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傅里叶变换光学系统傅里叶变换光学系统，简称FT光学系统，是一种通过光学方法对物体进行分析的技术。
其基本原理是利用傅里叶变换的思想，将物体在空间域的信息转换为频域的信息，然后通过相同的方式将频域信息还原为空间域信息。
一、傅里叶变换的基本原理傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的技术。
其基本原理是将一个函数按照不同频率分解成一系列正弦波的和。
具体来说，傅里叶变换可以分为以下几个步骤：1. 对原函数在时间域上进行分段，使其转化为一系列长度为Δt 的小区间。
2. 对每一个小区间的函数值进行离散化处理，生成离散的数据序列。
3. 对离散的数据序列进行傅里叶变换，求出在频域上的频率分量。
4. 通过反傅里叶变换，将在频率域的信息还原为在时间域上的信息。
二、傅里叶变换在光学系统中的应用在光学系统中，傅里叶变换可以将一个物体的透射率函数转换为空间域和频域的关系。
通过加入透镜、像差校正等光学器件，可以实现将频域信息转换为对应的光学信号，进而生成一个光学图像。
这种光学图像可以对物体进行解析，便于对物体形状、大小、结构等信息进行研究。
FT光学系统广泛应用于生物医药、材料科学、光学工程等领域中。
三、傅里叶变换光学系统的优点与不足优点：1. 精度高：通过光学技术，可以获取高精度的物体信息，尤其是对于那些复杂的结构物体。
2. 兼容性好：FT光学系统可以与其他光学测量仪器、成像系统等进行互相配合，丰富了光学分析工具的功能。
3. 速度快：由于光子的速度极快，FT光学系统的成像速度也可以达到很高的水平。
不足：1. 设备成本高：由于FT光学系统需要使用高质量、高精度的光学仪器，因而设备成本较高。
2. 实验难度大：FT光学系统需要经过实验测试，对于初学者来说，实验难度比较大。
3. 约束条件多：FT光学系统对光源、光路、光学器件等条件的约束较多，安装过程比较繁琐。
总之，傅里叶变换光学系统在解析复杂物体、研究物体结构等方面有很大优势，并得到了广泛应用。
傅里叶变换光学LT22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+-（4）其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。
引入焦距f ，其定义为：12111(1)()n f R R=-- （5）代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j xy f =-+（6）式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)LU x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。
从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。
第二项22exp[()]2k j xy f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。
而且与透镜的焦距有关。
当考虑透镜孔径后，有：22(,)exp[()](,)2kt x y jx y p x y f=-+（7）其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为： 1(,)0p x y ⎧=⎨⎩ 孔径内其 它（8）2、透镜的傅里叶变换性质在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。
衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。
一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。
如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。
为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。
图2 透镜的傅里叶变换性质设(,)E x y 、11E(,)x y 、11E (,)x y '、(,)ffE x y 分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输出平面以及像方平面出光波场的复振幅分布。
第1篇一、实验目的1. 深入理解傅里叶光学的基本原理和概念。
2. 通过实验验证傅里叶变换在光学系统中的应用。
3. 掌握光学信息处理的基本方法，如空间滤波和图像重建。
4. 理解透镜的成像过程及其与傅里叶变换的关系。
二、实验原理傅里叶光学是利用傅里叶变换来描述和分析光学系统的一种方法。
根据傅里叶变换原理，任何光场都可以分解为一系列不同频率的平面波。
透镜可以将这些平面波聚焦成一个点，从而实现成像。
本实验主要涉及以下原理：1. 傅里叶变换：将空间域中的函数转换为频域中的函数。
2. 光学系统：利用透镜实现傅里叶变换。
3. 空间滤波：在频域中去除不需要的频率成分。
4. 图像重建：根据傅里叶变换的结果恢复原始图像。
三、实验仪器1. 光具座2. 氦氖激光器3. 白色像屏4. 一维、二维光栅5. 傅里叶透镜6. 小透镜四、实验内容1. 测量小透镜的焦距实验步骤：（1）打开氦氖激光器，调整光路使激光束成为平行光。
（2）将小透镜放置在光具座上，调节光屏的位置，观察光斑的会聚情况。
（3）当屏上亮斑达到最小时，即屏处于小透镜的焦点位置，测量出此时屏与小透镜的距离，即为小透镜的焦距。
2. 利用夫琅和费衍射测光栅的光栅常数实验步骤：（1）调整光路，使激光束通过光栅后形成衍射图样。
（2）测量衍射图样的间距，根据dsinθ = kλ 的关系式，计算出光栅常数 d。
3. 傅里叶变换光学系统实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在光栅后放置傅里叶透镜，将光栅的频谱图像投影到屏幕上。
（3）在傅里叶透镜后放置小透镜，将频谱图像聚焦成一个点。
（4）观察频谱图像的变化，分析透镜的成像过程。
4. 空间滤波实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在傅里叶透镜后放置空间滤波器，选择不同的滤波器进行实验。
（3）观察滤波后的频谱图像，分析滤波器对图像的影响。
五、实验结果与分析1. 通过测量小透镜的焦距，验证了透镜的成像原理。
光学傅里叶变换原理傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数（ 或信号）从时间 或空间）域转换到频率域。
在光学中，傅里叶变换也具有重要的应用，尤其是在描述光波传播、光学系统和图像处理等方面。
傅里叶变换原理涉及到以下重要概念和原则：1.（傅里叶级数：傅里叶级数指的是将周期性函数分解为一系列正弦和余弦函数的和的过程。
它表明任何周期性函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
2.（连续傅里叶变换 Continuous（Fourier（Transform）：对于连续信号，傅里叶变换将信号从时域转换到频域。
它描述了信号在频率空间中的频谱特性，展示了信号由哪些频率分量组成。
3.（离散傅里叶变换 Discrete（Fourier（Transform）：对于离散数据集合，比如数字图像或采样信号，离散傅里叶变换用于将这些离散数据从时域转换到频域。
它在数字信号处理和图像处理中得到广泛应用，用于分析和处理频率特性。
4.（光学中的应用：在光学中，傅里叶变换可以描述光的传播和衍射现象。
例如，傅里叶光学理论表明，光学系统（如透镜、光栅等）可以看作是对光波进行空间域的傅里叶变换。
这种理论有助于理解光的传播特性，并在光学系统设计和成像技术中发挥重要作用。
5.（变换原理：傅里叶变换原理表明，任何一个信号都可以通过傅里叶变换分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数。
这种变换可以帮助我们理解信号的频率成分，并对信号进行处理、滤波或合成。
总的来说，傅里叶变换原理提供了一种从时域到频域的转换方法，在光学中，它被广泛应用于光波传播、光学系统设计和图像处理等领域，为我们理解和处理光学现象提供了重要的工具。
光学4f系统的傅里叶变换原理
光学4f系统是一种常见的光学传递系统，由两个透镜组成，分别称为前透镜和后透镜，它们之间的距离为f。
该系统可以实现对输入光场的傅里叶变换。
傅里叶变换原理是指输入光场通过光学4f系统后，可以得到输出光场的傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换方法，可以将一个信号分解成一系列的频率成分。
在光学4f系统中，输入光场首先经过前透镜，前透镜将输入光场进行傅里叶变换，将其分解成一系列的平面波。
这些平面波经过后透镜后，再次叠加在一起，形成输出光场。
输出光场可以通过适当选择前透镜和后透镜的焦距以及它们之间的距离f，来实现对输入光场的傅里叶变换。
具体来说，如果前透镜的焦距为f1，后透镜的焦距为f2，则前透镜和后透镜之间的距离为f=f1+f2。
根据傅里叶变换的性质，输入光场经过前透镜后，可以表示为前透镜的传递函数H1与输入光场的乘积。
同样地，输出光场可以表示为后透镜的传递函数H2与前透镜的传递函数H1与输入光场的乘积。
因此，输出光场可以表示为H2H1与输入光场的乘积。
通过选择合适的传递函数H1和H2，可以实现对输入光场的傅里叶变换。
常见
的选择是使H1和H2为透镜的传递函数，即H1和H2都为复振幅调制函数。
这样，输出光场可以表示为输入光场的傅里叶变换。
总之，光学4f系统的傅里叶变换原理是通过选择适当的透镜传递函数，使得输入光场经过前透镜和后透镜后，可以得到输出光场的傅里叶变换。
这一原理在光学信号处理和图像处理中有广泛的应用。
光学经典理论｜傅里叶光学基础2018-02-24 17:00今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。
光学人们可以看看！在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。
在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。
傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。
其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。
从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。
当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。
而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。
中山大学光信息专业实验报告：傅里叶光学变换系统一、实验目的和内容1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。
2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。
3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。
4、在4f 系统的变换平面（T种试件相应的频谱处理图像。
二、实验原理 1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析各处走过的光程差不同，即所受时间延迟不同，调制能力。
图1 为简化分析，假设任意点入射光线在透镜中的传播距离等于改点沿光轴方向透镜的厚度，并忽略光强损失，即通过透镜的光波振幅分布不变，仅产生位相的变化，且其大小正比于透镜在该点的厚度。
设原复振幅分布为(,)L U x y 的光通过透镜后，其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因子(,)x y ϕ后变为(,)L U x y '：图1(,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ϕ'= （1）若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。
光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为：00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ϕ=-+=+- （2）（2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。
用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为：0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3）由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。
在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为： 22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+- （4） 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。
引入焦距f ，其定义为：12111(1)()n f R R =-- （5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f=-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。
从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。
第二项22exp[()]2k j x y f-+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。
而且与透镜的焦距有关。
当考虑透镜孔径后，有： 22(,)exp[()](,)2k t x y j x y p x y f=-+ （7） 其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为：1(,)0p x y ⎧=⎨⎩孔径内 其 它 （8） 2、透镜的傅里叶变换性质在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。
衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。
一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。
如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。
为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。
图2 透镜的傅里叶变换性质设(,)E x y 、11E(,)x y 、11E (,)x y '、(,)f f E x y 分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输出平面以及像方平面出光波场的复振幅分布。
由于透镜的相位调制特性，输出平面与输入平面出光波场之间的关系由下式决定： 221111E (,)E(,)exp[()]2k x y x y i x y f'=-+ （9） 而从透镜输出平面到像方焦平面，光波相当于经历一次菲涅耳衍射。
夫朗和斐近似下观察到平面上的衍射光场复振幅 ：＝221001()22111111{E(,)exp[()]}iz ikz x y z e e F x y i x y i z z λπλλ++ （10） 式中u 和v 分别表示1x 和1y 方向的空间频率。
于是由（9）和（10）式，透镜像方焦平面上的光波场复振幅(,)f f E x y 分布应具有如下形式：＝22211{E(,)}f f x y ikf ik f e e F x y i f λ+ （ ,f f x y u v f fλλ== ） （11） 在单位振幅的平面波垂直照射下，透镜衍射屏的光波场复振幅分布(,)E x y 即等于衍射屏的透射系数(,)t x y ，故其频谱分布为：{(,)}{(,)}(,)F E x y F t x y T u v == （12） 该频谱分量从衍射屏传播到透镜的输入平面处，产生一个相位延迟(,,)u v z ϕ，即有： (,)(,)exp[(,,)]E u v T u v i u v z ϕ= （13） 在傍轴条件下(,,)u v z ϕ具有如下的形式： 222(,,)()2k u v z kz z u v ϕλ=-+ （14）由此可以得到透镜输入平面处光波场的频谱分布为： 22211{(,)}(,)(,)exp[()]2k F E x y E u v T u v ikz i z u v λ==-+ （15） 代入（11）得透镜像方焦平面处的广场分布为：＝22()(1)2(,)f fx y z ik z f ik f f e e T u v i f λ++- （,ffx y u v f f λλ==） （16）从上式可以看到，在单色平面波垂直照射下，透镜像方焦平面处的光场除了一个常数因子外和一个二次因子外，其余的反应了衍射屏透射系数得傅里叶变换。
经过进一步的分析我们可以得到在用透镜对二维关学图像进行傅里叶变换时，若将图像放置在透镜的物方焦平面上，则在透镜的像方焦平面上得到输入图像准确的傅里叶变换。
若将输入图像放置在透镜与其像方焦平面之间，则像方焦平面上频谱图样的大小可随衍射屏到像方焦平面的距离的变化而改变；并且当输入图像紧贴透镜后放置时可获得最大的频谱图样。
而对于球面波照射时，傅里叶变换平面将不是在透镜的像方平面。
而是光源的共轭像平面上。
3．透镜孔径的衍射与滤波特性由于孔径的衍射效应，任何具有有限大小通过光孔径的光学成像系统，均不存在如几何光学中所说的理想像点。
所谓共轭像点，实际上是由系统孔径引起的，以物点的几何像点为中心的夫琅和斐衍射图样的中央亮斑——艾里斑。
其次，透镜有限大小的通光孔径，也限制了衍射屏函数的较高频率成分（具有较大入射倾角的平面波分量）的传播。
这可以从图3可以看出：图3：透镜孔径引起渐晕效应透过衍射屏的基频平面波分量1可以全部通过透镜，具有较高（空间）频率的平面波分量2只能部分通过，而高频平面波分量3则完全不能通过。
这样，在透镜像方焦平面上的光波场中就缺少了衍射屏透射光场中部分高频成分，因此，所得衍射屏函数的频谱将不完整。
这种现象称为衍射的渐晕效应。
由此可将，从光信息处理角度来讲，透镜孔径的有限大小，使得系统存在着有限大小的通频宽带和截止频率；从光学成像的角度来讲，则使得系统存在着一个分辨极限。
4．相干光学图像处理系统（4f 系统）用夫琅和斐衍射来实现图像的频谱分解，最重要的意义是为空间滤波创造了条件，由于衍射场就是屏函数的傅里叶频谱面，空间频率（u ，v ）与衍射场点位置（,ξη）一一对应，使得人们可见从改变频谱入手来改造图像，进行信息处理。
为此，设计了图4所示的图像处理系统。
图4 4f 图像处理系统在此系统中，两个透镜1L 、2L 成共焦组合，1L 的前焦面（x ，y ）为物平面O ，图像由此输入，2L 的后焦面(',')x y 为像平面I ，图像在此输出。
共焦平面（,ξη）称为变换平面T ，在此可以安插各种结构和性能的屏（即空间滤波器）。
当平行光照射在物平面上时，整个OTI 系统成为相干成像系统。
由于变换平面上空间滤波器的作用，使输出图像得以改造，所以OTI 系统又是一个相干光学信息处理系统。
这里先研究它的成像问题。
我们将相干光学系统的成像过程看作两步：第一步，从O 面到T 面，使第一次夫琅和斐衍射，它起分频作用。
第二步，从T 面到I 面，再次夫琅和斐衍射，起合成作用，即综合频谱输出图像。
在这样的两步中，变换平面T 处于关键地位，若在此处设置光学滤波器，就能起到选频作用。
要想作到图像的严格复原，T 面必须完全畅通无阻。
此处的4f 系统每次衍射都是从焦面到焦面，这就保证了复振幅的变换是纯粹的傅里叶变换。
如果光波能够自由通过变换平面，即连续两次的傅里叶变换，函数的形式基本复原，只是自变量变号, ),(),(01y x U y x U --∝''即图像倒置。
在有源滤波器的情况下,001U t U U T ≠=这里为滤波器的透过率函数，这也是我们进行滤波实验的依据。
5. 空间滤波实验要从输入图像中提取或排除某种信息，就要事先研究这类信息的频谱特征，然后针对它制备相应的空间滤波器置于变换平面，经过第二次衍射合成后，就可以达到预期的效果，光信息处理的原理也就是基于如此。
三、实验仪器与装置图实验仪器：激光器、准直系统、傅里叶透镜、傅里叶变换试件、频谱处理器、CCD 光电接收器；实验装置图：如图5图5 实验装置图四、实验内容1. 根据傅里叶变换光路装置简图摆好光路，打开激光电源，调整光路。
2. 开启电脑，运行csylaser 软件。
调节光路中各器件的位置，以得到样品较为清晰的傅里叶变换图像（根据所用样品，最终应得到“米”字图像）。
并将图像保存，作为原始数据。
3. 根据反傅里叶变换光路装置简图（4f 系统）摆好光路，调节器件位置，以得到样品最为尖锐的反傅里叶变换图像，并保存。
在调节时，主要是调节CCD的位置，傅里叶透镜的位置摆放好不要轻易乱动。
4.在频谱处理器的位置加上带有狭缝的滤波片，将激光依次透过狭缝，观察不同的狭缝对于光波的透过作用的不同，保存图像，并分析。
5.关闭激光器和电脑电源，整理好仪器。
实验结束。
四、实验数据记录与分析1. 观察样品的傅里叶频谱图图样。
图6所示为样品的原图样，图7为其频谱图：图6 样品示意图图7 样品傅里叶变换频谱图由图可知，样品经过傅里叶变换得到的频谱图理论验证：用Mat Lab程序编辑一个二维矩阵做出一个图6所示的图像，使其发光部分值为1，不发光部分为0。
