2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括两道大题，36道小题，总分100分，考试时间120分钟.2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3．答题时，请用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦拭干净后，再选涂其他答案标号.4．考试结束时，请将本试卷与答题卡一并交回.一、单项选择题（共8小题，每小题2分，共16分）1．设集合{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，则M N ⋂=（）A ．{}2B ．{}5C ．{}3,4D ．{}2,3,4,52．若实数,a b 满足i i(1i)a b +=-，则a b +=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-3．若实数,,a b c 满足a b >，0c <，则（）A ．ac bc>B ．ac bc<C ．a c b c +<+D ．a c b c -<-4．已知向量(2,1)a =- ，(,2)b m = ，若a b ⊥，则实数m =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-5．设命题p ：R α∀∈，sin 1α≥-，则p 的否定是（）A ．R α∃∈，sin 1α≤-B ．R α∃∈，sin 1α<-C ．R α∀∈，sin 1α≤-D ．R α∀∈，sin 1α<-6．函数()f x =）A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．(][),20,-∞-+∞ 7．魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：2ra a≈+．当a 取正整数且r 最小时，用“不加借算”的方法计算面积为21232m 的正方形区域的边长，其结果是（）A ．35.1mB ．35.3mC ．35.5mD ．35.7m8．若1sin 4α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos()α-=（）A ．34B ．34-C．4D．4二、单项选择题（共28小题，每小题3分，共84分）9．已知向量,a b满足||1,||2,a b a b ==⋅=r r r r ,a b的夹角为（）A ．30B ．60C ．120D ．150 10．已知函数21,0()log (2),0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，则()f x 的最小值是（）A ．1-B ．0C ．1D ．211．已知m ，n 是两条不同的直线，α是平面，则下列四个结论中正确的是（）A ．若m α⊥，n α⊥，则//m n B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m ，n 与α所成的角相等，则//m n12．在ABC 中，设3AD DB = ，CA a = ，CB b =uu r r ，则CD =（）A ．1344a b+ B ．1344a b-C ．1233a b+D ．1233a b-13．某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表：天/第1234567件数285367463290335719698已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（）A ．8808B ．9696C ．10824D ．1185614．下列函数中，在区间(1,1)-上单调递减的是（）A ．()1f x x =-+B ．()cos f x x =C ．()e e x x f x -=+D ．1()ln1x f x x+=-15．设,a b R ∈，则“a b >”是“33a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．将一块棱长为60cm 的正方体石块，磨制成一个球形石块，则最大球形石块的体积是（取π3=）（）A ．3864000cm B ．3108000cm C ．310800cm D ．35400cm 17．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π0ϕ-<<）的图象如图所示，则ϕ的值是（）A ．7π10-B ．9π10-C ．π2-D ．π5-18．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是增函数，且()10f -=，则使()0f x >的x 的取值范围是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞19．若圆锥的底面半径为3，体积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A ．π2B ．2π3C ．3π4D ．3π220．某旅游爱好者想利用假期去国外的2个城市和国内的3个城市旅游，由于时间所限，只能在这5个城市中选择两个为出游地．若他用“抓阄”的方法从中随机选取2个城市，则选出的2个城市都在国内的概率是（）A ．35B ．12C ．13D ．31021．已知0.12a -=，0.20.5b =，0.5log 0.2c =，则（）A ．c a b<<B ．c b a<<C ．b a c<<D ．a b c<<22．已知0a >，0b >，24a b +=，则ab 的最大值是（）23．将函数sin 2cos 2y x x =+的图象向右平移π4个单位长度，所得图象的函数解析式可以是（）A ．2y x =B ．π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．3π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭24．某足球队进行点球训练，假设守门员不变，球员甲进球的概率为0.9，球员乙、丙进球的概率均为0.8．若3人各踢点球1次，且进球与否相互独立，则至少进2球的概率是（）A ．0.784B ．0.864C ．0.928D ．0.99325．若3cos 210cos 1αα+=，则cos 2cos αα+=（）A ．49-B ．1-C ．109D ．126．在ABC 中，若1BC =，3AC =，2cos 3C =，则sin B =（）A B C D 27．如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设1111A A A B ==，2AB =，有以下四个结论：①BC ⊥平面12AA A ；②1//AA 平面22BB C C ；③直线1AA 与2CC 成角的余弦值为56④直线11A C 与平面22AA B B 所成角的正弦值为其中正确结论的个数是（）28．河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．这批学员技能考核测试成绩的众数的估计值是（）A．65B．75C．85D．9529．河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．这批学员技能考核测试成绩的中位数的估计值是（）A．80.75B．81.25C．82.50D．82.7530．河北雄安新区围绕职业培训、岗位开发、岗位对接等一系列工作，制定出台了《河北雄安新区当地劳动力教育培训实施方案（2019—2025年）》等30余项政策文件，截至2022年底，累计开展各项职业培训16.8万人次．雄安新区公共服务局为了解培训效果，对2022年参加职业技能培训的学员进行了考核测试，并从中随机抽取60名学员的成绩（满分100分），进行适当分组后（每组为左开右闭的区间），作出如图所示的频率分布直方图．若同一组数据用该区间的中点值作代表，则这批学员技能考核测试成绩的平均数的估计值是（）A ．79.0B ．79.5C ．81.0D ．82.531．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD 是等边三角形，平面PCD ⊥底面ABCD ，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为，E 为PC 的中点．线段AB 的长是（）A ．3B ．C ．D ．632．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD 是等边三角形，平面PCD ⊥底面ABCD ，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为E 为PC 的中点．平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值是（）A ．2BC D ．133．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD 是等边三角形，平面PCD ⊥底面ABCD ，3AD =，四棱锥P ABCD -的体积为E 为PC 的中点．直线DE 与平面PAD 所成角的正弦值是（）A B C ．13D ．1234．已知函数12()22x x f x a --=-+．若函数()f x 的最大值为1，则实数=a （）A ．78-B ．78C ．98-D ．9835．已知函数12()22x x f x a --=-+．关于函数()f x 的单调性，下列判断正确的是（）A ．()f x 在(),2-∞上单调递增B ．()f x 在(),2-∞上单调递减C ．()f x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减36．已知函数()1222x xf x a --=-+．若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，给出下列不等式：①124x x +>；②()120f x x +<；③()121132f x x +->-；④()1220f x x +->．其中恒成立的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．41．C 【分析】根据交集运算法则即可计算得出{}3,4M N ⋂=.【详解】根据列举法表示的集合可知，由{}2,3,4M =，{}3,4,5N =，利用交集运算可得{}3,4M N ⋂=.故选：C 2．A 【分析】利用复数相等求出,a b 即可.【详解】因为i i(1i)1i a b +=-=+，所以1,1a b ==，所以2a b +=，故选：A.3．B 【分析】根据题意，利用不等式的性质逐项分析即可.【详解】因为a b >，0c <，所以ac bc <，故A 错误，B 正确，由不等式两边同时加上或减去同一个实数不等号不改变，所以a c b c +>+，a c b c ->-故C ，D 错误，故选：B 4．A 【分析】根据平面向量数量积的运算即可求出结果.【详解】因为a b ⊥，则0a b = ，又因为向量(2,1)a =- ，(,2)b m = ，所以220a b m =-+=，则1m =，故选：A .5．B 【分析】根据含有一个量词命题的否定可知，改变量词符号并否定结论即可.【详解】由题意可知，含有一个量词命题的否定将∀改为∃，并否定结论即可，所以命题p ：R α∀∈，sin 1α≥-的否定为“R α∃∈，sin 1α<-”.故选：B 6．D 【分析】根据函数解析式可得(2)0x x +≥，再利用一元二次不等式解法即可求得定义域.【详解】根据函数定义域可知(2)0x x +≥，解得0x ≥或2x ≤-；所以函数()f x 的定义域为(][),20,-∞-+∞ .故选：D 7．A 【分析】=结合题设公式得出结果.【详解】73535.170=≈+=，即用“不加借算”的方法计算面积为21232m 的正方形区域的边长，其结果是35.1m.故选：A 8．C 【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】因为1sin 4α=，且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=-又因为cos()cos αα-=，所以cos()4α-=-，故选：C .9．D【分析】根据向量的夹角公式运算求解.【详解】由题意可得：cos ,2a b a b a b⋅==-r r r r r r ，∵[],0,πa b ∈ ，∴向量,a b 的夹角为150︒.故选：D10．C【分析】求0x ≤时函数()f x 的最小值及0x >时函数()f x 的最小值，最后两个最小值比较，谁最小即为函数()f x 的最小值.【详解】当0x ≤时，函数()1f x x =-在(,0]-∞上单调递减，所以当0x =时，函数()1f x x =-有最小值为(0)1f =，当0x >时，函数2()log (2)f x x =+在(0,)+∞上单调递增，所以2()(0)log 21f x f >==，综上，当0x =时，函数21,0()log (2),0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩有最小值为1.故选：C11．A【分析】根据线面垂直的性质定理以及空间中线线垂直的关系可判断A 正确，C 错误；由线面平行性质定理以及线面角的定义可得BD 均错误.【详解】由线面垂直的性质定理可得垂直于同一平面的两直线平行，即A 正确；若//m α，//n α，可知m ，n 的位置关系可以是平行、相交或异面，即B 错误；若m α⊥，m n ⊥，则直线n 可以在平面α内，所以C 错误；由线面角的定义可知，若m ，n 与α所成的角相等，则m ，n 的位置关系可以是平行、相交或异面，即D 错误.故选：A12．A【分析】根据平面向量的线性运算法则，用CA 、CB 表示出CD 即可.【详解】3313()4444CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+ ，则1344CD a b =+ ，故选：A .13．C【分析】求出样本平均数，由此估计30天代收快递件数，并估算出服务费即可.【详解】样本数据7天代收快递的件数的平均数为：()12853674632903357196984517x =⨯++++++=（件），∴每月（按30天计算）代收快递约为4513013530⨯=件，∴该驿站每月（按30天计算）收取的服务费约为135300.810824⨯=元.故选：C.14．A【分析】根据三角函数及复合函数的单调性逐项判断即可.【详解】对于A:()1f x x =-+在()1,-+∞上单调递减,A 正确;对于B:()cos f x x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，B 错误；对于C:()e e x x f x -=+是1y t t=+，与e x t =复合在一起的复合函数，e x t =在(1,1)x ∈-是单调递增且1,e e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1y t t =+在1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是单调递减的，1y t t=+在()1,t e ∈是单调递增的，所以1()ln 1x f x x+=-在(1,0)x ∈-是单调递减的，在(0,1)x ∈是单调递增的，C 错误；对于D:1()ln1x f x x +=-是ln y t =，与11x t x +=-，复合在一起的复合函数，11x t x+=-在(1,1)x ∈-是单调递增，ln y t =是单调递增的，所以1()ln1x f x x +=-是在(1,1)x ∈-的单调递增的，D 错误.故选：A.15．C【分析】由“a b >”⇒“33a b >”，“33a b >”⇒“a b >”，即可得最后结果．【详解】∵函数()3f x x =在(),-∞+∞上单调递增，∴当a b >时，()()f a f b >，即33a b >，反之亦成立，∴“a b >”是“33a b >”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题主要考查必要条件、充分条件、充分必要条件的性质和应用，属于基础题.16．B【分析】由题可得当球形石块半径等于正方体石块棱长时体积最大，根据球的体积公式计算可得结果.【详解】由题意可得，该问题相当于求正方体内切球体积，易知当石块直径等于正方体棱长时其体积最大，即最大球形石块的半径为30cm ，根据球的体积公式可得33334π430cm 108000cm 3V r ==⨯=.17．A【分析】由图可得函数的最小正周期，从而可得ω，再利用待定系数法即可得解.【详解】由图可知π5ππ266T =-=，所以5π2π3T ω==，所以65ω=，则6()sin 5f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得，πsin 05ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 52k k ϕ+=-+∈，则7π2π,Z 10k k ϕ=-+∈，又因π0ϕ-<<，所以7π10ϕ=-.故选：A.18．C【分析】使用函数的奇偶性和单调性进行求解即可.【详解】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(],0-∞上单调递增，且(1)0f -=，∴()f x 在区间()0,∞+上单调递减，且()()110f f =-=，∴当(],0x ∈-∞时，()()()00110f x f f x x >⇔=-<⇔-<≤，当()0,x ∈+∞时，()()0()1001f x f x f x >⇔>=⇔<<，综上所述，x 的取值范围是()1,1-.故选：C.19．D【分析】根据圆锥底面半径和体积可计算出圆锥的母线，再根据侧面展开图的特征利用弧长公式即可得出圆心角.设圆锥的高为h ，母线为l ；将半径3r =代入体积公式21π3V r h ==可得，h =则母线长4l ==，设此圆锥的侧面展开图的圆心角为α，则其侧面展开图的半径为4R l ==，弧长为圆锥底面周长2π6πr =，所以圆心角6π3π42α==.故选：D20．D【分析】列举出所有的基本事件，得到基本事件的总数，找出满足条件的事件数，由概率公式求解即可.【详解】设国外的2个城市和国内的3个城市分别为：12123,,,,A A B B B ，则随机选取2个城市的基本事件为：()()()()()1211121321,,,,,,,,,A A A B A B A B A B ，()()()()()2223121323,,,,,,,,,A B A B B B B B B B 共10种，选出的2个城市都在国内的情况为：()()()121323,,,,,B B B B B B 共3种，故所求概率310P =.故选：D.21．C【分析】根据指数函数、对数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1进行比较即可.【详解】由已知0.12a -=，0.20.20.210.522b -⎛⎫=== ⎪⎝⎭∵指数函数()2x f x =在R 上单调递增，且值域为()0,∞+，∴()()()00.20.10f f f <-<-<，∴0.20.1002221--<<<=，即01b a <<<又∵对数函数()0.5log g x x =在区间()0,∞+单调递减，∴()()0.20.5g g >，即0.50.5log 0.2log 0.51>=，即1c >.综上所述，a ，b ，c 的大小关系为b a c <<.故选：C.22．B【分析】使用基本不等式求解即可【详解】∵0a >，0b >，24a b +=，∴由基本不等式有：22112142222222a b ab a b +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅≤⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a b =，即2a =，1b =时，等号成立.∴当且仅当2a =，1b =时，ab 的最大值为2.故选：B.23．B【分析】利用辅助角公式将函数写成π24y x ⎛⎫=+ ⎝⎭，再根据平移规则即可得出相应的解析式.【详解】由sin 2cos 2y x x =+可得π24y x ⎛⎫=+ ⎝⎭，将其图象向右平移π4个单位长度可得πππ22444y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B24．C【分析】利用相互独立事件的概率公式，求出3人都进球和3人中恰有2人进球的概率即可计算求解.【详解】由题意知：由相互独立事件的概率公式得，3人都进球的概率为0.90.80.80.576⨯⨯=，3人中恰有2人进球的概率0.90.80.20.90.80.20.10.80.80.352⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故至少进2球的概率为0.5760.3520.928+=，故选：C .25．A【分析】由倍角公式结合换元法得出cos α，继而得出cos 2cos αα+的值.【详解】由题意可知()232cos 110cos 1αα-+=，令cos ,[1,1]t t α=∈-，则23520t t +-=解得1,23t t ==-（舍），故22cos 2cos 2cos 1cos 21t t αααα+=-+=+-2341999=+-=-.故选：A26．A【分析】根据余弦定理可计算出c =sin B =【详解】由题意可得1BC a ==，3AC b ==，AB c =，由余弦定理可得2222cos 6c a b ab C =+-=，即c又()2cos ,0,π3C C =∈可得sin C =利用正弦定理可知sin sin b c B C =，所以3sin sin6b C B c =.故选：A27．C【分析】对于①.如图所示，连接12A A ,取BC 中点,D 取11B C 中点E .连接1,,A E AD DE ,证明1BC AA ⊥，2,BC AA ⊥即可判断；对于②③④，取AB 中点O ,建立如图所示的空间直角坐标系，设1O 是111A B C △的中心，2O 是ABC 的中心.过1A 作1AG AD ⊥,过E 作EH AD ⊥，再利用向量法计算即可判断得解.【详解】对于①.如图所示，连接12A A ,取BC 中点,D 取11B C 中点E .连接1,,A E AD DE .由等边三角形的性质得BC AD ⊥，由等腰梯形的性质得BC DE ⊥.又,,AD DE D AD DE =⊂ 平面1ADEA ,所以BC ⊥平面1ADEA .所以1BC AA ⊥.同理2,BC AA ⊥又1212,,AA AA A AA AA =⊂ 平面12AA A ,所以BC ⊥平面12AA A ，所以该结论正确；对于②，首先计算等腰梯形的高2，再计算几何体111ABC A B C -的高.取AB 中点O ,建立如图所示的空间直角坐标系，设1O 是111A B C △的中心，2O 是ABC 的中心.过1A 作1AG AD ⊥,过E 作EH AD ⊥.2213326DH O D O H =--⨯=.3HE =.所以几何体111ABC A B C -的高为3.所以()()()12111,0,0,,,1,0,0,,,263263A A B C B ⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以1211(,),(1,(,,)263263AA BC BB ==-=-- ，设平面22BB C C 的法向量为111(,,)m x y z = ，则112111·0,1·02m BC xmm BB x⎧=-+=⎪∴=-⎨=-+-=⎪⎩，所以111()022m AA=+-=,所以1//AA平面22BB C C不正确；对于③，由题得22(0,C CC∴=-.所以直线1AA与2CC6(|596-=，所以该结论正确；对于④，由题得1111),(,,0),(2,0,0),322C AC AB∴==.21(2BB=--.设平面22AA B B的法向量为222(,,)n x y z=，则22222·20,1·0263n AB xmn BB x y z⎧==⎪∴=⎨=-+-=⎪⎩，所以直线11A C与平面22AA B B|23=．所以该结论正确.故选：C28．C【分析】根据频率分布直方图求众数的方法求解即可.【详解】根据频率分布直方图中频率值最大的组为(]80,90,则众数为8090852+=故选:C.29．B【分析】根据频率分布直方图进行中位数的估计即可.【详解】根据频率分布直方图可知前四组的频率分别为0.005100.05,0.015100.15,0.025100.25,0.040100.40⨯=⨯=⨯=⨯=，前三组频率之和为0.050.150.250.450.5++=<，所以中位数在(]80,90组，设中位数为x ，则()0.450.040800.5x +⨯-=，解得81.25x =.故这批学员技能考核测试成绩的中位数的估计值是81.25.故选：B.30．B【分析】由频率分布直方图求平均数可将每一组数据的中点值乘以其对应的频率相加求和即可得出其平均数.【详解】根据题意可得，平均数的估计值为：()550.005650.015750.025850.04950.0151079.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故选：B31．D【分析】设2AB a =，作出四棱锥的高，并用2AB a =求出高，再用体积解出a 即可.【详解】由已知，设2AB CD a ==，则矩形ABCD 的面积326ABCD S a a =⨯=，取CD 中点F ，连接PF ，∵PCD 是等边三角形，2PC PD CD a ===，∴PF CD ⊥，且PF =,∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PF ⊂平面PCD ，∴PF ⊥平面ABCD ，即PF 是四棱锥P ABCD -的高，∴四棱锥P ABCD -的体积11633P ABCD ABCD V S PF a -=⋅=⨯=∴解得，3a =，∴26AB a ==.故选：D.32．B【分析】由PG ⊥底面ABCD 得出6CD =，进而由PF AB ⊥，FG AB ⊥得出平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值.【详解】分别取,CD AB 的中点为,G F ，连接,,,,G P FG P AG F B G ，设()2,0CD a a =>，则PG =.因为PCD 是等边三角形，所以PG CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PG ⊂平面PCD ，PG ⊥底面ABCD ，因为四棱锥P ABCD -的体积为，所以1(32)3a ⨯=3a =.则PG FG ⊥，,PG AG PG BG ⊥⊥，所以PA PB =，PF AB ⊥，又因为底面ABCD 为矩形，所以FG AB ⊥，所以PFG ∠为平面PAB 与平面ABCD所成二面角的平面角，tan 3PG PFG FG ∠==故选：B33．D【分析】根据面面关系建立空间直角坐标系，由四棱锥P ABCD -的体积可得DC 长，从而可利用空间向量的坐标运算求得直线DE 与平面PAD 所成角的正弦值.【详解】取CD 中点为O ，AB 中点为M ，连接,OP OM ，因为PCD 是等边三角形，O 为CD 中点，所以OP CD ⊥，因为平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =，OP ⊂平面PCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，又,OM OC ⊂平面ABCD ，则,OP OM OP OC ⊥⊥，如图，以O 为原点，,,OM OC OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，又11333P ABCD V AD DC OP DC -=⋅⋅=⨯⋅⋅=，所以6DC =，则()()()(33,3,0,0,3,0,0,3,0,,0,2A C D P E ⎛-- ⎝⎭，所以90,2DE ⎛= ⎝⎭ ，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z = ，又()(3,0,0,DA DP == ，则3000300x x DA n y y DP n ⎧==⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩ ，令1z =，则()0,n = ，所以1cos ,2n DE n DE n DE⋅===-⋅ ，则直线DE 与平面PAD 所成角的正弦值是12.故选：D.34．B【分析】令2x t -=，由指数函数的单调性以及二次函数的性质得出a .【详解】()2()222x xf x a --=-+，令()0,2x t -∈=+∞，则22112248y t t a t a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭，当1,24t x ==时，max 118y a =+=，解得78a =.故选：B35．A【分析】利用换元法，结合二次函数和指数函数的单调性，最后利用复合函数的单调性即可求解.【详解】令2(0)x t t -=>，函数12()22x x f x a --=-+可化为为22(0)y t t a t =-++>，因为函数22(0)y t t a t =-++>开口向上，对称轴为14t =，即2x =.当104t <<时，函数22(0)y t t a t =-++>单调递增；当14t >时，函数22(0)y t t a t =-++>单调递减，又因为2x y -=在R 上单调递减，由复合函数的单调性可得，函数()f x 在(,2)-∞上单调递增.故选：A .36．D【分析】分析可知12x -、22x -是关于t 的二次方程220t t a --=的两根，根据函数()22g t t t a =--有两个不等的正零点可求得1,08a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，分析可得()1222x x a -+-=，利用指数函数的单调性可判断①；利用二次函数的基本性质可判断②③④的正误.【详解】()()12222222x x xx a f x a -----⨯=-++=，令()0f x =，则()22220x x a --⨯--=，令20x t -=>，可得220t t a --=，令()22g t t t a =--，则函数()g t 有两个不同的正零点，所以，()Δ18010400a g a =+>⎧⎪⎪>⎨⎪=->⎪⎩，解得108a -<<，由题意可知，12x -、22x -是关于t 的二次方程220t t a --=的两根，由韦达定理可得121212220,216x x x x a ----⎛⎫⋅==- ⎪⎝⎭，所以，()12412216x x -+-<=，所以，()124x x -+<-，可得124x x +>，①对；由韦达定理可得()1222x x a -+-=，则()12122,08x x a -+⎛⎫=-⨯∈- ⎪⎝⎭，所以，()()()12122221222220222x x x x a a a a f x x a -+-+-⎛⎫+=-⨯+=-⨯-=< ⎪⎝⎭，②对；()()()()()()121212121221121132321212222282x x x x x x x x x x a f x x a a -+-+--+-+-+⎛⎫+-=-+=-+=-=-⋅- ⎪⎝⎭212,032a ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，③对；()()()()()121212212252212222228810x x x x x x f x x a a a a a a a -+-+--++-=-+=--+=--=-+>，④对.故选：D.。
