平方根和立方根

平方根和立方根

一、知识要点：

1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

注意：这样的数常常有两个。

2、平方根的性质：

(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。

(2)0的平方根是0本身；

(3)负数没有平方根。

3.平方根的表示方法: 正数a的平方根表示为―±‖

4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。记作。0的平方根0,也叫做0的算术平方根。

5.≥0（当 a<0时, 无意义）。

到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。

6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。

二.易犯错误：

1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．

2.表示的正数a的算术平方根。蕴含条件a≥0。

三.例题分析:

例1.求下列各数的平方根,算术平方根:

(1)121 (2)0.0049 (3) (4)4 (5)|a|2

解: (1)∵(±11)2=121

∴121的平方根是±11,算术平方根是11； 即±=±11, =11。

(2)∵(±0.07)2=0.0049

∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,

即,±=±0.07, =0.07。

(3)∵(±)2=

∴的平方根是±,算术平方根是,

即±=±,=。

(4)要先把带分数化成假分数,即4

∵(±)2=

∴4的平方根为±，算术平方根为。

即,±。

(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。

∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。

说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。

例2. 求下列各式的值:

解: (1)3=3×= (2)±=±

(3)=8

(4)±=±

(5)-(带分数要先化成假分数)

(6)3×=3×7=21

(7)

(8)×0.6+×0.9=0.3+0.3=0.6

(9)(a

∵a

(10)=-1

例3、化简：

分析：本题逆用幂之积，完全平方公式进行变形化简。

解：原式=

例4、如图，数轴上的点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，其中A和B关于原点对称。

（1）化简：

（2）求值：3a+2c+d+2|c-b|+

分析：∵A与B关于原点对称

∴a=-b代入各式化简。

解：（1）∵a=-b,由图可知b>0

∴原式=

（2）∵b>c, b>d；

原式=3a+2c+d+2(b-c)+b-d

=3a+2c+d+2b-2c+b-d

=3a+3b=3a-3a=0

例5. 求下列各式中的x:

(1)49x2=169

解: x2=

∴x=± ∴x=±。

(2) 9(3x-2)2=(-7)2

分析:先求出3x-2的值,再进一步求x的值。

解: (3x-2)2=

∴3x-2=± ∴3x-2=±接下来需分类讨论。

当3x-2=时,3x=+2, ∴x=。

当3x-2=-时, 3x=-+2, ∴x=-。

∴x=或x=-。

(3)=11

解:两边平方得 x=121。

(4) 27(x-3)3=-64

解:(x-3)3=-

∴x-3=

∴x-3=- ∴x=

(5) (5x+2)3-125=0

解:(5x+2)3=125 ∴5x+2=

∴5x+2=5

∴x=

(6) =2

解:∴x-1=23 ∴x-1=8 ∴x=9

例6.若(x-y+5)2与互为相反数,求x,y的值。 解: ∵(x-y+5)2与互为相反数。

∴(x-y+5)2+=0

∵(x-y+5)2≥0, ≥0,

∴

解这个方程组得

∴x=-且y=。

说明:在这里用到"几个非负数的和为零,只有这几个非负数分别是零,才符合要求"这一性质。

四.练习:

1.判断正误:

(1)的平方根是±3。 （ ）

(2)=±。 （ ）

(3)16的平方根是4。 （ ）

(4)任何数的算术平方根都是正数。 （ ）

(5)是3的算术平方根。 （ ）

(6)若a2=b2,则a=b。 （ ）

(7)若a=b,则a2=b2。 （ ）

(8)729的立方根是±9。 （ ） (9)-8的立方根是-2。 （ ）

(10)的平方根是±。 （ ）

(11)-没有立方根。 （ ）

(12)0的平方根和立方根都是0。 （ ）

2.填空:

(1)(-3)2的平方根是______,算术平方根是______。

(2)169的算术平方根的平方根是______。

(3)的负的平方根是______。

(4)-是______的一个平方根,(-)2的算术平方根是______。

(5)当m=______时, 有意义；当m=______时, 值为0。

(6)当a为______时,式子有意义。

(7)是4的______,一个数的立方根是-4,这个数是______。

(8)当x为______时, 有意义。

(9)已知x2=11,则x=______。

(10)当a<0时,= ______。

3.选择题:(单选)

(1)在实数运算中,可进行开平方运算的是( )。

(A)负实数 (B)正数和零 (C)整数 (D)实数 (2)若=5,则x=( )

(A)0 (B)10 (C)20 (D)30

(3)下列各式中无意义的是( )。

(A)- (B) (C) (D)

(4)下列运算正确的是( )

(A)-=13 (B)=-6 (C)-=-5 (D)=±

(5)如果a<0,那么a的立方根是( )

(A) (B) (C)- (D)±

(6)下列各题运算过程和结果都正确的是( )

(A) (B)=2×=

(C)=7+=7

(D)=a+b

4.求下列各式中x的值:

(1)4x2-100=0 (2)64(x+1)3+27=0

5.如果+|6y-5|=0，求xy的值。

练习参考答案:

1.判断正误:

(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×

(7)√ (8)× (9)√ (10)√ (11)× (12)√

2.填空:

(1)±3；3 (2)± (3)-

(4)3； (5)m≥；m=3 (6)a≥2且a≠3

(7)立方根；-64 (8)x为任意实数 (9) ± (10)-a

3.选择题:

(1)B (2)D (3)D (4)C (5)A (6)A

4.求x的值:

(1)x=±5 (2)x=-

5.x=，y=，xy=。

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选择题

1．等式成立的条件是（ ）

A、a是任意实数 B、a>0 C、a<0 D、a≥0

2．一个自然数的算术平方根是x，则下一个自然数的算术平方根是（ ）

A、x+1 B、x2+1 C、+1 D、

3．在实数范围内下列判断正确的是（ ）

A、若|m|=|n|,则m=n B、若a2>b2,则a>b

C、若（）2=|b|,则a=b D、若，则a=b

4．下列四个命题中，正确的是（ ）

A、绝对值等于它本身的实数只有零

B、倒数等于它本身的实数只有1

C、相反数等于它本身的实数只有零

D、算术平方根等于它本身的实数只有1 5．在实数范围内，

A、无法确定 B、只能等于2

C、只能等于1 D、以上都不对

6．下面说法正确的是（ ）

A、-1的平方根是-1； B、若x2=9，则x=3；

C、10-6没有平方根； D、6是（-6）2的算术平方根

7．的平方根是（ ）

A、±2； B、2； C、±； D、

8．的算术平方根是（ ）

A、； B、； C、 ； D、

9．下列各式中，无意义的一个是（ ）

A、 ； B、 ； C、 ； D、

10．若=0，则（ ）

A、x=2； B、x>2； C、x<2； D、x为任意数

答案与解析

答案：1、D 2、D 3、D 4、C 5、C 6、D 7、C 8、A 9、B 10、A

解析：

1.分析：对于任意实数a，都有意义；当a≥0时，才有意义。因此当a≥0时，=a, ()2=a，所以成立。选D

2.分析：这个自然数是x2，下一个自然数是x2+1,其算术平方根为。选择D

3.分析：因为绝对值相等的两个数或者相等或者互为相反数，故选择A错；若a<0,b>0是a2>b2不成立，如（-3）2>22，故选项B错；a、b的取值范围不一致，a>0,而b没有限制，所以b<0时结论不成立，故C选项错。只有D正确，选择D