圆中相似三角形

相似三角形汇总第四部分圆背景下的相似问题【知识理解】圆背景下的相似问题是综合性比较强的一类专题，不仅要充分运用圆的有关知识找到边与边、角与角、边与角之间的关系，还要寻找或者构造相似三角形的基本图形，再利用相似三角形的性质定理去探求更多的边与角。

【经典例题】1.如图，AB是⊙O的直径，C，P是弧AB上两点，AB=13，AC=5。

（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长。

（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。

2.如图，已知点E在Rt△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边AC相交于点F，与直角边BC相切与点D，若AB=10，AC=6，试求线段AF的长。

4.⊙O以等腰三角形ABC一腰AB为直径，它交另一腰AC于E，交BC于D．求证：BC＝2DE5.如图，PC与⊙O交于B，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP.（1）求证：PA是⊙O的切线. （2）△ABP和△CAP相似吗？为什么？（3）若PB:BC=2:3，且PC=20，求PA的长.6.已知：如图， AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）点F是弧ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长．7.如图所示，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DEAC交AC的延长线于点E。

（1）求证：DE是⊙O的切线。

（2）求DE的长。

8.已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB。

（1）求证：△ADE∽△CDF。

（2）当CF:FB=1:2时，求⊙O与平行四边形ABCD的面积之比。

9.如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连接PO交⊙O于点F。

引言概述：相似三角形是高中数学中的一个重要概念，也是几何学中常见的基本概念之一。

在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。

本文将对圆中的相似三角形进行详细探讨和阐述。

圆中的相似三角形具有一些特殊性质和定理，研究这些特性不仅对于数学学科的发展和深化具有重要意义，还对于解决实际问题和各个领域的应用有着广泛而深远的影响。

正文内容：一、圆中相似三角形的概念和基本性质1.定义：圆中的相似三角形是指在同一个圆内部，根据某种比例关系，具有相同形状但大小不同的三角形。

2.判定条件：圆中的两个三角形相似的必要条件是它们的对应边成比例。

3.定理1：如果一个圆内的两个弦经过圆心，则对应的两个弦所对的弧相等，并且这两个弦和圆心所夹的角相等。

4.定理2：如果一个圆内的两弦对应的弧等长，则这两个弦和圆心所夹的角相等。

5.定理3：在一个圆内，如果一条弦平分了另一条弦，那么这两条弦所对的弧也是等长的。

这个定理也适用于相似三角形。

二、圆中相似三角形的关系和性质1.相似三角形的斜边与高的关系：斜边越长，相似三角形的高越长；斜边越短，相似三角形的高越短。

2.相似三角形的周长和面积的关系：周长比例：相似三角形的周长与它们的边长成比例；面积比例：相似三角形的面积与它们的边长平方成比例。

3.相似三角形的位似性：相似三角形的顶点在同一个圆上；相似三角形的高、中线和角平分线相交于同一个点。

4.圆内切相似三角形的性质：内切相似三角形与外接相似三角形共圆；内切相似三角形的内切圆半径与对应边的比例相等。

5.圆的切线与切点构成的三角形与圆内相似三角形的关系：切点到两个切线的距离相等，这个距离等于切点到对应切线的点的距离；切点到圆心的距离与半径成正比。

三、圆中相似三角形的应用1.圆的测量：通过相似三角形的性质，可以利用已知条件测量圆的半径和直径；利用相似三角形的相似比例可以测量难以直接测量的圆内部距离。

2.圆的建模与设计：相似三角形可以用于对圆形对象的建模和设计，如圆形池塘、圆形花坛等。

.以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】EACDBABD，为半圆的直径，延长线上的一点，，为切半圆于点如图Z13－1AOBCFACACBCC，求，⊥的长．于点＝，交半圆于点9.已知＝12经典母题答图Z13 图－1ROOEOBROE. ＝解：如答图，连结，设⊙的半径是，则＝ACB在Rt中，由勾股定理，得△22BCABAC15.＋＝＝文档Word.ACOEOEAC，于点⊥∵，∴切半圆OEACOEBC，∥，∴∴∠∠＝90°＝AEOACB，∽△∴△OEAORR4515－R＝，，∴＝，解得∴＝BCAB915875AOABOBR＝.∴＝＝15－－8【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得AO的长．到相似三角形，利用比例线段求【中考变形】ACBACBOAC是△90中，∠°，＝Rt1．如图Z13－2，在OOCAB相切为圆心，边上的一点，以为半径的圆与DOD.于点，连结图Z13－2ACBADO∽△(1)求证：△；BCACADO. ＝，求证：⊙·的半径为1(2)若ABODABO⊥是⊙，的切线，∴证明：(1)∵AACADO∠°，∵∠，∴∠＝＝∠90＝ACBADO∴△；∽△ADODADOACB.∴＝(1)知，△，∽△(2)由ACBCADBCACODODACADBC.，∴＝·＝，∵·＝∴·1ABCCDBCAC为°，为RtZ13如图－3，已知△的中点，以，∠＝90][20172．·OABE. 于点直径的⊙交DEO的切线；⊙(1)求证：是文档Word.AEEBBCAE的长．，求，＝(2)若6∶2＝1∶图Z13－3 中考变形2答图OEECACO的直径，证明：如答图，连结是，，∵⊙解：(1)AECBECDBC的中点，为＝90°，∵∴∠＝∠EDDCBD，∴∠1＝∠2∴，＝＝OEOC，∴∠3＝∠∵4＝，OEDACB，＝∠∠＋31＋∠＝∠2∠4，即∴∠ACBOEDDEO的切线；⊙9090∵∠＝°，∴∠＝°，∴是文档Word.BEC 90(1)知∠°，＝(2)由BCABBECBECBCAB，∠△与Rt，中，∠＝＝∠∠∵在Rt△BCBEBCABEC＝，∴∴△∽△，BABC2EBBCAEBEBA，·1，∵∶∶∴2＝＝xBExBAxAE＝23，设，＝，则＝2AExxBCx 6.，即6 ＝23·6，解得＝＝∵6＝，∴BCABOABOCADOC，直，连结，弦－3．如图Z134，已知是⊙∥的直径，⊥ECDBA. 线的延长线于点交OCD的切线；求证：直线(1)是⊙OCBCADDE的值．，求若(2)＝2∶文档Word.图Z13－4中考变形3答图DO. 证明：如答图，连结解：(1)OCAD∥，∵CODADODAOCOB. ＝∠∠∴∠，∠＝ADODAOOAOD＝，∴∠∵∠＝，COBCOD.∠∴∠＝SASCOODOBCODCOBCO，)＝(＝，∴△，≌△又∵CDCDOCBOOD. ∴∠°，即＝∠⊥＝90OCDDO在⊙⊙点上，∴直线的切线；是又∵CBCOBCDCOD. ，∴(1)知，△＝≌△(2)由OCADBCDEDECD∥，∵.＝2，∴∵＝2ADDEDE2EDAECO，∴＝＝∴△＝∽△.CDCEDEOC3＋OABCBCOABC＝⊙是△的直径，∠的外接圆，是5]4．[2016·如图Z13－，⊙BOBDCADAO的延长的延长线交于点.30°过点⊙作，与半径的切线，与EAOAFBCF.的延长线交于点过点线交于点.作⊙的切线，与直径文档Word.DAEACF∽△；(1)求证：△3DES的长；(2)若＝，求AOC△4EFEFO的切线．⊙连结，求证：是(3)4答图－5中考变形图Z13BCOBAC＝90°，∵⊙为的直径，∴∠证明：解：(1)ABCACB＝60°，＝30°，∴∠又∵∠OAOC，＝∵又OACOACAOC＝60°，∠∴△为等边三角形，即∠＝文档Word.OAFAFO为⊙90∵的切线，∴∠°，＝AFCCAF∴∠30＝∠°，＝OBEDBCODE ＝∠°，⊙的切线，∴∠＝∵90为AFCDEADDEADCAF＝∠∠∴∠，∠＝∠30＝°，∴∠，＝DAEACF∽△；∴△332OASAOC＝∵△＝为等边三角形，∴，(2)AOC△44BEOOBDOABC＝∠°，∴＝＝1，30＝2，＝1，又∵∠DEBEBD；＝＝3∴，∴2＝3，33MEFOOM作于点⊥，证明：如答图，过点(3)AOFBOEOAFOBEOAOB∠90∵°，∠＝，，∠＝∠＝＝OFSASOBEOEOAF )，∴∴△，≌△(＝OFMEOFOEM 30＝∠∵∠°，＝120°，∴∠＝BEFOEMOEOEB ∠平分＝∠，＝30°，即∴∠OMEOBE°，＝又∵∠90＝∠OEFOMOB＝⊙，∴的切线．为∴ECABABO为为劣弧Z13如图－6，的中点，为⊙的一条弦，点·5．[2017株洲]ABCEAEBEEFABF于点的延长线上，且交弦在＝优弧上一点，点，线段D.BFCE (1)求证：；∥BCDECBDEAEB的面积．△5∶，且若(2)＝2∶∶＝31∶，求文档Word.答图中考变形56图Z13－ACBEOC，解：(1)证明：如答图，连结，作直线，BEEF，＝∵FEBF，∠∴∠＝AEBEBFF，＋∠∵∠∠＝1FAEB，∴∠∠＝2︵︵︵CABACBC，的中点，∴∵＝是AECBECAEBAECBEC，∠∠∴∠＝，∵∠＝∠＋文档Word.1BFFAECCEAECAEB，∴；，∴∠＝∴∠∠＝∠∥2CEBDCBAEDDAE，∠，＝∠＝(2)∵∠∠ADADAE3CBEADE∽△，，∴＝，即＝∴△CBCECB5ECBCEBBCDCBD，∠，＝∠∵∠∠＝CDBCBE∴△，∽△BEBD12 ，∴＝，即＝CBCBCE5ABADCB，＝＝6∴，∴＝25，∴8ABC∵点的中点，为劣弧1ABAGBGOCABG 4⊥＝，设垂足为，，则＝∴＝222BGCBCG＝2∴，＝－11SBDCG＝×2×＝·2＝∴2.BCD△22ABOCOAEC的切线互相⊙7，和过点是⊙上一点，的直径，为－6．如图Z13EAEODECABPAC，，交的延长线于点垂直，垂足为，连结交⊙于点直线，BCPBPC＝1∶∶2. ，ACBAD；∠求证：(1) 平分PBAB之间的数量关系，并说明理由．探究线段(2)，文档Word.中考变形答图6Z13图－7OC. 解：(1)证明：如答图，连结PEOPEOC⊥∵是⊙，的切线，∴AEOCPEAE∥∵，⊥，∴OCADAC＝∠，∴∠OACOCAOCOA，＝∠∵＝，∴∠OACDAC∴∠＝∠，BADAC平分∴∠；文档Word.PBABPBAB 3，理由：之间的数量关系为.＝(2)线段OAB是⊙∵的直径，ABCBACACB°，°，∴∠＝＋∠∴∠90＝90ABCOCBOBOC＝∠，∴∠，∵＝PACPCBPCBOCB，90°，∴∠∵∠＝＋∠∠＝PACPPCB是公共角，∴△，∽△∵∠PBPC2PAPBPC∴＝＝，∴，·PCPAPBPCPBPC＝21∶2，∴∵∶，＝PBABPAPB.＝4＝，∴3∴OOPACOBC外一的弦，是⊙的直径，是是⊙，如图[20167．·枣庄]Z13－8⊙CPBAPAPBAB. ，＝，已知∠点，连结∠，OPB求证：的切线；是⊙(1)BCOPBCOOPOP的长．，求，⊙连结(2)，若∥，且＝8的半径为22文档Word .7答图中考变形图Z13－8OB证明：如答图，连结解：(1)，OAC是⊙∵的直径，BACCABC. ＝∴∠90＝90°，∠＋∠°OBAOAOBBAC＝∠，∴∠∵，＝CPBA∵∠，＝∠OBOBAPBPBA. ＝⊥90＋∠°，即∴∠OPB是⊙的切线；∴ACOBO 422，2(2)⊙的半径为＝22，∴，＝CBOPOBCOPBC＝∠，∵＝∥∠，∴∠PBOABCABCPBO∽△90又∵∠°，∴△＝∠，＝BCBCAC24BC2. ＝，∴＝＝∴，即POBO822OABCOBCBAC边上，∠的外接圆，△，⊙如图[20178．·聊城]Z13－9点在是ODBDCDDBCAB的延作的平行线，与⊙的平分线交于点，连结，，过点P.长线相交于点文档Word.PDO的切线；是⊙(1)求证：PBDDCA；∽△(2)求证：△ABACPB的长．时，求线段，＝8(3)当6＝答图8中考变形9 图Z13－BCO在上，圆心解：(1)证明：∵OBC∴是⊙的直径，ODBAC 90∴∠＝°，如答图，连结，BACAD∠∵平分，文档Word.DACBAC，＝2∠∴∠DACDOC，＝2∠∵∠BCBACODDOC⊥°，即∴∠，＝∠＝90OODPDBCODPD∥为，∴⊙⊥的半径，，∵∵OPD是⊙的切线；∴ABCPPDBC∵(2)证明：＝∥∠，∴∠，ADCPABCADC∵∠＝＝∠∠，∴∠，ABDACDPBDABD＝180＝180°，∠＋∵∠∠＋∠°，DCAPBDACDPBD＝∠∽△，∴△；∴∠ABC∵△为直角三角形，(3)22222BCBCACAB 10＝100＋，∴＝6，＋8∴＝＝DCBCDBOD，∴，＝∵垂直平分BDCBCO°，的直径，∴∠90∵＝为⊙22222BCDBCDBBCDCDC，即2在Rt△，中，＝＋＝100＝DCAPBDDCDB∽△＝，＝52∴，∵△BDDCPBBD252×5·52PB. ＝＝∴＝，即＝ACDCAC84【中考预测】ABOCDOC，⊙为⊙相切于点的直径，与10][2017·黄冈模拟如图Z13－，ODBCFODOE.证明：⊙且⊥于点，垂足为，交DAEC；∠(1)∠＝2ODOFOA. (2)·＝文档Word.中考预测答图图Z13－10OC证明：(1)如答图，连结，COCD，相切于点∵与⊙OCD. ＝90°∴∠DCFOCB. 90∴∠∠＋°＝DOCBDCFD＝，∠∵∠＋∠90＝°，∴∠BOBOCOCB＝，∴∠∵，＝∠AECBAECD∠∵∠＝，∴∠＝∠；文档Word.BAECDB，∠，∴∠(2)∵∠＝∠＝ODBCBFOOCD＝90°，⊥，∴∠＝∠∵OCODOAODDOCBOF＝，即∴△＝∽△，∴，OFOBOFOA2OFOAOD.·∴＝文档Word。

圆与相似三角形相关的证明题1. 在图中，已知PC=PD，PD切圆O于D，PB交圆O于A，连结AC和BC。

要证明AC·PB=PC·BC。

证明：由于PD是圆O的切线，所以∠PDC=∠ACB。

又因为PC=PD，所以∠PCD=∠PDC。

因此，∠ACB=∠PCD。

又因为∠BCP=∠PBD，所以三角形PBD和PBC相似。

因此，PB·PC=PD2。

由于三角形ACD和BDC相似，所以AC·BD=CD2。

将BD替换为PD+PC，得到AC·(PD+PC)=CD2，即AC·PB=PC·BC。

因此，原命题成立。

2. 在图中，已知AB∥CD，DC延长线交EB延长线于F，EB与圆O相交于F，DF交圆O于G。

要证明AD·ED=BE·DF。

证明：由于AB∥CD，所以∠___∠EAD。

又因为EB是圆O的切线，所以∠___∠EDF。

因此，∠___∠EAD。

又因为AB是圆O的直径，所以∠EAB=90°。

因此，三角形EAB和EDF相似。

因此，AD·ED=BE·DF。

因此，原命题成立。

3. 在图中，___于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD。

要证明①PE：AC=PB：PA，②PE2=AC·BD。

证明：①由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。

又因为AC⊥CD，所以∠ACP=90°。

因此，∠APE=∠ACP。

又因为∠APB=90°，所以三角形APE和APB相似。

因此，PE：AC=PB：PA。

②由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。

又因为BD⊥CD，所以∠___°。

因此，四边形AEPD和BEPC是直角四边形。

因此，PE2=AE2-AP2=AC·BD。

因此，原命题成立。

4. 在图中，ABC是内接于圆O的三角形，BD是圆O的直径，AF⊥BD于F，AF延长线与BC交于G。