(精选试题附答案)高中数学第三章函数的概念与性质知识点归纳总结(精华版)

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质知识点归纳

总结(精华版)

单选题

1、已知偶函数𝑓(

𝑥)

在[0,+∞)上单调递增，且𝑓(

−3)

=0，则𝑥𝑓(

𝑥−2)

>0的解集是（ ）

A．{

𝑥|−3<𝑥<3}

B．{𝑥|−1<𝑥<0或𝑥>5}

C．{

𝑥|0<𝑥<5}

D．{𝑥|𝑥<−5或𝑥>1}

答案：B

分析：根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由𝑥𝑓(

𝑥−2)

>0可得到相应的不等式组，即可求得答案.

因为𝑓(

𝑥)

是偶函数且在[0,+∞)上单调递增，𝑓(

−3)

=0，故𝑓(

3)

=0，

所以当𝑥<−3或𝑥>3时，𝑓(

𝑥)

>0，当−3<𝑥<3时，𝑓(

𝑥)

<0．

所以𝑥𝑓(

𝑥−2)

>0等价于{𝑥>0

𝑥−2>3或𝑥−2<−3

或{𝑥<0

−3<𝑥−2<3

，

解得𝑥>5或−1<𝑥<0，所以不等式的解集为{𝑥|−1<𝑥<0或𝑥>5}，

故选：B．

2、若函数𝑓(

𝑥)

=2𝑥+𝑚

𝑥+1在区间[

0,1]

上的最大值为5

2，则实数𝑚=（ ）

A．3B．5

2C．2D．5

2或3

答案：B

分析：函数𝑓(

𝑥)

化为𝑓(

𝑥)

=2+𝑚−2

𝑥+1，讨论𝑚=2，𝑚>2和𝑚<2时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解

方程即可得到所求值．

函数𝑓(

𝑥)

=2𝑥+𝑚

𝑥+1，即𝑓(

𝑥)

=2+𝑚−2

𝑥+1，𝑥∈[

0,1]

，

当𝑚=2时，𝑓(

𝑥)

=2不成立；

当𝑚−2>0，即𝑚>2时，𝑓(

𝑥)

在[

0,1]

递减，可得𝑓(

0)

为最大值，

即𝑓(

0)

=0+𝑚

1=5

2，解得𝑚=5

2成立；

当𝑚−2<0，即𝑚<2时，𝑓(

𝑥)

在[

0,1]

递增，可得𝑓(

1)

为最大值，

即𝑓(

1)

=2+𝑚

2=5

2，解得𝑚=3不成立；

综上可得𝑚=5

2．

故选：B．

3、幂函数𝑦=𝑥𝑎

，

𝑦=𝑥𝑏

，

𝑦=𝑥𝑐

，

𝑦=𝑥𝑑

在第一象限的图像如图所示，则𝑎，

𝑏，

𝑐，

𝑑的大小关系是 （ ）

A．𝑎>𝑏>𝑐>𝑑B．𝑑>𝑏>𝑐>𝑎C．𝑑>𝑐>𝑏>𝑎D．𝑏>𝑐>𝑑>𝑎

答案：D

分析：根据幂函数的性质，在第一象限内，𝑥=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；

根据幂函数的性质，

在第一象限内，𝑥=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，

所以由图像得：𝑏>𝑐>𝑑>𝑎，

故选：D

4、已知函数𝑓(

𝑥+1)

的定义域为(

−1,1)

，则𝑓(|

𝑥|)

的定义域为（ ）

A．(

−2,2)

B．(

−2,0)

∪(

0,2)

C．(

−1,0)

∪(

0,1)

D．(−1

2,0)

答案：B

分析：根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.

依题意函数𝑓(

𝑥+1)

的定义域为(

−1,1)

，

−1<𝑥<1⇒0<𝑥+1<2，

所以0<|

𝑥|

<2，

解得−2<𝑥<0或0<𝑥<2，

所以𝑓(|

𝑥|)

的定义域为(

−2,0)

∪(

0,2)

.

故选：B

5、函数𝑓(

𝑥)

=1

√𝑥−2−(

𝑥−3)0

的定义域是（ ）

A．[

2,+∞)

B．(

2,+∞)

C．(

2,3)

∪(

3,+∞)

D．[

3,+∞)

答案：C

分析：由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．

由{𝑥−2>0

𝑥−3≠0

，解得𝑥>2且𝑥≠3．

∴函数𝑓(𝑥)=1

√𝑥−2−(𝑥−3)0

的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．

故选：C．

6、设函数𝑓(𝑥)=𝑥2

+2(4−𝑎)𝑥+2在区间(−∞,3]上是减函数，则实数a

的取值范围是（ ）

A．𝑎≥−7B．𝑎≥7C．𝑎≥3D．𝑎≤−7

答案：B

分析：根据二次函数的图象和性质即可求解.

函数𝑓(𝑥)的对称轴为𝑥=𝑎−4，

又∵函数在(−∞,3]上为减函数， ∴𝑎−4⩾3，即𝑎⩾7．

故选：B.

小提示：本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.

7、已知𝑓(

𝑥)

是一次函数，2𝑓(

2)

−3𝑓(

1)

=5,2𝑓(

0)

−𝑓(

−1)

=1，则𝑓(

𝑥)

=（ ）

A．3𝑥+2B．3𝑥−2C．2𝑥+3D．2𝑥−3

答案：B

分析：设函数𝑓(

𝑥)

=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，根据题意列出方程组，求得𝑘,𝑏的值，即可求解.

由题意，设函数𝑓(

𝑥)

=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，

因为2𝑓(

2)

−3𝑓(

1)

=5,2𝑓(

0)

−𝑓(

−1)

=1，可得{𝑘−𝑏=5

𝑘+𝑏=1

，解得𝑘=3,𝑏=−2，

所以𝑓(

𝑥)

=3𝑥−2.

故选：B.

8、函数𝑓(𝑥)=(𝑥−3)0

√𝑥−2定义域为（ ）

A．[2，+∞)B．(2，+∞)

C．(2，3)∪(3，+∞)D．[2，3)∪(3，+∞)

答案：C

分析：要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零.

要使函数𝑓(𝑥)=(𝑥−3)0

√𝑥−2有意义，

则{𝑥−3≠0

𝑥−2>0，解得𝑥>2且𝑥≠3，

所以𝑓(𝑥)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).

故选：C.

小提示：具体函数定义域的常见类型：

（1）分式型函数，分母不为零； （2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；

（3）对数型函数，真数大于零；

（4）正切型函数，角的终边不能落在y

轴上；

（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.

9、函数𝑦=

√𝑥+

4+1

𝑥+1的定义域为（ ）

A．[

−4,−1)

B．[

−4,−1)

∪(

−1,+∞)

C．(

−1,+∞)

D．[

−4,+∞)

答案：B

分析：偶次开根根号下为非负，分式分母不为零，据此列出不等式组即可求解.

依题意{𝑥+4≥0

𝑥+1≠0

，解得{𝑥≥−4

𝑥≠−1

，

所以函数的定义域为[

−4,−1)

∪(

−1,+∞)

.

故选：B．

10、下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）

A．𝑓(𝑥)=𝑥2

−𝑥

𝑥，𝑔(

𝑥)

=𝑥−1

B．𝑓(𝑥)=√𝑥2

，𝑔(𝑥)=(

√

𝑥)2

C． 𝑓(

𝑥)

=𝑥2

−2，𝑔(

𝑡)＝

𝑡2

－

2

D．𝑓(

𝑥)

=

√𝑥+

1⋅

√𝑥−

1，𝑔(𝑥)=√𝑥2−1

答案：C

分析：根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.

解：由题意得：

对于选项A：𝑓(𝑥)=𝑥2

−𝑥

𝑥的定义域为{

𝑥|𝑥≠0}

，𝑔(𝑥)=𝑥−1的定义域为R，所以这两个函数的定义域不同，不

表示相同的函数，故A错误；

对于选项B：𝑓(𝑥)=√𝑥2

的定义域为R，𝑔(𝑥)=(

√𝑥)2

的定义域为{

𝑥|𝑥≥0}

，所以这两个函数的定义域不同，不