数列极限概念教学问题探讨

Vol.28No.3M ar.2012赤峰学院学报（自然科学版）Journal of Chifeng University （Natural Science Edition ）第28卷第3期（下）2012年3月1极限概念的重要性以及教学“困难”的因素数学概念是数学知识系统中的基本元素，清晰准确的数学概念是构建数学理论大厦的基石，也是提高解题能力的必要条件.极限理论是微积分的理论基础和应用基础，贯穿于微积分课程教学的始终.而数列极限概念在极限理论中起着至关重要的作用，刻画数列极限概念的“ε—N ”语言，是一种高度概括抽象，复杂又逻辑结构严密的数学语言，它对变量的变化趋势给出了非常深刻的“动态”描述，简洁、清晰地刻画了极限概念的实质.因其逻辑结构复杂，所以初学者难以理解和掌握.一百多年来，极限概念的“ε—N ”语言已成为进入高等数学大门的难以逾越的障碍.这一教学内容安排在大学生刚进校的第一学期里，打击并挫伤了许多学生学习数学的兴趣和积极性.极限的“ε—N ”语言之所以难以理解和掌握，主要原因是它具有辩证的抽象思维，且带有逻辑推理模式，加上无限逼近过程本身就是一个非构造性的，即它是一非常规的高等级抽象概念，无论是研究的思维方式还是语言表达都与学习初等数学不同.主要体现在:（1）极限概念所表达的“动态”性；（2）“ε—N ”语言的简练和高度抽象性；（3）“ε—N ”语言在逻辑上的严密性.由于刚进入大学的学生，其学习的方式方法往往还停留在学习初等数学阶段，习惯于常规的中低级、非构造性、无辩证的简单思维.极限概念与学生在中学所接触过的数学概念在研究的对象，刻画的内容，语言的抽象程度和语言逻辑等方面都具有很大的差别，于是用“ε—N ”语言定义的极限概念，常常使诸多学生感到困难，甚至束手无策，导致极限概念成为许多学生学习《高等数学》的拦路虎.2极限概念教学的现状目前，对极限概念教学的重要性以及困难基本达成共识，因此探索如何有效地进行极限概念的课堂教学一直是《高等数学》课程建设的一个热点问题.目前在普通高等院校，对《高等数学》课程中极限概念的教学大多采用以下几种教学方案:法1不惜花费学时，让学生学好严格的极限理论，打好数学基础(适用于理工科多学时专业，如计算机科学等).该法将极限内容的教学一步到位，即在一开始就投入很大的精力和较多的学时，强化极限理论的教学，要求学生具有较强的极限理论基础和应用“ε—N ”语言的能力.使学生在《高等数学》的学习中具有了一个良好的开端，为扎实地掌握后继内容和再学习奠定基础.一方面，它能加深对极限概念的理解，并在此基础上建立起连续，可微，敛散，可积等概念，完成被称为“分析的算术化”的“ε—N ”极限理论.另一方面，只有真正掌握了“极限”的动态实质，才能更好的应用于解决实际问题.系统地采用“ε—N ”语言教学对学生打下厚实的数学基础是必要的，这种教学方法是效仿苏联模式，一直被大多数院校采用（配套教材如同济大学数学系编写的《高等数学》）.但目前由于高等教育以由精英教育转化为大众化教育，学生的数学基础差距很大，另外为满足更多新学科学习及素质教育的要求，大量缩减学时，这种条件下要取得预期的教学效果在普通高等学校中难度较大.据调查了解，二本靠后及三本院校基本很难达到教学目标.往往是教师花费了很大力气，但能较好地掌握极限理论的学生面不广，大部分学生只能停留于能背诵“ε—数列极限概念教学问题探讨张洪光，王晓英（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000）摘要：数列极限概念是初学高等数学的学生难于理解不易掌握的概念，数列极限概念教学问题多年来一直是教学讨论的热点.本文在分析极限概念的特性和当前极限概念教学现状的基础上，探索极限概念教学方法，提出了在课堂教学中应注重的一些问题.关键词：数学概念；数列极限；“ε—N ”语言中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1673-260X （2012）03-0011-0411--N”语言的层面上，于是有了下面各种教改方案.法2先让学生直观地掌握极限概念及运算法则，以及求微分和积分的方法，后面再补严格极限理论这一课.该法在教学中，调整教材内容顺序，将极限教学分成两步进行.第一步先在描述性极限概念的基础上解决微积分计算，在讲解极限的描述性定义的基础上，对用“ε—N”语言给出的极限定义只做介绍，许多定理的结果依靠几何直观认可.第二步再反过头来补上极限的精确定义这一课.这种方法往往在进行第二步时仍会碰到很大困难，按照这个方案，依靠对极限的描述性定义的理解，虽然大部分学生在强化训练下能利用公式进行微积分的基本运算，但由于在极限的描述性定义基础上无法讲透极限的基本理论，对于介绍性地给出的“ε—N”语言学生不理解，因此在处理涉及极限理论的问题和应用问题时就显现出较大的困难，原因在于第一步和第二步的研究方法和表达方式上有很大的区别.法3不从“ε—N”定义入手，而从积分和微分的直观意义入手，先让学生认识微积分是什么，然后再用“ε—N”语言去更深刻地认识.法4干脆不讲严格的极限理论，只要求学生会求导数、算积分(一般适用于文史类专业).法5非标准分析的实无限教材的处理方法.法6张景中院士1984年提出的极限概念的非ε语言3极限概念教学的思考上面介绍的关于极限概念在教学过程中的处理方法，是教师们在长期教学实践中总结出来的，都有一定的道理和适应群体，后几种方法正处在尝试过程中，总体来说各有利弊，哪种方法都不能完全彻底的解决极限教学“难”的问题.也就是说只在内容先后顺序，概念的体现方式上下功夫还不够，还应该在教学理念、教学方法上加以改进.对于学生来说，极限概念的“ε—N”语言的学习是全新的，是一种探索，而众所周知没有相应的知识和经验基础，任何探索都是不现实的.因此我们必须把教学活动建立在学生现有的认知能力和知识经验的基础上.对于掌握极限的概念，学生往往感到困难.造成这种困难的原因主要来自于两方面，一是对极限概念所表达的内涵理解不深，二是对“ε—N”语言的表达逻辑不理解.笔者认为，极限概念的教学无论是采用哪一种教学方式，一个共同点是都需要解决在思维上从形象到抽象、在研究方法上从“静止”到“动态”，在语言表达上从粗略到严谨的飞跃.需要我们下功夫的是探索怎样进行课堂教学才能够更有效地实现这种飞跃.反思教学中的经验和教训，我认为教学过程中应处理好以下问题.3.1遵循认知规律，在描述性定义的教学上下功夫教育学中有一个原理，根据生物学家所提出的著名法则:“个体发育再现系统发育”.其含义一般地说是“个体重复群体的发展过程”.这个教育学原理至少大体上表明，在向学生讲授一门学问时，应当按照这门学问发展的顺序来进行.微积分学形成的顺序是:积分→微分→微积分基本公式→微积分→矛盾→严格“ε—N”和“ε—δ”语言的极限→实数理论.也就是说在微积分创立之初，牛顿与莱布尼兹根本就不知道极限，更不知道什么极限的“ε—N”语言.但是他们不仅发明了微积分而且将其有效的应用于物理、天体等各方面.在应用过程中出现了矛盾再回头探索理论的严密性.首先微积分作为工具是为了解决问题的，故解决问题是核心，而严格是第二位的.而上面介绍的方法1的教学过程却要求他们倒过来学习，与认知规律正好相反，故学习难度加大.方法2、法3试图遵循这一法则加以改变，但受各种条件限制也很难达到预期教学效果.非ε教学法在尝试过程中.人们往往认为极限的描述性定义学生在中学就有所接触，故较容易接受，困难仅仅在于“ε—N”语言的抽象性.但实际上，在多年的教学实践中我们体会到掌握极限的描述性定义是掌握“ε—N”语言的前提.相当一部分学生之所以不能顺利地接受“ε—N”语言，其原因除了“ε—N”语言本身的高度抽象性以外，对极限的描述性定义没有深刻领会是一个主要原因.在保证概念严密性的情况下，用通俗易懂的语言深入分析极限的描述性定义是非常必要的.尽管学生在中学阶段已经有了数列和极限的概念，但并不是所有同学对这些概念都非常清楚，高等教育由精英教育转化为大众化教育的今天，能上大学的学生基础差别悬殊，本科录取线400多分到700多分不等，个别民族院校甚至200多分.同一所学校、同一个班级的学生之间差距也非常明显，高考数学成绩在六、七十分甚至三、四十分的同学大有人在，多数学校的学生数学基础较薄弱.这种实际情况下应该先复习数列的概念，阐述n、a n的具体含义，深入的分析描述性定义中两个“无限”的动态过程.数列极限的描述性定义是：“当n无限增大时，12 --a n 与常数a 无限接近，则称数列{a n }以a 为极限”.教学过程中可以设疑提问引入极限思想，通过数学史上的经典问题如:惠子的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的例子及刘徽的“割圆术”提出问题，这类问题有助于激发学生的探索积极性，同时与微积分的发展历史相吻合，在问题的驱动下解释这两个“无限接近”的内涵.在分析了这些典型问题变化趋势的基础上，引导学生进一步探讨“无限接近”的各种不同形式，使学生首先在图形上对“无限接近”这种“动态”变化有一较清晰的认识.然后借助多媒体的视听效果演示数列{a n }的极限是a 的几何意义是:对任意小的半径ε，任意一个以a 为中心以ε为半径的邻域U(a,ε)，数列{a n }中总存在一项a N ，在此以后的所有项a N +1,a N +2…它们在数轴上所有的点都位于a 的ε邻域U(a,ε)之中，至多能有N 个点a 1,a 2,…a N 在此领域之外.由于邻域半径ε可以任意小，所以数列{a n }中各项所对应的点a n 都无限聚集在点a 附近.这说明对于数列{a n }的第N 项之后的所有项都有和点a 紧密地“挤”在一起，不管邻域半径ε多么小，这个事实都不会改变.接下来通过区别“无限接近”、“越来越接近”、“不断接近”、“后项比前项更接近”等表述的含义，来突出极限的本质，从而强化对极限概念的理解.3.2正面剖析、反面强化数列极限的概念，深刻分析每一句话的具体含义与逻辑关系在描述性定义的基础上，通过讨论引导学生给出数列{a n }以a 为极限的“ε—N ”语言定义，即：a n 与a 无限接近圳a n 与a 的距离无限小圳|a n —a|<任意给定的无论多么小的正数（设给定的正数为ε）圳|a n —a|<ε，前提条件是当n →∞时，而ε又是任意的，也就是说n 和ε都是变化的.如果每个ε都对应着N ，使N 相以后的所有项a n 都有|a n —a|<ε，且ε无限小都能找到对应的N ，a 就是数列{a n }的极限.于是数列{a n }以a 为极限用逻辑符号可表为:lim n →∞a n =a 圳坌ε>0，埚N ∈N +，坌n>N ，|a n —a|<ε.给出概念后进一步再从正反两个方面加以分析.首先从正面分析每一句话的含义及它们之间的逻辑关系.(1)在“对任意给定的ε>0”这句话的“任意”与“给定”这两个词是很深刻的.所谓任意是对极限全过程来说.ε的作用在于衡量a n 与a 的接近程度.ε愈小，表示愈接近.ε仅限于正数，ε要取多小就可以取多小，不能有任何附加条件，即ε具有绝对任意性，这样才能有{a n }无限趋近于a ；所谓给定是对极限全过程的某个片断(瞬间)来说，ε一旦给出就必须是一个给定的正数，即ε具有相对固定性，从而不等式|a n —a|<ε表示数列{a n }无限趋近于a 的渐近过程的不同阶段，进而可估算a n 与a 的接近程度.再者，ε既然可以是任意正教，那么2ε，3ε，ε2等同样也是任意正数，因此定义中的ε可以用2ε，3ε，ε2等代替.ε的这种二重性使数列极限的“ε-N ”定义从近似转化到精确，又能从精确转化到近似，这正是数列极限定量定义的精髓.(2)“埚N ∈N +”是指一定存在或一定能找到正整数N.强调N 的存在性，一般地说，N 随着ε的变小而变大，故可将N 记作N(ε)，来强调N 依赖于ε.但这种写法并不意味N 是由ε唯一确定的.用什么方法去找N ，找出多大的N 才符合要求呢，这全由所给的ε而定，是局部的，ε相对固定性起作用.如何以ε找N ，还得看定义中后的一段话.(3)“坌n>N ，使得|a n —a|<ε”是指不等式|a n —a|<ε能成立的前提条件是不等式n>N 成立.而n>N 是指数列第N 项后的一切项，由于ε的任意性，不等式|a n —a|<ε便刻划了a n 与a 无限趋近的确切含义.所以“当n>N 时，使得|a n —a|<ε”这句话应理解为“在第N 项以后的一切项a n 与a 之差的绝对值小于ε”，这正是“当n 无限增大时，a n 无限趋势近于a 的确切含义.(4)由(3)便可解决如何根据所给的<ε找N 了，使得|a n —a|<ε成立的那个n ，便是我们所要找的那个N ，因此，这个N 可以是正好使得|a n —a|<ε的最小的项数.当然，由第N 项后的一切项都满足|a n —a|<ε，所以N 可以放大，但不能缩小，至于N 到底取多大，则由所给<ε确定.再从反面剖析，加深对“ε-N ”定义的理解.在教学中，可通过如下讨论:（1）在“ε-N ”定义中，能否去掉ε的任意性？即对于给定的ε>0，埚N ∈N +，当n>N 时，使得|a n —a|<ε成立，能不能说a n 以a 为极限；（2）在“ε-N ”定义中能否去掉ε的确定性？如果ε不确定，那么N 也就不能确定，这样便不能断定从某项起以后的所有项a n 都在领域U(a,ε)之中，这时无法找到N ，故不能断定a n 以a 为极限；（3）在“ε-N ”定义中，能否删去“埚N ∈N +”呢？如果删去，那么后面的那个不等式n>N 就没有意义了.这时，定义变为:“坌ε>0，使得|a n —a|<ε”，这说明:由ε的任意性得a n =a ，即数列{a n }只能是常数列{a}，没有讨论的意义了；（4）在“ε-N ”定义中，不能将|a n -a|的绝对值符13--号去掉.因为这样不能保证a-ε<a n ；（5）lim n →∞a n ≠a 应如何用“ε-N ”语言定义；（6）数列{a n }不存在极限（发散）应如何用“ε-N ”语言定义.通过这样的讨论，强化了学生对数列极限概念条件理解的有效方法，使学生对概念的条件刻骨铭心，同时对概念的难点也有正确的认识.3.3合理搭建梯度，典型例题讲解，逐步深化教学一个学生能把概念背得滚瓜烂熟.并不一定表明他已获得概念，真正意义上的获得概念，就是运用概念作出判断和推理，能够根据概念解决数学问题.教学内容需要辅以例题强化，通过探索、剖析数列极限概念之后，可以推出以下题组:第一组辨析题:以下几种叙述与数列极限lim n →∞a n =a 定义是否等价，并说明理由:（1）坌ε≥0，埚N ∈N +，坌n>N ，|a n -a|<ε；（2）埚N ∈N +，坌ε>0，坌n>N ，|a n -a|<ε；（3）有无限多个ε>0，对每个ε，埚N ∈N +，坌n>N ，有|a n -a|<ε；（4）ε>0，有无限多个a n ，使|a n -a|<ε；（5）K ∈N +，只有有限个a n 位于区间（a-1，a+1K）之外；（6）K ∈N +，埚N ∈N +，n>N k ，有|a n -a|<1；（7）坌ε≥0，埚N ∈N +，坌n>N ，a n -a<ε.第二组讨论题:观察下列数列(只给出同项)是否收敛:（1）a n =sin n π3（2）a n =q n （|q|<1）（3）a n =n 2，n<10012n-1，n ≥10埚埚埚埚埚埚埚埚埚0第三组应用题:利用数列极限ε-N 定义证明下列极限:（1）lim n →∞1（2）lim n →∞2n 2+3 3.4作业反馈对作业题中的典型错误进行勘误、剖析是加深对概念理解的有效途径.由于作业题学生进行过思考，因此对理解、认识上的错误进行分析更具针对性.在大学课堂里，给学生留下充分的独立思考的空间是正确的，但对于基础理论知识的学习需要教师详细指导，合理创设情境，激发学习兴趣，牢固掌握基础.对于数学科学而言，没有足够的习题强化不能真正的理解教学内容.通过详细讲解、例题示范及自主解答习题几个环节，既加深了学生对数列极限概念的理解，又提高了学生解决数学问题的意识.如果教学过程中能够合理处理，学生对数列极限概念掌握就比较牢固，才能有利于学生对概念的理解，真正把握概念的本质属性，融会贯通地掌握知识，发展能力，逐步提高解决数学问题能力.———————————————————参考文献：〔1〕尤秀英.探索新生心理，构造模型教学[J].工科数学，1995(11):166-177.〔2〕王庚.论极限教学的解决方案[J].大学数学，2004，20(3):55-58.〔3〕范兴华，王文初.工科数学教学策略的实践及探索[J].大学数学，2005，21(2):32-34.〔4〕刘庆华，韩云瑞.提高数学教学课堂效果的几点思考[J].大学数学，2005，21(5):12-14.〔5〕王兵团，王秀娟，王秋媛.数学基础课教学改革初探[J].大学数学，2005，21(1):10-13.〔6〕萧树铁.高等数学改革研究报告[J].数学通报，2002，41(9):3-8.〔7〕同济大学.高等数学(上、下)[M].北京:高等教育出版社，1996.〔8〕张景中.从数学教育到教育数学[M].成都:四川教育出版社，1989.〔9〕刘宗贵.非ε语言一元微积分[M].成都:四川都江堰教育学院.〔10〕龚升.简明微积分(第三版)[M].合肥:中国科技大学出版社，1997.14--。