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12.2 稳定平衡与不稳定平衡实例（6-1）图1处于静止平衡状态（即静力学平衡状态）的物体或物体系统，如果不具备抗击外界轻微干扰的能力，这种平衡就称为不稳定平衡；如果具备抗击外界轻微干扰能力，则称为稳定平衡；如果系统对外界轻微干扰的反应是随遇而安、稍微换个位置还能平衡，就称为随遇平衡例题对于第12.1节例题12.1-2,(1)假设系统不是在θ=30°位置,而是在任意角θo位置,即θ=θo位置保持静止平衡状态,求力偶M的值;(2)该例题计算结果表明,M=3.75mgL时系统能够在θ=30°位置保持静力学平衡状态,请问这属于哪种类型的平衡?图2(1)W (θ)=M (θ-θo )-7.5mgL (cos θo -cos θ)从功函数表达式可知,系统运动初始位置不同时功函数也不同,但只是相差一个常数.为什么？W ′(θ)=M -7.5mgL sin θ,令W ′(θo )=0得:M =7.5mgL sin θo ,系统在θ=θo 位置静止平衡时M =7.5mgL sin θo .W(θ)=3.75mgL [(θ-π/6)-2(cos30°-cos θ)] 1W(θ)=M(θ-π/6)-7.5mgL(cos30°-cos θ)3M =3.75mgL 24θo =30°图2假设3.75mgL =10W(θ)= 3.75mgL [(θ-π/6)-2(cos30°-cos θ)]4结论：本系统在30°位置的平衡是稳定平衡，在150°位置的平图3图4图2图5有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）12.2 不稳定平衡实例（6-2）图1处于静止平衡状态（即静力学平衡状态）的物体或物体系统，如果不具备抗击外界轻微干扰的能力，这种平衡就称为不稳定平衡；如果具备抗击外界轻微干扰能力，则称为稳定平衡；如果系统对外界轻微干扰的反应是随遇而安、稍微换个位置还能平衡，就称为随遇平衡例12.1-4、求图示无重组合梁支座A的约束力.图2图4解把A 铰用外力等效替代,设系统从静止开始加速运动(C 铰向下),系统运动至任意位置时动能及力系作功:图3图2θF αM αF F αw A sin sin )()(21438++-=⇒θr F αM αr F αr F αw DK BJ BA A sin sin sin )(21++-=56CD BC :sin :sin =αθαθsin sin 117=⇒αθθααd d F M F F w A ⋅++-=⇒cos 4cos )38()(' 21ααθθcos 11cos 7=⋅⇒d d 00令=)('w 2114118183F M F F A --=得：θF αM αF F αw A sin sin )()(21438++-=⇒6789W(α)=M (α-sinα)11图2图3图4假设M =100W(α)=M (α-sinα)11图2图3图4结论：图2所示系统为不稳定平衡图51112.2 静力学系统平衡位置的确定及稳定性判断（6-3）图1处于静止平衡状态（即静力学平衡状态）的物体或物体系统，如果不具备抗击外界轻微干扰的能力，这种平衡就称为不稳定平衡；如果具备抗击外界轻微干扰能力，则称为稳定平衡；如果系统对外界轻微干扰的反应是随遇而安、稍微换个位置还能平衡，就称为随遇平衡定理12.2-1单自由度物体系统运动过程中力系对系统做的功是系统参数的一元函数,该函数(即功函数)的驻点位置与系统运动起始位置无关;功函数的所有驻点位置都是系统能够保持静止平衡状态的位置,系统在这些位置静止时所受力系都是平衡力系,而在除此以外的其他任何位置,系统静止时所受力系都不是平衡力系.系统在功函数极大值位置的平衡是稳定平衡,在功函数常量位置的平衡是随遇平衡.在其他驻点位置的平衡是不稳定平衡.如何确定功函数的极大值、极小值位置？设q o 位置是功函数w(q)的驻点位置,即w ′(q o )=0,那么系统在q o 位置可处于静止平衡状态,则有:1)当w ″(q o )<0时q o 位置是功函数的极大值位置,系统在该处的平衡是稳定平衡;2)当w ″(q o )>0时q o 位置是功函数的极小值位置,系统在该处的平衡是不稳定平衡;3)当w ″(q o )=0时q o 位置是功函数的驻点但不一定是极值位置,要考察更高阶导数才能确定.25x y =25x y -=35x y =45x y =例12.2-1 图示细杆OA、AB长度都为L,OA杆上作用有力偶M, A铰销钉上作用有竖直力F1, 滑块B上有水平力F2 ,不计构件自重.图示θ=30°时系统处于静止平衡状态,求力偶M大小,并判断平衡的稳定性.图2)cos 22(sin )(21θθθθL L F L F M w -⋅-⋅-=θθθsin 2cos )(' 21L F L F M w ⋅--=θθθcos 2sin )('' 21L F L F w ⋅-=0) 30(' =︒w L F F M )2/3(21+=⇒解令系统从θ=0位置开始运动,OA 杆逆时针转动,功函数：0)30(''>︒w 2132F F >⇒不稳定平衡；0)30(''<︒w 2132F F <⇒稳定平衡；0)30('' =︒w 2132F F =⇒0 sin 2 cos ''' 3021≠⋅+=︒=θθθL F L F w 无极值,不稳定平衡.123456789图2例12.1-1 匀质圆轮半径为r,质量为m1，受到力偶M作用。
【知识点三】力的平衡3.1平衡状态：静止或匀速直线运动状态3.2平衡条件：F合=03.3平衡的种类---了解不稳平衡: 物体由于外力干扰偏离了平衡位置，重心降低，物体失去平衡而运动，且不能自动回到原平衡位置稳定平衡: 物体由于外力干扰偏离了平衡位置，但在重力的作用下能自动回到原来的位置，继续保持平衡状态随遇平衡: 物体由于外力干扰偏离了平衡位置，重心既不降低也不升高，始终保持平衡状态3.4 受力分析的顺序：一重、二弹、三摩擦、四其他物体处在平衡状态，对其进行受力分析使用方法1）物体受2个力作用或所受的力在同一条直线上，则对该方向上列平衡式子即可2）物体受3个力作用平衡，则把这3个力移到一个三角形中，由三角形的边长关系得到三个力之间的大小关系，如下列方法中的矢量三角形法、相似三角形法、三个力的正交分解法3）物体受4个以上的力作用的平衡，正交分解法，此时建立的坐标应让更多力落在坐标上题型一、平衡条件的应用【例】下列关于质点处于平衡状态的论述，正确的是（）A 质点一定不受力的作用B 质点一定没有加速度C 质点一定没有速度D 质点一定保持静止【例】下列情况中，物体处于平衡状态的有（）A竖直上抛的物体到达最高点时B单摆摆球通过平衡位置时C单摆摆球通过最高点时D弹簧振子通过平衡位置时【例】一个物体受三个共点力作用，这三个力大小相等，互成120°．则下列说法正确的是（）A 物体所受合力一定为零B 物体一定做匀速直线运动C 物体所受合力可能不为零D 物体可能做匀变速曲线运动【例】同时作用在同一物体上的下列几组力中，不能使物体做匀速运动的是( )A 3N，4N，5NB 2N，3N，6NC 4N，6N，9ND 5N，6N，11N【例】水平地面上的物体在水平方向受到一个拉力F和地面对它的摩擦力f的作用。
在物体处于静止状态的条件下，下列说法中正确的是( )A 当F增大时，f也随之增大B 当F增大时，f保持不变C F与f是一对作用力与反作用力D F与f的合力为零【例】如图所示，物体m被垂直于表面的力F压在倾斜的天花板上，则物体m受到的力的个数( )A 可能为2个B 可能为3个C 可能为4个D 一定为4个【例】如图所示，物体A 和物体B 叠放在一起，物体A 靠在竖直墙面上。
《物体平衡的稳定性》讲义在我们的日常生活和物理学的研究中，物体平衡的稳定性是一个非常重要的概念。
它不仅关乎到建筑物的结构安全，也影响着各种机械装置的正常运行，甚至在我们的行走、站立等日常活动中都起着关键作用。
那么，什么是物体平衡的稳定性呢？让我们一起来深入探讨一下。
首先，我们来理解一下物体平衡的基本概念。
当一个物体处于静止状态或者匀速直线运动状态时，我们就说这个物体处于平衡状态。
而平衡状态又可以分为三种类型：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。
稳定平衡是指当物体受到微小的扰动偏离平衡位置后，它能够自动地回到原来的平衡位置。
比如说，一个放在碗底的小球，当我们稍微推动小球使其偏离原来的位置，小球会在重力和碗的支撑力作用下自动回到碗底，这就是稳定平衡。
不稳定平衡则是指物体在受到微小扰动偏离平衡位置后，会继续远离原来的平衡位置。
一个典型的例子是放在倒置碗顶的小球，轻轻一碰，小球就会滚落下来，无法回到原来的位置。
随遇平衡则是指物体在平衡位置附近，无论处于哪个位置都能保持平衡。
例如，一个在水平面上滚动的圆柱体，它在任何位置都能保持平衡。
那么，是什么决定了物体平衡的稳定性呢？这主要取决于物体的重心位置和支撑面的关系。
对于稳定平衡的物体，其重心总是位于支撑面的上方。
当物体受到扰动时，重力产生的力矩会使其回到原来的平衡位置。
比如我们常见的不倒翁，其重心位置很低，底部较重，所以无论怎么推它，它都会恢复直立状态。
相反，对于不稳定平衡的物体，重心位于支撑面之外。
一旦受到扰动，重力产生的力矩会促使物体进一步偏离平衡位置。
在实际生活中，我们可以看到很多物体平衡稳定性的应用。
比如建筑物的设计，如果建筑物的重心过高或者支撑结构不合理，就容易在地震等外力作用下失去平衡而倒塌。
而桥梁的设计则需要充分考虑车辆行驶时对桥梁产生的扰动，确保桥梁在各种情况下都能保持稳定。
再来说说机械装置中的平衡稳定性。
例如，汽车的底盘设计需要保证在高速行驶、急转弯等情况下车辆的稳定性，避免发生侧翻等危险。
《物体平衡的稳定性》讲义一、物体平衡的基本概念在我们的日常生活和物理学的研究中，物体的平衡是一个非常重要的概念。
简单来说，物体处于平衡状态，就是指它在一定条件下保持静止或者做匀速直线运动。
平衡状态可以分为三种类型：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。
稳定平衡是指当物体受到微小扰动后，它能够自动恢复到原来的平衡位置；不稳定平衡则是在受到微小扰动后，物体不仅不能回到原来的位置，反而会进一步偏离；而随遇平衡是指物体在任何位置都能保持平衡，不受位置变化的影响。
为了更深入地理解物体平衡的稳定性，我们需要引入一些相关的物理量和概念。
二、影响物体平衡稳定性的因素1、重心位置重心是物体所受重力的合力作用点。
对于一个物体来说，其重心位置的高低对平衡稳定性有着关键的影响。
一般而言，重心越低，物体的稳定性就越高；重心越高，稳定性就越低。
比如，一个站立的人，如果弯腰或者蹲下，身体的重心就会降低，从而增加了站立的稳定性。
2、支撑面大小支撑面是指物体与支撑物接触所形成的面。
支撑面越大，物体就越不容易倾倒，平衡稳定性也就越高。
例如，三脚凳比单脚凳更稳定，就是因为三脚凳的支撑面更大。
3、物体的形状和结构物体的形状和结构也会影响其平衡稳定性。
具有对称结构且重心位于对称轴上的物体，往往更容易保持平衡。
而形状不规则、重心分布不均匀的物体，平衡稳定性相对较差。
三、稳定平衡的实例分析1、不倒翁不倒翁是一个非常典型的稳定平衡的例子。
不倒翁的底部通常是较重的半球形，重心很低。
当它受到外力倾斜时，重心会升高，产生一个使不倒翁恢复直立的力矩，从而让它能够自动回到原来的位置。
2、金字塔金字塔的结构也是稳定平衡的体现。
金字塔的底部宽大，重心较低，能够承受巨大的重量并且保持稳定。
四、不稳定平衡的实例分析1、直立的铅笔一根直立在桌面上的铅笔处于不稳定平衡状态。
稍微受到一点风吹或者触碰，铅笔就很容易倒下，因为它的重心较高，支撑面又极小。
2、尖顶的物体如尖顶的塔，由于其顶部尖锐，重心相对较高，一旦受到外界因素的影响，如强风等，就容易失去平衡而倒塌。
动力学中的平衡与稳定性分析动力学是研究物体在作用力下的运动规律的学科，平衡和稳定性是动力学中一个重要的概念。
平衡指的是物体处于稳定的状态，不受到任何干扰而保持静止或匀速直线运动；稳定性则是指物体在一定偏离平衡位置范围内具有恢复力，能够迅速回到平衡状态。
动力学中的平衡分为静态平衡和动态平衡。
静态平衡是指物体处于静止状态，不受到任何作用力或受到的作用力相互抵消，使得物体维持在一个静止的位置。
在静态平衡下，物体所受的合力和合力矩均为零。
动态平衡则是指物体以一定的速度作匀速直线运动，所受的合力和合力矩仍然为零。
静态平衡和动态平衡都是稳定的状态，只是物体的运动方式不同。
稳定性是指物体在平衡位置附近能够恢复到原来的平衡状态的性质。
平衡位置是指物体受到作用力后停留的位置。
在稳定平衡下，物体受到微小的扰动后会发生回归，恢复到原来的平衡状态。
稳定性的分析可以通过偏微分方程或者相图分析进行。
在偏微分方程方法中，通过对物体受到的外力和物体的位移关系进行微分，得到稳定性的判据。
相图分析则是通过将物体受力和受力矩绘制成相图，根据相图的形状来判断物体的稳定性。
在动力学中，稳定性分为两种类型：线性稳定和非线性稳定。
线性稳定是指物体在平衡位置附近的位移和受力之间呈线性关系，即物体经过微小的扰动后能够回到平衡位置。
非线性稳定则是指物体在平衡位置附近的位移和受力之间不呈线性关系，但仍具备稳定性。
非线性稳定包括了相位稳定、周期稳定和混沌。
相位稳定是指物体在一定范围内变化时，其周期在一致的范围内波动。
周期稳定则是指物体在一定周期内波动，并能在周期内完成一定的运动规律。
混沌是指物体在一定范围内的微弱扰动会导致突然的不可预测的运动变化，常常出现在非线性系统中。
总结起来，动力学中的平衡与稳定性分析涉及物体在作用力下的运动规律以及物体所处的稳定状态。
平衡可分为静态平衡和动态平衡，稳定性分为线性稳定和非线性稳定。
通过偏微分方程和相图分析可以对动力学系统的稳定性进行分析。
动态平衡课件一、引言动态平衡是指物体在受到外力作用后，其内部各部分相互抵消，使物体保持稳定状态的现象。
动态平衡的研究涉及物理学、力学、数学等多个学科领域，具有广泛的应用价值。
本课件旨在介绍动态平衡的基本概念、原理和应用，帮助大家更好地理解和掌握这一重要物理现象。
二、动态平衡的基本概念1.动态平衡的定义动态平衡是指物体在受到外力作用后，内部各部分相互抵消，使物体保持稳定状态的现象。
在动态平衡状态下，物体的加速度为零，即物体不会发生运动。
2.动态平衡的条件（1）合外力为零：物体所受的合外力为零，即物体处于力的平衡状态。
（2）合外力矩为零：物体所受的合外力矩为零，即物体处于力矩的平衡状态。
3.动态平衡的稳定性动态平衡的稳定性分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三种：（1）稳定平衡：当物体受到微小扰动后，能够自动恢复到原来的平衡状态。
（2）不稳定平衡：当物体受到微小扰动后，无法恢复到原来的平衡状态，且偏离平衡状态的程度逐渐增大。
（3）随遇平衡：当物体受到微小扰动后，偏离平衡状态的程度保持不变。
三、动态平衡的原理1.牛顿第一定律牛顿第一定律，又称惯性定律，指出：物体在不受外力作用时，将保持静止状态或匀速直线运动状态。
在动态平衡状态下，物体所受的合外力为零，因此物体将保持静止状态或匀速直线运动状态。
2.牛顿第二定律牛顿第二定律，又称加速度定律，指出：物体所受的合外力等于物体的质量与加速度的乘积。
在动态平衡状态下，物体的加速度为零，因此物体所受的合外力也为零。
3.牛顿第三定律牛顿第三定律，又称作用与反作用定律，指出：两个物体之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反，作用在同一直线上。
在动态平衡状态下，物体所受的合外力为零，说明物体内部各部分之间的作用力和反作用力相互抵消。
四、动态平衡的应用1.静力学问题动态平衡在静力学问题中具有广泛应用，如桥梁、建筑物、机器设备等的设计和计算。
通过分析物体在动态平衡状态下的受力情况，可以确保物体在受到外力作用时保持稳定。
《物体平衡的稳定性》讲义在我们的日常生活和工程实践中，物体平衡的稳定性是一个至关重要的概念。
无论是建筑物的结构设计、机械装置的运行，还是简单的日常物品放置，都涉及到物体是否能保持稳定平衡的问题。
理解物体平衡的稳定性，对于我们预测物体的行为、避免意外发生以及进行有效的设计和操作都具有重要意义。
首先，我们来明确一下什么是物体的平衡。
当一个物体在受到一组力的作用下，处于静止或者匀速直线运动的状态，我们就说这个物体处于平衡状态。
平衡状态又可以分为三种类型：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。
稳定平衡是指当物体受到微小扰动偏离平衡位置后，能够自动恢复到原来的平衡位置。
比如说，一个立在地面上的圆锥体，其顶点朝下放置时，就是处于稳定平衡状态。
如果稍微推一下它，使其倾斜，它会在重力的作用下自动恢复到原来的直立状态。
不稳定平衡则相反，当物体受到微小扰动偏离平衡位置后，会继续偏离，而不能恢复到原来的平衡位置。
一个圆锥体顶点朝上放置就是一个典型的不稳定平衡例子。
轻轻一碰，它就会倾倒，无法回到原来的位置。
随遇平衡是指物体在平衡位置附近，受到微小扰动后，能够在新的位置保持平衡。
比如一个球体放在水平面上，无论它在哪个位置，都能保持平衡。
那么，是什么决定了物体平衡的稳定性呢？这主要取决于物体的重心位置和支撑面的关系。
重心是物体所受重力的合力的作用点。
对于形状规则、质量分布均匀的物体，其重心就在几何中心。
而对于形状不规则或者质量分布不均匀的物体，重心的位置就需要通过实验或者计算来确定。
支撑面是物体与支撑物接触的部分所构成的面。
支撑面越大，物体越容易保持稳定平衡。
比如，一个长方体的箱子，平放时比立放时更稳定，因为平放时的支撑面更大。
此外，物体的高度也会影响平衡的稳定性。
一般来说，物体的重心越低，平衡就越稳定。
比如，矮胖的杯子比瘦高的杯子更不容易倾倒。
在实际应用中，我们经常会利用物体平衡稳定性的原理来进行设计和改进。
在建筑领域，建筑物的结构设计必须考虑平衡的稳定性。
