《复数代数形式的加减运算及其几何意义》参考教案2

《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解复数的加法和减法运算规则。

2. 让学生掌握复数加法和减法运算的几何意义。

3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 复数的加法运算：两个复数相加，实部相加，虚部相加。

2. 复数的减法运算：两个复数相减，实部相减，虚部相减。

3. 复数加法和减法运算的几何意义：在复平面上表示复数的加法和减法。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：复数的加法和减法运算规则，复数加法和减法运算的几何意义。

2. 教学难点：复数加法和减法运算在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解复数的加法和减法运算规则。

2. 采用直观演示法，利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。

3. 采用案例分析法，分析实际问题中的复数加法和减法运算。

五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾实数加法和减法运算，引出复数的加法和减法运算。

2. 讲解：讲解复数的加法和减法运算规则，实部相加，虚部相加（减）。

3. 演示：利用复平面演示复数的加法和减法运算的几何意义。

4. 练习：让学生进行复数加法和减法运算的练习，巩固所学知识。

5. 案例分析：分析实际问题中的复数加法和减法运算，培养学生运用复数解决实际问题的能力。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，复数的加法和减法运算及其几何意义。

7. 作业布置：布置有关复数加法和减法运算的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 评价学生对复数加法和减法运算规则的理解程度。

2. 评价学生对复数加法和减法运算几何意义的掌握程度。

3. 评价学生运用复数解决实际问题的能力。

七、教学反馈：1. 课堂讲解过程中，注意观察学生的反应，及时解答学生的疑问。

2. 练习环节，及时批改学生的作业，给予反馈，指出错误并指导改正。

3. 案例分析环节，鼓励学生积极参与讨论，提出自己的观点和看法。

八、教学拓展：1. 引导学生思考复数加法和减法运算在实际生活中的应用。

3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义：形如(,)+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全a bi ab R体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)=+∈，把复数表示成a+biz a bi a b R的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈，当且仅当b=0a bi ab R时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8.若(,)A x y，(0,0)O，则(),OA x y=9. 若),(11yxa=，),(22yxb=，则ba+),(2121yyxx++=，ba-),(2121yyxx--=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若),(11yxA，),(22yxB，则()1212,yyxxAB--=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即AB=OB-OA=( x2, y2) - (x1,y1)= (x2- x1, y2- y1)讲解新课：b Z(a，b)aoyx一．复数代数形式的加减运算１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R).∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)=［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i=［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，……(2001－2002i )+(－2002+2003)i =－1+i .相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i )+(2003－2004i )=(2003－1001)+(1001－2004)i =1002－1003i 二.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ3.复数加法的几何意义：设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z =，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.例3已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关 例4 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用BC AD =，求点D 的对应复数.解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R)，是：OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i .∵BC AD =，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ， ∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x故点D 对应的复数为2－i .分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+ (x +yi )=0，∴x =2，y =－1.故点D 对应的复数为2－i .点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用巩固练习：1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2－z 1在复平面内所表示的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在复平面上复数－3－2i ,－4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是A.5－9iB.－5－3iC.7－11iD.－7+11i3.已知复平面上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重心G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为例2图A.32B.22C.2D.54.复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1，2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三角形是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数6.计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____.7.计算：(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R).8.计算（1－2i )－(2－3i )+(3－4i )－…－(2002－2003i ).9.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R)分别对应向量1OZ 、2OZ （O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值. 解：21Z Z 对应的复数为z 2－z 1，则z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1)i －［a 2－3+(a +5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6)i∵z 2－z 1是纯虚数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=+-060222a a a a 解得a =－1.10．已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.解：设D （x ,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i )－(－2+i )=1－3i ∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i =1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x∴D 点对应的复数为2－i 。

3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 教学目标1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．问题导学知识点一 复数代数形式的加减法思考 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？【答案】两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.梳理 (1)运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.(2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．知识点二 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？【答案】如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？【答案】z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→对应复数z 1－z 2.梳理 复数加法的几何意义 复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数复数减法的几何意义复数z 1－z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1-→所对应的复数 类型一 复数的加法、减法运算例1 (1)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，复数z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________.(2)已知复数z 满足|z |i ＋z ＝1＋3i ，则z ＝________.【答案】(1)－1 (2)1＋43i 【解析】(1)z 1＋z 2＝(2＋i)＋(3＋a i)＝5＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，∴|z |i ＋z ＝x 2＋y 2i ＋x ＋y i ＝x ＋(x 2＋y 2＋y )i＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧ x ＝1，x 2＋y 2＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝43，∴z ＝1＋43i. 反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． 跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R )．(3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，则z ＝________.【答案】(1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)－4＋3i【解析】(1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i.(2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.(3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |＝x 2＋y 2，∴|z |＋z ＝(x 2＋y 2＋x )＋y i ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧ x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，∴z ＝－4＋3i. 类型二 复数加、减法的几何意义例2 (1)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应的复数为0，3＋2i ，－2＋4i.求：①AO →表示的复数；②CA →表示的复数；③OB →表示的复数．解 ∵A ，C 对应的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ，由复数的几何意义，知OA →与OC →表示的复数分别为3＋2i ，－2＋4i.①因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.②因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.(2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|.解 根据复数加减法的几何意义，由|z 1|＝|z 2|知，以OA →，OB →为邻边的平行四边形OACB 是菱形．如图，OA →对应的复数为z 1，OB →对应的复数为z 2，∴|OA →|＝|OB →|，OC →对应的复数为z 1＋z 2，∴|OC →|＝ 3.在△AOC 中，|OA →|＝|AC →|＝1，|OC →|＝3，∴∠AOC ＝30°.同理得∠BOC ＝30°，∴△OAB 为等边三角形，则|BA →|＝1，BA →对应的复数为z 1－z 2，∴|z 1－z 2|＝1.跟踪训练2 (1)已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则|OB →|＝________.(2)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ，复数z 2－z 1所对应的点在第四象限上，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(1)10 (2)(－∞，1)【解析】(1)∵OB →＝OA →＋AB →，∴OB →表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ，∴|OB →|＝12＋32＝10.(2)z 2－z 1＝1＋(a －1)i ，由题意知a －1<0，即a <1.达标检测1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】∵z 1－z 2＝5－7i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限．2．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－2或1 【答案】C【解析】由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋(a 2－3a ＋2)i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，得a ＝－2. 3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( )A ．2＋8iB ．4－4iC ．6－6iD ．－4＋2i【答案】B【解析】BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝4－4i.4．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( ) A.10B ．55 C. 2D ．52 【答案】D【解析】因为z 1－z 2＝5＋5i ，所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.5．设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是3＋2i 和2－4i ，则点C 对应的复数是__________．【答案】5－2i【解析】设AC 与BD 的交点为E ，则E 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－1，设点C 坐标为(x ，y )，则x ＝5，y ＝－2，故点C 对应的复数为5－2i.。

复数代数形式的加减运算及其几何意义(教案)本节课我们将研究复数代数形式的加减运算及其几何意义。

复了虚数单位i的定义以及复数的概念和几何意义。

接下来，我们将探究复数的加法。

首先，我们规定复数的加法法则如下：对于任意两个复数z1=a+bi和z2=c+di（a、b、c、d为实数），它们的和为z1+z2=(a+c)+(b+d)i。

然后，我们提出了几个问题：两个复数的和是什么数？它的值唯一确定吗？当虚部为0时，与实数加法法则一致吗？它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？学生明确了：两个复数的和仍然是一个复数，并且是一个确定的复数；当虚部为0时，与实数加法法则一致；实质上是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项。

2探究二:复数的减法1.复数的减法法则我们规定，复数的减法法则如下：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d为实数），那么：z1-z2=(a-c)+(b-d)i提出问题：1)两个复数的差是个什么数,它的值唯一确定吗?2)当b=0,d时,与实数减法法则一致吗?3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?学生明确:1)仍然是个复数,且是一个确定的复数;2)一致;3)实质是实部与实部相减,虚部与虚部相减,类似于实数运算中的合并同类项.在探究复数的减法中，我们同样规定了复数的减法法则。

对于任意两个复数z1=a+bi和z2=c+di（a、b、c、d为实数），它们的差为z1-z2=(a-c)+(b-d)i。

然后，我们又提出了类似的问题：两个复数的差是什么数？它的值唯一确定吗？当虚部为0时，与实数减法法则一致吗？它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？学生明确了：两个复数的差仍然是一个复数，并且是一个确定的复数；当虚部为0时，与实数减法法则一致；实质上是实部与实部相减，虚部与虚部相减，类似于实数运算中的合并同类项。

三、总结归纳通过本节课的研究，我们掌握了复数代数形式的加减运算法则，并理解了它们的几何意义。

《复数的加法和减法运算及其几何意义》教案设计一、教学目标1. 让学生理解复数的概念，掌握复数的加法和减法运算方法。

2. 让学生了解复数几何意义的内涵，能够将复数的加法和减法运算与几何图形相结合。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 复数的概念及表示方法。

2. 复数的加法运算：同号相加、异号相加。

3. 复数的减法运算：减去一个复数等于加上它的相反数。

4. 复数几何意义的介绍：复平面、复数轴、象限。

5. 复数加法和减法运算在几何意义上的应用。

三、教学方法1. 采用讲解法，讲解复数的概念、加法和减法运算方法及其几何意义。

2. 利用多媒体课件，展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。

3. 运用例题，引导学生运用复数的加法和减法运算解决实际问题。

4. 组织小组讨论，让学生分享自己的理解和心得。

四、教学步骤1. 导入新课，复习复数的基本概念。

2. 讲解复数的加法运算，引导学生掌握加法法则。

3. 讲解复数的减法运算，引导学生掌握减法法则。

4. 介绍复数几何意义，引导学生理解复数与几何图形的关系。

5. 运用例题，让学生体会复数加法和减法运算在实际问题中的应用。

五、课后作业1. 复习本节课所学的复数加法和减法运算方法及其几何意义。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 思考如何将复数的加法和减法运算应用到实际问题中。

4. 预习下一节课内容，为学习复数的乘法和除法运算做准备。

六、教学评估1. 课堂讲解过程中，关注学生的学习反应，及时调整教学节奏和难度。

2. 通过课后作业和练习题，检查学生对复数加法和减法运算及其几何意义的掌握程度。

3. 组织课堂讨论，鼓励学生提问和分享，评估学生对知识点的理解和运用能力。

七、教学资源1. 多媒体课件：用于展示复数的几何意义，增强学生的直观感受。

2. 练习题：用于巩固学生对复数加法和减法运算的理解和运用。

3. 参考资料：为学生提供更多的学习资源，拓展知识视野。

复数代数形式的加减运算及其几何意义一、教课内容解析：本课是高中数学选修 1－ 2 第三章《复数》第二节《复数代数形式的加减运算及其几何意义》，主要内容是复数的加减运算及其几何意义，是学生初次接触复数会合的运算。

学生的知识基础是已经学习的复数的看法和坐标表示以及实数与平面向量加减运算，在这节内容中，借助向量的加减法解说和“形化”了复数的加减法，充分表现了复数的“数”和“形”的两重特色，揭露了复数的加减运算与平面向量的加减法拥有完整等价的法规。

在教课中，既要修业生掌握复数代数形式的加减运算法规，又要理解和初步应用加减法的几何意义，为进一步运用复数运算几何意义确定基础。

二、学情解析：高二（ 7）班属于一般文科班，女生比率较大，学生基础广泛比较单薄，学习习惯较差。

学生受文科思想的影响，习惯于机械记忆，受文科学习方式的负面影响，文科学生不自觉的加剧了数学学习中的机械记忆，习惯于老师讲，自己记，复习背，对看法、定理、公义的实质属性缺少正确的认识，不重视思想训练，导致数学学习能力降落，心理压力增大，恶性循环。

所以培育学生优异的学习习惯与慎重的逻辑思想能力相当重要。

三、教课目标：1、知识与技术目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，认识复数加减法运算的几何意义。

2、过程与方法目标：在问题研究过程中，领会和学习类比，数形联合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。

3、感情、态度与价值观目标：理解并掌握复数的有关看法( 复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部 ) 理解并掌握复数相等的有关看法；画图获得的结论，不可以取代论证，可是经过对图形的观察，常常能起到启迪解题思路的作用。

四、教课要点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，正确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。

五、教课难点：复数加减法的几何意义及其应用六、教具准备：多媒体、实物投影仪。

七、教课过程：课前准备：学生自主阅读、理解教材，并解决问题（课前 1 天）阅读教材 57-59 页，解决以下问题：（一）、温故而知新：1、对于复数 z a bi a,b R，当且仅当，z 是实数，当，z 是虚数，当， z 为纯虚数，当且仅当， z 是实数0。

1 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义【教学目标】掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.【重点和难点】1.重点：复数代数形式的加、减运算及其几何意义.2.难点：复数加法、减法的几何意义.【教学过程】（预习《选修1-2》5658~P P ）一、课前准备1.复数的代数形式是z = ，其中， 叫做复数z 的实部， 叫复数z 的虚部.2.复数相等的充要条件：a bi +=c di +(,,,)a b c d R ∈⇔ .3. 复数的几何意义：（1）复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点Z .（2）复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量 .4. 复数z a bi =+的模：||||z a bi =+= .5.计算：(1)(m －2n)＋(m ＋4n)；（2）(2)(2)a b a b --+；（3）(22)(35)x x x -+--+.6. 如图，已知向量a 、b ，分别用向量加法的平行四边形法则和三角形法则作出向量a b +，a b -二、新知导学1、创设情境，引出研究的问题问题1：复数能进行加法运算吗？2、引导探究、获得新知 分析：类比(m －2n)＋(m ＋4n)= .请同学们计算(14)(72)i i ++-= = .推广到一般：()()a bi c di +++= = . 新知1：复数的加法法则：设12,z a bi z c di =+=+是任意两个复数，我们规定： ()()()()a bi c di a c b d i +++=+++.注：复数的加法：实部加实部作实部；虚部加虚部作虚部.两个复数的和仍然是一个复数.概念辨析1：计算：（1）(24)(34)i i ++-；（2）(34)(24)i i -++；（3）[(1)(23)](42)i i i ++-++-；（4）(1)[(23)(42)]i i i ++-++-.新知2：复数的加法满足交换律、结合律.即对任意123,,z z z C ∈，有（1）1221z z z z +=+；（2）123123()()z z z z z z ++=++.问题2：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？分析：设12,OZ OZ 分别与复数1z a bi =+，2z c di =+对应，则1OZ =（ ， ），2OZ =（ ， ）.如图，由向量加法的 法则得：OZ = =（ ， ），即OZ 对应复数z = .新知3：复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）. 概念辨析2：若1z i =+，在复平面上作出下列运算结果对应的向量：（1）1z +；（3）(2)z i +-.问题3：复数是否有减法？如何理解复数的减法？分析：我们规定，复数的减法是加法的逆运算. 即把满足()()c di x yi a bi +++=+的复数x yi +叫做复数a bi +减去c di +的差，记作()()a bi c di +-+，即()()a bi c di x yi +-+=+.由()()c di x yi a bi +++=+，根据复数相等的定义，有 ，因此，x = ，x = ，所以x yi += . 即()()a bi c di +-+= . 新知4：复数的减法法则：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-注：复数的减法：实部-实部，作实部；虚部-虚部，作虚部.两个复数的差是一个确定的复数.概念辨析3：计算：（1）()1(23)i i ---；（2）()543i i --；（3）5(32)i -+.问题4：在上图中，由向量减法的 法则得21Z Z = =（ ， ），即21Z Z 对应复数z = .新知5：复数减法的几何意义：复数的减法也可以按照向量的减法来进行（满足平行四边形、三角形法则）. 概念辨析4：在复平面内，复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA 与OB ，其中O 是原点，则向量AB 对应 的复数是 ，向量BA 对应的复数是 . 应用举例 例1. 计算：（1）(56)(2)(34)i i i -+---+；（2）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈ 分析： 解： 反思：复数的加减法，类似于多项式的加减法，可按照去括号，合并同类项进行. 变式练习：计算：（1）(34)(2)(15)i i i --++--；（4）(2)(23)4i i i --++；（3）())29i i ---. 例2.已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求： （1）AO 表示的复数；（2）CA 表示的复数；（3）B 点对应的复数. 分析： 解： 反思： 变式练习：（1）在复平面内，向量,AB AC 对应的复数分别为13,24,i i --+则向量BC 对应的复数是 . （2）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量,OA OB 对应的复数分别是3,13,i i +-+则CD 对应的复数是 . 【随堂练习】 1.已知复数(56)(3)(2)0(,)i b i ai a b R ++--+=∈，则复数z a bi =+的模为 . 2．设复数i z 431-=，i z 322+-=，则复数12z z -在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.复数12312,2,12,z i z i z i =+=-+=--它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这 个正方形的第四个顶点对应的复数. 三、小结: 两个复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减.复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行. 四、作业： 1计算： （1）(65)(32)i i -++； （2）5(22)i i -+； （3）2213()(1)()3324i i i ++--+； （4）(0.5 1.3)(1.20.7)(10.4)i i i +-++- 2.ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数. 【课后巩固】 1.已知12,,z a bi z c di =+=+且,,,a b c d R ∈，若12z z +是纯虚数，则有（ ） A. 00a c b d -=-≠且 B. 00a c b d -=+≠且 C. 00a c b d +=-≠且 D. 00a c b d +=+≠且 2.设12()2,34,2,f z z i z i z i =-=+=--则12()f z z -为（ ） A.53i + B.15i - C.29i -+ D.2i -- 3.已知复平面内三点，点A 对应的复数为32i +，向量BA 对应的复数为2i +，向量BC 对应的复数为1i -，求点C 对应的复数. 【我的收获】（学生学后记、教师教后记）。

§3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义（教学设计）教学目标：知识与技能：理解并掌握复数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。

过程与方法：在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等思想方法，感悟运算形成的基本过程。

情感态度价值观：培养学生观察、理解、推理论证的能力。

教学重点：理解并掌握复数的加减运算及其运算定律，准确进行加减运算，初步运用复数加减法的几何意义解决简单问题。

教学难点：复数加减法的几何意义及其应用。

课型与课时：新授课、1课时教学手段：课件教学方法：阅读、理解、类比教学过程：一．知识回顾1、复数的代数形式是什么？z=a+bi(a,b ∈R )2、复数相等的充要条件是什么？3、复数几何意义z= a+bi (a,b ∈R ) 复平面内的点z(a,b) 复平面内的向量OZ =(a ，b )想一想：类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？二、认识新知探究一：复数的加法运算设12z a bi Z c di =+=+与(a ,b,c,d ∈R )是任意两个复数，那么它们的和为12()()Z Z a c b d i +=+++。

说明：①复数的加法运算法则是一种规定。

当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致。

②两个复数的和仍然是一个复数，对于复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形。

探究一：复数的加法满足交换律、结合律吗？容易验证：对任意复数Z 1、Z 2、Z 3，有：Z 1+Z 2=Z 2+Z 1(Z 1+Z 2)+Z 3=Z 1+(Z 2+Z 3)即实数加法运算的交换律，结合律在复数集C 中仍然成立。

探究二：复数与复平面内的向量有一一对应的关系。

我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？设1OZ 及2OZ 分别与复数α+bi 复数c ＋di 对应，则1OZ =（α,b ），2OZ =（c ，d ）OZ =1OZ +2OZ =（α,b ）+（c ，d ）=(α+c,b+d )向量OZ 是向量1OZ 与2OZ 的和，就是复数（a+c ）+(b+d)i 对应的向量。

课题：3．2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学科：数学年级：高二班级：一、教材分析：1、依据新大纲及教材分析，复数四则运算是本章知识的重点。

2、新教材降低了对复数的要求，只要求学习复数的概念，复数的代数形式及几何意义，加减乘除运算及加减的几何意义。

因此，复数的概念，复数的代数运算是重点，在教学中要注意与实数运算法则和性质的比较，多采用类比的学习方法，在复数的概念和复数的代数运算的教学中，应避免烦琐的计算，多利用复数的概念解决问题。

二、教学目标：1．知识与技能掌握复数加减运算的法则及运算律，理解复数加减运算的几何意义．2．过程与方法在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程．3．情感、态度与价值观通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想，同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律．三、教学重点重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题．四、教学难点难点：复数加减法的几何意义及其应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、教具选择：电子白板六、教学方法：本节课采取自主探究式教学，这节课主要是复数的加减法运算，学生可以类比实数的加减法运算理解复数的加减法运算，让学生自主探讨例题1及变式训练的解法，总结规律方法．在讨论复数加法的几何意义时，引导学生联想向量的加法并运用平行四边形法则来进行运算，复数减法的几何意义，可联想向量的减法运用三角形法则来进行运算．教学中应让学生对复数的加法与向量的加法是怎样联系起来并得到统一的过程做出探究．对于一些简单的问题让学生动手去做，让学生起到主体作用，教师起到主导作用．七、教学过程：1、自主导学：阅读课本56—57页回答下列问题：（学生课前预习后提出疑惑，老师解答）【问题导思】已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．1．多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？【提示】两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.2．复数的加法满足交换律和结合律吗？【提示】满足．(1)运算法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a、b、c、d∈R)，则①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算律：3.如图，→OZ1，→OZ2分别与复数a＋b i，c＋d i对应．（1）．试写出→OZ1，→OZ2及→OZ1＋→OZ2，→OZ1－→OZ2的坐标．【提示】→OZ1＝(a，b)，→OZ2＝(c，d)，→OZ1＋→OZ2＝(a＋c，b＋d)，→OZ1－→OZ2＝(a－c，b－d)．（2）．向量→OZ1＋→OZ2，→OZ1－→OZ2对应的复数分别是什么？【提示】→OZ1＋→OZ2对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，→OZ1－→OZ2对应的复数是a－c＋(b－d)i.2、合作探究（1）分组探究探究点1 复数的加法和探究点2 复数的加法满足交换律、结合律探究点3 复数与复平面内的向量有一一对应关系图3－2－11.复数加法的几何意义如图3－2－1：设复数z1，z2对应向量分别为→OZ1，→OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是→OZ.2.复数减法的几何意义图3－2－2如图3－2－2所示，设→OZ1，→OZ2分别与复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i对应，且→OZ1，→OZ2不共线，则这两个复数的差z1－z2与向量→OZ1－→OZ2(即→Z2Z1)对应，这就是复数减法的几何意义．这表明两个复数的差z1－z2(即→OZ1－→OZ2)与连接两个终点Z1，Z2，且指向被减数的向量对应.3.计算下列各题：(1)(－i)＋(－＋23i)＋1；(2)(－2i－31)－(3i－21)＋i；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．【思路探究】解答本题可根据复数加减运算的法则进行．【自主解答】 (1)原式＝(－)＋(－＋23)i＋1＝1－23i.(2)原式＝(－31＋21)＋(－21－31＋1)i＝61＋61i.(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.（2）教师点拨1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．4.复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减．3、巩固训练1.已知复数z满足z＋1＋2i＝10－3i，求z.【解】z＋1＋2i＝10－3i，∴z＝(10－3i)－(2i＋1)＝9－5i.2.设→OZ1及→OZ2分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1＋z2，并在复平面内作出→OZ1＋→OZ2.【思路探究】利用加法法则求z1＋z2，利用复数的几何意义作出→OZ1＋→OZ2.【自主解答】∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，∴z1＋z2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i∵→OZ1＝(5,3)，→OZ2＝(4,1)，由复数的几何意义可知，→OZ1＋→OZ2与复数z1＋z2对应，∴→OZ1＋→OZ2＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)．作出向量→OZ1＋→OZ2＝→OZ如图所示．故→OZ1－→OZ2即为图中→Z2Z1.3.已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值．【思路探究】 利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题． 【自主解答】 法一 设w ＝z －3＋4i ， ∴z ＝w ＋3－4i ， ∴z ＋1－i ＝w ＋4－5i. 又|z ＋1－i|＝1， ∴|w ＋4－5i|＝1.可知w 对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆． 如图(1)所示，∴|w |max ＝＋1，|w |min ＝－1.(1) (2)法二 由条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆， 而|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离， 在圆上与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，如图(2)所示， 所以|z －3＋4i|max ＝＋1，|z －3＋4i|min ＝－1.4、拓展延伸在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设复数z ＝cos A ＋isin A ，且满足|z ＋1|＝1.(1)求复数z ；(2)求acos(60°＋C b －c的值．【思路探究】 本题主要考查复数的概念、代数运算及以复数为载体解三角形的知识．把复数z ＋1的模转化为它对应的向量的模，从而求出A ，第(2)问利用正弦定理把边转化为角，再进行三角恒等变换即可求解．【自主解答】 (1)∵z ＝cos A ＋isin A ， ∴z ＋1＝1＋cos A ＋isin A .复数z ＋1对应的向量→OZ＝(1＋cos A ，sin A )， ∵|→OZ|＝＝， ∴|z ＋1|＝. ∴2＋2cos A ＝1，∴cos A ＝－21，∴A ＝120°. ∴sin A ＝23，复数z ＝－21＋23i.(2)由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，c ＝2R ·sin C (其中R 为△ABC 外接圆的半径)．∴原式＝sin A ·cos(60°＋C sin B －sin C. ∵B ＝180°－A －C ＝60°－C ， ∴原式＝sin 120°·cos(60°＋C sin(60°－C ＝3＝cos(60°＋C 3sin C＝cos(60°＋C 2cos(60°＋C ＝2.即acos(60°＋C b －c＝2.5、师生合作总结1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算． 2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．八、课外作业1.复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|→BD|等于( )A ．5 B. C. D.【思路点拨】 首先由A 、C 两点坐标求解出AC 的中点坐标，然后再由点B 的坐标求解出点D 的坐标．【规范解答】 如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为(2，23)， 所以y ＋0＝3，x ＋1＝4，即y ＝3.x ＝3，所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ， 所以→BD＝→OD－→OB＝3＋3i －1＝2＋3i ， 所以|→BD |＝. 【答案】 B2．(2013·潍坊市高二检测)(2－2i)－(－3i ＋5)等于( ) A ．2－i B ．－3＋i C ．5i －7 D ．2＋3i【解析】 (2－2i)－(－3i ＋5)＝(2－5)＋(－2＋3)i ＝－3＋i. 【答案】 B3．在复平面内，点A 对应的复数为2＋3i ，向量→OB对应的复数为－1＋2i ，则向量→BA对应的复数为( )A ．1＋5iB ．3＋iC ．－3－iD ．1＋i【解析】 ∵→BA＝→OA－→OB，∴→BA对应的复数为(2＋3i)－(－1＋2i)＝(2＋1)＋(3－2)i ＝3＋i.故选B. 【答案】 B4．实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是________． 【解析】 ∵(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2， ∴x －y ＝0.x ＋y ＝2，解得y ＝1.x ＝1，∴xy ＝1.【答案】 15．设z1＝2＋b i，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，求复数a＋b i.九、板书1.复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．2.解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．十、教学反思：在探索复数加减法的几何意义的时候应先复习有关向量的加减法，高估了学生的能力；在时间的安排上可以恰当的调整，可以把更多的时间放在后面的几何意义上。