大学物理学_第二版_第1-3章习题解答3

1 大学物理学习题答案

习题一答案

习题一

1.1 简要回答下列问题：

(1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？

(2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？

(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？

(4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？

(5) r和r有区别吗？v和v有区别吗？0dvdt和0dvdt各代表什么运动？

(6) 设质点的运动方程为：xxt，yyt，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出22rxy，然后根据

drvdt 及 22dradt

而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

22dxdyvdtdt 及 222222dxdyadtdt

你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？

(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？

(8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？

(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？

(10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，na、ta、a三者的大小是否随时间改变？

(11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？

1.2 一质点沿x轴运动，坐标与时间的变化关系为224ttx，式中tx,分别以m、s为单位，试计算：(1)在最初s2内的位移、平均速度和s2末的瞬时速度；(2)s1末到s3末的平均加速度；(3)s3末的瞬时加速度。

2 解：

(1) 最初s2内的位移为为： (2)(0)000(/)xxxms

最初s2内的平均速度为： 00(/)2avexvmst

t时刻的瞬时速度为：()44dxvttdt

s2末的瞬时速度为：(2)4424/vms

(2) s1末到s3末的平均加速度为：2(3)(1)804/22avevvvamst

(3) s3末的瞬时加速度为：2(44)4(/)dvdtamsdtdt。

1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为0a，质点出发后，每经过时间，加速度均匀增加b。求经过t时间后，质点的速度和位移。

解: 由题意知，加速度和时间的关系为

0baat

利用dvadt，并取积分得

000vtbdvatdv，202bvatt

再利用dxvdt，并取积分[设0t时00x]得

00xtxdxvdt，230126bxatt

1.4 一质点从位矢为(0)4rj的位置以初速度(0)4vi开始运动，其加速度与时间的关系为(3)2atij.所有的长度以米计，时间以秒计.求：

（1）经过多长时间质点到达x轴；

（2）到达x轴时的位置。

解： 203()(0)()4(2)2tvtvatdttitj

3201()(0)442trtrvtdtttitj

（1） 当240t，即2ts时，到达x轴。

（2） 2ts时到达x轴的位矢为 ：(2)12ri 3 即质点到达x轴时的位置为12,0xmy。

1.5 一质点沿x轴运动，其加速度与坐标的关系为2ax，式中为常数，设0t时刻的质点坐标为0x、速度为0v，求质点的速度与坐标的关系。

解：按题意 222dxxdt

由此有 dxdvvdtdxdxdvdtdvdtxdx222，

即 xdxvdv2，

两边取积分 xxvvxdxvdv002，

得 2022122212021221xxvv

由此给出 22vAx，20202xvA

1.6 一质点的运动方程为ktjtitr24)(，式中r，t分别以m、s为单位。试求：

(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。

解：(1) 速度和加速度分别为： (8)drvtjkdt， jdtvda8

(2) 令kzjyixtr)(，与所给条件比较可知 1x，24ty，tz

所以轨迹方程为：21,4xyz。

1.7 已知质点作直线运动，其速度为213()vttms，求质点在0~4s时间内的路程。

解: 在求解本题中要注意：在0~4s时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出现往返。如果计算积分40vdt，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分40vdt。令230vtt，解得3ts。由此可知：3ts时，0v，vv； 3ts时，0v；而3ts时，0v，vv。因而质点在0~4s时间内的路程为

434342200303()33svdtvdtvdtttdtttdt 4 34232303313116()23233ttttm。

1.8 在离船的高度为h的岸边，一人以恒定的速率0v收绳，求当船头与岸的水平距离为x时，船的速度和加速度。

解: 建立坐标系如题1.8图所示，船沿X轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题1.8，可得出

O

X

r

h

0v

x

Y

习题1.8图

222xrh

两边求微分，则有

22dxdrxrdtdt

船速为

dxrdrvdtxdt

按题意0drvdt(负号表示绳随时间t缩短)，所以船速为

220xhvvx

负号表明船速与x轴正向反向，船速与x有关，说明船作变速运动。将上式对时间求导，可得船的加速度为

2203hvdvadtx

负号表明船的加速度与x轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与x有关，说明船作变加速运动。

1.9 一质点沿半径为10cm的圆周运动，其角坐标(以弧度rad计)可用下式表示

324t 5 其中t的单位是秒(s)试问：(1)在2ts时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？

(2)当等于多少时其总加速度与半径成45角 ？

解：(1) 利用 324t，2/12ddtt，/24ddtt，

得到法向加速度和切向加速度的表达式

24144narrt，24tarrt

在2ts时，法向加速度和切向加速度为：

4421441440.12230.4()nartms，

224240.124.8()tartms

(2) 要使总加速度与半径成45角，必须有ntaa，即414424rtrt

解得 31/6t，此时 67.2423trad

1.10 甲乙两船，甲以10/kmh的速度向东行驶，乙以15/kmh的速度向南行驶。问坐在乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？

解：以地球为参照系，设i、j分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为

hkmiv/101，hkmjv/152

根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为

hkmjivvv/)1510(21

hkmv/1.18151022，31.561015arctg

即在乙船上看，甲船速度为18.1/kmh，方向为东偏北31.56

同理，在甲船上看，乙船速度为18.1/kmh，方向为西偏南31.56。

1.11 有一水平飞行的飞机，速率为0v，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度v向前射击。略去空气阻力，

(1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程；

(2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；

(3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？

解：(1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为01vvv，而tvx1，25.0gty

消去时间参数t，得到轨迹方程为：

202)(2vvgxy（若以竖直向下为y轴正方向，则负号去掉，下同）

(2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为v，同上可得轨迹方程为222vgxy

(3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用x代替x，y代替y，可得 222vgxy. 6 1.12如题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为D，速率为v，一艘速率为uv的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为22Dvuxu；快艇截住这条船所需的时间为22Dvtuvu。

Y

D

u  X

港口

习题1.12图

证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为

11xvtyD 和 22cossinxxutyut

拦截条件为：

2121yyxx 即 cossinvtxutDut

所以

cossinDvuxu，

x取最大值的条件为：0/ddx，由此得到cos/uv，相应地2sin1(/)uv。

因此x的最大值为

22Dvuxu

x取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为

22sinDDvtuuvu。 vx