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行列式的计算

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行列式的计算方法

摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径．

关键词： 行列式 计算方法

行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法.

这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法.

1.对角线法则

对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法．

2.定义法

根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于n2个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解．

例1 计算行列式

0004003002001000

这是一个四级行列式，在展开式中应该有24!4项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是

43214321jjjjaaaa．

显然，如果41j，那么011ja，从而这个项就等于零．因此只须考虑41j的那些项；同理，只需考虑32j，23j，14j这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有41322314aaaa这一项，而6)4321(，这一项前面的符号应该是正的．

所以

原式=2443210004003002001000

3.化为三角形计算法

例2 计算行列式 2 107825513315271391

解：

1017008160017251307139124392602634260172513071391107825513315271391

3122400021001725130713911017002100172513071391

这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用．

3.1各行(或列)加减同一行(或列)的倍数

适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形

例3 计算行列式

nnnnnnyxyxyxyxyxyxyxyxyxd111111111212221212111

解：当3n时，各列减去第一列

得：

0)()(1)()(1)()(1112112122121112111yyxyyxyxyyxyyxyxyyxyyxyxdnnnnnn

之所以等于零，是因为有两列成比例．

另外，当2n时，

))((1111121222122111yyxxyxyxyxyx

这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明．

3.2各行(或列)加到同一行(或列)上去

适用于各列(行)诸元素之和相等的情况. 3 例4 计算行列式

abbbbbabbbba

解：把所有各列都加到第一列上去，

得：

1)]()1([0000001])1([111])1([)1()1()1(nbabnabababbbbnaabbbbabbbbnaabbbnabbabnabbbbna

3.3 逐行(或列)相加减

有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。这样就使得行列式计算变得简便的多.

例5 计算行列式

1100000100110000012310000000231000000000023100000002312nD

解：从第一列开始，每列乘以2加到后一列，

得：

32122222106232122222101100000001100000000110000000110000000111232112322nnnnnnnnnD

再将最后一行乘以（-2），加到倒数第二行，其余行都不变，得： 4 321222221001100001011000000011000000001100000001100000001112322nnnnnD

按最后一列展开，得

)32(3321111110100000000100000000001000000001000000001)32(2nnnD

3.4 行(列)归一法

先把某一行(列)全部化为1，再利用该行(列)以及行列式的性质将原行列式化为三角形行列式，从而求出行列式的值．

例6 计算n阶行列式

xaaaxaaaxD

解：它的特点是各列元素之和为xan)1(，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出xan)1(，得

xaaaxaxanD111])1[(

将第一行乘a分别加到其余各行，化为三角形行列式，则

1)]()1[(0000111])1[(naxxanaxaxxanD

4.特殊行列式

4.1 爪型行列式

形如： 5 0121122210112222110122211210,,,acccbabababbbaacacaccacacaabbbacacacbbbannnnnnnnnnnn的行列式，称为爪型行列式．这种形式的行列式主要是利用对角线上的元素消去“横线”或“竖线”，化为三角形行列式再计算．

例7 计算行列式

)),2,1(0(2211210niaacacacbbbaDinnn

解 当),,2,1(0niai时，将第i+1列乘以),2,1)((niacii后都加到第1列，得三角型行列式：

niabcnjjnnniabciiiiiiaaaabbaD1012110)(0000000

例8 计算行列式

yyxxD2222222222222222

分析：一般除主对角线上的元素，其余元素全部相同的行列式都可以化为爪型行列式，利用例6结论计算其值．

解

221)()(]})()(2)(2)()(2[)2{(0020020022)1(yxyyxyxyxxxxyyxxxxxcci

4.2 三对角线型行列式 D 6 形如：nnnnbcabcabcab113222111的n阶行列式，是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上元素不全为零而其余元素全为零的行列式， 称为三对角线型行列式．这类行列式的计算可以直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推，或利用第二数学归纳法证明．

例9 计算n阶行列式

)(111babaabbaabbaabbaDn

解 按第一行展开得

21211)(111)1()(nnnnabDDbabaabbaabbaababDbaD

变形),(211nnnnaDDbaDD由于

22221)(,babaabbaDbaD，

从而利用上述递推公式得

nnnnnnnnbaDDbaDDbaDDbaDD)()()(122322112

故有

nnnnnnnnnnnnnnnnnbabbaababbaDababDabbaDabaDD1112211122121)(

例10 证明

naaaaaaDncoscos211cos211cos211cos211cos

解 按第n行展开得 7 21)1(1cos2110cos211cos211cos)1(cos2nnnnnnDaDaaaaDD

采用第二数学归纳法证明

1n时，aDcos1，结论成立．设kn时，结论成立．则当1kn时，有

,)1cos()1cos(coscos2cos211akakkaaDaDDkkk

故有归纳假设知naDncos

4.3 Hessenberg型行列式

形如：

nnnnnnnnnnnncccaabababbababaacccacccbababaabababccca2101122221101201211222211210,,,的行列式，即除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外, 其余元素全为零的三线型行列式，称为Hessenberg型行列式．这一类行列式可以直接展开得到递推公式，也可利用行列式性质化简并降阶．

例11 计算n阶行列式

121111axaaaxxxDnnn

解 按第一列展开得

nnnnnnnnnnaxDaxDxxaxDD111111)1()1(111)1(

于是

nnnnnnnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaDxaxaDxaaxDaxDD11112211122121)(

例12 计算n阶行列式

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行列式的几种计算方法

行列式的几种计算方法

行列式的几种计算方法

行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。

一、按定义式计算行列式：

按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：

det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}

σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。

按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。我们通常会采用其他方法来计算行列式。

计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。

利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。

对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。

三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：

对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。即

M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})

其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。

行列式的计算技巧和方法总结

行列式的计算技巧和方法总结

行列式的计算技巧和方法总结

行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。正确计算行列式有助于解决线性方程组、特征值等问题。下面将总结行列式的计算技巧和方法。

一、行列式的定义和性质：

行列式是一个数，是由方阵中元素按照一定规律排列所组成的。设A为n阶方阵，行列式记作det(A)或，A，定义如下：

det(A) = ，A， = a11*a22*...*ann - a11*a23*...*a(n-1)n +

a12*a23*...*ann-1*n + ... + (-1)^(n-1)*a1n*a2(n-1)*...*ann

其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。

行列式具有以下性质:

1. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若将A的第i行和第j行互换位置，则det(A)变为-det(A)。

2. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若A的其中一行的元素全为0，则det(A) = 0。

3. 若A = (a_ij)为n阶三角形矩阵，则det(A) = a11*a22*...*ann。

4. 若A = (a_ij)和B = (b_ij)为n阶方阵，则det(AB) = det(A)

* det(B)。

5. 若A = (a_ij)为n阶可逆方阵，则det(A^(-1)) = 1/det(A)。

二、行列式计算的基本方法： 1.二阶行列式：

对于2阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22 - a12*a21

2.三阶行列式：

对于3阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22*a33 +

a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a12*a21*a33 -

a11*a23*a32

3.高阶行列式：

对于n阶方阵A，可以利用行列式按行展开的性质来计算。选择其中一行（列）展开，计算每个元素乘以其代数余子式的和，即：det(A) =

行列式的定义与计算

行列式的定义与计算

行列式的定义与计算

行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质以及矩阵的特征。在本文中，将介绍行列式的定义以及计算方法。

一、行列式的定义

行列式是一个数学函数，用一种特定的方式将矩阵映射为一个数字。对于n阶矩阵A = [aij]来说，其行列式记作det(A)或|A|。

行列式的定义如下：

当n=1时，矩阵只有一个元素，此时矩阵的行列式就是这个元素本身。

当n>1时，矩阵A可以分为n行n列，可以表示为：

A = [a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

an1 an2 ... ann]

其中a11、a12...ann是矩阵A的元素。

对于n>1的情况，行列式的计算可以使用展开定理或按行（列）展开等方法进行。

二、行列式的计算

（一）二阶行列式 二阶行列式的计算公式如下：

|A| = a11·a22 - a12·a21

（二）三阶行列式

三阶行列式的计算公式如下：

|A| = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 -

a12·a21·a33 - a11·a23·a32

（三）n阶行列式

n阶行列式的计算可以通过列展开、行展开或使用拉普拉斯定理等方法进行。这里以列展开为例介绍。

设A为一个n阶矩阵，可以将其表示为A = [a1 a2 ...an]，其中ai为A的第i列。

若选择第k列进行展开，则根据列展开法可得：

|A| = a1k·A1k - a2k·A2k + ... + (-1)^(k+1)·ank·Ank

其中，Aik是移去第i行第k列元素所形成的(n-1)阶行列式。根据此公式，可以递归地计算n阶行列式的值。

三、行列式的性质

行列式具有以下性质：

1. 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。 2. 行列式的某一行（列）中的所有元素乘以同一数k，等于用这个数乘以行列式。

行列式的计算法则

行列式的计算法则

行列式的计算法则

行列式的计算法则如下：

1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。

2、交换行列式中的两行（列），行列式变号。

3、行列式中某行（列）的公因子，可以提出放到行列式之外。

4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素。

5、若行列式中，两行（列）完全一样，则行列式为0；可以推论，如果两行（列）成比例，行列式为0。

6、行列式展开：行列式的值，等于其中某一行（列）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若是另一行（列）的元素与本行（列）的代数余子式乘积求和，则其和为0。

7、在求解代数余子式相关问题时，可以对行列式进行值替代。

8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程。

9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。当D=0时，有非零解；当D!=0时，方程组无非零解。

行列式与它的转置行列式相等。交换行列式的两行，行列式取相反数。行列式的某一行的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。行列式如果有两行元素成比例，则此行列式等于零。若行列式的某一行每一个元素都可以由两个数相加得到，则这个行列式是对应两个行列式的和。把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变。