非线性非高斯滤波讲义
- 格式：pdf
- 大小：433.03 KB
- 文档页数：30
下载文档原格式
合集下载
2010_第四章_非线性系统的Kalman滤波
4.1 扩展的卡尔曼滤波方程前面讲的Kalman滤波要求系统状态方程和观测方程都是线性的。
然而，许多工程系统往往不能用简单的线性系统来描述。
例如，导弹控制问题，测轨问题和惯性导航问题的系统状态方程往往不是线性的。
因此，有必要研究非线性滤波问题。
对于非线性模型的滤波问题，理论上还没有严格的滤波公式。
一般情况下，都是将非线性方程线性化，而后，利用线性系统Kalman滤波基本方程。
这一节我们就给出非线性系统的Kalman滤波问题的处理方法。
为了方便描述，下面仅限于讨论下列情况的非线性模型kkxkk=k+(3.2.8.1)Φ+Γx+x),1(])w[()(k()1),(kkv=+kk+z(3.2.8.2)hx),1]1()1([+(+)1+式中，1)(⨯∈n R k x 是状态向量，1)(⨯∈m R k z 是观测向量，)(k w 和)(k v 是噪声；1⨯∈Φn R 是k k x ),(的非线性函数，具有一阶连续导数；1⨯∈m R h 是1),1(++k k x 的非线性函数，具有一阶连续导数。
)(k w 和)(k v 都是均值为零的白噪声序列，其统计特性如下{}{}0)(,0)(==k v E k w E ，{}kj T k Q j w k w E δ)()()(=，{}kj T k R j v k v E δ)()()(=另外，已知初始条件，即)0(x 的统计特性。
下面仅介绍推广的Kalman 滤波方法，即围绕滤波值)|(ˆk k x的线性化滤波方法，这种方法是先将非线性模型线性化，而后应用线性系统的Kalman 滤波基本公式。
由系统状态方程(3.2.8.1)可得)(]),|(ˆ[)]|(ˆ)([)),|(ˆ()1()|(ˆ)(k w k k k x k k xk x xk k k xk x k k xk x Γ+-∂Φ∂+Φ≈+= (2.3.8.3)),1()|(ˆ)(k k xk k xk x +Φ=∂Φ∂= (2.3.8.4))()|(ˆ]),|(ˆ[)|(ˆ)(k f k k xxk k k xk k xk x =∂Φ∂-Φ= (2.3.8.5) 则状态方程为)()(]),|(ˆ[)(),1()1(k f k w k k k xk x k k k x +Γ++Φ=+ (3.2.8.6) 初始值为{}000ˆm x E x==。
《非线性滤波》PPT课件
p xn | y1:n1
p
xn1
xn | xn1, y1:n1
p
xn1 | y1:n1
p xn | y1:n
p yn | xn p xn | y1:n1
p
xn
yn | xn
p xn | y1:n1
g(xn ) p(xn |y1:n ) xn g(xn ) p(xn | y1:n )
者多模分布）时，很难直接得到此
分布的采样点。
xˆ n|n1 Fn xˆ n1|n1
P XX n| n 1
Q Fn
P F XX
T
n1|n1 k
• 观察值预测和预测方差
yˆ n n-1 Hn xˆ n n-1
PYY n n1
R
H
n
P XX n| n 1
H
T n
• 先验预测互相关矩阵
P XY n n1
p H XX T n n-1 n
• 计算卡尔曼增益
P XX 0|0
卡尔曼滤波（线性模型）
xn Fn xn1 wn1
yn Hn xn vn
如果信号模型为线性，噪声为加性高斯噪声，则前面几个 假设真实成立。并且如果已知n-1时刻的后验均值和方差， 则先验和n时刻的后验均值和方差可以轻松算出。
线性卡尔曼滤波过程
预测
更新
• 状态预测（先验均值）和预测误差功 率（先验方差）
• 观察值预测和预测方差
•
Kn
P XY n n1
PnYYn1
1
使用观察值更新预测（后验
yˆnn-1
ynN
xn
;
xˆ n
PXX
n-1 n n-1
dxn
《非线性滤波》课件
VS
无迹卡尔曼滤波采用无迹变换来处理 非线性函数，从而能够更准确地描述 状态变量的概率分布。与扩展卡尔曼 滤波相比，无迹卡尔曼滤波具有更高 的计算效率和更好的估计性能，因此 在许多领域得到广泛应用。
容积卡尔曼滤波
容积卡尔曼滤波是一种结合了容积方法和卡尔曼滤波的算法。
容积卡尔曼滤波利用容积方法来计算状态变量的后验概率分布，并通过卡尔曼滤波来递归更新状态变量的估计。容积卡尔曼 滤波具有较高的计算效率和较好的估计性能，在许多实际应用中表现出色。
非线性滤波
目录
• 非线性滤波简介 • 非线性滤波算法 • 非线性滤波的应用 • 非线性滤波的优缺点 • 非线性滤波的未来发展
01
非线性滤波简介
定义与概念
非线性滤波是一种信号处理方法，通过非线性数学模型对信 号进行变换，以实现信号的提取、增强或抑制。非线性滤波 器能够处理那些线性滤波器无法处理的信号，如非线性的、 非平稳的、噪声干扰严重的信号。
03
非线性滤波的应用
导航定位
定位精度提高
非线性滤波算法能够处理多传感器融 合的数据，通过复杂的算法处理，提 高定位精度。
动态环境适应性
在动态环境中，非线性滤波能够实时 调整模型参数，以适应环境变化，保 证定位的准确性。
无人驾驶
传感器数据处理
无人驾驶车辆通过各种传感器获取数 据，非线性滤波能够对这些数据进行 有效处理，提取有用的信息。
3
可能产生失真
非线性滤波算法可能会对信号造成一定程度的失 真，因为它们会改变信号的原始特性。
05
非线性滤波的未来发展
算法改进
优化算法
随着计算能力的提升，非线性滤波算法将进一步 优化，提高计算效率和精度。
《非线性空域滤波器》课件
非线性空域滤波器的优势
非线性空域滤波器相比于传统线性滤波器具有更好的图像处理效果和性能。 它能够更有效地去除图像噪声、增强图像细节，提高图像质量。
总结：非线性空域滤波器的应用前景
非线性空域滤波器在图像处理领域有着广泛的应用前景。随着计算机技术的发展，非线性滤波器也将不断进步 和创新，为图像处理提供更好的解决方案。
参考资料
为了更好地理解和学习非线性空域滤波器，以下是一些推荐的参考资料： • 相关论文 • 专业书籍 • 学术文献
《非线性空域滤波器》PPT课 件
欢迎来到《非线性空域滤波器》PPT课件。本课程将带您深入了解非线性空域 滤波器的原理、应用和操作步骤。
什么是非线性空域滤波器？
非线性空域滤波器是一种用于图像处理的滤波器，它不仅可以改善图像的质 量，还可以实现模糊图像复原、噪声去除和图像增强等功能。
非线性空域滤波器的原理
非线性空域滤波器基于图像的局部特征进行处理，通过对图像的像素进行重 新排列和操作，来实现去除噪声、增强细节等效果。
应用：模糊图像的复原
非线性空域滤波器可以根据图像的模糊程度和特点，选择合适的滤波算法进 行图像复原，使得模糊的图像重新变得清晰和可辨认。
操作步骤：如何进行非线性滤 波
进行非线性滤波的步骤包括图像预处理、选择合适的滤波算法和参数设置、 滤波处理和结果评估等。正确的操作步骤
粒子滤波算法综述
粒子滤波算法综述作者：李孟敏来源：《中国新通信》2015年第10期【摘要】对粒子滤波算法的原理、发展历史以及应用领域进行综述，首先针对非线性非高斯系统的状态滤波问题阐述粒子滤波的原理，而后讨论粒子滤波算法存在的主要问题和改进手段，最后阐明其在多个研究领域中的应用现状。
【关键字】非线性滤波概率密度重采样粒子退化一、引言粒子滤波（PF）是一种在处理非线性非高斯系统状态估计问题时具有较好估计效果的方法，其原理是通过非参数蒙特卡洛方法实现贝叶斯滤波。
其最早起源于Hammersley等人在20实际50年代末提出的顺序重要性采样（SIS）滤波思想。
但由于上述方法存在严重的样本权值退化从而导致的粒子数匮乏现象，直到1993年Gordon等人将重采样技术引入蒙特卡洛重要性采样过程，提出一种Bootstrap滤波方法，从而奠定了粒子滤波算法的基础。
二、基本粒子滤波算法三、粒子滤波算法存在的主要问题及改进对于SIS算法来说，容易出现粒子的退化问题，目前存在的诸多对SIS算法的改进中，能够降低该现象影响的有效方法是选择合适的重要性函数和采用重采样方法。
针对状态空间模型的改进算法，如辅助变量粒子滤波算法（APF），局部线性化方法，代表的算法主要有EKF，UKF等。
针对重采样改进方法，文献通过将遗传算法和进化算法引入粒子滤波算法中，增加重采样过程中粒子的多样性。
然APF算法在过程噪声较小时，可获得比标准粒子滤波更高的滤波精度，在过程噪声较大时，其效果则大大降低。
采用局部线性化的方法EKF，UKF都是针对非线性系统的线性卡尔曼滤波方法的变形和改进，因此受到线性卡尔曼滤波算法的条件制约，而对于非高斯分布的状态模型，其滤波性能变差。
将遗传算法和进化算法与粒子滤波结合的改进粒子滤波算法，虽取得了较好的滤波效果，然而是以消耗过多计算资源为代价的。
四、粒子滤波的应用4.1 目标跟踪对目标进行定位和跟踪是典型的动态系统状态估计问题，在诸如纯角度跟踪的运动模型中，采用粒子滤波方法进行实现目标跟踪已获得了较好的跟踪精度，文献研究了多目标跟踪与数据融合问题，文献给出了基于粒子滤波的群目标跟踪算法。
基于高斯和与SCKF的非线性非高斯滤波算法
(8)
计算容积点经状态方程的传播:
X
∗ i,k
−1|k
−1
=
f ( X i,k −1|k −1)
(9)
计算状态预测:
2n
∑ Xˆ k|k −1 =
ωi
X
∗ i,k
−1|k
−1
i =1
方差开方矩阵的预测:
(10)
Sk|k −1
=
Tria
([
X
∗ k|k
−1
SQ ])
(11)
式中:Tria(·)表示对 M×N 阶(M﹤N)矩阵的转置矩阵进 行 QR 分解, 取 R 矩阵中前 M×M 部分, 再对获得 M×M 矩阵取转置。SQ 是状态噪声协方差矩阵 Qk 的 开方, 且有:
2 问题描述
考虑如下非线性非高斯模型:
X k +1 = f ( X k ) &+ Vk
(2)
式中:f 和 h 为非线性函数, Xk、Wk 为 n 维状态向量和
状态噪声, Zk、Vk 分别为 m 维量测向量和量测噪声, 状
态和量测噪声都为非高斯的且相互独立。
滤波目的是根据量测集{Z1, Z2,…, Zk}来求解 k 时 刻状态的后验分布 p(Xk|Z1, Z2,…, Zk), 进而求取状态 估计值 Xˆ k|k 和估计误差协方差 Pk|k 。具体可由如下递 推式表示:
在非高斯条件下, 高斯滤波器会导致很大误差甚 至发散。传统方法是采用 GSF 和 PF 算法, 其中 PF 利用大量的随机样本描述概率分布[10]。而传统 PF 采 用未含当前量测数据的状态转移先验分布作为重要 性密度函数, 引入较大的权重方差, 为克服这一问题, 文献[11-13]分别用 EKF、UKF 和 CKF 设计粒子重要 性密度函数, 由于融入了量测数据, 三种算法的滤波 精度都高于传统 PF。但由于都是在粒子滤波框架下推 导, 算法的计算量比传统 PF 要大, 对实时性要求较 高的情况很难满足应用需求。GSF 方法是基于高斯和 的理论, 采用多个相同滤波算法, 如 KF、EKF、UKF 或 PF, 作为子滤波器, 运用并行计算的方式来得到全 局滤波估计。GSF 方法一般采用较少的高斯项对非高 斯近似, 相比 PF 框架下 EPF、UPF 和 CPF 的计算量 要小很多。文献[14]在 GSF 框架下采用 KF 作为子滤 波器提出一种衰减记忆高斯和滤波(fading memory Gaussian sum filter, FMGSF), 由于算法采用 KF 作为 子滤波器, 对非线性情况无法处理。文献[1]推导了完 全非线性、非高斯情况下的 GSF, 分别采用 EKF、GHF 作为子滤波器, EKF 存在的问题使得 GSEKF 对非线 性程度高的非高斯情况滤波效果不好。文献[15]采用 均差滤波(divided difference filter, DDF)作为子滤波器, 改进了似然密度位于条件转移概率密度拖尾处时的 滤波精度, 与 GHF、UKF、CKF 相似, DDF 在每次滤 波过程中都存在对协方差矩阵开方操作, 矩阵的非正 定会导致算法的终止, 严重影响算法的稳定性。文献 [16]采用 PF 作为子滤波, 二者的结合会产生较大的计 算量。
基于Gabor特征分解的高斯混合非线性图像滤波
基于Gabor特征分解的高斯混合非线性图像滤波
蔡敏
【期刊名称】《科技通报》
【年(卷),期】2015(31)12
【摘要】通过图像滤波提高图像的分辨和识别能力,传统的图像滤波算法采用小波降噪方法,由于受到背景色噪声的干扰,小波分解中对低频图像参量的滤波性能不好。
提出一种基于Gabor特征分解的高斯混合非线性图像滤波算法。
首先进行图像平
滑和小波分解预处理,沿梯度方向求得图像边缘信息,在尺度平移平面上进行小波特
征分解,得到图像滤波过程中的Gabor小波变换系数,采用高斯混合非线性滤波算法实现图像滤波方法改进。
仿真结果表明,采用该方法进行图像滤波,能有效抑制图像
斑点噪声,提高图像的分辨性能,对边缘特征和细节的保持能力方面性能有优越,特别适用于对合成孔径雷达成像的滤波处理。
【总页数】3页(P64-66)
【关键词】图像;滤波;小波变换;特征分解
【作者】蔡敏
【作者单位】青岛黄海学院基础教学部
【正文语种】中文
【中图分类】TP317.4
【相关文献】
1.基于Gabor特征和字典学习的高斯混合稀疏表示图像识别 [J], 詹曙;王俊;杨福猛;方琪
2.基于贝叶斯自组织映射和高斯混合模型的混合像元分解 [J], 刘力帆;王斌;张立明
3.基于非高斯二维Gabor滤波器的生物特征提取算法 [J], 陈熙;张戈
4.基于Gabor特征和混合高斯模型的人脸表情分析 [J], 刘伟锋;汪增福;卢纪丽
5.基于Gabor特征分解的高斯混合非线性滤波算法 [J], 高菲菲
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
图像滤波原理
图像滤波原理图像滤波是数字图像处理中常用的一种技术，它可以对图像进行去噪、增强、边缘检测等操作，是图像处理中的重要环节。
图像滤波的原理是利用滤波器对图像进行卷积运算，通过改变像素值来实现对图像的处理。
在图像处理中，滤波器通常是一个矩阵，它可以对图像进行不同程度的平滑或锐化处理。
图像滤波的原理可以分为线性滤波和非线性滤波两种。
线性滤波是指滤波器的响应与图像的像素值之间存在线性关系，常见的线性滤波器有均值滤波、高斯滤波等。
均值滤波是一种简单的线性滤波器，它将图像中每个像素的值替换为其周围像素值的平均值，从而起到平滑图像的作用。
高斯滤波则是利用高斯函数来构造滤波器，对图像进行平滑处理的同时保留图像的细节。
非线性滤波则是指滤波器的响应与图像的像素值之间不存在线性关系，常见的非线性滤波器有中值滤波、最大值滤波、最小值滤波等。
中值滤波是一种常用的非线性滤波器，它将每个像素的值替换为其周围像素值的中值，适用于去除图像中的椒盐噪声等非线性噪声。
图像滤波的原理还涉及到频域滤波和空域滤波两种方法。
频域滤波是指将图像转换到频域进行滤波处理，然后再将处理后的图像转换回空域。
常见的频域滤波包括傅里叶变换、小波变换等。
空域滤波则是直接在图像的空间域进行滤波处理，常见的空域滤波包括均值滤波、中值滤波等。
总的来说，图像滤波的原理就是利用滤波器对图像进行卷积运算，通过改变像素值来实现对图像的处理。
不同的滤波器和滤波方法都有各自的特点和适用场景，选择合适的滤波器和滤波方法对图像进行处理，可以达到去噪、增强、边缘检测等不同的效果。
在实际应用中，需要根据具体的图像处理任务来选择合适的滤波器和滤波方法，以达到最佳的处理效果。
第3讲：非线性预测滤波算法及其应用
主要内容※EKF的特点※最小模型误差准则※非线性预测滤波※非线性预测卡尔曼滤波※分段自调整加权的非线性预测滤波※总结EKF的特点EKF的优点EKF是卡尔曼滤波在非线性系统中的扩展应用，其典型特征是在系统模型设计中采用状态空间表达式。
（1）适于对多维随机过程进行估计；（2）算法具有递推性，便于在计算机上实现。
EKF的不足EKF有效的前提条件是：1）要求系统模型准确已知；2）过程噪声被假设为协方差已知的零均值高斯白噪声过程。
在扩展卡尔曼滤波器的设计中，系统动态模型中存在的误差被作为过程噪声来处理，而且一般假定为零均值、协方差已知的高斯白噪声。
然而，这种假设往往缺少理论根据，不能正确反映模型误差的真实特性，从而导致状态估计精度的下降，甚至使滤波器发散。
为了解决上述问题，Mook等人提出了一种新的最优估计准则，即最小模型误差准则（MME：Minimum Model Error）。
最小模型误差准则最小模型误差准则考虑某一系统的状态矢量的动态特性可被建模为测量方程具有如下的离散形式且测量噪声满足考虑在存在建模误差的动态模型中增加修正项，此时方程(1)被修改为[]t t f t ),()(x x =&[])(),()(k k k k t t t h t v x y +={}0)(=k t E v {}kj j Tk R t t E δ=)()(v v （1）（2）[]()()t t G t t f t d x x+=),()(&()t d ()t G 为模型误差矢量；为模型误差分配矩阵。
对于连续-离散系统[]()()t t G t t f t d x x+=),()(&[])(),()(k k k k t t t h t v x y +=最小模型误差估计的最优准则是，寻找满足协方差约束条件的模型误差矢量的最小估计值。
是时刻的测量噪声方差阵。
在测量噪声是平稳随机过程的典型情况下，协方差约束条件可被描述为[]{}[]{}kT k k k k k k R t t x h t t t x h t ≈−−),(ˆ)(),(ˆ)(y y ()t d k R k t []{}[]{}R t t h t t t h tM M k Tk k k k k k ≈−−∑=1),(ˆ)(),(ˆ)(1x y x y （3）指标函数：[][][])()(21)(ˆ)()(ˆ)(21)(1t W t t t t t R t t t t t J T T d d y y y y d +∆+−∆+∆+−∆+=−由两项罚函数组成：（1）测量残差的加权平方和；（2）模型误差的加权平方和。
滤波器的非线性特性和补偿技术
滤波器的非线性特性和补偿技术滤波器在信号处理中起着至关重要的作用。
然而，由于实际元件的非线性特性，滤波器的性能可能会受到影响。
因此，研究滤波器的非线性特性以及相应的补偿技术就显得尤为重要。
一、滤波器的非线性特性滤波器在处理信号时，通常需要对信号进行放大、延迟、相位调整等操作。
而实际中使用的滤波器元件往往存在非线性特性，非线性项的引入可能导致输出信号中出现非线性谐波扭曲、交调等问题，严重影响滤波器的性能。
例如，由于非线性特性，滤波器的幅频响应曲线在不同输入信号下呈现非线性变化。
这就意味着在频率域中，不同频率的输入信号通过滤波器后会出现幅度失真现象。
此外，非线性特性还可能引发滤波器的相位失真，导致信号频谱的错位，影响信号的解调和调制等应用。
二、滤波器的非线性补偿技术为了消除滤波器的非线性特性对信号处理的影响，研究人员提出了多种补偿技术。
下面介绍几种常见的非线性补偿技术。
1. 前向补偿法前向补偿法是一种基于模型的非线性补偿方法。
这种方法首先对滤波器的非线性特性进行建模，然后通过插入逆模型来抵消非线性失真。
通过前向补偿，可以实现对滤波器的非线性特性进行精确补偿，提高信号处理的准确性。
2. 反馈补偿法反馈补偿法是一种常见的非线性补偿方法。
该方法通过引入反馈路径，将非线性失真信号与滤波器的输入信号进行比较，并生成相应的补偿信号。
将补偿信号与输入信号相加，可以有效减少滤波器输出信号中的非线性失真。
3. 预估补偿法预估补偿法是一种利用滤波器的预估模型来进行非线性补偿的方法。
该方法通过对输入信号进行预估，并根据预估结果对滤波器输出信号进行补偿。
这种补偿技术可以根据信号的实时性动态调整补偿效果，提高滤波器的性能和稳定性。
4. 自适应滤波技术自适应滤波技术是一种实时调整滤波器参数的方法。
该方法通过不断的监测滤波器的输出信号与期望信号之间的误差，调整滤波器的参数，使输出信号尽可能接近期望信号，并消除非线性特性的影响。
自适应滤波技术可以广泛应用于多种领域，如通信、图像处理等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
非线性/非高斯滤波讲义L ECTURE N OTES ON N ONLINEAR N ON-G AUSSIAN F ILTERING（第0.3版）张永安哈尔滨工业大学航天学院电话：150********；Email：zhangyongan76@2012年3月符号表∼：随机变量（向量）x具有概率分布密度函数()p x。
x p x()Pr()x：x取某值的概率。
∼：x服从均值为x、自协方差阵为P的高斯分布密度函数。
(;,)x N x x Pexp()x：x的指数函数，也可写作x e。
第一章 最优滤波的一般描述1.1 预备知识z 符号表示：()x p x ∼：随机变量（向量）x 具有概率分布密度函数()p x ； Pr()x ：x 取某值的概率；(;)x N x x P ∼：x 服从均值为x 、自协方差阵为P 的高斯分布密度函数；exp()x ：x 的指数函数，也可写作x e 。
z 估计（Estimation ）：从受到各种噪声和干扰影响的信号中按一定准则提取有用信号的过程。
z 估计器（Estimator ）：用作估计的算法。
z 估值（Estimate ）：被估计量经估计后得到的真实值的估计值。
z 决策（Decision ）：从一组离散的物理量中选取其中一个的估计过程。
z 滤波（Filtering ）：估计动态系统当前状态的过程。
z 导航（Navigation ）等运动状态信息。
z 跟踪（Tracking ）：通过遥测的方法估计运动体的状态信息。
引理1：分块矩阵求逆 给定11122122P P P P P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则其逆阵为11122122T T T T T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中()()111111122221112211122221112111222121222111T P P P P T P P P P V P P TV P P T −−−−−−⎧=−⎪⎪⎪=−⎨⎪=−⎪=−⎪⎩引理2 矩阵逆引理 设,A C 可逆，则()1111111()A BCD A A B DA B C DA −−−−−−−+=−+若用1A −代替A ，1C −代替C ，则()1111()A BC D A AB DAB C DA −−−−+=−+1.2 高斯随机向量的概率特征n 维随机向量n x ∈ 可以由其概率分布函数()F x 或者概率分布密度函数()p x 来表征，若其具有分布密度函数()p x ，则()()xF x p x dx −∞=∫x 也可以由其特征函数来决定，x 的特征函数为其概率分布密度函数的傅里叶变换：()()()TTnjx jx x E e e p x dx ωωφω=∫ ，()1()()2T njx x np x ed ωφωωπ−=∫顾名思义，高斯随机向量的概率分布为高斯分布（也称多维正态分布）。
定义： (1) 随机向量x 具有高斯分布密度函数：()()1121(;,)2exp 2T xxxx x N x x P P x x P x x π−−⎡⎤=−−−⎢⎥⎣⎦∼ 其中x Ex ，()()Txx P E x x x x ⎡⎤−−⎣⎦(2) 随机向量x 具有如下形式特征函数：()1()exp 2Tjx T T x xx E e jx P ωφωωωω⎡⎤==−⎢⎥⎣⎦其中x Ex ，()()Txx P E x x x x ⎡⎤−−⎣⎦1.3 高斯向量的基本性质性质1 高斯向量的线性变换仍然是高斯向量。
也就是，若(;,)xx x N x x P ∼，z Ax =，m n A ×∈ ，rank A m =，则~(;)zz z N z z P ，且Tzzxx z AxP AP A =⎧⎨=⎩ 证明：()()()()1exp ()()21exp ()()2T TTTjz j Ax z z x jx A T x x T T T T T xx T T T xx E eE e E e A jx A A P A j Ax AP A ωωωφωφωωωωωωω⎡⎤==⎣⎦⎡⎤==⎣⎦⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦性质2（作为性质1的推论）：高斯向量的线性组合仍然是高斯向量。
也就是：若1x 与2x 是联合高斯的，12,n x x ∈ ，且11111122122222;,x x x P P N P P x x x ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭∼ 则其线性组合1122z A x A x =+也是高斯的，其中12,m n A A ×∈ ，12rank rank A A m ==，11111122122222;,x x x P P N PP x x x ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭∼ 则~(;)zz z N z z P ，且11221111112222112222T T T Tzz z A x A x P A PA A P A A P A A P A =+⎧⎨=+++⎩ 特别的，若12n A A I ==，则1211122122zz z x x P PP P P =+⎧⎨=+++⎩ 证明：112212TT Tz A x A x M x x =+⎡⎤=⎣⎦这里[]12M A A =然后利用性质1。
性质3 若TTTy x z ⎡⎤=⎣⎦为高斯向量，则给定z 的条件下，x 的分布也是高斯分布，也就是;,xxxz zx zz P P x x x N PP z z z ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭∼ 则()|(|);),xx z p x z N x x z P =，其中;,xx xz zx zz P P x x x N P P z z z ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭∼ 其中11|ˆ()()xz zz xx z xx xz zz zxx z x P P z z P P P P P −−⎧=+−⎪⎨=−⎪⎩ 证明：可逆分块矩阵xxxz zxzz P P P P P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆阵为11xxxz xxxz zxzz zx zz PP T T P P P T T −−⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中()()11111111xxxx xz zz zxxz xx xz zz xx xz zzzx zz zx xx zz zx xx zz zzzx xx xz T P P P P T P P T T P P T T P P P P T T P P P P −−−−−−−−⎧=−⎪⎪=−=−⎪⎨=−=⎪⎪=−⎪⎩ 证明一：设x xz zξη⎧−⎨−⎩ ()()()()()()()()()12121112exp (,)2|1()2exp 211exp 22T xxyy T zz zz T T yy zz P y y P y y p x z p x z p z P z z P z z c y y P y y z z P z z ππ−−−−⎡⎤−−−⎢⎥⎣⎦==⎡⎤−−−⎢⎥⎣⎦⎡⎤=−−−+−−⎢⎥⎣⎦定义()()()()()11111112()T Tyy zz T TT yy zz xx xz T T T zz zxzz T T T T T xx zx xz zz zz zx xx xz T T T T xx zx xz zx xx xz Tzx xxq y y P y y z z P z z T P T T P T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ξξηηηηξξηηηηξξξηηξηηηηξξξηηξηηξη−−−−−−−=−−−−−⎡⎤⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++−−=+++=+()111()(xx zx xx Txz zz xx xz zz T T x x P P z z T x x P P z z ξη−−−+⎡⎤⎡⎤=−−−−−−⎣⎦⎣⎦因此，在给定z 的条件下，x 的条件分布为高斯分布：|ˆ~(),xx z x N x z P ⎡⎤⎣⎦其中111ˆ()()xz zz zz xx xx xz zz zxxz x P P z z P T P P P P −−−⎧=+−⎪⎨==−⎪⎩证明二：构造新的变量()1xz zz s x P P z z −=−−后面请同学们补充上。
定义 系统称为是线性高斯系统，若它是线性系统，且初始状态和输入信号满足高斯假设：1k k k k kk k k kx A x B w z C x v −=+⎧⎨=+⎩ 其中000ˆ~(,)~(,)~(,)k k k kk k x N xP w N q Q v N r R ⎧⎪⎨⎪⎩ 以下不作说明时，都假定0,,k k x w v 相互独立。
例 给定如上离散时间线性高斯系统，记{}1:1121,,,k k z z z z −−给定1k −时刻1k x −的概率分布密度()11:1|k k p x z −−，试求k x 的条件概率分布密度()1:|k k p x z 。
1.4 估计的基本概念1.4.1 参数估计问题引出参数估计问题 设参数n x ∈ 未知，现用某传感器测量该参数，传感器输出m z ∈ 为()z h x v =+其中m v ∈ 为测量误差，它为一随机变量，一般可以通过实验的方法确定其统计特性，因此这里设()p v 已知。
现给定参数x 的k 个测量12,,,k z z z ，()i i z h x v =+记{}1::1,2,,k k j z z j k Z = ，估计问题就是要寻找一个关于1:k z 的函数1:1:ˆˆ()(,)k k xz x k z 使得ˆx在某个准则意义上给出x 的最佳近似。
定义估计误差： ˆxx x =− 区分测量残差与测量误差两个概念，给定()ˆ()z h x vz h x ε=+⎧⎨=+⎩则v 为测量误差，是未知量；ε为测量残差，在x 的估计值ˆx 给出后，ε是已知的。
1.4.2 估计方法估计方法与所掌握的先验信息与使用的概率模型有关。
因此首先介绍一下概率模型。
1. 概率模型(1）非贝叶斯模型 (Non-Bayesian Model) 若在估计前没有任何关于状态的先验信息时，估计只能利用测量所提供的信息，给定k 个测量1:k z 后，可以有似然函数来表征：1:()(|)Z k x p z x Λ=如果这些测量是相互独立的，则1:1()(|)(|)kZ k i i x p z x p z x =Λ==∏进一步，若测量误差服从高斯分布，也就是~(;,)i i i i v N v r R则有[][]111()det(2)exp ()()2kT Z i i i i i x R z h x r R z h x r π−=⎧⎫Λ=−−−−−⎨⎬⎩⎭∏。