高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例例题与探究含解析北师大版必修

2.7 向量应用举例
典题精讲
例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.
答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：
||2＋||2=2||2＋2||2.
证法一：如图2-7-1所示，设=a, =b，
∴=＋=a＋b，=-=b-a.
图2-7-1
∴|AC|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2，
|BD|2=（b-a）2=a2-2a·b＋b2.
∴||2＋||2=2a2+2b2.
又∵2||2＋2||2=2||2＋2||2=2a2+2b2，
∴||2＋||2=2||2＋2||2,
即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.
证法二：如图2-7-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.
设A（0，0）、D（a，b）、B（c，0），
∴=＋
图2-7-2
=＋=（c,0）+(a，b)=(a+c,b)，
=-
=OD-OB=(a,b)-(c,0)=(a-c,b).
∴|AC |2=（c +a ）2+b 2
， ||2=（a -c ）2+b 2. ∴||2＋||2=2a 2+2c 2+2b 2. 又∵2||2＋2||2=2||2＋2||2=2a 2+2c 2+2b 2， ∴|AC |2＋|BD |2=2|AB |2＋2|AD |2，
即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.
绿色通道：
1.向量法解决几何问题的步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种），研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译）.
2.平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.
变式训练
如图2-7-3所示，AC 、BD 是梯形ABCD 的对角线，BC ＞AD ，E 、F 分别为BD 、AC 的中点.试用向量证明：EF ∥BC.
图2-7-3
思路分析：证明EF ∥BC，转化为证明EF ∥BC，选择向量基底或建立坐标系均可解决. 证法一（基向量法）：设=a ，=b ，则有=-=b -a . ∵AD ∥BC ，
∴存在实数λ＞1使BC =λAD =λb .
∵E 为BD 的中点， ∴=21=2
1 (b -a ）. ∵F 为AC 的中点， ∴=+=+
21=+21(-）=21(+）=21(-）=21 (λb -a ）.
∴EF =BF -BE =
21 (λb -a ）-21 (b -a ）=（21λ-2
1）b . ∴EF =［（21λ-21）·λ1］BC . ∴∥.
EF ∥BC.
证法二(坐标法)：如图2-7-4所示，以为x 轴，以B 为原点建立平面直角坐标系.则B(0,0)，设A （a,b ）,D(c,b),C(d,0).
图2-7-4 ∴E(
2
,2b c )，F(2,2b b a +). ∴=(2,2b b a +)-(2
,2b c )=(0,2c d a -+)，=(d,0). ∵2c d a -+×0-d×0=0. ∴EF ∥BC .
∴EF ∥BC.
例2如图2-7-5，一艘船从A 点出发以32km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.
图2-7-5
思路分析：船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可. 解：如图2-7-5所示，设=a 表示船垂直于对岸行驶的速度，=b 表示水流的速度，以AD 、AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行速度,即AC =a +b ， ∵|a |=32，|b |=2,a ·b =0， ∴||2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2
=16，即||=4.
∵AC ·AB =（a +b ）·b =a ·b +b 2=4， ∴cos〈,〉2
1424||||=⨯=AB AC . 又∵0°≤〈AC ,AB 〉≤180°， ∴〈,〉=60°,
即船的实际航行速度的大小为4 km/h ，方向与水的流速间的夹角为60°.
绿色通道： 用向量法解决物理问题的步骤：（类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤） ①把物理问题中的量用向量来表示；
②将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；
③把结果还原为物理问题.
变式训练如图2-7-6所示，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠AC W=150°，∠BC W=120°,求A 和B 处所受力的大小.（忽略绳子的质量）
思路分析：由于力和重量都是向量，求A 和B 处所受力的大小转化为求向量的模||和|CF |.A 和B 处所受力的合力是10 N ，即物体W 的重量，用平行四边形法则解决.
图2-7-6
解：由题意，得四边形CEWF 是矩形， 则有+=,⊥|，|=10,∠FCW=60°. ∴·=0， ∴||2=（+）2=||2+2·+||2
. ∴|CF |2+|CE |2
=100.① 又∵CF ·CE =0，〈CF ，CW 〉=60°， ∴CF ·CW =CF ·（CF +CE ）=2CF +CF ·CE =2CF . ∴cos〈，〉2
1=. ∴|CF |=2
1|CW |=5,| CE |=35,
5N和5 N.
即A和B处所受力分别是3
例3（2006湖南高三百校第二次考试卷，文9）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC),λ∈［0，+∞),则P的轨迹一定通过△A BC的（）
A.外心
B.垂心
C.内心
D.重心
思路解析：OP=OA+λ(AB+AC)可以化为AP=λ(AB+AC).所以AP∥（AB+AC）.又AB+AC所在直线平分BC.所以AP所在直线也平分BC.所以P的轨迹一定通过△ABC 的重心.
答案：D
绿色通道：判断图形的特点，主要从已知出发，利用向量运算的几何意义或由已知向量的关系判断出线线的位置关系或等量关系，从而对图形的特殊性作出判断.要作出准确判断，还要结合几何图形即数形结合.另外还要掌握三角形和特殊四边形的性质，例如三角形的四心（内心、外心、重心、垂心）的定义和性质，四边相等的四边形是菱形，对角线相等且相互平分的四边形是矩形等.
变式训练1在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是（）
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
思路解析：由·=0，得AB⊥BC,又=,
∴与平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.
答案：C
变式训练2（2005全国高考卷Ⅰ，文12）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是△ABC的（）
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
思路解析：由·=·，得·-·=0.∴·（-）=0，即·=0,∴⊥.同理可证⊥,⊥.∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB.
答案：D
问题探究
问题1一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳臂受伤，试一试你能用向量知识加以解释吗？
导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决，针对小孩的两条胳膊画出受力图形，然后通过胳膊受力分析，建立数学
模型：
|F 1|=2cos 2|
|θ
G ,θ∈［0,π］来确定何种情景时，小孩的胳膊容易受伤
.
图2-7-7
探究：设小孩的体重为G ，两胳膊受力分别为F 1，F 2，且F 1=F 2，两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-7-7（不计其他因素产生的力），不难建立向量模型：|F 1|=2cos 2|
|θ
G ，θ∈
［0,π］，当θ=0时|F 1|=
2||G ；当θ=3π2时，|F 1|=|G |；又2θ∈(0,2
π)时，|F 1|单调递增，故当θ∈(0, 3π2)时，F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈（3π2，π）时，|F 1|＞|G |.此时，悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.。