极值的分析和应用

极值的分析和应用

1 / 6 1.选题的目的、意义及国内外对本课题涉及问题的研究现状：

（一）选题目的及意义

从高中到大学，在不断的学习关于函数的性质，其中极值的运算是我们学习函数性质重要的一部分，它不可或缺，在大学通过对函数导数的求解，以及对高阶导数运算帮助我们，进一步了解函数极值。求一元、二元函数的极值问题是数学分析中的基本内容，可应用于实践中求最大、最小的问题。也可以使用二次型的理论进行判断，并将问题扩大为求任意多元函数的极值。微积分是研究函数微分、积分以及有关概念和应用的一个重要的数学分支。研究微积分理论不仅具有重要的理论意义， 而且也具有重要的应用价值， 而极限在微积分中占有举足轻重的地位。 但是极限技巧性强， 灵活多变，初学者不易掌握， 为此极限被称为高等数学学习的第一个难关。本文运用极值理论，从经济管理决策中常遇到的需求分析问题、利润最大化问题、库存管理问题、成本最小化问题和复利问题等着手，通过具体实例对导数等相关知识在经济中的应用进行探讨和研究。本文对极限的求法做了总结归纳，望给初学者有一定的帮助。

（二） 国内外研究现状

微积分是研究函数微分、积分以及有关概念和应用的一个重要的数学分支， 不仅与实际应用有着紧密的联系， 而且在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等许多方面有着重要的应用。 因此， 研究微积分理论不仅具有重要的理论意义， 而且也具有重要的应用价值。

而极限在微积分中占有举足轻重的地位， 可以这么说， 很多概念比如连续、导数、各类积分、甚至无穷级数收敛与否的判断都以极限为基础。

公元3世纪， 中国数学家刘徽首先将极限思想应用于实践， 利用计算圆的面积时建立的“割圆术”成功地创立了科学的求圆周率的方法。 之后， 牛顿和莱布尼兹在以无穷小概念为基础建立微积分时都接受了极限的思想。 牛顿用路程的改变量 与时间的改变量 之比 表示运动物体的平均速度， 让 无限趋近于零， 得到物体的瞬时速度， 并由此引出导数概念和微分学理论。 后来牛顿意识到极限概念的重要性， 并试图以极限概念作为微积分的基础， 但是无法澄清“似零非零”的模糊认识。

在18-19世纪中， 数学家们提出了许多方案来定义极限， 最终法国数学家达朗贝尔明确了极限作为微积分的基本概念， 并且提出了极限较明确的定义。 虽然达朗贝尔所定义的极限已初步摆脱了几何、力学的直观原型， 但是没有把极限的概念公式极值的分析和应用

2 / 6 化， 这就使得极限的概念是描述性的、通俗的。

此后， 法国数学家柯西在前人工作的基础上， 比较完整地阐述了极限概念及其理论， 并指出: “当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值， 最终使变量的值和该定值之差要多小就多小， 这个定值就叫做所有其它值的极限值， 特别地， 当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限零， 就说这个变量成为无穷小”。 柯西把无穷小视为以零为极限的变量， 这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识， 这就是说， 在变化过程中， 它的值可以是非零， 但它变化的趋向是“零”， 可以无限地接近于零。 柯西试图消除极限概念中的几何直观， 作出极限的明确定义， 然后去完成牛顿的愿望。 但柯西的叙述中还存在描述性的词语， 如“无限趋近”、“要多小就多小”等， 因此还保留着几何和物理的直观痕迹， 没有达到彻底严密化的程度。 为了排除极限概念中的直观痕迹， 维尔斯特拉斯提出了含有数学语言的极限的定义。

极限是微分的理论基础， 研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限， 如连续、导数、定积分等， 因此对于极限的求解就显得十分重要了。

到目前为止， 人们对极限的求解方法只是进行了初步的总结。 余长安在文献[1]中概括总结了函数极限常见的几种求解方法， 并且给出了相对应的经典例题; 裴礼文在文献[2]中总结了求极限(数列极限和函数极限)的方法与技巧; 黎东在文献[3]中不仅对一些人们常用的求函数的方法进行了总结， 还给出了一些特殊的解法， 同时结合例题进行了说明解释; 张敏捷在文献[4]中列举了若干种求函数极限的特殊解法。

虽然求解函数极限的方法有多种， 但是极限技巧性强， 灵活多变， 初学者不易掌握， 为此极限被称为高等数学学习的第一个难关。本文对极限的求法做了总结归纳，

介绍了利用极限的定义、极限的四则运算法则、化为已知重要极限、洛必达法则、等价无穷小代换、夹逼准则、函数的连续性、左右极限、无穷小量与无穷大量的关系等求函数极限的十几种方法。

主要参考文献

[1] 余长安. 大学数学考研题型精讲与解题技巧集粹 [M]. 北京: 科学出版社,

2005.

[2] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

[3] 黎东. 浅谈求函数极限的方法 [J]. 昌吉师专学报, 1999(3): 71~76.

[4] 张敏捷. 函数极限的几种特殊求法 [J]. 黄石理工学院学报, 2008, 24(2): 56~58. 极值的分析和应用

3 / 6 [5] 华东师范大学数学系. 数学分析上册 [M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.

[6] 刘书田, 孙慧玲. 微积分 [M]. 北京: 北京大学出版社, 2006.

[7] R.B. Davis, S. Vinner. The notion of limit; some seemingly unavoidable

Misconception stages [J]. The Journal of Mathematical Behavior, 1986, 5: 281~303.

[8] 司清亮. 极限求法分析 [J]. 新乡师范高等专科学校学报, 2002, 16(4): 3~4.

[9] 周根立. 求函数极限的方法 [J]. 山西煤炭管理干部学院学报, 2000, 3: 33~36.

[10] 马建清, 向彩容, 喻敏. 关于求极限的几种方法 [J]. 高等函授学报, 2006,

19(6): 35~44.

[11] 吉米多维奇. 数学分析习题集 [M]. 济南: 山东科学技术出版社, 2008.

[12] 刘西垣, 周民强, 李正元等. 微积分题型精讲(经济类) [M]. 北京: 机械工程出版社, 2004.

[13] 卫民波. 关于二元函数极限的讨论 [J]. 山西农业大学学报, 2006, 26(6):

123~124.

[14] 任宪林. 多元函数求极限 [J]. 职大学报, 2001, 2: 5~7.

[15] D. Tall, S. Vinner. Concept image and concept definition in mathematics with

particular reference to limit and continuity [J]. Educational Studies in Mathematics, 1981,

12: 151~169.

[16] 陶会强, 罗成广. 二元函数极限的计算方法 [J]. 天中学刊, 2009, 24(2):

3~4.

[17] 杨雪宏, 宋振新, 段长存. 二重极限求法探析 [J]. 河北能源职业技术学院学报, 2002(3): 94~96.

[18] 龙永红.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社.2001,(12）,第三版.

[19] 韩新正.“概率为零事件”与“不可能事件”辨析[J].中小学数学(初中版),2011,(11):46.

极值的分析和应用

4 / 6 2．本课题主要研究方法、研究手段和需要重点研究的问题及解决的思路:

（一）研究方法

本文实用的研究方法主要是文献综述法和案例分析法。

（二）研究手段

在知网、万方数据库等相关的学术网站上找到相关的研究结论，进行总结归纳。其次选取一元函数和多元函数进行案例分析，研究极值的应用。

（三）重点研究问题

研究的重点主要是以下几方面：

1.一元函数极限的定义

2.函数极限的一般性质

3. 一元函数极限的求解方法

4.多元函数极限

5.函数极限的求解误区

（四）解决思路

本文首先将极限分为一元函数极限和多元函数极限分别进行阐述。对于多元函数极限也系统地概括了变量代换、利用两边夹定理求极限等几种方法，并都给出了相应的例子。最后还陈述了求函数极限的几个误区及应用。

3．工作方案及进度计划:

（一）工作方案

首先通过和指导老师交流，确定选题，其次，确定选题为《极值的分析和应用》后，通过知网，学校图书馆，万方数据库等相关的学术网站和图书馆进行文献查询，针对国内外相关的研究成果进行总结归纳，得出研究的理论基础，指导本文的分析。

（二）进度计划

1.2018年9月20—10月31日，搜集资料，确定论文题目。

2.2018年11月1日—11月21日，撰写开题报告并提交开题报告。

3.2018年11月22日—2018年12月19日，向论文指导教师提交论文初稿。

4. 2018年12月20日—2018年12月28日，向指导教师提交论文二稿。

5. 2019年5月4日，向指导教师提交论文三稿（定稿），指导教师对论文成绩进极值的分析和应用

5 / 6 行评定。

6.2019年5月9日—13日，评阅教师对论文进行成绩评定。

7.2019年5月14日—15日，进行论文答辩。

4．指导教师审核意见:

指导教师（签字）：

年 月 日 极值的分析和应用

6 / 6 5．学院学术委员会审查意见

学院学术委员会主任（签字） 学院（签章）

年 月 日

说明：

1.本报告必须由承担毕业论文（设计）课程任务的学生在正式开始做论文（设计）前