般地，等比数列可以写作a，ar，ar^2，ar^3，...，其中a是首项，r是公比（即相邻两项之间的比值）。

等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an是数列中第n 项的值，a是数列的首项，r是数列的公比。

举个例子，如果一个等比数列的首项是2，公比是3，那么这个数列的通项公式就是an = 2 * 3^(n-1)。

二、递推公式递推公式是指通过已知数列中的前几项来计算出下一项的公式。

也就是说，通过递推公式，我们可以通过已知的前几项来求解后面的项。

2.1等差数列的递推公式对于等差数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 + d。

这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值加上公差d。

2.2等比数列的递推公式对于等比数列而言，递推公式可以表示为：an = an-1 * r。

这个公式表示数列中的第n项等于它前一项的值乘以公比r。

举个例子，如果一个等差数列的首项是2，公差是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 + 3对于一个等比数列的首项是2，公比是3，那么数列的递推公式就是an = an-1 * 3综上所述，通项公式和递推公式是描述数列的重要工具。

二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。

在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。

（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。

一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。

数列的通项公式与递推公式数列是数学中的重要概念，在各个领域中都有广泛的应用。

数列由一系列有序的数字组成，可以通过通项公式和递推公式来进行描述和计算。

本文将着重介绍数列的通项公式和递推公式，并探讨它们在数学中的应用。

一、数列的概念和表示方法数列是按照一定顺序排列的一系列数字的集合。

数列中的每个数字称为数列的项，数列的第一个数字称为首项，数列的最后一个数字称为末项。

数列可以用一般项表示为{a₁，a₂，a₃，…}，其中a₁表示数列的首项，a₂表示数列的第二项，以此类推。

二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个整数n，可以直接求得数列的第n项的公式。

数列的通项公式的形式可以根据数列的性质来确定。

1.等差数列的通项公式等差数列是指数列中后一项与前一项之差都相等的数列。

如果等差为d，首项为a₁，则等差数列的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。

2.等比数列的通项公式等比数列是指数列中后一项与前一项之比都相等的数列。

如果公比为q，首项为a₁，则等比数列的通项公式为an = a₁ * q^(n-1)。

3.斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。

斐波那契数列的通项公式为an = (φ^n - (1-φ)^n) / √5，其中φ=(1+√5)/2。

三、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前面的项来求解下一项的公式。

递推公式可以帮助我们从已知的项推导出其他的项。

1.等差数列的递推公式对于等差数列an，其递推公式为an = an-1 + d，其中an-1表示数列的前一项，d为等差。

2.等比数列的递推公式对于等比数列an，其递推公式为an = an-1 * q，其中an-1表示数列的前一项，q为公比。

3.斐波那契数列的递推公式斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中an-1和an-2分别表示数列的前两项。

四、数列的应用数列的通项公式和递推公式在数学中有着广泛的应用。

探索探索与与研研究究由递推式求数列的通项公式问题在数列中比较常见,主要考查对递推式的变形、整合技巧.此类问题解法多样，因此我们需要熟悉各类递推式，掌握由递推式求数列的通项公式的常用方法和技巧，这样才能顺利破解此类问题.本文主要分析三种常见的递推式以及求通项公式的方法.一、a n+1=Aa n+B型递推式对于a n+1=Aa n+B（A,B为常数，且A≠0,1）型递推式，我们首先可以引入参数t，将其转化为a n+1+t=A(an+t)，其中t=B A-1，这样便构造出等比数列{}an+t，利用等比数列的通项公式即可求出a n.例1.已知{}a n首项a1=1，且满足a n=3a n-1+2（n≥2），试求数列{}a n的通项公式.解：设a n+t=3()a n-1+t，∴a n=3a n-1+2t，∴t=1，∴an+1=3()a n-1+1，∴{}a n+1是以2为首项，公比为3的等比数列，∴an+1=2∙3n-1，∴a n=2∙3n-1-1.我们观察已知递推式，可发现该递推式为a n+1=Aan+B型，可直接引入参数，构造等比数列，利用等比数列的通项公式来解题.二、Aa n+1+Ba n+Ca n-1=0型递推式若数列的递推式为Aa n+1+Ba n+Ca n-1=0型，其中A,B,C为常数，且互不为0，我们可根据递推式的形式和特点构造一个新的等比数列：A()an+1+αa n=β()an+αa n-1()n≥2，然后利用待定系数法求解，列出方程组{A∙α-β=B,-β∙α=C,解出α、β,再根据等比数列的通项公式得出{}an+1+αa n的通项公式，最后将递推式转化为a n+1=Aa n+B型递推式或运用累加法来求解.例2.已知{}a n中a1=2，a2=4，且满足a n+1=3a n-2a n-1()n≥2，求数列{}a n的通项公式.解：设a n+1+αa n=β(a n+αa n-1),n≥2,即a n+1=(β-α)a n+a∙βa n-1，于是有{β-α=3，α∙β=-2，解得α=-1,β=2;∴a n+1-a n=2()a n-a n-1()n≥2，∴{}an+1-a n是以2为首项，公比为2的等比数列，∴a n+1-a n=2×2n-1=2n.∴a2-a1=2，a3-a2=22,a4-a3=23,…an-a n-1=2n-1，∴a n-a1=2(1-2n-1)1-2=2n-2，∴a n=2n()n∈N*.已知递推式为Aa n+1+Ba n+Ca n-1=0型，可直接运用待定系数法构造等比数列，然后运用等比数列的通项公式和累加法求得数列的通项公式.三、a n+1=c⋅a n pa n+d型递推式由形如a n+1=c⋅a n pa n+d（其中c⋅p⋅d≠0）型的递推式求数列的通项公式时，我们首先可以利用取倒数法对递推式进行变形：1a n+1=p c+d c∙1a n，然后再利用待定系数法构造等比数列，再运用等比数列的通项公式求出数列{}a n的通项公式.例3.若数列{}a n中a1=4，a n+1=2∙a n2a n+1，求a n的通项公式.解：将递推式变形可得1a n+1-12a n=1，令1a n=b n,∴b n+1-12b n=1，∴bn+1+t=12(b n+t)，∴t=-2，∴b n+1-2bn-2=12，∴{}b n-2是以-74为首项，公比为12的等比数列.∴b n-2=æèöø-74æèöø12n-1，即1an-2=æèöø-74æèöø12n-1，∴an=2n+12n+2-7.已知递推式为a n+1=c⋅a n pa n+d型递推式，需先在递推式的两边取倒数，然后两次运用待定系数法构造出等比数列，利用等比数列的通项公式求解.由此可见，解答由递推式求数列的通项公式问题也是有规律可循的，只要我们运用取倒数法、待定系数法等方法将已知的递推式进行合理变形，构造出等比数列，将陌生的、复杂的问题转化为熟悉的、简单的等比数列问题，便能快速求出数列的通项公式.（作者单位：甘肃省酒泉市肃州区玉门油田第一中学）56Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

数列递推公式求通项公式为了求得数列的通项公式，我们首先需要了解数列以及递推公式的概念。

数列是指按照一定规律排列的一列数的集合。

其中，每一项都有一个相对于上一项或前几项的关系，这种关系可以通过递推公式来表示。

递推公式是指通过前一项或前几项的值来计算后一项的公式。

数列中的每一项都可以通过递推公式计算得到。

例如，斐波那契数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F0=0，F1=1现在我们来具体考虑如何求解数列的通项公式。

在数学中，数列的通项公式也被称为递推函数或递归式。

通项公式可以用来计算任意项的值，无需通过前一项或前几项的值进行递推。

求解数列的通项公式通常有两种方法：直接法和差分法。

一、直接法：直接法是指通过观察数列中每一项的特点，推导出关于项数n的表达式，从而得到数列的通项公式。

首先，我们需要观察数列的前几项，找出其中的规律。

这可能包括数列中的算术或几何性质，如递增或递减、等差或等比等。

通过找到这些规律，我们可以猜测出数列的通项公式的形式。

然后，我们可以通过利用已知的数值或已有的数学定理和公式，来验证我们所猜测的通项公式是否正确。

例如，我们可以代入已知的数值来计算通项公式中给定的项数对应的数值，如果和数列中的实际值相符，则我们的猜测通项公式的形式是正确的。

最后，我们需要证明我们求得的通项公式是正确的。

这可以通过数学归纳法来完成。

我们首先验证当n=1时，通项公式的正确性。

然后，我们假设当n=k时，通项公式是正确的，即第k项的值能够通过通项公式来计算得到。

最后，我们利用递推公式和已知条件来验证当n=k+1时，通项公式也是正确的。

通过证明，我们可以确定求得的通项公式是正确的。

二、差分法：差分法是指通过计算数列中相邻两项的差值（或者更高阶的差值），找出差值之间的规律，从而得到数列的通项公式。

对于一个数列，我们可以计算相邻两项的差值（如一阶差分）、差值的差值（如二阶差分）等。

然后我们观察这些差值之间的关系，可能发现它们之间也形成了一个数列，我们再次计算这个数列的差值。

二次函数递推数列二次函数递推数列是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛应用。

本文将从定义、性质、应用等方面详细介绍二次函数递推数列。

一、定义二次函数递推数列是指满足以下递推式的数列：$$a_n=a_{n-1}+pcdot a_{n-2}+qcdot n^2$$其中$p$和$q$为常数，$a_0$和$a_1$为已知的初始值。

二、性质1. 通项公式二次函数递推数列的通项公式为：$$a_n=frac{1}{2p}left[(p+sqrt{p^2+4q})a_{n-1}-(p-2q+2pn)a_{n-2}right]+frac{(p-2q+2pn)}{2p}cdot n^2$$2. 通项公式的推导为了推导出上述通项公式，我们可以先将递推式改写为如下矩阵形式：$$begin{pmatrix}a_na_{n-1}end{pmatrix}=begin{pmatrix}1 & p1 & 0end{pmatrix}begin{pmatrix}a_{n-1}a_{n-2}end{pmatrix}+begin{pmatrix}qcdot n^2end{pmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以求出其特征值和特征向量： $$begin{aligned}lambda_1 &= frac{p+sqrt{p^2+4}}{2}lambda_2 &= frac{p-sqrt{p^2+4}}{2}vec{x_1} &= begin{pmatrix}lambda_11end{pmatrix}vec{x_2} &= begin{pmatrix}lambda_21end{pmatrix}end{aligned}$$根据特征值和特征向量的定义，我们可以得到矩阵的对角化形式： $$begin{pmatrix}a_na_{n-1}end{pmatrix}=begin{pmatrix}vec{x_1} & vec{x_2}end{pmatrix}begin{pmatrix}lambda_1 & 00 & lambda_2end{pmatrix}begin{pmatrix}vec{x_1}^{-1} & vec{x_2}^{-1}end{pmatrix}begin{pmatrix}a_{1}a_{0}end{pmatrix}+begin{pmatrix}qcdot n^2end{pmatrix}$$由于矩阵$begin{pmatrix}vec{x_1} & vec{x_2}end{pmatrix}$是可逆的，所以我们可以将上式进一步化简： $$begin{pmatrix}a_{n-1}end{pmatrix}=frac{1}{lambda_1-lambda_2}begin{pmatrix}vec{x_1} & vec{x_2}end{pmatrix}begin{pmatrix}lambda_1 & 00 & lambda_2end{pmatrix}begin{pmatrix}vec{x_2}^{-1} & -vec{x_1}^{-1} end{pmatrix}begin{pmatrix}a_{1}a_{0}end{pmatrix}+begin{pmatrix}qcdot n^2end{pmatrix}$$然后我们可以将上式代入$a_n$的定义式中，得到：$$a_n=frac{1}{lambda_1-lambda_2}left[lambda_1^{n-1}cdot(lambd a_1 a_1-a_0)-lambda_2^{n-1}cdot(lambda_2a_1-a_0)right]+frac{lambda_2a_1-a_0}{lambda_1-lambda_2}cdotn^2+frac{q}{lambda_1-lambda_2}cdot n^2$$进一步化简，即可得到二次函数递推数列的通项公式。