整数解问题

二元一次方程组的整数解问题、无解问题

一、二元一次方程组的整数解问题

1、若关于x，y的方程组26xymxy有非负整数解，则正整数m为（ ）．

A. 0，1 B. 1，3，7 C. 0，1，3 D. 1，3

答案：D

解答：26xymxy①②，

①+②得，

（m+1）x=8，

∴x=81m，

8的因数1、2、4、8，

∵m为正整数，

∴m+1≥2，

情况1，m+1=2，x=4，y=2，

情况2，m+1=4，x=2，y=0，

情况3，m+1=8，x=1，y=-1（舍），

∴m=1或3．

选D.

2、已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组210320mxyxy有整数解，则m2的值为（ ）．

A. 4 B. 4，49 C. 1，4，49 D. 无法确定

答案：A

解答：21013202mxyxy，

（1）+（2）得，（3+m）x=10，

所以x=103m， 将x=103m代入（2）得y=153m，

当方程组有整数解时，3+m是10和15的公约数，

所以3+m=±1或3+m=±5，

即m=-2或m=-4或m=2或m=-8，

又∵m是正整数，

∴m=2，

则m2=4．

选A.

3、当正整数a=______时，关于x、y的方程组112xayxy的解是整数．

答案：1或3

解答：y=3a，a=1或3．

4、422axyxy（a为正整数），方程组的正整数解为x=______，y=______．

答案：2；2

解答：整理方程组得：（a+2）x=6，x=62a，此时a+2=3或6才为正整数，a=1或4．

当a=1时，x=2，代入解得y=2，方程组的正整数解为22xy；

当a=4时，x=1，代入解得y=0，舍弃．

5、当整数m=______时，方程组21148xmyxy的解是正整数．

1含参不等式（组）的整数解问题 题集

一、含参不等式的整数解问题

A.B.

C.D.1.已知关于的不等式的正整数解恰好是，，，，，那么的取值范围是（ ）．

【答案】D

【解析】解不等式得：．

根据题意得： ，

解得：．

【标注】【知识点】由不等式（组）的整数解情况求参数范围

2.已知是不等式的最小整数解，求参数的取值范围．

【答案】．

【解析】解不等式得到，即，

要使是它的最小整数解，即，

此处先确定在 与之间，再分别考虑等于与的情况，

以确定是否有“”．

故．

【标注】【知识点】由不等式（组）的整数解情况求参数范围

23.已知有两个负整数解，则的取值范围为 ．

【答案】

【解析】两个负整数解只能是,，所以

【标注】【知识点】由不等式（组）的整数解情况求参数范围

A.B.

C.D.4.如果关于的不等式的正整数解只有个，那么的取值范围是（ ）．

【答案】A

【解析】不等式的解集为，

∵正整数解为，，，，

∴的取值范围是，则．

故答案为：．

【标注】【知识点】由不等式（组）的整数解情况求参数范围

二、含参不等式组的整数解问题

A.B.

C.D.5.如果不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（ ）．

【答案】C

【解析】如图：

恰有个整数解，

这个解是，，，

3∴．

故选．

【标注】【知识点】由不等式（组）的整数解情况求参数范围6.若不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是 ．【答案】

【解析】由题意知，不等式组有解．

根据不等式组有两个整数解，将，在数轴上表示出来如图所示．

结合数轴可得，解得．

【标注】【知识点】由不等式（组）的整数解情况求参数范围

7.若不等式组只有个整数解，则的取值范围为 ．

【答案】

【解析】由得：，有两个整数解．

∴或，

∵，

∴．

【标注】【知识点】由不等式（组）的整数解情况求参数范围

A.B.

C.D.8.若不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是（ ）．

【答案】A

4

【解析】解不等式组得：，

∵不等式组共有个整数解，

∴这个整数解分别为，，，

所以．

故选．

【标注】【知识点】由不等式（组）的整数解情况求参数范围9.已知关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是 ．【答案】

二元一次不等式组有解、无解、整数解求参问题

引言

二元一次不等式组是指由两个二元一次不等式构成的方程组。求解二元一次不等式组的问题在数学中是十分常见的。本文将探讨如何确定二元一次不等式组的有解、无解以及整数解的情况。

二元一次不等式组的有解条件

对于二元一次不等式组 ax + by ≥ c 和 dx + ey ≥ f，其有解的条件是：

1. ab ≠ 0；

2. ad - bc ≠ 0；

3. ae - bd ≠ 0。

二元一次不等式组的无解条件

二元一次不等式组无解的条件是：

1. ab ≠ 0；

2. ad - bc = 0；

3. ae - bd ≠ 0。

二元一次不等式组的整数解条件

对于二元一次不等式组 ax + by ≥ c 和 dx + ey ≥ f，其整数解的条件是：

1. ab ≠ 0；

2. ad - bc ≠ 0；

3. ae - bd = 0。

在满足以上条件的情况下，可以通过以下步骤求解二元一次不等式组的整数解：

1. 求出两个方程的最大公约数，设为g；

2. 如果c 和 f 都是g 的倍数，则该不等式组有整数解；

3. 如果c 和 f 不是g 的倍数，则该不等式组无整数解。

总结

本文讨论了二元一次不等式组的有解、无解和整数解的条件。在实际应用中，可以根据这些条件判断二元一次不等式组的解的情况，并通过求解最大公约数判断是否存在整数解。这对于解决相关问题具有重要的指导意义。

含参方程整数解问题

含参方程整数解问题是指对于一个含有参数的方程，求出所有满足该方程的整数解。这种问题在数学中有着广泛的应用，例如在代数、数论、几何等领域。

一般来说，含参方程整数解问题需要通过代数方法或数论方法来求解。下面分别介绍这两种方法：

1. 代数方法

代数方法主要是通过对方程进行变形和化简，得到能够直接求解的形式。例如，对于如下含参方程：

ax + by = c

其中a、b、c为常量，x、y为未知整数，我们可以通过以下步骤来求解：

（1）如果a和b不互质，则该方程无整数解。

（2）如果a和b互质，则可以使用扩展欧几里得算法求出ax + by = gcd(a,b)的一组特殊解(x0,y0)。

（3）由于a和b互质，因此ax + by = c的任意一组整数解都可以表示成(x0 + kb, y0 - ka)，其中k为任意整数。

（4）将上述通式中的x、y带入原方程得到：a(x0 + kb) + b(y0 - ka)

= c。

（5）根据上述式子可得：k = (c - ax0)/b 或 k = (c - by0)/a。

（6）如果k为整数，则(x0 + kb, y0 - ka)为原方程的一组整数解。

2. 数论方法

数论方法主要是通过对方程中的参数进行分析，得到解的性质和范围。例如，对于如下含参方程：

x^2 + y^2 = n

其中n为正整数，我们可以通过以下步骤来求解：

（1）根据勾股定理可知，当n是完全平方数时，该方程有无穷多组正整数解。

（2）当n不是完全平方数时，我们可以使用费马平方和定理判断是否存在正整数解。该定理表明：当且仅当n的素因子分解式中每个形如4k+3的素因子出现偶数次时，才存在正整数解。

（3）如果满足费马平方和定理，则可以使用勒让德符号和高斯算法求出该方程的一组正整数解。

综上所述，含参方程整数解问题需要根据具体情况采用不同的方法进行求解。在实际应用中，还需要注意对参数范围进行限制和排除无效解等问题。