义务教育基础课程初中教学资料
24.4.2 圆锥的侧面积和全面积
一、
1.圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm ，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm ，高为________ cm ，侧面积为________ cm
2.
思路解析：圆的面积为S=πr 2，所以r==5(cm)；圆锥的高为=12(cm)；ππ
252
2513-侧面积为×10π·13=65π(cm 2). 2
1答案：5 12 65π
2.圆锥的轴截面是一个边长为10 cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ cm 2，锥
角为_________，高为________ cm.
思路解析：S 侧面积=×10π×10=50π(cm 2)；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高. 2
1答案：50π 60° 5
33.已知Rt △ABC 的两直角边AC=5 cm ，BC=12 cm ，则以BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积为__________ cm 2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为__________ cm ，面积为___________ cm 2.
思路解析：以BC 为轴旋转所得圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，母线长为13 cm.利用公式计算.
答案：65π 10π 65π
4.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.
图24-4-2-1
思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积.
答案：16π
二、
1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m ，母线长为3 m ，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )
A.6 m 2
B.6π m 2
C.12 m 2
D.12π m 2 思路解析：侧面积=
底面直径·π·母线长=×4×π×3=6π(m 2).[来源:Z|xx|] 2121答案：B
2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a 的半圆，则圆锥的高为( ) A.a B. a C.3a D.a 3323思路解析：展开图的弧长是a π，故底面半径是
，这时母线长、底面半径和高构成直角三2
a 角形.
答案：D 3.用一张半径为9 cm 、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm.
思路解析：扇形的弧长为
=6π(cm)，所以圆锥底面圆的半径为=3(cm). 1809120⨯⨯ππ
π26答案：3 4.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则小虫爬行的最短路线的长是_________(结果保留根式).
图24-4-2-2
思路解析：如图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是
=90°，连结ππ818022⨯⨯⨯AB ，则△AOB 是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以AB==8.
2288+2
答案：8
25.一个圆锥的高为3 cm ，侧面展开图是半圆，
3求：(1)圆锥母线与底面半径的比；
(2)锥角的大小； (3)圆锥的全面积.
思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长.锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积.
解：如图，AO 为圆锥的高，经过AO 的截面是等腰△ABC ，则AB 为圆锥母线l ，BO 为底面半径r.
(1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr=πl ，则
=2. r l (2)因=2，则有AB=2OB ，∠BAO=30°，所以∠BAC=60°，即锥角为60°. r
l (3)因圆锥的母线l ，高h 和底面半径r 构成直角三角形，所以l 2=h 2＋r 2；又l=2r ，h=33 cm ，则r=3 cm ，l=6 cm.
所以S 表=S 侧＋S 底=πrl ＋πr 2=3·6π＋32π=27π(cm 2).
三、
1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4 cm ，则它的侧面积为_________ cm 2(结果保留π).
思路解析：S 圆锥侧=
×2×π××4×4=8π. 212
1答案：8π
2.如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m 的正三角形ABC ，母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________ m.(结果不取近似数)
图24-4-2-3
思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的PB(如图).
则扇形的圆心角为=180°,因为P 在AC 的中点上， 6
6180⨯⨯⨯ππ所以∠PAB=90°.在Rt △PAB 中，PA=3，AB=6，
则PB==3.
2236+5答案：3
53.若圆锥的底面直径为6 cm ，母线长为5 cm ，则它的侧面积为___________.(结果保留π) 思路解析：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可.
设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则r=3 cm ，l=5 cm ，∴S 侧=πr·l=π×3×5=15π(cm 2). 答案：15π cm 2
4.在Rt △ABC 中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S 1；把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S 2.那么S 1∶S 2等于( )
A.2∶3
B.3∶4
C.4∶9
D.5∶12
思路解析：根据题意分别计算出S 1和S 2即得答案.在求S 1和S 2时，应分清圆锥侧面展开图(扇形)的半径是斜边BC ，弧长是以AB(或AC)为半径的圆的周长. ∵∠A=90°，AC=8，AB=6，∴BC===10.
22AB AC +2268+当以AC 为轴时，AB 为底面半径，S 1=S 侧＋S 底=πAB·BC ＋πAB 2=π×6×10＋π×36=96π.[来源:学科网]
当以AB 为轴时，AC 为底面半径，S 2=S 侧＋S 底=80π＋π×82=144π.
∴S 1∶S 2=96π∶144π=2∶3，故选A.
答案:A
