八年级整式的乘法与因式分解达标检测(Word版 含解析)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

1．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：

12222222abcabbcacabbcca．

该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．

（1）请你展开右边检验这个等式的正确性；

（2）利用上面的式子计算：

222201820192020201820192019202020182020．

【答案】（1）见解析；（2）3．

【解析】

【分析】

（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；

（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．

【详解】

解：（1）12[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]

=12（a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2）

=12×（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）

=a2+b2+c2-ab-bc-ac，

故a2+b2+c2-ab-bc-ac=12[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]正确；

（2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020

=12×[（2018-2019）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2]

=12×（1+1+4）

=12×6

=3．

【点睛】

本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．

2．（阅读材料）

因式分解：221xyxy．

解：将“xy”看成整体，令xyA，则原式22211AAA．

再将“A”还原，原式21xy．

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.

（问题解决）

（1）因式分解：2154xyxy；

（2）因式分解：44abab；

（3）证明：若n为正整数，则代数式21231nnnn的值一定是某个整数的平方．

【答案】（1）144xyxy1．（2）22ab；（3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；

（2）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解；

（3）将原式转化为223231nnnn，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．

【详解】

（1）21541()14()(1)(144)xyxyxyxyxyxy；

（2）2244()4()4(2)ababababab；

（3）原式223231nnnn

2223231nnnn

2231nn．

∵n为正整数，

∴231nn为正整数．

∴代数21231nnnn的值一定是某个整数的平方．

【点睛】

本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．

3．（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法

例如：

()()()()()()amanbmbnambmanbnmabnababmn.22222221(21)(1)(1)(1)xyyxyyxyxyxy.

试用上述方法分解因式222aabacbcb

（2）利用分解因式说明：22(5)(1)nn能被12整除.

【答案】（1）ababc；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）a2+2ab+ac+bc+b2可以进行分组变成（a2+2ab+b2）+（ac+bc），则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分解．

（2）先利用平方差公式将22(5)(1)nn进行因式分解，之后即可得出答案.

【详解】

（1）原式=222aabbacbc

=2abcab

=ababc

（2）22(5)(1)nn

=(5)+(1)(5)(1)nnnn

=624n

=122n

∴ 22(5)(1)nn能被12整除.

【点睛】

本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关键.

4．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]

=(1+x)2(1+x)

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.

(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .

(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).

【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x＋1）2005；(3) (x＋1)1n

【解析】

【分析】

（1）根据已知材料直接回答即可；

（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x），进而得出答案；

（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．

【详解】

（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．

故答案为提公因式法，2次；

（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，

=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+ x(x+1)2003]

⋯

=22003(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx个

=（1+x）2005，

故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．

（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．

故答案为（x+1）n+1．

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．

5．阅读下列材料：

利用完全平方公式，可以将多项式2(0)axbxca变形为2()axmn的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式2axbxc的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：21124xx＝222111111()()2422xx

＝21125()24x

＝115115()()2222xx＝(8)(3)xx

根据以上材料，解答下列问题：

（1）用多项式的配方法将281xx化成2()xmn的形式；

（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式2340xx进行分解因式的解答过程：

老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：

（3）求证：x，y取任何实数时，多项式222416xyxy的值总为正数．

【答案】（1）2(4)17x ；（2）(5)(8)xx；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据配方法，可得答案；

（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；

（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．

试题解析：解：（1）281xx

=2228441xx

=2(4)17x

（2）2340xx

=222333()()40222xx

=23169()24x

=313313()()2222xx

=(5)(8)xx

（3）证明：222416xyxy

=22214411xxyy

=22(1)(2)11xy

∵2(1)x≥0，2(2)y≥0，

∴22(1)(2)110xy．

∴x，y取任何实数时，多项式222416xyxy的值总是正数．

点睛：本题考查了配方法，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2配方是解题关键．

6．仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式2x4xm有一个因式是x3，求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为xn，得

2x4xmx3xn

则22x4xmxn3x3n

n34m3n．

解得：n7，m21

另一个因式为x7，m的值为21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式22x3xk有一个因式是2x5，求另一个因式以及k的值．

【答案】4,x 20.

【解析】

【分析】

根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x4xm的二次项系数是1，因式是x3的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x3xk的二次项系数是2，因式是2x5的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．

【详解】

解：设另一个因式为xa，得

22x3xk2x5xa

则222x3xk2x2a5x5a

2a535ak

解得：a4，k20

故另一个因式为x4，k的值为20

【点睛】

正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．

7．阅读下列材料：

1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．

他认为：对于一个高于二次的关于x的多项式，“xa是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（xa）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．

例如：分解因式3223xx．