广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题

珠海市2013年9月高三摸底考试理科数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.已知集合{1}Axx，2{20}Bxxx，则AB（ ）

A. {0}xx B. {1}xx C. {12}xx D. {02}xx

2.复数21ii（ ）

A. 1i B. 1i C. 2i D. 2i

3.下列函数中，既是偶函数又在区间0,（）上单调递增的函数为（ ）

A．1yx B．2logyx C．||yx D．2yx

4.在ABC中，“060A”是“1cos2A”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5.如图，在ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则AD（ ）

A． ACAB3132 B． ACAB3231 C． ACAB3132

D． ACAB3231

6 .已知xy，满足约束条件 ，则2+4zxy的最小值为（ ）

A . 14 B.15 C. 16 D. 17

7.一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: cm）则该组合体的体积为（ ）

A. 720003cm B. 640003cm

C. 560003cm D. 440003cm

ABCD（第5题）

202020侧视图40主视图1050

8. 对于函数()yfx，如果存在区间[,]mn，同时满足下列条件：①()fx在[,]mn内是单调的；②当定义域是[,]mn时，()fx的值域也是[,]mn，则称[,]mn是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)afxaax存在“和谐区间”，则a的取值范围是（ ）

A． 15(,)22 B． (0,1) C． (0,2) D．(1,3)

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，考生做答6小题，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.

9.不等式3+110xx的解集是 ．

10.在二项式25()axx的展开式中，含x项的系数是80，则实数a的值为 ．

11.设等比数列{}na的公比2q，则44Sa ．

12.直线14yxb是函数1()fxx的切线，则实数b ．

13.在ABC中，=23AB，=2AC，0=60C，则BC ．

14．（几何证明选讲选做题）

如图， 圆O的直径6ABPABP，是延长线上的一点，过作圆的切线，

0,30CCPACP切点为若,则长为 .

15．(极坐标选做题）极坐标系中，曲线4cos上的点到直线cos3sin8的距离的最大值是 .

三、解答题:本题共有6个小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. （本小题满分12分）已知函数2()cossincosfxxxx. BAoPC（第14题）

MNFEBCADAEFMNB（1）求()fx的最小正周期和最小值； （2）若(,)42且326(+)84f，求cos的值.

17. （本小题满分12分）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：

（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；

（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A、B两个软件学习的概率都是16，且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的。设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为，求的分布列和数学期望．

18. （本小题满分14分）在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为B,构成一个三棱锥．

（1）请判断MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；

（2）证明AB平面BEF；

（3）求二面角MEFB的余弦值．

班级 一 二 三 四

人数 3 2 3 4

19. （本小题满分14分）若正数项数列na的前n项和为nS，首项11a，点1,nnPSS在曲线2(1)yx上.

（1）求23,aa；

（2）求数列na的通项公式na；

（3）设11nnnbaa,nT表示数列nb的前项和,若nTa恒成立，求nT及实数a的取值范围.

20. （本小题满分14分）已知点AB、的坐标分别是(0,1)、(0,1)，直线AMBM、相交于点M，且它们的斜率之积为12．

(1)求点M轨迹C的方程；

(2)若过点(0,2)D的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点EF、，试求OEF面积的取值范围（O为坐标原点）．

21.（本小题满分14分）已知函数1()lnxfxxax（0x）．

（1）当1a时，求()fx在1[,2]2上的最小值；

（2）若函数()fx在1[,+)2上为增函数，求正实数a的取值范围；

（3）若关于x的方程12ln20xxxmx在区间1,ee内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围．

202020侧视图40主视图1050珠海市2013年9月高三摸底考试理科数学

试题与参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.（集合）已知集合{1}Axx，2{20}Bxxx，则AB（ ）

A. {0}xx B. {1}xx C. {12}xx D. {02}xx

2.（复数的除法）复数21ii（ ）

A. 1i B. 1i C. 2i D. 2i

3.（函数的奇偶性与单调性）下列函数中，既是偶函数又在区间0,（）上单调递增的函数为（ ）

A．1yx B．2logyx C．||yx D．2yx

4.（充要条件）在ABC中，“060A”是“1cos2A”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件K$s5u

5.（向量）如图，在ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则AD（ ）

A．2133ABAC

B．1233ABAC

C．2133ABAC D．1233ABAC

6.（线性规划）已知xy，满足约束条件5000xyxyy，则2+4zxy的最小值为（ ）

A . 14 B.15

C. 16 D. 17

7.（三视图）一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: cm）则该组合体的体积为（ ）

A. 720003cm B. 640003cm

C. 560003cm D. 440003cm

ABCD

8.（信息题）对于函数()yfx，如果存在区间[,]mn，同时满足下列条件：①()fx在[,]mn内是单调的；②当定义域是[,]mn时，()fx的值域也是[,]mn，则称[,]mn是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)afxaax存在“和谐区间”，则a的取值范围是（ ）

A． 15(,)22 B． (0,1) C． (0,2) D．(1,3)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.

9.（绝对值不等式）不等式3+110xx的解集是 |10xx ．

10.（二项展开式）在二项式25()axx的展开式中，含x项的系数是80，则实数a的值为

2 ．

11.（等比数列）设等比数列{}na的公比2q，则44Sa

158

．

12.（导数）直线14yxb是函数1()fxx的切线，则实数b 11或- ．

13.（解三角形）在ABC中，=23AB，=2AC，0=60C，则BC

4 ．

14．（几何证明选讲选做题）

如图， 圆O的直径6ABPABP，是延长线上的一点，过作圆的切线，

0,30CCPACP切点为若,则长为 33 .

15．(极坐标选做题）极坐标系中，曲线4cos上的点到直线cos3sin8的距离的最大值是 7 .

三、解答题:本题共有6个小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分．

16.（三角函数）已知函数2()cossincosfxxxx BAoPC

（1）求()fx的最小正周期和最小值； （2）若(,)42且326(+)84f，求cos的值.

解：（1）211112()cossincoscos2sin2sin(2)222224fxxxxxxx，……………4分

所以22T，当sin(2)14x时，()fx有最小值122…………………………6分

（2）3123121226(+)sin(2+)sin(2+)sin28224422224f，

所以3sin22……………………………………………………………………………………10分

因为(,)42，所以2(,)2，所以223，3

所以1cos2……………………………………………………………………………12分

17.（概率）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表