最优化期末复习总结

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第一次课后作业:

老三论:控制论、信息论和系统论 ,新三论:突变理论、耗散结构理论和协同论

美国数学家维纳的 控制论”美国数学家申农的 信息论”美籍奥地利理论生物学家和哲 学家贝塔朗菲的系统论”比利时化学家普里高津的 耗散结构理论”德国物理学家哈肯的 协同论:法国数学家托姆的 突变理论”

第二次课后作业:

3工 1 + 2 j 2 + -£'1 — *0

-Tt — + 3工3 -- J 1 1 5

2-i'i + = Z:* 十 1 O

首先标准化:

Max z=--3x1-2x2-x3+x4

s.t x1-2x2+3x3-x4 < 15

2x1+x2-x3+2x4 < 10

X1 ,x 2 ,X2 ,x 3 ,x 4> 0

添加2个松弛变量x5 x6

x1-2x2+3x2-x4+x5=15 2x1+x2-x3+2x4+x6=10

用对偶单纯形法:

Cb Xb b -3 -2 -1 1 0 0 0i

X1 X2 X3 X4 X5 X6

X5 15 1 -2 3 -1 1 0

X6 10 2 1 -1 2 0 1

-z 0 -3 -2 -1 1 0 0

X5 15 1 -2 (3) -1 1 0 5

X6 10 2 1 -1 2 0 1 -

-z 0 -3 -2 -1* 1 0 0

0 X5 20 2 -1.5 2.5 0 1 0.5 5

1 X4 5 1 0.5 -0.5 1 0 0.5 -

-z -5 -4 -2.5 -0.5 0 0 -0.5

在最优单纯性表中,

最小值为:-5 x5,x6的检验数均为负数,于是得到最优解 X*=(0,0,0,5,20) T,所以可以 C 1 > min

Sf t -

S- t ” L- -Ta

-Tf + 2J;4 一 3 J 1 + g

Hu + 2-a-』一5.r

O >= 1 -6

此题和上题类似:

变成标准化

Max

-x1-x2-x3

s.t.

X5

于是得到最优解

由此得出min X*=(0,0,0,5,3,3)

的值为0,。—1 OJ"I — 5% — 2口 +

5工I+ 3^2 +心 9

—吕4十6工卫+ 15帀 总]5

2Hi + >rj + 才1 —工* = 13

工1 t工*耳。

添加松弛变量 x5, x6, x7

s.t. 5x1+3x2+x3 <9

-5x1+6x2+15x2=15 X6

-z -1 -1 (1)

-1* -5

化为标准化为: max 10x1+5x2+2x3-6x4 -+

x1 -x4 -2x6=5

x2+2x4-3x5+x6=3

x3+2x4-5x5+6x6=5

Cb Xb

X4

X5

X6

-z

X4 xj X),j=1 ….6;

-1

X1 -1

X2 -1

X3 X4

-1

2

-1 X5

0

-3

-5 X6

-2

1

-2

-3

13> min X1 ... x4》0

令 Z1=3x1+2x2+x3-x41

5x1+3x2+x1+x5=9 -5x1+6x2+15x3+x6=15

2x1+x2+x3-x4+x7=13

3 + 才J 一hl

+ —工冃十

工*工3 丢2

于是变为标准形为: max -3x1-2x2-x2+x41

X1-2x2+x3-x41+x5=17 2x1+x2-x3+2x41+x6+x7= 14

x41 二0

X1 …x3>0Cb Xb b 10 5 2 -6 0 0 0

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

0 X5 9 5 3 1 0 1 0 0

0 X6 15 -5 6 15 0 0 1 0

0 X7 13 2 1 1 -1 0 0 1

-z

0 -10 -5 -2 6 0 0 0

0 X1 1.8 1 0.6 0.2 0 0.2 0 0

0 X6 24 0 9 16 0 1 1 0

0 X7 9.4 0 -0.2 0.6 -1 -0.4 0 1

-z

-18 0 -1 0 -6 -2 0 0

T 于是得到最优解 X*=(1.8,0,0,0,0,24,9.4) 于是最小值为: -18

<15

对第二个约束条件左右同时乘上

X1-2x2+x3-x41-2+x5=15

2x1+x2-x3+2(x41-2)+x6+x7= 10 -1 ,再添加松弛变量

即 X1-2x2+x3-x41+x5=17

即 2x1+x2-x3+2x41+x6+x7= 14 x5,x6,x7。令 X4=x41-2,其中 x41 3 0

则 Z=3x1+2x2+x3-x41+2=Z1+2

Cb Xb b -3 -2 -1 1 0 0 0

X1 X2 X3 X41 X5 X6 X7

0 X5 17 1 -2 1 -1 1 0 0

0 X6 14 2 1 -1 2 0 1 1

-z1

0 3 2 1 -1 0 0 0

0 X5 24 2 -1.5 0.5 0 1 0.5 0.5

0 X4 7 1 0.5 -0.5 1 0 0.5 0.5

-z1

-7 -4 -2.5 -0.5 -0 0 -0.5 -0.5

0 X5 24 2 -1.5 0.5 0 1 0.5 0.5

0 X4 7 1 0.5 -0.5 1 0 0.5 0.5

-z1

-7 -4 -2.5 -0.5 0 0 -0.5 -0.5

于是得到最优解 X*=(0,0,0,7,24,0,0) T 9i

3.5

3.5

于是最小值为-5

< 5 J max jri+hi + ha

S. t 2J-: +

4近1 + 2 rj +工'堂2

添加松弛变量 x4,

2x1+x2+2x3+x4=2;

4x1+2x2+x3+x5=2 x5

Cb Xb

X4

X5 X1

2

4 X2

1

2 X3

2

1 X4

1

0 X5

0

1

-z

X4

X5

-z

X3 1/2 1/2

0 X5 1 2 3/2 0 -1/2 1 1

-z

-1 0 1/2 0 -1/2 0

1 X3 1 1 1/2 1 1/2 0 2

1 X2 1 2 (3/2) 0 -1/2 1 2/3

-z

-1 0 1/2* 0 -1/2 0

1 X3 2/3 1/3 0 1 2/3 0 2

1 X2 2/3 4/3 1 0 -1/3 2/3 4/9

-z

-4/3 -2/3 0 0 -1/3 -1/3

X1-3x2+x3=6 2X1+4x2+x4+x5= 8

-x1+3x2+x6=6

Cb Xb b 3 2 0 0 0 0

X1 X2 X3 X4 X5 X6

0 X4 6 1 -3 1 0 0 0

0 X5 8 2 4 0 1 1 0

0 X6 6 -1 3 0 0 0 1

-z

0 3 2 0 0 0 0

0 X4 6 1 -3 1 0 0 0 -

0 X5 8 2 (4) 0 1 1 0 2

0 X6 6 -1 3 0 0 0 1 2

-z

0 3 2* 0 0 0 0

0 X4 12 5/2 0 1 3/4 3/4 0

2 X2 2 1/2 1 0 1/4 1/4 0

0 X6 0 -5/2 0 0 -3/4 3/4 1

-z

-4 2 0 0 -1/2 -1/2 0

0 X4 12 5/2 0 1 3/4 3/4 0 24/5

2 X2 2 (1/2) 1 0 1/4 1/4 0 4 在最优单纯性表中,

X*=(0,2/3,2/3,0,0) T,最优化目标值为

t.6) min x5,x6 的检验数均为负数,

Z*=4/3 于是得到最优解为

一 S j'l — 2工£

JT] — 3孔€

6

£-ri + 4jr2^S x3,

Max 3x1+2x2 添加松弛变量 x4, x5, x6