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关于正交变换法化二次型为标准型例题的文章正交变换法是一种重要的数学工具，用于将二次型化为标准型。
二次型是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学和经济学等。
通过正交变换法，我们可以简化二次型的计算和分析过程，从而更好地理解和应用它们。
首先，让我们来了解一下什么是二次型。
在数学中，一个二次型是由一组变量的平方项和交叉项组成的多项式。
它可以表示为Q(x) = x^T A x，其中x是一个n维向量，A是一个n×n矩阵。
二次型在矩阵理论、线性代数和优化问题中都有广泛的应用。
然而，在实际问题中，我们经常需要将复杂的二次型化简为更简单的形式。
这就引出了正交变换法。
正交变换法通过选择适当的正交矩阵P来改变坐标系，从而将原始二次型转化为标准型。
具体来说，我们可以通过以下步骤来进行正交变换法：1. 首先，找到原始二次型Q(x) = x^T A x 的矩阵A的特征值和特征向量。
\n2. 将特征向量按列组成一个正交矩阵P。
\n3. 计算P^T A P，得到一个对角矩阵D。
\n4. 标准型二次型为Q(y) = y^T D y，其中y = P^T x。
通过这样的正交变换，我们可以将原始二次型化为标准型。
标准型的特点是只有平方项，没有交叉项。
这样一来，我们可以更方便地计算和分析二次型的性质。
举个例子来说明正交变换法的应用。
假设我们有一个二次型Q(x) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 4x_1x_2。
我们可以通过正交变换法将其化为标准型。
首先，计算矩阵A的特征值和特征向量。
假设A的特征值为λ_1 = 5和λ_2 = 1，对应的特征向量分别为v_1 = [1, 1]^T 和v_2 = [-1, 1]^T。
然后，将特征向量按列组成正交矩阵P = [v_1, v_2] = [[1, -1], [1, 1]]。
接下来，计算P^T A P。
由于A是对称矩阵，所以P是正交矩阵，即P^T P = I。
用正交变换化二次型为标准型正交变换是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们简化二次型的计算。
在本文中，我们将讨论如何利用正交变换将一个二次型化为标准型。
首先，我们需要了解什么是正交变换以及什么是二次型。
正交变换是指在欧几里得空间中，保持向量长度和内积不变的线性变换。
具体来说，如果一个矩阵满足$Q^TQ=I$，其中$Q^T$表示$Q$的转置，$I$表示单位矩阵，那么我们称矩阵$Q$是正交矩阵。
正交矩阵的列向量是两两正交的，并且每个列向量的长度为1。
正交变换可以将一个向量从一个坐标系变换到另一个坐标系，而不改变向量的长度和夹角。
二次型是关于$n$个变量的二次齐次多项式，通常表示为。
$$。
Q(x)=x^TAx。
$$。
其中$A$是一个对称矩阵，$x$是一个$n$维列向量。
二次型在很多领域都有着重要的应用，比如物理学、工程学和经济学等。
现在，我们来讨论如何利用正交变换将二次型化为标准型。
设$Q(x)=x^TAx$是一个二次型，我们希望找到一个正交矩阵$P$，使得变换后的二次型$Q(y)=y^TBy$为标准型。
这里的$B$是一个对角矩阵，对角线上的元素称为二次型的主轴。
首先，我们需要找到$A$的特征值和特征向量。
设$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$是$A$的特征值，$v_1,v_2,...,v_n$是对应的特征向量。
由于$A$是对称矩阵，特征向量是两两正交的，我们可以将它们单位化，得到一个正交矩阵$P$，使得$P=[v_1,v_2,...,v_n]$。
接下来，我们利用正交矩阵$P$进行变换。
设$y=Px$，则有。
$$。
Q(y)=(Px)^TA(Px)=x^T(P^TAP)x。
$$。
由于$P$是正交矩阵，$P^T=P^{-1}$，所以$P^TAP$是对角矩阵，记作$B$。
这样，原来的二次型$Q(x)$就变成了$Q(y)=y^TBy$的形式，其中$B$是对角矩阵，对角线上的元素就是二次型的主轴。
§6用配方法化二次成标准形
用正交变换化二次型成标准形,具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换法,那么还有多种方法对应有多个可逆的线型变幻把二次型化成标准形.这里只介绍拉格朗日配方法.下面举例来说明这种方法 例15 化二次型
3
2
3
1
2
1
2
2
2
2
2
1
62252x
x x x x x x x x f +++++=
成标准形,并求所用的变换矩阵
解 由于
f
中含变量
1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得
3
2
2
3
2
2
3
1
2
1
21
65222x
x x x x x x x x f +++++=
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
1
6522)(x
x x x x x x x x x x +++---++=
23
3
2
2
2
2
3
2
1
44)(x
x x x x x x +++++=
上式右端除第一项外已不再含.1x 继续配方，可得
2
3
2
2
3
2
1
)
2()(x x x x x f ++++=
令
⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=,,2,
333223211x y x x y x x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=,
,
2,
33
3223211y x y y x y y y x 就把化成标准形(规范形)22
21
y
y f +=，所用变换矩阵为
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=10
210111
C ，).
01(≠=C
例 16 化二次型
3
2
3
1
2
1
622x
x x x x
x f -+=
成规范形，并求所用的变换矩阵. 解 在
f
中不含平方项。
由于含有乘积项，故令
⎪
⎩⎪
⎨⎧=-=+=,
,
,33212211y x y y x y y x
代入可得
.32312
22
18422y y y y y y f +--=
在配方，得 .6)2(2)(22
32
322
31y y y y y f +---=
令⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧=-=-=,6),2(2),(233322311y z y y z y y z 即⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
=+=+=,
61,
6
221,61213332311z y z z y z z y
就把
f
化成规范形
,
33
22
2
1
z z
z
f +-=
所用变换矩阵为
,61
0612121632121
610
6221061021100011011⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C
).
06
1(≠-
=C
一般地，任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆变换，把二次型化成标准形（或规范形）。
§7正定二次型
二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩）。
不仅如此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数十不变的（从而负系数的个数也不变），也就是有
定理9 设有二次型Ax
x f T
=,它的秩为r ，有两个可逆变换
Cy
x = 即
Pz
x =
使 ()022
2
2
2
1
1
≠+++=i
r
r
k y k y k y k f
即
()02
2
2
2
2
1
1
≠+++=i
r
r
z z z f λλλλ 则 r k k ,,1 中
正数的个数与r λλ,,1 中正数的个数相等..
这个定理 称为惯性定理，这里不予证明.
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数.若二次型f 的正惯性指数为,p 秩为,
r 则
f
的规范形便可确定为
.221
221
r
p p
y y
y y
f ---++=+
科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为n 或负惯性指数为n 的n 元二次型，我们有下述定义.
定义 10 设有二次型如果对任何
≠x ,都有
()0
>x f
（显然
()00=f ，则称f
为正定二次型，并称对称阵A 是正定的；如果对任何0≠x 都
有
()0<x f
,则称
f 为负定二次型，并称对称阵A 是负定的.
定理 10 二次型
Ax
x f T
=为正定的充分必要条件是：它的标准形的
n 个系数全为正，即它的正惯性指数等于n 证 设可逆变换Cy x =使
()
()
2
1
i n
i i y k Cy f
x f
∑
==
=
先证充分性.设
)
,,1(0n i k i =>任给
,
0≠x 则
01
≠=-x c y ，故
()
.02
1
>=
∑
=i
n
i i y k x f
再证必要性。
用反证法。
假设有
.0≤s k 则当s
e
y =（单位坐标向量）时，
().0≤=s s k Ce f 显然0≠s
Ce
,这与f 为正定相矛盾。
这就证明了
().,,10n i k
i
=>
推论 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正。
定理 11 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正，即
,,0,
01
111
22
2112
11
11
>>>+nn
n n
a
a
a
a
a
a
a a a
对称阵A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子为负，而偶数阶主子式为正， 即
()()n r a
a
a
a
rr
r r
r
,,2,1,011
111
=>-
这个定理称为霍尔维茨定理，这里不予证明。
例17 判定二次型
xz
xy z y x f 444652
2
2
++---=的
正定性。
解
f
的矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=40
2
062225A ,
,0266
2
25,
522
2112
11
11
>=--=
-=a
a
a a a
,
080<-=A
根据定理 11 知f
为负定。
设
()y x f ,是二元正定二次型，则()c y x f =,(0>c 为常数)的图形是以原形为
中心的椭圆。
当把c 看作任意常数时则是一族椭圆 。
这族椭圆随着0→c 而收缩到原
点。
当
f
为三元定二次型时，
()()0,,>=c c z y x f 的图形是一族椭球。
