2013年初一新生招生数学试卷

BCDA 蒲吕中学初一新生数学入学测试题（ 时间90分钟 ） （ 总分100分）一、计算题。

（本大题共31分） 1、 直接写出得数。

（近似值符号的要求估算,每题1分，共10分）2.3＋3.57＝ 199＋6 ＝ 0.8×0.9＝ 3.2÷0.4＝ 12×（14 ×16 ）＝31×197≈ 2－58 ＝ 712 ÷34 ＝ 0÷58 ＋57 ＝ 15 ×45 ÷15 ×45 ＝2、 求未知数X 。

（每题2分，共6分）x － 58 x = 12 （ 5 x －4.5）÷2= 0.5 6.4x-4x=143、 递等式计算，能简便计算的要简便计算。

（每题3分，共12分）43×99＋43 （13 ＋712 －12 ）÷124（856 －10.5×45 ）÷4 35 ÷[（15 ＋13 ）÷29 ]4．如图，请求出阴影部分的面积。

（单位：厘米）（3分）二、填空题。

（每空1分，共20分）1、太阳与地球之间的距离约为一亿五千万千米，这个数写作（ ）千米，改写成“亿”作单位的数是（ ）千米。

2、158的分数单位是（ ），再加上（ ）个这样的分数单位就是最小的合数。

3、两种螺丝钉，甲种3分钱买4个，乙种4分钱买3个，甲乙两种螺丝钉的单价的最简整数比是( )。

4、把5米长的绳子平均截成7段，第五段占全长的) () (。

5、六(2)班有学生50人,一天有2人请假未到学校,上午迟到1人,这一天的出勤率是( ).6、今年，我、爸爸、妈妈三人的平均年龄正好是30岁，已知爸爸和妈妈两人的平均年龄是39岁，我今年是（ ）岁。

7、棱长是4厘米的正方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体（ ）个。

8、在8a中，当a 是（ ）时，这个分数的倒数是8。

2013年重点中学初一新生入学数学模拟试卷（八）2013年重点中学初一新生入学数学模拟试卷（八）一、填空（共20分）1．（2分）用三个4和五个0组成一个只读出两个0的八位数，这个八位数最小是_________．2．（2分）把的分母加上7，要使分数的大小不变，分子应加上_________．3．（2分）加工一个零件，甲用小时，乙用小时．甲和乙工作效率的最简单的整数比是_________．4．（2分）把3.14、、π和用“＞”号连接起来是_________．5．（2分）用两个相等的半圆拼成一个圆，那么圆周长比两个半圆的周长之和少_________%6．（2分）用一个数分别去除151、109和172，余数都是4．这个数最大是_________．7．（2分）有两个正方形，边长之差是5厘米，面积之差是105平方厘米．小正方形的面积是_________平方厘米．8．（2分）把一个高是4厘米的圆锥沿着底面直径平均分成两部分后，表面积增加了24平方厘米．圆锥的体积是_________立方厘米．9．（2分）一辆汽车以一定的速度从甲地开往乙地，行了全路程的后，速度提高了10%，那么实际行全路程所用时间比按原来的速度行全路程所用时间减少．10．（2分）在1～50的自然数中，先去掉所有的偶数，再去掉差是32的两个奇数，这时剩下的数的平均数是24．去掉的两个奇数是_________和_________．二、判断下面各题，对的在横线里画“√”，错的画“×”．（共8分）11．（2分）a和b都是不等于0的数，如果a=7b，那么a是b的倍数，b是a的约数_________．12．（2分）水结成冰后体积增加，那么冰化成水后，体积减少．_________．13．（2分）一桶油，先取出，后又取出余下的25%，两次取出的油同样多_________．14．（2分）既可以看成是分数，也可以看成是比，还可以看成是比值_________．三、选择正确答案的字母填在括号里．（共12分）四．按题目要求解答下面各题．（共6分）19．（3分）一个数的比10.5的多5.5，求这个数．（用方程解）20．（3分）用3与6的积减去它们的和，差是多少？（列综合算式）五、解答题（共1小题，满分4分）21．（4分）（2012•渠县）求阴影部分面积．（单位：cm）六．解答下面的应用题．（共50分）22．（8分）下面是某炼钢厂的钢产量统计图，看图列式解答下面的问题．①这三年平均每年产钢多少万吨？②1996年钢产量比1995年增加了百分之几？23．（6分）某筑路队修筑一条公路，每天修的比全路的还多0.4千米，修了50天正好修完．这条公路长多少千米？24．（6分）两袋奶糖共重14千克．如果从甲袋取出糖的20%放入乙袋，那么这时甲、乙两袋糖的重量比是2：5．甲袋原有奶糖多少千克？25．（6分）桌子上有若干个大小相同的玻璃杯，里面水的平均高度是5厘米．后来又拿来一个同样的玻璃杯，里面水的高度是8.2厘米，这时这些玻璃杯里水的平均高度是5.4厘米．问原来桌子上有几个玻璃杯？26．（6分）挖一条水渠，甲、乙两队合挖18天可以完成．现在先由甲队单独挖10天后离去，乙队接着挖30天恰好完成任务．求乙队的工作效率．27．（6分）甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时相向而行，速度比是5﹕7．相遇后两车继续行驶，到达各自的终点后立即返回，当两车第二次相遇时，甲汽车离开B地80千米．A、B两地相距多少千米？28．（6分）甲、乙两个粮仓存的都是大米，甲仓比乙仓少存45.6吨．从甲仓取出所存大米的35%，从乙仓取出所有大米的65%，这时两仓内存的大米重量正好相等．甲仓原来存大米多少吨？（用算术方法解答）29．（6分）一个长方体容器，底面积是72平方厘米，里面水的高度是24厘米．一个圆柱形的空容器，底面积是48 平方厘米，高是30厘米．把长方体容器内的水往圆柱形容器内倒，倒入多少立方厘米的水时，两个容器内水的高度相等？2013年重点中学初一新生入学数学模拟试卷（八）参考答案与试题解析一、填空（共20分）1．（2分）用三个4和五个0组成一个只读出两个0的八位数，这个八位数最小是40000404．2．（2分）把的分母加上7，要使分数的大小不变，分子应加上2．化为最简分数，为，然后把化为分母是==3．（2分）加工一个零件，甲用小时，乙用小时．甲和乙工作效率的最简单的整数比是9：10．÷÷）：4．（2分）把3.14、、π和用“＞”号连接起来是＞＞π＞3.14．．≈≈＞＞＞5．（2分）用两个相等的半圆拼成一个圆，那么圆周长比两个半圆的周长之和少24.2%6．（2分）用一个数分别去除151、109和172，余数都是4．这个数最大是21．7．（2分）有两个正方形，边长之差是5厘米，面积之差是105平方厘米．小正方形的面积是64平方厘米．8．（2分）把一个高是4厘米的圆锥沿着底面直径平均分成两部分后，表面积增加了24平方厘米．圆锥的体积是37.68立方厘米．v=9．（2分）一辆汽车以一定的速度从甲地开往乙地，行了全路程的后，速度提高了10%，那么实际行全路程所用时间比按原来的速度行全路程所用时间减少．1+÷=﹣1+÷，，）1=答：实际行全路程所用时间比按原来的速度行全路程所用时间减少故答案为：10．（2分）在1～50的自然数中，先去掉所有的偶数，再去掉差是32的两个奇数，这时剩下的数的平均数是24．去掉的两个奇数是15和47．××二、判断下面各题，对的在横线里画“√”，错的画“×”．（共8分）11．（2分）a和b都是不等于0的数，如果a=7b，那么a是b的倍数，b是a的约数×．12．（2分）水结成冰后体积增加，那么冰化成水后，体积减少．正确．水结成冰后体积增加比较即可判断．由水结成冰后体积增加12=13．（2分）一桶油，先取出，后又取出余下的25%，两次取出的油同样多√．，还剩下这桶油的（））的﹣14．（2分）既可以看成是分数，也可以看成是比，还可以看成是比值√．，仍读作，因此，既可以看成是分数，也可以看成是比，还可以看成是比值．既可以看成是分数，也可以看成是比，还可以看成是比值；本题是考查比、比值的意义及比的写法．注意：三、选择正确答案的字母填在括号里．（共12分）=，面积为：（2=四．按题目要求解答下面各题．（共6分）19．（3分）一个数的比10.5的多5.5，求这个数．（用方程解），用乘法求出它的这个数的=10.5××+5.5÷÷20．（3分）用3与6的积减去它们的和，差是多少？（列综合算式）33×3五、解答题（共1小题，满分4分）21．（4分）（2012•渠县）求阴影部分面积．（单位：cm）×××六．解答下面的应用题．（共50分）22．（8分）下面是某炼钢厂的钢产量统计图，看图列式解答下面的问题．①这三年平均每年产钢多少万吨？②1996年钢产量比1995年增加了百分之几？23．（6分）某筑路队修筑一条公路，每天修的比全路的还多0.4千米，修了50天正好修完．这条公路长多少千米？，列式解答即可．﹣÷，24．（6分）两袋奶糖共重14千克．如果从甲袋取出糖的20%放入乙袋，那么这时甲、乙两袋糖的重量比是2：5．甲袋原有奶糖多少千克？25．（6分）桌子上有若干个大小相同的玻璃杯，里面水的平均高度是5厘米．后来又拿来一个同样的玻璃杯，里面水的高度是8.2厘米，这时这些玻璃杯里水的平均高度是5.4厘米．问原来桌子上有几个玻璃杯？26．（6分）挖一条水渠，甲、乙两队合挖18天可以完成．现在先由甲队单独挖10天后离去，乙队接着挖30天恰好完成任务．求乙队的工作效率．，甲乙合作的工作效率是，甲队单独挖﹣）．27．（6分）甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时相向而行，速度比是5﹕7．相遇后两车继续行驶，到达各自的终点后立即返回，当两车第二次相遇时，甲汽车离开B地80千米．A、B两地相距多少千米？个全程的，即为全程的千米就占全程的××（×﹣÷，28．（6分）甲、乙两个粮仓存的都是大米，甲仓比乙仓少存45.6吨．从甲仓取出所存大米的35%，从乙仓取出所有大米的65%，这时两仓内存的大米重量正好相等．甲仓原来存大米多少吨？（用算术方法解答）29．（6分）一个长方体容器，底面积是72平方厘米，里面水的高度是24厘米．一个圆柱形的空容器，底面积是48 平方厘米，高是30厘米．把长方体容器内的水往圆柱形容器内倒，倒入多少立方厘米的水时，两个容器内水的高度相等？参与本试卷答题和审题的老师有：WX321；nywhr；似水年华；彭京坡；陆庆峰；彭辉；王庆；齐敬孝；chenyr；李斌；忘忧草；zcb101；浩淼；lbz；姜运堂；xuetao（排名不分先后）菁优网2013年5月6日。

七 年 级 数 学考生注意：本试卷共25道小题，时量60分钟，满分100分一﹑精心选一选（每题3分，共30分）1、观察下面图案，在A 、B 、C 、D 四幅图案中，能通过图案(1)的平移得到的是（ ）2、点A(－2，1)在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、已知x ＝2，y=－3是二元一次方程5x ＋my ＋2＝0的解， 则m 的值为（ ） A 、4 B 、－4 C 、38 D 、－384、已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A 、13cmB 、6cmC 、5cmD 、4cm5、不等式组30240x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为（ ）6、要反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用 （ ） A 折线统计图 B 、扇形统计图 C 、条形统计图 D 、频数分布直方图7、下列说法正确的是（ ）A 、同位角相等;B 、在同一平面内，如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c 。

C 、相等的角是对顶角;D 、在同一平面内，如果a ∥b,b ∥c ，则a ∥c 。

8、在下图中，正确画出AC 边上高的是（ ）．A B C D9、若多边形的边数由3增加到n 时,其外角和的度数（ ）A 、增加 B、不变C、减少D 、变为(n-2)180º10、某人到瓷砖店去买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可能是（ ）A 、等边三角形B 、正方形C 、 正六边形D 、正八边形(1) A B C D二﹑细心填一填（每题3分，共24分）11、49的算术平方根是______,49的平方根是________,-8的立方根是_____． 12、剧院里5排2号可以用（5，2）表示，则（7，4）表示__________． 13、如图，一面小红旗其中∠A=60, ∠B=30°,则∠BCD=__________． 14、点P （-2，1）向上平移2个单位后的点的坐标为__________． 15、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是__________ ．16、一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于 ． 17、若1032=++z y x ,15234=++z y x ，则x ＋y ＋z 的值是 ． 18、 如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ． 已知PE =3cm ，则点P 到AB 的距离是三、认真答一答（本大题共6小题，满分46分）194个单位得到∆A /B /C /。

江西省南昌市2013年初中毕业暨中等学校招生考试数 学 试 题 卷说明：1。

本卷共有五个大题，25个小题，全卷满分120分。

考试时间120分钟2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题只有一个正确选项。

1．-1的倒数是（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．0 2．下列计算正确的是（ ）A ． 325a a a +=B ． 222(3)9a b a b -=-C ．3226()ab a b -=D ．623a b a a b ÷=3．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到瑞金的人数为y 人。

下面所列的方程组正确的是（ ） A ．3412x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．3421x y x y +=⎧⎨=+⎩ C ．3421x y x y +=⎧⎨=+⎩ D ．23421x y x y +=⎧⎨=+⎩4．下列数据是2013年3月日6点公布的中国六大城市的空气污染指数情况： 城市 北京 合肥 南京 哈尔滨 成都 南昌 污染指数34216316545227163则这组据的中位数和众数分别是（ ）A ．163和164B ．105和163C ．105和164D ．163和1645．某机构对30万人的调查显示，沉迷于手机上网的初中生大约占7%，则这部分沉迷于手机上网的初中生人数，可用科学记数法表示为（ ） A ．2．1×105 B ．21×103 C ．0．21×105 D ．2．1×104 6．如图，直线y=x+a-2与双曲线y=4x 交于A ，B 两点，则当线段AB 的长度取最小值是，a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.57.一张坐凳的形状如图所示，以箭并没有所指的方向为主视方向，则它的左视图可以是（ ）8．将不等式组212(3)33x x x+≥⎧⎨+->⎩ 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）9．下列因式分解正确的是（ ）A ．2()x xy x x x y -+=-B ．32222()a a b ab a a b -+=-C ． 2224(1)3x x x -+=-+D ．29(3)(3)ax a x x -=+-10．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD ⊥BC ，则∠BAC 的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．85° D ．90°11．如图，正六边形ABCDEF 中，AB=2，点P 是ED 的中点，连接AP ，则AP 的长为（ ） A ．2 3 B ．4 C ．13 D ．1112．若二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1,0),(x 2,0),且x 1<x 2,图象上有一点M （x 0,y0）在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）A．a>0 B．b2-4ac≥0 C．x1<x0<x2 D．a(x0-x1)(x0-x2)<0.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．如图，在△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE//BC，若∠1=155°，则∠B的度数为。

2013 年长沙市初中新生分班考试试卷（数学）一、计算题（本大题共4 个小题，满分34 分）1、直接写出得数（每题1 分，满分6 分）2、脱式计算（每题4 分，满分12 分）3、解方程（每题4 分，满分8 分）4 、下图中的圆弧为半圆，求这个图形的周长和面积（单位：厘米）（圆周率取3.14）（满分8 分）二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，满分20 分）5、公共汽车到站后，若将上车5 人记作“+5 ”，则下车3 人应记作（）。

6、有研究预测，到2030 年中国人口将达到峰值1450000000，这个数省略亿位后面的数约（）亿。

7、一个长方体的长宽高分别为5 厘米4 厘米和3 厘米，这个长方体的表面积为（）。

8、我国的国土范围东西间约长5000 千米，这个长度在比例尺为的地图上，应为（）厘米。

9、如图，两个等腰直角三角形和一个正方形拼成了一个平行四边形。

若正方形的面积为4 平方厘米，则平行四边形的面积为（）平方厘米。

10、两数的最大公因数是（）。

11、盒子里有红黄两种颜色的球，其中红球5 个，黄球3 个（这些球除颜色不同外，其他性质完全相同），从盒子里任意摸出一个球，是黄球的可能性为（）。

12、如图，A 由36 个小立方体积木堆成，把A 推到后变成B，再利用这一堆小立方体积木块在C 上四个四个网上堆成一幢大楼”，则这幢大楼”的层数是（）。

13、如图，长方形ABCD 中，AB 长2 厘米，BC 长1 厘米。

这个长方形分别绕AB 和BC 所在直线旋转一圈，各能得到一个圆柱，两个圆柱中体积较大的圆柱体积是（）立方厘米。

（圆周率取3.14）……三、选择题（把正确答案的序号填在括号内，本大题共6 小题，每小题2 分，满分12 分）15、0.945 保留两位小数的近似值是（）。

A 0.94B 0.95C 1.00D 以上都不对16、要很好的表示芳芳家上个月各种支出占总支出的比例，最适合的统计图是（）。

2013年东莞市光明中学初一入学招生考试试卷数学（A ）卷(总分：110分，答题时间：60分钟) 题号 一 二 三 四 五 六总分 分值一、填空题。

（本大题共8小题，每空1分，共22分）1．我国汉族人口是1159400000人，读作（ ）人，改写为“亿”作单位是（ ）人。

省略“亿”后面的尾数约是（ ）人。

2. 4350千克=（ ）吨 6.5dm ³=（ ）cm ³ 2时15分=（ ）时3.()40=( ) : 24=83=( )%4.朝阳小学六（1）班的女生和男生人数的比是2:3，男生比女生多()()，男生与全班人数的比是（ ），女生占全班人数的（ ）% 。

5.一个正方形边长是4cm,在里面画一个最大的圆，圆的半径是（ ）cm ,圆的周长是（ ）cm,面积是（ ）cm ² 。

6.一幅地图的比例尺是1:5000000，这是（ ）比例尺，图上1厘米表示实际距离（ ）千米。

在这地图上量得A 、B 两地距离是6厘米，实际距离是（ ）千米。

7.一根圆柱形木料，长8dm,若横截成3段，表面积增加12.56dm ²，这根圆柱形木料的底面积是（ ）dm ²，体积是（ ）dm ³。

8.学校环保卫士小组12人参加植树活动。

男同学每人栽3棵树，女同学每人栽2棵树，一共栽了32棵树。

男同学有（ ）人，女同学有（ ）人。

二、选择题。

（本大题共10小题，每题1分，共10分）9. 右图是两个形状大小完全一样的长方形。

比较两幅图的阴影面积，说法正确的是（ ）。

A 、甲=乙 B 、甲 < 乙 C 、甲 > 乙 10. 把112的分子加上4，要使分数的大小不变，分母应（ ）。

A 、加上4 B 、乘以4 C 、乘以311. 一根绳子剪去53，还剩53米，剪去和还剩的比较，正确的是（ ）。

A 、剩下的长B 、剪去的长C 、不能确定12. 五（1）班昨天48人到校，另外有2人请假，五（1）班出勤率是（ ）。

数学试卷参考答案一、填空题。

(本题共26分，每小题2分)1、＜ ＞ ＝ ＞2、 2.13 59003、 5 16 62.5 0.6254、2 4 5.235、 54 106、 1507、1 ：6000000 8、△ 8 9、 502.4（160∏） 10、 盈利 1二、判断题。

(本题共5分，每小题1分)11、× 12、× 13、 √ 14、 × 15 、× 三、选择题。

(本题共5分，每小题1分)16、A 17、C 18、D 19、B 20、C 四、计算题。

21、用递等式计算。

(本题共12分，每小题3分)① 2.3×1.5＋4.5÷0.75 ②61＋72÷73 =3.45＋6 = 61＋32=9.45 =65③(1＋31)÷(1－31) ④ 53÷[117×(52＋31)]=34÷32 = 53÷[117×1511] =2 =53÷157=17222、简算。

(本题共12分，每小题3分)①361－99 ② 0.7＋3.8＋4.2＋9.3 =361－100＋1 =（0.7＋9.3）＋(3.8＋4.2) =261＋1 =10＋8 =262 =18③53×41＋53×43 ④（511－872）÷291＋22÷51 =53×(41＋43) =5129＋5122－32 =53×1 =1－32=53 =3123、求未知数X 。

(本题共6分，每小题3分)①2．5 ：5 =21 ：X ②21－2X = 41 解 ：2.5 X = 5×21 解： 2X = 21－412.5X = 2.5 2X = 41X = 1 X = 8124、文字题。

(本题共8分，每小题4分)①1.65÷5＋16×8 ②解：设这个数为X 。

2013年浏阳市初一新生分班考试试卷数学答案1、已知10?＝5，则100?的值为( ) [单选题] *A. 25(正确答案)B. 50C. 250D. 5002、7．把点平移到点，平移方式正确的为（）[单选题] *A．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度(正确答案)3、9．下列说法中正确的是（）[单选题] *A．正分数和负分数统称为分数(正确答案)B．正整数、负整数统称为整数C．零既可以是正整数，也可以是负整数D．一个有理数不是正数就是负数4、北京、南京、上海三个民航站之间的直达航线,共有多少种不同的飞机票?（）[单选题] *A、3B、4C、6(正确答案)D、125、6．过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形是（）边形．[单选题]*A．七B．八C．九D．十(正确答案)6、设M=(x﹣3)(x﹣7)，N=(x﹣2)(x﹣8)，则M与N的关系为( ) [单选题] *A. M＜NB. M＞N(正确答案)C. M=ND. 不能确定7、的单调递减区间为（）[单选题] *A、（-1,1）(正确答案)B、（-1,2）C、（-∞，-1）D、（-∞，+∞）8、-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则cosα=（）[单选题] * -3/5(正确答案)2月3日-0.333333333-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则tanα=（）[单选题] * 9、下列是具有相反意义的量是（）[单选题] *A．身高增加1cm和体重减少1kgB．顺时针旋转90°和逆时针旋转45°(正确答案)C．向右走2米和向西走5米D．购买5本图书和借出4本图书10、25.{菱形}∩{矩形}应（）[单选题] *A.{正方形}(正确答案)B.{矩形}C.{平行四边形}D.{菱形}11、1、如果P（ab，a+b）在第四象限，那么Q（a，﹣b）在（）[单选题] * A．第一象限B．第二象限(正确答案)C．第三象限D．第四象限12、若(x+m)(x2-3x+n)展开式中不含x2和x项，则m，n的值分别为( ) [单选题] *A. m=3,n=1B. m=3,n=-9C. m=3,n=9(正确答案)D. m=-3,n=913、1.计算| - 5 + 3|的结果是[单选题] *A. - 2B.2(正确答案)C. - 8D.814、30、等腰三角形ABC中,AB=2BC,且BC=12,则△ABC的周长为( ). [单选题]A. 48B. 60(正确答案)C. 48或60D. 3615、8、下列判断中：1.在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系；2.坐标平面内所有的点与所有实数之间是一一对应的；3.在直角坐标平面内点(x,y)与点(y,x)表示不同的两点；4.原点O的坐标是(0,0)，它既在x轴上，又在x轴上。

江西省2013年中等学校招生考试数学试卷解析 说明：1．本卷共有七个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。

2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分。

一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．1．－1的倒数是（ ）．A ．1B ．－1C ．±1D ．0【答案】 B .【考点解剖】 本题考查了实数的运算性质，要知道什么是倒数．【解题思路】 根据倒数的定义，求一个数的倒数，就是用1除以这个数，所以－1的倒数为1(1)1÷-=-，选B.【解答过程】 ∵1(1)1÷-=-，∴选B .2．下列计算正确的是（ ）．A ．a 3+a 2=a 5B ．(3a －b )2=9a 2－b 2C ．a 6b ÷a 2=a 3bD ．(－ab 3)2=a 2b 6【答案】 D .【考点解剖】 本题考查了代数式的有关运算，涉及单项式的加法、除法、完全平方公式、幂的运算性质中的同底数幂相除、积的乘方和幂的乘方等运算性质，正确掌握相关运算性质、法则是解题的前提．【解题思路】 根据法则直接计算．【解答过程】 A.3a 与2a 不是同类项，不能相加（合并），3a 与2a 相乘才得5a ；B.是完全平方公式的应用，结果应含有三项，这里结果只有两项，一看便知是错的，正确为222(3)96a b a ab b -=-+；C.两个单项式相除，系数与系数相除，相同的字母相除（同底数幂相除，底数不变，指数相减），正确的结果为624a b a a b ÷=；D.考查幂的运算性质（积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方，底数不变，指数相乘），正确，选D.3则这组数据的中位数和众数分别是（ ）．A ．164和163B ．105和163C ．105和164D ．163和164【答案】 A .【考点解剖】 本题考查的是统计初步中的基本概念——中位数、众数，要知道什么是中位数、众数．【解题思路】 根据中位数、众数的定义直接计算．【解答过程】 根据中位数的定义——将一组数据从小到大或从大到小排序，处于中间（数据个数为奇数时）的数或中间两个数的平均数（数据为偶数个时）就是这组数据的中位数；众数是指一组数据中出现次数最多的那个数，所以342、163、165、45、227、163的中位数是163和165的平均数164，众数为163，选A.4．如图，直线y =x +a －2与双曲线y=x 4交于A ，B 两点，则当线段AB 的长度取最小值时，a 的值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】 C .【考点解剖】 本题以反比例函数与一次函数为背景考查了反比例函数的性质、待定系数法，以及考生的直觉判断能力．【解题思路】 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，只有当A 、B 、O 三点共线时，才会有线段AB 的长度最小OA OB AB +=，（当直线AB 的表达式中的比例系数不为1时，也有同样的结论）.【解答过程】 把原点（0，0）代入2y x a =+-中，得2a =.选C..5．一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则他的左视图可以是（ ）．【答案】 C .【考点解剖】 本题考查的投影与视图中的画已知物体的三视图，要正确掌握画三视图的有关法则．【解题思路】 可用排除法，B 、D 两选项有迷惑性，B 是主视图，D 不是什么视图，A 少了上面的一部分，正确答案为C.【解答过程】 略.6．若二次涵数y =ax +bx +c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）．A ．a >0B ．b 2－4ac ≥0C ．x 1<x 0<x 2D ．a (x 0－x 1)( x 0－x 2)<0【答案】 D .【考点解剖】 本题考查的是二次函数的性质，要求对二次函数的性质有比较深刻地理解，并能熟练地画函数草图作出分析．【解题思路】 抛物线与x 轴有不同的两个交点，则240b ac ->，与B 矛盾，可排除B 选项；剩下A 、C 、D 不能直接作出正误判断，我们分a >0,a <0两种情况画出两个草图来分析（见下图）.由图可知a 的符号不能确定（可正可负，即抛物线的开口可向上，也右向下），所以012,,x x x 的大小就无法确定；在图1中，a >0且有102x x x <<，则0102()()ax x x x --的值为负；在图2中，a <0且有102x x x <<，则0102()()a x x x x --的值也为负.所以正确选项为D.【解答过程】 略.二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．分解因式x 2－4= ．【答案】 (x +2)(x －2).【考点解剖】 本题的考点是因式分解，因式分解一般就考提取公因式法和公式法（完全平方公式和平方差公式），而十字相乘法、分组分解等方法通常是不会考的．【解题思路】 直接套用公式即．【解答过程】 24(2)(2)x x x -=+-.8．如图△ABC 中，∠A =90°点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠1=155°，则∠B 的度数为 ．【答案】65°.【考点解剖】 本题考查了平行线的性质、邻补角、直角三角形两锐角互余等知识，题目较为简单，但有些考生很简单的计算都会出错，如犯18015535︒-︒=︒之类的错误．【解题思路】 由1155∠=︒，可求得25BCD CDE ∠=∠=︒,最后求65B ∠=︒．【解答过程】 ∵∠ADE =155°, ∴∠EDC =25°.又∵DE ∥BC ，∴∠C =∠EDC =25°,在△ABC 中，∠A =90°，∴∠B+∠C=90°,∴∠B=65°.9．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到瑞金的人数为y 人，请列出满足题意的方程组是 ．【答案】⎩⎨⎧+==+12,34y x y x . 【考点解剖】 本题考查的是列二元一次方程组解应用题（不要求求出方程组的解），准确找出数量之间的相等关系并能用代数式表示．【解题思路】 这里有两个等量关系：井冈山人数+瑞金人数=34，井冈山人数=瑞金人数³2+1.所以所列方程组为34,2 1.x y x y +=⎧⎨=+⎩． 10．如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接DE 和BF ，分别取DE 、BF 的中点M 、N ，连接AM ，CN ，MN ，若AB =22，BC =23，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】 26.【考点解剖】 本题考查了阴影部分面积的求法，涉及矩形的中心对称性、面积割补法、矩形的面积计算公式等知识，解题思路方法多样，计算也并不复杂，若分别计算再相加，则耗时耗力，仔细观察不难发现阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半（即“整体思想”事半功倍，所以平时要加强数学思想、方法的学习与积累．【解题思路】 △BCN 与△ADM 全等，面积也相等，口DFMN 与口BEMN 的面积也相等，所以阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半．【解答过程】 12⨯=. 11．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为 （用含n 的代数式表示）．【答案】 (n +1)2 .【考点解剖】 本题考查学生的观察概括能力，发现规律，列代数式．【解题思路】 找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示．【解答过程】 略.12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC =3，请写出一．个．符合题意的一元二次方程 ． 【答案】 x 2－5x +6=0.【考点解剖】 本题是道结论开放的题（答案不唯一），已知直角三角形的面积为3（直角边长未定），要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况（即保证方程的根为整数），如直角边长分别为2、3的直角三角形的面积就是3，以2、3为根的一元二次方程为2560x x -+=；也可以以1、6为直角边长，得方程为2760x x -+=.（求作一元二次方程，属“一元二次方程根与系数的关系”知识范畴，这种题型在以前相对考得较少，有点偏了.）【解题思路】 先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程．【解答过程】 略.13．如图，□ABCD 与□DCFE 的周长相等，且∠BAD =60°，∠F =110°，则∠DAE 的度数为 ．【答案】 25°.【考点解剖】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质．【解题思路】 已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD ,则有AD =DE ,即△ADE 为等腰三角形，顶角∠ADE =∠BCF =60°+70°=130°,∴∠DAE =25°．【解答过程】 ∵□ABCD 与□DCFE 的周长相等，且有公共边CD ，∴AD =DE , ∠ADE =∠BCF =60°+70°=130°.∴∠DAE =11(180)502522ADE ︒-∠=⨯︒=︒. 14．平面内有四个点A 、O 、B 、C ，其中∠AOB =120°，∠ACB =60°，AO =BO =2，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是 ．【答案】2，3，4.【考点解剖】 本题主要考查学生阅读理解能力、作图能力、联想力与思维的严谨性、周密性，所涉及知识点有等腰三角形、圆的有关知识，分类讨论思想，不等式组的整数解，在运动变化中抓住不变量的探究能力．【解题思路】 由∠AOB =120°，AO =BO =2画出一个顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，由60︒与120︒互补，60︒是120︒的一半，点C 是动点想到构造圆来解决此题．【解答过程】三、（本大题共2小题，每小题5分，共10分）15．解不等式组⎩⎨⎧>-+≥+,33)3(2,12x x x 并将解集在数轴上表示出来．【答案】解：由x +2≥1得x ≥－1，由2x +6－3x 得x <3，∴不等式组的解集为－1≤x <3．解集在数轴上表示如下：【考点解剖】 本题考查不等式组的解法，以及解集在数轴上的表示方法．【解题思路】 分别把两个不等式解出来，再取它们解集的公共部分得到不等式组的解集，最后画出数轴表示出公共部分（不等式组的解集），注意空心点与实心点的区别．16．如图AB 是半圆的直径，图1中，点C 在半圆外；图2中，点C 在半圆内，请仅用无．刻度．．的直尺按要求画图． （1）在图1中，画出△ABC 的三条高的交点；（2）在图2中，画出△ABC 中AB 边上的高．【答案】 （1）如图1，点P 就是所求作的点；（2）如图2，CD 为AB 边上的高.【考点解剖】 本题属创新作图题，是江西近年热点题型之一.考查考生对圆的性质的理解、读图能力，题（1）是要作点，题（2）是要作高，都是要解决直角问题，用到的知识就是“直径所对的圆周角为直角”．【解题思路】 图1点C 在圆外，要画三角形的高，就是要过点B 作AC 的垂线，过点A 作BC 的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明必须用所给图形本身的性质来画图（这就是创新作图的魅力所在），作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”.设AC 与圆的交点为E , 连接BE ,就得到AC 边上的高BE ；同理设BC 与圆的交点为D , 连接AD ,就得到BC 边上的高AD ，则BE 与AD 的交点就是△ABC 的三条高的交点；题（2）是题（1）的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题（1）的启发，我们能够作出△ABC 的三条高的交点P ，再作射线PC 与AB 交于点D ，则CD 就是所求作的AB 边上的高．四、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．先化简，再求值：12244222+-÷+-xx x x x x ，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．【答案】解：原式=x x 2)2(2-²)2(2-x x x +1 =212x -+ =2x ． 当x =1时，原式=21. 【考点解剖】 本题考查的是分式的化简求值，涉及因式分解，约分等运算知识，要求考生具有比较娴熟的运算技能，化简后要从三个数中选一个数代入求值，又考查了考生的细心答题的态度，这个陷阱隐蔽但不刁钻，看到分式，必然要注意分式成立的条件．【解题思路】 先将分式的分子分母因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，约分后得到212x -+，可通分得22212222x x x --+=+=，也可将22x -化为12x -求解． 18．甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．（1）下列事件是必然事件的是（ ）．A ．乙抽到一件礼物B ．乙恰好抽到自己带来的礼物C ．乙没有抽到自己带来的礼物D ．只有乙抽到自己带来的礼物（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件A ），请列出事件A 的所有可能的结果，并求事件A 的概率．【答案】（1）A .（2）依题意画树状图如下：从上图可知，所有等可能结果共有6种，其中第4、5种结果符合，∴P (A)=62=31 ． 【考点解剖】 本题为概率题，考查了对“随机事件”、“必然事件”两个概念的理解，画树形图或表格列举所有等可能结果的方法．【解题思路】 （1）是选择题，根据必然事件的定义可知选A ；（2）三个人抽取三件礼物，恰好每人一件，所有可能结果如上图所示为6种，其中只有第4、5种结果符合，∴P (A)=62=31 ；也可以用直接列举法：甲从三个礼物中抽到的礼物恰好不是自己的只有两种，要么是乙的要么是丙的，若甲抽到乙的，乙必须抽到丙的才符合题意；若甲抽到的是丙的，乙必须抽到甲的才符合题意，∴P (A) =31 ． 五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 19．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数x k y(x>0)的图象和矩形ABCD 的第一象限，AD 平行于x 轴，且AB =2，AD =4，点A 的坐标为(2，6) ．（1）直接写出B 、C 、D 三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．【答案】（1）B （2，4），C （6，4），D （6，6）.（2）如图，矩形ABCD 向下平移后得到矩形''''A B C D ，设平移距离为a ，则A ′（2，6－a ），C ′（6，4－a ）∵点A ′，点C ′在y =x k 的图象上， ∴2(6－a )=6(4－a )，解得a =3，∴点A ′（2，3），∴反比例函数的解析式为y =6x． 【考点解剖】 本题以矩形为背景考查用待定系数法求反比例函数的解析式．【解题思路】 先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B 、C 、D 三点的坐标，再从矩形的平移过程发现只有A 、C 两点能同时在双曲线上（这是种合情推理，不必证明），把A 、C 两点坐标代入y =xk 中，得到关于a 、k 的方程组从而求得k 的值． 20．生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml 的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大至可分为四种：A ．全部喝完；B ．喝剩约31；C ．喝剩约一半；D ．开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中D 所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；（计算结果请保留整数）．（2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫．升．？ （3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会议人数约在40至60人之间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml/瓶）约有多少瓶．？（可使用科学计算器）【答案】（1）根据所给扇形统计图可知，喝剩约31的人数是总人数的50%， ∴25÷50%=50，参加这次会议的总人数为50人， ∵505³360°=36°， ∴D 所在扇形圆心角的度数为36°，补全条形统计图如下；（2）根据条形统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为：(25³31³500+10³500³21+5³500)÷50 =327500÷50≈183毫升； （3）该单位每年参加此类会议的总人数约为24000人~3600人，则浪费矿泉水约为3000³183÷500=1098瓶．【考点解剖】 本题考查的是统计初步知识，条形统计图与扇形统计图信息互补，文字量大，要求考生具有比较强的阅读理解能力.本题所设置的问题比较新颖，并不是象传统考试直接叫你求平均数、中位数、众数或方差，而是换一种说法，但考查的本质仍然为求加权平均数、以样本特性估计总体特性.显然这对考生的能力要求是非常高的．【解题思路】 （1）由扇形统计图可看出B 类占了整个圆的一半即50%（遗憾的是扇形中没有用具体的数字（百分比）表示出来，这是一种很不严谨的命题失误），从条形统计图又知B 类共25人，这样已知部分数的百分比就可以求出总人数，而D 类有5人，已知部分数和总数可以求出D 类所占总数百分比，再由百分比确定所占圆的圆心角的度数；已知总人数和A 、B 、D 类的人数可求出C 类的人数为10人，将条形统计图中补完整；（2）用总的浪费量除以总人数50就得到平均每人的浪费量；（3）每年开60次会，每次会议将有40至60人参加，这样折中取平均数算一年将有3000人参加会议，用3000乘以（2）中的结果（平均每人的浪费量），得到一年总的浪费量，再转换成瓶数即可．六、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB ，如图2所示，量得连杆OA 长为10cm ，雨刮杆AB 长为48cm ，∠OAB =120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB 正好扫到水平线CD 的位置，如图3所示．（1）求雨刮杆AB 旋转的最大角度及O 、B 两点之间的距离；（结果精确到0.01）（2）求雨刮杆AB 扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍）（参考数据：sin60°=23，cos60°=21，tan60°=3，721≈26.851，可使用科学计算器）【答案】解：（1）雨刮杆AB 旋转的最大角度为180° ．连接OB ，过O 点作AB 的垂线交BA 的延长线于EH ，∵∠OAB =120°，∴∠OAE =60°在Rt △OAE 中，∵∠OAE =60°，OA =10，∴sin ∠OAE =OA OE =10OE ， ∴OE =53，∴AE =5.∴EB =AE +AB =53，在Rt △OEB 中，∵OE =53，EB =53，∴OB =22BE OE =2884=2721≈53.70；（2）∵雨刮杆AB 旋转180°得到CD ，即△OCD 与△OAB 关于点O 中心对称， ∴△BAO ≌△OCD ，∴S △BAO =S △OCD ，∴雨刮杆AB 扫过的最大面积S =21π(OB 2－OA 2) =1392π.【考点解剖】 本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难）．【解题思路】 将实际问题转化为数学问题，（1）AB 旋转的最大角度为180°；在△OAB 中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠OAB =120°想到作AB 边上的高，得到一个含60°角的Rt △OAE 和一个非特殊角的Rt △OEB .在Rt △OAE 中，已知∠OAE =60°，斜边OA =10，可求出OE 、AE 的长，进而求得Rt △OEB 中EB 的长，再由勾股定理求出斜边OB 的长；（2）雨刮杆AB 扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB 、OA 为半径的半圆面积之差）.22．如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2的圆与y 轴交于点A ，点P （4，2）是⊙O 外一点，连接AP ，直线PB 与⊙O 相切于点B ，交x 轴于点C ．（1）证明P A 是⊙O 的切线；（2）求点B 的坐标；（3）求直线AB 的解析式．【答案】（1）证明：依题意可知，A （0，2）∵A （0，2），P （4，2），∴AP ∥x 轴 ．∴∠OAP =90°，且点A 在⊙O 上，∴P A 是⊙O 的切线；（2）解法一：连接OP ，OB ，作PE ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点D ，∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠OBP =90°，即∠OBP =∠PEC ，又∵OB =PE =2，∠OCB =∠PEC ．∴△OBC ≌△PEC ．∴OC=PC ．（或证Rt △OAP ≌△OBP ，再得到OC=PC 也可）设OC=PC =x ，则有OE =AP =4，CE=OE －OC =4－x ，在Rt △PCE 中，∵PC 2=CE 2+PE 2，∴x 2=(4－x )2+22，解得x =25，…………………… 4分 ∴BC=CE =4－25=23， ∵21OB ²BC =21OC ²BD ，即21³2³23=21³25³BD ，∴BD =56． ∴OD =22BD OB -=25364-=58， 由点B 在第四象限可知B （58，56-）；解法二：连接OP ，OB ，作PE ⊥x 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点D ，∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠OBP =90°即∠OBP =∠PEC ．又∵OB=PE =2，∠OCB =∠PEC ，∴△OBC ≌△PEC ．∴OC=PC （或证Rt △OAP ≌△OBP ，再得到OC=PC 也可）设OC=PC =x ，则有OE=AP =4，CE=OE －OC =4－x ，在Rt △PCE 中，∵PC 2=CE 2＋PE 2,∴x 2=(4－x )2+22，解得x =25，……………………………… 4分 ∴BC =CE =4－25=23， ∵BD ∥x 轴，∴∠COB =∠OBD ，又∵∠OBC =∠BDO=90°，∴△OBC ∽△BDO ， ∴BD OB =OD CB =BOOC ， 即BD 2=BD 23=225． ∴BD =58，OD =56． 由点B 在第四象限可知B （58，56-）； （3）设直线AB 的解析式为y =kx +b ，由A （0，2），B （58，56-），可得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=5658,2b k b ； 解得⎩⎨⎧-==,2,2k b ∴直线AB 的解析式为y =－2x +2．【考点解剖】 本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等．【解题思路】（1） 点A 在圆上，要证PA 是圆的切线，只要证PA ⊥OA （∠OAP =90°）即可，由A 、P 两点纵坐标相等可得AP ∥x 轴，所以有∠OAP +∠AOC =180°得∠OAP =90°；（2） 要求点B 的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B 到x 轴、y 轴的距离，自然想到构造Rt △OBD ，由PB 又是⊙O 的切线，得Rt △OAP ≌△OBP ，从而得△OPC 为等腰三角形，在Rt △PCE 中, PE=OA =2, PC+CE=OE =4,列出关于CE 的方程可求出CE 、OC 的长，△OBC 的三边的长知道了，就可求出高BD ,再求OD 即可求得点B 的坐标；（3）已知点A 、点B 的坐标用待定系数法可求出直线AB 的解析式．七、（本大题共2小题，第23题10分，第24 题12分，共22分）23．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可）①AF =AG =21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB =∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．答： ．【答案】 解： ●操作发现：①②③④●数学思考：答：MD=ME ，MD ⊥ME ，１、MD=ME ；如图2，分别取AB ，AC 的中点F ，G ，连接DF ，MF ，MG ，EG ，∵M 是BC 的中点，∴MF ∥AC ，MF =21AC ． 又∵EG 是等腰Rt △AEC 斜边上的中线，∴EG ⊥AC 且EG =21AC ， ∴MF=EG ．同理可证DF=MG ．∵MF ∥AC ，∴∠MF A ＋∠BAC =180°．同理可得∠MGA +∠BAC =180°，∴∠MF A =∠MGA ．又∵EG ⊥AC ，∴∠EGA =90°．同理可得∠DF A =90°，∴∠MF A +∠DF A =∠MGA =∠EGA ，即∠DFM=∠MEG ，又MF=EG ，DF=MG ，∴△DFM ≌△MGE （SAS ），∴MD=ME ．2、MD ⊥ME ；证法一：∵MG ∥AB ，∴∠MF A +∠FMG =180°，又∵△DFM ≌△MGE ，∴∠MEG =∠MDF .∴∠MF A +∠FMD +∠DME +∠MDF =180°，其中∠MF A +∠FMD +∠MDF =90°，∴∠DME =90°.即MD ⊥ME ；证法二：如图2，MD 与AB 交于点H ，∵AB ∥MG ，∴∠DHA =∠DMG ，又∵∠DHA =∠FDM +∠DFH ,即∠DHA =∠FDM +90°,∵∠DMG =∠DME +∠GME ，∴∠DME =90°即MD ⊥ME ；●类比探究答：等腰直角三解形【考点解剖】 本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高．【解题思路】 （1） 由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB =∠DMB=45°也正确；（2）直觉告诉我们MD 和ME 是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1△DFM ≌△MGE 的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME ，证MD ⊥ME 就是要证∠DME =90°，由△DFM ≌△MGE 得∠EMG =∠MDF , △DFM 中四个角相加为180°，∠FMG 可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME =90°． （3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直角三解形.24．已知抛物线抛物线y n =-(x -a n )2+a n （n 为正整数，且0<a 1<a 2<…<a n ）与x 轴的交点为A n-1（b n-1,0）和A n (b n ，0)，当n =1时，第1条抛物线y 1=-(x -a 1)2+a 1与x 轴的交点为A 0（0，0）和A 1（b 1，0），其他依此类推．（1）求a 1,b 1的值及抛物线y 2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（，）；依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为（，）;所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是；（3）探究下列结论：①若用A n-1A n表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出A n-1A n；②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），∴―a12+ a1=0，∴a1=0或1．由已知可知a1>0，∴a1=1．即y1=―(x―1)2+1方法一：令y1=0代入得：―(x―1)2+1=0，∴x1=0，x2=2，∴y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0）∴b1=2，方法二：∵y1=―(x―a1)2+a1与x轴交于点A0（0，0），∴―(b1―1)2+1=0，b1=2或0，b1=0（舍去）．∴b1=2．又∵抛物线y2=―(x―a2)2+a2与x轴交于点A1（2，0），∴―(2―a2)2+ a2=0，∴a2=1或4，∵a2> a1，∴a2=1（舍去）．∴取a2=4，抛物线y2=―(x―4)2+4．（2）（9，9）；（n2，n2）y=x．详解如下：∵抛物线y2=―(x―4)2+4令y2=0代入得：―(x―4)2+4=0，∴x1=2，x2=6．∴y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0）．又∵抛物线y3=―(x―a3)2+a3与x轴交于A2（6，0），∴―(6―a3)2+a3=0∴a3=4或9，∵a3> a3，∴a3=4（舍去），即a3=9，∴抛物线y3的顶点坐标为（9，9）．由抛物线y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），y3的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线y n的顶点坐标为（n2，n2）．∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；③∵A0（0，0），A1（2，0），∴A0A1=2．又∵y n=―(x―n2)2+n2，令y n=0，∴―(x―n2)2+n2=0，即x 1=n 2+n ，x 2=n 2－n ，∴A n －1(n 2－n ，0)，A n (n 2+n ，0)，即A n －1 A n =( n 2+n )－( n 2－n )=2 n ．②存在．是平行于直线y =x 且过A 1（2，0）的直线，其表达式为y =x －2．【考点解剖】 本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表示数（符号意识），数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重要的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，画一画图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精神和最高境界．【解题思路】 （1）将A 0坐标代入y 1的解析式可求得a 1的值；a 1的值知道了y 1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b 1的值，又把（b 1，0）代入y 2，可求出a 2 ，即得y 2的解析式；（2）用同样的方法可求得a 3 、a 4 、a 5 ……由此得到规律2n a n =，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y = x ；（3）由（2）可知0112232,4,6A A A A A A ===得12n n A A n -=; 最后一问我们会猜测这是与直线y =x 平行且过A （2，0）的一条直线，用特殊值法取2(4)4,2y x y x ⎧=--+⎨=-⎩得112,0x y =⎧⎨=⎩和225,3x y =⎧⎨=⎩，得所截得的线段长度为试试，求出的值也为222(),2y x n n y x ⎧=--+⎨=-⎩得21211,1x n y n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩和22222,4x n y n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，求得所截得的线段长度也为.。