选修不等式证明

第二节不等式的证明1．已知x 2＋y 2＝10，求3x ＋4y 的最大值． 解：∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立，∴25×10≥(3x ＋4y )2，∴(3x ＋4y )max ＝510.2．已知a ，b ，c ∈R ＋，比较1a ＋1b ＋1c与1ab ＋1bc ＋1ac的大小．解：2⎛⎫ ⎪⎝⎭111＋＋a b c ＝⎛⎫ ⎪⎝⎭11＋a b ＋⎛⎫ ⎪⎝⎭11＋b c ＋⎛⎫ ⎪⎝⎭11＋c a ＋1≥2ab ＋2bc ＋2ca .所以1a ＋1b ＋1c≥1ab ＋1bc ＋1ac.[练一练]设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，试比较M 与1的大小．解：∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<个101010102111＋…＋222＝1. 即M <1.考点一比较法证明不等式1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，比较s 与t 的大小．解：∵s －t ＝a ＋b 2＋1－a －2b ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t . 2．已知c >b >a ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2. 证明：ab 2＋bc 2＋ca 2－(a 2b ＋b 2c ＋c 2a )＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－a 2)＋c (a 2－b 2)＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－b 2＋b 2－a 2)＋c (a 2－b 2) ＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－b 2)＋b (b 2－a 2)＋c (a 2－b 2) ＝(c 2－b 2)(b －a )＋(b 2－a 2)(b －c ) ＝(b －a )·(c －b )[b ＋c －(b ＋a )] ＝(b －a )(c －b )(c －a )．∵c >b >a ，∴b －a >0，c －b >0，c －a >0. ∴ab 2＋bc 2＋ca 2>a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2.3．求证：当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b≥(ab ) 2a b＋.证明：2a b a b a b ab ()＋＝a2a b －b2b a －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2a b －，当a ＝b 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2a b －＝1.当a >b >0时，a b>1，a －b2>0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2a b －>1.当b >a >0时，0<ab<1，a －b2<0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2a b －>1.综上可知，当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b≥(ab )a ＋b2成立考点二综合法与分析法[典例] (1)已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a ＋b ＋c≥9.(2)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .[证明] (1)法一 1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )111a b c ⎛⎫⎪⎝⎭＋＋≥3·3abc ·3·31abc ＝9(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立)．法二1a ＋1b ＋1c＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．)(2)要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2， 只需证2a 2－ab －b 2>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0.∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立．在本例(1)的条件下求证：(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2＋(c ＋1c )2≥1003.证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2＝13(12＋12＋12)·222111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋＋＋＋＋ ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋a ＋b ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋c a ＋a c 2 ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋2 b a ·a b ＋2 c b ·b c＋2 a c ·c a 2 ＝13×(1＋9)2＝1003. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．[针对训练]已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .证明：法一(分析法)要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ， 即证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ， 即证|a －c |<c 2－ab ， 即证(a －c )2<c 2－ab ， 即证a 2－2ac <－ab .因为a >0，所以只要证a －2c <－b ， 即证a ＋b <2c .由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立． 法二(综合法)因为a ＋b <2c ，所以a －2c <－b . 又因为a >0，所以a 2－2ac <－ab ， 所以(a －c )2<c 2－ab ， 所以|a －c |<c 2－ab ，所以－c 2－ab <a －c <c 2－ab ， 所以c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .考点三放缩法证明不等式[典例] (2014·洛阳模拟)有小于1的n (n ≥2)个正数x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1.求证：1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n>4. [证明] ∵0<x i <1，∴1x i －x 3i >1x i，其中i ＝1,2,3，…，n ， ∴1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n >1x 1＋1x 2＋1x 3＋…＋1x n ≥n n 1x 1x 2x 3…x n. ∵ nx 1x 2x 3…x n ≤x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n n ＝1n，∴ n1x 1x 2x 3…x n≥n ，∴1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n >n 2≥22＝4， ∴1x 1－x 31＋1x 2－x 32＋1x 3－x 33＋…＋1x n －x 3n>4. [针对训练]设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n＝1. 考点四柯西不等式求最值[典例] (2014·南通模拟)若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．[解] 由柯西不等式知：⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2×3a ＋2＋13b ＋2×3b ＋2＋13c ＋2×3c ＋22＝32＝9.∴⎝⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[3(a ＋b ＋c )＋6]≥9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2×9≥9.∴13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1. 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，取到最小值1.[针对训练]已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求证：1≤a ≤2. 证明：由柯西不等式得(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2，由已知可得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2，b ＋c ＋d ＝3－a ， ∴5－a 2≥(3－a )2，即1≤a ≤2. 当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16，即2b ＝3c ＝6d 时等号成立． [课堂练通考点]1．(2013·陕西高考改编)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，求(am ＋bn )(bm＋an )的最小值．解：(am ＋bn )(bm ＋an )＝ab (m 2＋n 2)＋mn (a 2＋b 2)≥2abmn ＋mn (a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(2ab ＋a 2＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n ＝2时取等号)．即所求最小值为2.2．已知x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，试利用柯西不等式判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系．解：∵x 2a 2＋y 2b2＝1，∴a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2＋y 2b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·x a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ·y b 2＝(x ＋y )2. 故a 2＋b 2≥(x ＋y )2. 3．设x ，y ，z 均为实数，求2x ＋y －zx 2＋2y 2＋z 2的最大值．解：由柯西不等式知(x 2＋2y 2＋z 2)2()⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦221212＋＋－≥(2x ＋y －z )2⇒2x ＋y －zx 2＋2y 2＋z 2≤222. 当且仅当x2＝2y ＝－z >0时等号成立．即所求最大值为222. 4．(2013·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. [课下提升考能]1．已知x ，y ，z ∈R ，若x 4＋y 4＋z 4＝1，求证：x 2＋y 2＋z 2≤ 3. 证明：x ，y ，z ∈R ，且x 4＋y 4＋z 4＝1为定值，利用柯西不等式得到(x 2＋y 2＋z 2)2≤(12＋12＋12)[(x 2)2＋(y 2)2＋(z 2)2]． 从而(x 2＋y 2＋z 2)2≤3⇒x 2＋y 2＋z 2≤ 3.当且仅当x 21＝y 21＝z 21时取“＝”号，又x 4＋y 4＋z 4＝1，所以x 2＝y 2＝z 2＝33时取“＝”号． 2．(2014·大连模拟)已知a >0，b >0，c >0，a ＋b >c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c1＋c. 证明：∵a >0，b >0， ∴a 1＋a >a 1＋a ＋b ，b 1＋b >b1＋a ＋b. ∴a1＋a ＋b 1＋b >a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x在(0，＋∞)上递增，且a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c )， 则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c，所以a 1＋a ＋b 1＋b >c1＋c ，故原不等式成立．3．已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0， 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0， 即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .4．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥cb a ＋ac b ＋b a c. 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴b 2a ＋c 2b ≥2b 2a ·c 2b ＝2c b a， 同理，c 2b ＋a 2c≥2ac b ，a 2c ＋b 2a≥2b a c ， 三式相加可得b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥cb a＋a c b＋b a c. 5．已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证|f (a )－f (b )|<|a －b |. 证明：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b2.又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2. ∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0，∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.6．设a ，b ，c 均为正实数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b .证明：∵a ，b ，c 均为正实数，∴12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立； 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c，当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a，当且仅当c ＝a 时等号成立； 三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．2014高考一卷. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236ab +=？并说明理由. 【解析】：(Ⅰ)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故333342a b b +≥=，且当a b ==∴33a b +的最小值为………5分 （Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分 2014高考二卷 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.1 ．（2013年高考大纲卷（文））不等式222x -<的解集是（ ） A ．()-1,1B ．()-2,2C ．()()-1,00,1 D ．()()-2,00,2【答案】D 2．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. (Ⅰ)当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集; (Ⅱ)设1a >-,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围 【答案】解:(I)当2()a f x =-时，不等式<g(x)化为21223x x x -+---<0. 设函数y=21223x x x -+---,则15,212,1,236, 1.x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示从图像可知,当且仅当x (0,2)∈时,y<0,所以原不等式的解集是{}02x x <<;(II)当)1,,()1.22a x f x a ⎡∈-=+⎢⎣不等式()f x ≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a -2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立,故22a a -≥-,即43a ≤,从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.3．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.3．（2013年高考辽宁卷（文））选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值。