第２９卷第７期 ２０１２年７月 吉 林 化 工 学 院 学 报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＪＩＬＩＮ ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ ＯＦ ＣＨＥＭＩＣＡＬ ＩＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖ０１．２９ Ｎｏ．７ Ｊｕ１． ２０１２
文章编号：１００７－２８５３（２０１２）０７－００９２－０３
欧式期权二叉树定价模型的改进及实证研究
杨少华
（１．阜阳师范学院数学与计算科学学院，安徽阜阳２３６０３７；２．辽宁大学经济学院，辽宁沈阳１１００３６）
摘要：二叉树模型是期权定价的一种重要方法，文中利用股票价格的原点矩建立方程组得到模型中的 参数，从而改进了二叉树定价模型，避免了原二叉树模型的缺陷． 关键词：期权定价；欧式期权；二叉树模型；原点距 中图分类号：Ｏ２９ 文献标志码：Ａ
期权是一种重要的金融衍生品，它赋予持有 者在将来某一确定时间以某一确定价格购买或出
售标的资产的权利．自１９７３年在美国首次进行场 内期权交易以来，期权市场得到迅猛发展，如何对
期权进行合理定价成为人们研究的重点．Ｂｌａｃｋ—
Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式被赋予了很强的约束，构建 理想模型，得出关于期权价格的偏微分方程而得到 的．如果约束条件一旦放松，该方法就无法解决期
权定价问题．Ｃｏｘ，Ｒｏｓｓ和Ｒｕｂｉｎｓｔｅｉｎ在１９７９年建
立了为期权定价的二叉树数值方法，该方法直观且 宜操作，但对概率参数的求解过程中有时会产生负
的概率，与实际矛盾．本文将利用股价原点距的概 率知识建立方程组求解树图定价模型中的参数，从
而避免负概率的产生，使其与实际情况相符． 文中将研究以股票作为标的资产的欧式期权
定价问题，用５表示股票价格，Ｋ为期权执行价
格，ｃ为欧式看涨期权价格，Ｃ为欧式看跌期权价 格， 为股票的预期收益率， 为股票价格波动 率，ｒ为无风险利率， 为期权执行日期，＝１＋股
票价格上涨状态的收益率，ｄ＝１＋股票价格下跌 状态的收益率。同时，定价模型建立在如下个假
】
金融随机分析课程
美式期权的二叉树定价
1、对于连续随机游走：
SdZSdtdS
可以用离散格随机游走模型来表示，即标的资产的价格只在离散时间点t，2t,3t,…,Nt取值，t表示很小但非无穷小的时间步长；如果标的资产在时刻mt的价格为mS，那么在时刻(m+1)t其价格有两种可能的值:)1(uuSm和)1(ddSm，并且标的资产的价格从mS上升到muS的概率为p。
2、风险中性假设在风险中性条件下，随机微分方程：
SdZSdtdS
其中的可以用r来表示。即
~
SdZrSdtdS
风险中性条件下，在时刻mt衍生证券的价格mV是其在时刻(m+1)t的期望值按照无风险利率r贴现所得到的，即][1mtrmVeEV。
3、期权的计算
期权的计算是从二叉树图的末端（时刻T）开始向后倒退进行的。T时刻期权的价值NnV已知。对于一个看涨期权来说，有
)0,max(KSVNnNn
对于一个看跌期权来说，有
)0,max(NnNnSKV
其中，n=0,1,2,…,N, K为执行价格。
}
在风险中性条件下，tT时刻的每个结点上的期权值都可以用T时刻期权价值的期望值在时间t内用利率r贴现求出；同理，tT2时刻的每个结点的期权值可以用tT时刻的期望值在t时间内用利率r贴现求出，其它结点依次类推。
而如果对于美式期权，必须检查二叉树图的每个结点，以确定提前执行是否
比继续持有t时间更为有利。最后，向后倒推通过所有结点就求出了当前时刻的期权价值0V。
下面对美式期权定价问题进行研究：
美式看涨期权被提前执行时，其内涵价值为
)0,max(KSVmnmn n=0,1,2,…,m
对于看跌期权来说，有
)0,max(mnmnSKV n=0,1,2,…,m
在mt时刻从节点(m,n)向(m+1)t时刻的结点(m+1,n+1)移动的概率为p；向(m+1)t时刻的结点(m+1,n)移动的概率为1-p。
２００６年３月 第２３卷第１期 广西师范学院学报（自然科学版） Ｍａｒ．２００６ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕａｎｇｘｉ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２３ Ｎｏ．１
文章编号：１００２—８７４３｛２００６｝０１—００２６—０５
基于二叉树模型期权定价的矩阵形式算法
覃思 乾
（玉林师范学院数学与计算机科学系，广西玉林５３７０００）
摘要．－ｙ．树模型是使用范围最广的期权定价方法之一．该文根据期权定价的二叉树模型思想，从矩阵的角 度考虑二叉树模型的期权定价，给出了一种基于二叉树模型期权定价的新方法——矩阵形式算法，并通过实例说 明了其应用． 关键词：二叉树模型；矩阵；欧式期权；美式期权 中图分类号：Ｆ８３０．９１；Ｆ２２４．０ 文献标识码：Ａ
金融市场已经成为当今世界投资者和投机者活动最为活跃的市场。随着我国金融市场进一步改革
和开放以及世界金融市场一体化的发展，我国必将推出股票期权以满足投资者的需要．尽管目前我国还
没有股票期权。但是期权定价问题已成为学者们的热门课题．期权定价是一个比较复杂的问题，期权本
身就有多种形式，即使建立了数学模型，也不一定有显式解。只能进行数值解．
二叉树模型的期权定价方法是最著名的使用范围最广的方法之一，其理论要点主要来自Ｊｏｈｎ Ｃ． Ｃｏｘ。Ｓ．Ａ．Ｒｏｓｓ以及Ｍａｒｋ Ｒｕｂｉｎｓｔｅｉｎ于１９７９年所发表的文［１］中，１９８５年Ｊｏｈｎ Ｃ．Ｃｏｘ和Ｍａｒｋ Ｒｕｂｉ—
ｎｓｔｅｉｎ又进一步完善了他们的结果．至今。二叉树模型已成为金融从业者常用的方法．二叉树模型的期
权定价方法，其主要目的是算出期权金，如果要了解整个倒推过程。还要编制复杂的程序．本文试图用矩 阵形式来表示二叉树模型方法，以矩阵形式来研究二叉树期权定价的整个倒推过程。同时以矩阵形式来
研究期权定价的数值解．
/
期权定价模型
期权定价模型（Option Pricing Mode1）
目录
1 期权定价模型概述
1.1 期权定价模型的前驱
1.2 期权定价模型发展过程
2 期权定价的方法
3 期权定价模型与无套利定价
4 B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件
4.1 (一)B-S模型有5个重要的假设
4.2 (二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式
5 期权定价的二项式模型
期权定价模型概述
期权定价模型的前驱
1、巴施里耶（Bachelier，1900）
2、斯普伦克莱（Sprenkle,1961）
3、博内斯(Boness，1964）
4、萨缪尔森（Samuelson,1965）
期权定价模型发展过程
期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品(underlying assets)的选择权。期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。早在1900年法国金融专家劳雷斯·巴舍利耶就发表了第一篇关于期权定价的文章。此后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，但因种种局限难于得到普遍认同。70年代以来，伴随着期权市场的迅速发展，期权定价理论的研究取得了突破性进展。
在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。在过去的20年中，投资者通过运用布莱克——斯克尔斯期权定价模型，将这一抽象的数字公式转变成了大量的财富。
期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世。B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，几乎所有从事期权交易的经纪人/
