高一数学同步测试等比数列 (2)

高一数学等比数列试题答案及解析1.在等比数列中，为前n项的积，若，，则的值为（）A．16B．12C．8D．4【答案】A【解析】设公比为q，显然，由，，所以===16.【考点】等比数列的通项公式.2.已知{an }是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝ ( ).A．1或－B．1C．－D．－2[【答案】A.【解析】根据题意，有，因为，所以，解得1或－.【考点】等比数列的通项公式，等差中项的定义.3.已知数列的首项.（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；（2）证明：对任意的；（3）证明：.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）将两边去倒数并常量分量，然后所得式子变形数列{}的第n+1项是第n项若干倍形式，根据等比数列定义即可判定{}是等比数列，利用等比数列通项公式，先求出{}的通项公式，再解出的通项公式；（2）将不等式右侧式子配凑的通项公式形式，再将其化为关于的二次函数最值问题，通过放缩即可证明该不等式；（3）先将的通项公式常量分量，代入，通过放缩即可证明不等式的左半部分，对利用（2）的结论缩小，出现首项为，公比为的等比数列的前n项和，数列取为该数列前n项和的算术平局值，即可证明该不等式右半部分.试题解析：（1），又所以是以为首项，以为公比的等比数列．5分（2）由（1）知9分（3）先证左边不等式，由知；当时等号成立； 11分再证右边不等式，由（2）知，对任意，有，取，则 14分考点:等比数列定义、通项公式、前n项和公式；二次函数最值；放缩法；转化与化归思想；运算求解能力4.已知等比数列中，，，，分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且.（1）求数列的公比；（2）设集合，且，求数列的通项公式.【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）根据题意可知，，为等比数列的前三项，因此，结合条件及余弦定理将消去，并且可以得到，即的值：，或，从而或；（2）条件中的不等式含绝对值号，因此可以考虑两边平方将其去掉：∵，∴，即，解得且，从而可得，即有，结合（1）及条件等比数列可知通项公式为或.试题解析：（1）∵等比数列，，，，∴， 1分又∵， 3分而，∴或， 5分又∵在△ABC中，，∴或； 6分（2）∵，∴，即，∴且， 8分又∵，∴，∴， 10分∴或. . 12分【考点】1.等比数列的通项公式；2.余弦定理及其变式；3.解不等式.5.在等比数列中，若，则与的等比中项为（）A．B．C．D．前3个选项都不对【答案】C.【解析】由等比数列可知，，∴与的等比中项为.【考点】等比数列的性质.6.已知等比数列满足，，数列的前项和，则＝．【答案】【解析】由知等比数列的公比从而．【考点】等比数列．7.在等比数列中，，则= ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知及等比数列的性质及得，解之得（舍去）或，又由，得，所以。

【高一】等比数列检测考试题（附答案和解释）2.3.1 等比数列第二课时优化训练1.如果不相等的实数a、B和C构成等差序列，C、a和B构成等比序列，a+3B+C=10，则a等于（）a．4 b．2c、－2d.－4解析：选d.由互不相等的实数a，b，c成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由a＋3b ＋c＝10可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又c，a，b成等比数列可得d＝6，所以a＝－4.2.如果等比序列前三项的乘积为2，后三项的乘积为4，所有项的乘积为64，则序列为（）a．13项b．12项c、项目11 d.10解析：选b.设该数列为{an}，由题意得a1a2a3＝2，A？A－1？an－2＝4∴(a1an)3＝8，∴a1an＝2(a1a2…an)2＝642＝(a1an)n＝2n，∴n＝12。

3．在等比数列{an}中，a5、a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7等于( )a、－1b.1c．±1d．以上都不正确分析：选择B。

让等比序列{an}的第一项为A1，公共比为Q。

从an=a1qn-1可知，序列{an}的奇数项和偶数项的符号分别相同。

这样，从A5+A9=187>0，A5？A9=1，a7=1，选择B4．已知{an}是等比数列，（1）如果an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，A3+A5=；(2)若an＞0，a1?a100＝100，则lga1＋lga2＋…＋lga100＝________.分析：（1）a2a4+2a3a5+a4a6=25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，∴(a3＋a5)2＝25，和一个＞0，——A3+A5=5(2)∵a1?a100＝a2?a99＝…＝a50?a51＝100，∴lga1＋lga2＋…＋lga100＝lg（a1？a2…a99？a100）＝lg(a1?a100)50＝50lg100＝100.答案：51005．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8000.求此四个数．解决方案：让前三个数字分别为A-D、A和A+D，那么就有了(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.最后三个数字是BQ，B，BQ，则有bq?b?bq＝b3＝8000，也就是说，B=20∴四个数分别为m,16,20，n.∴m＝2×16－20＝12，n＝20226＝25即四个数分别为12,16,20,25.1.已知等比序列{an}的公共比为正，A3？A9=2A25，A2=1，然后A1=（）a.12b.22c、 2d.2解析：选b.设公比为q.来自a3a9=2A25的A26=2A25∴a6＝2a5，a6a5＝2，即q＝2，和∵ Q＞0，∵ q=2，∴a1＝a2q＝22.2.设{an}为正算术序列，{BN}为正算术序列，相应的函数图像如图所示，A1=B1，A2N+1=b2n+1，然后（）a．an＋1＝bn＋1b、 an＋1>bn＋1c．an＋1d、安＋1≥bn＋1解析：选b.由题图可得，选b.3.已知a、B和C是等比序列，那么二次函数f（x）=AX2+BX+C的图像与x轴的交点有（）a．0个b．1个c、 2 d.0或1解析：选a.由题意知b2＝ac.∵ δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝3b2＜0∴图象与x轴无交点．4.让x∈ R、将不超过x的最大整数记录为[x]，设{x}=x-[x]，然后{5+12}，[5+12]，5+12（）a．是等差数列但不是等比数列b、这是一个等距序列，但不是等距序列c．既是等差数列又是等比数列d、它既不是等差序列，也不是等比序列解析：选b.∵[5＋12]＝1，{5＋12}＝5＋12－1＝5－12，∴{5＋12}? 5+12=（[5+12]）2=1，以及∵ 5 + 12 + {5 + 12} = 5 ≠ 2.∵ 是等比序列，但不是等差序列5．若两个数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两个数为两根的一元二次方程是( )a、 x2－6x＋5＝0b.x2＋12x＋25＝0c．x2＋6x－25＝0d．x2－12x＋25＝0设这两个数为X1和x2x1＋x2＝12，x1x2＝25，用这两个数字表示的方程是x2-12x+25=06．已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点为(b，c)，则ad等于( )a、 3b.2c．1d．－2分析：选择B.曲线y=x2-2x+3=（x-1）2+2，因此顶点为（1,2），即BC=1×2＝2＝ad。

高一数学周周练50 等比数列(2) 2021.5.10 班级______________姓名______________学号________________1、数列}2{lg a n 既是等差数列，又是等比数列，则a =__________。

2、已知}{n a 是等比数列，若123234189a a a a a a ++=++=-，，则通项公式=n a __________。

3、等差数列}{n a 的公差0≠d ，又139a a a ，，依次成等比数列，则1492410a a a a a a ++=++_________。

4、在等比数列}{n a 中，若公比1>q 且3746128a a a a =+=，，则=10a _____________。

5、已知在等差数列{}n a 中，11204a d ==-，，则使)2(≥≤n a S n n 成立的n 的最小值为_____。

6、已知数列{}n a , 11a =，()*113nn N a a =+∈n+1，则10a = 。

7、等比数列{}n a 与等差数列{}n b 各项均为正数，且它们的首项和第12+n 项相等，则1n a +与1n b +的大小关系为 。

8、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a =，则3132310log log log a a a +++= 。

9、在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --= ______。

10、“b =a b c ，，”成等比数列的 条件。

11．等差数列共有30项，1010S =，2025S =，则30S =________。

12、数列{}n a 中，()*12321n a a a a n n N ++++=+∈，则n a =___________。

13、在等差数列{}n a 中满足4737a a =，且10a >，则数列前___________项之和取得最大值。

高一下数学等比数列一．选择题（共21小题）1．已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5+b9等于（）A．2B．4C．8D．162．已知各项均不相等的等比数列{a n}，若3a2，2a3，a4成等差数列，设S n为数列{a n}的前n项和，则等于（）A．B．C．3D．13．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}满足a1＝1，q＝﹣3，则a5＝（）A．81B．﹣81C．243D．﹣2435．已知单调递减的等比数列{a n}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是（）A．q＝1B．q＜0C．q＞1D．0＜q＜16．已知{a n}为等比数列，且a1＝32，a2a3＝128，设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．13B．14C．15D．167．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1﹣a n＝2n，则a9＝（）A．510B．512C．1022D．10248．已知{a n}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝（）A．B．﹣2C．2D．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，边a，b，c依次成等比数列，且b＝2，则S△ABC＝（）A．B．1C．2D．10．等比数列{a n}的各项均为正数，且a2a9+a5a6＝6，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．6B．5C．4D．1+log3511．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2，a1＝2，则a2020＝（）A．22019B．22020C．22021D．22021﹣212．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（）A．60里B．48里C．36里D．24里13．在等比数列{a n}中，a1＝﹣16，a4＝8，则a7＝（）A．﹣4B．±4C．﹣2D．±214．已知等比数列{a n}中，a1＝2，a5＝18，则a2a3a4等于（）A．36B．216C．±36D．±21615．已知等比数列{a n}满足a n+1＜a n，a3＝1，2a12+a11＝a10，若{a n}的前n项和为S n，则S3为（）A．1或7B．﹣1C．7D．116．在等比数列{a n}中，a2，a10是方程x2﹣5x+3＝0的两根，则log3a6＝（）A．1B．C．D．﹣117．已知等比数列{a n}的各项均为正数，若a1＝1，a2+a3＝6a1，则a5＝（）A．4B．10C．16D．3218．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝1，S6＝9，则S9等于（）A．81B．17C．24D．7319．在等比数列{a n}中，已知a2a4a6＝8，则a3a5＝（）A．3B．5C．4D．220．等比数列{a n}的各项均为正数，且a6a7+a5a8＝18，则log3a1+log3a2+…log3a12＝（）A．12B．10C．8D．2+log3521．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足a72﹣a3﹣a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝（）A．2B．4C．8D．16二．填空题（共3小题）22．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则cos（a2+a4）＝23．若{a n}是等比数列，且前n项和为S n＝3n﹣1+t，则t＝．24．正项等比数列{a n}其中a2•a5＝10，则lga3+lga4＝．三．解答题（共16小题）25．已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．26．在等比数列{a n}中，a1+a2＝6，a2+a3＝12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是等差数列，且b2＝a2，b4＝a4．求数列{b n}的公差，并计算b1﹣b2+b3﹣b4+…﹣b100的值．27．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a n，记数列{}前n项和为T n，证明：≤T n＜1．28．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝30，S7＝56；各项均为正数的等比数列{b n}满足b1b2＝，b2b3＝．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．29．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n＝2a n﹣1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，b1＝3a1，b n+1＝b n+3，n∈N*，求数列{a n+b n}的前n项和T n．30．已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n＝S n﹣（n∈N*），求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．31．设递增等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝1，a4是a3和a7的等比中项，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．32．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列的前n项和T n．33．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1+a3＝8，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为S n，求证：S n＜．34．已知各项均为正数的等比数列{a n}满足：，且3a3是a4，a5的等差中项．（1）求a n；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．35．在公差不为零的等差数列{a n}中，若首项a1＝1，a4是a2与a8的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2n•a n}的前n项和S n．36．已知{a n}是公差不为0的等差数列，满足a3＝7，且a1、a2、a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．37．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）记b n＝a n+1，求证：{b n}为等比数列；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设c n＝（n+1）b n，求数列{c n}的前n项和T n．38．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为5，a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．39．（1）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，求{a n}的通项a n；（2）等比数列{a n}中，a5﹣a1＝15，a4﹣a2＝6，求公比q．40．在等比数列{a n}中a2＝3，a5＝81．（1）求a n；（2）设b n＝log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．高一下数学等比数列参考答案一．选择题（共21小题）1．C；2．A；3．A；4．A；5．D；6．C；7．B；8．D；9．D；10．B；11．B；12．B；13．A；14．B；15．C；16．B；17．C；18．D；19．C；20．A；21．B；二．填空题（共3小题）22．；23．；24．1；。

高一数学等比数列试题答案及解析1.已知是等比数列，且，，那么的值等于（）A．5B．10C．15D．20【答案】A【解析】由于是等比数列，，，又.故选A.【考点】等比中项.2.在各项都为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，前三项和为21，则( )．A．33B．72C．84D．189【答案】C【解析】由,故选C.【考点】等比数列性质.3.在等比数列中，已知前n项和=，则的值为（）A．－1B．1C．5D．-5【答案】D【解析】当=1时，===，当≥2时，==-=，∵是等比数列，∴公比为5，∴==5，解得=-5.【考点】等比数列定义；数列前n项和与第n项关系4.已知等比数列公比，若，，则 .【答案】42【解析】因为所以【考点】等比数列的有关运算5.已知数列{an }的前n项和为Sn，满足an¹ 0，，．（1）求证：；（2）设，求数列{bn }的前n项和Tn．【答案】（1）见解析（2）Tn=【解析】（1）由，变形为，然后利用累加法可证得结果. （2）由，．两式相减得，即，然后利用等差等比数列的前n项和公式即可求得结果.试题解析：（1）证明：∵，an¹ 0，∴．则，，…，（n≥2，）．以上各式相加，得．∵，∴．∴（n≥2，）．∵n = 1时上式也成立，∴（）．（2）∵，∴．两式相减，得．即．则．= =．【考点】递推关系式；累加法求和；等差等比数列的前n项和公式.6.已知实数列成等比数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】记该数列为，并设该等比数列的公比为，则有，所以所以，故选C.【考点】等比数列的通项公式.7.等比数列满足，则公比__________.【答案】【解析】设公比为，根据等比数列的通项公式可得，，两式相除可得.【考点】等比数列的通项公式.8.已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．23B．21C．19D．17【答案】D【解析】法一：设公比为，则依题意有，所以，所以，选D；法二：依题意可知，所以，所以，选D．【考点】等比数列的通项及其前项和公式．9.在等比数列中，如果，那么等于（）A．2B．C．D．4【答案】D【解析】∵，∴，故选D．【考点】等比数列的性质．10.设成等比数列，其公比为2，则的值为( ) A．B．C．D．1【答案】A【解析】因为成等比数列，其公比为2，所以.因此.【考点】等比数列11.设,则等于 ( )【答案】C【解析】因为为一个以为首项,为公比等比数列前项的和,所以选C.【考点】等比数列求和12.已知等比数列中，则 ( )A．6B．﹣6C．±6D．18【答案】C【解析】因为，在等比数列中，如果，，那么，。

高一数学等比数列 练习题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等比数列{}n a 中，122a a +=,3450a a +=，则公比q 的值为 （ ）A ．25B ．5C ．－5D ．±52．等比数列{}n a 中， 0>n a ，443=a a ，则622212log log log a a a +++ 值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．等比数列,45,10,}{6431=+=+a a a a a n 中则数列}{n a 的通项公式为（ ）A ．nn a -=42B ．42-=n n aC ．32-=n n aD ．nn a -=324．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = （ ）A ．–4B ．–6C ．–8D ．–10 5．等比数列{}n a 中29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为 （ ）A ．81B ．120C ．140D ．1926．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（ ）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:37．已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65， 后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（ ）A ． S 1B ．S 2C ． S 3D ． S 48．已知()1f x bx =+为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()g n =1(0)[(1)],(1)n f g n n =-≥⎧⎨⎩, 设()()()1n a g n g n n N +=--∈，则数列{}n a 为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列9．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄， 若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将 所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（ ）A ．7(1)a p +B ．8(1)a p +C ．7[(1)(1)]ap p p+-+D ．()()811ap p p +-+⎡⎤⎣⎦10．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则c b a ++的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．411．已知等比数列1},{32=>a a a n ，则使不等式0)1()1()1(2211≥-++-+-nn a a a a a a 成立的最大自然数n 是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．在等比数列{}n a 中，公比1q ≠，设前n 项和为n S ，则2224x S S =+，246()y S S S =+的大小关系是（ ）A ．x y >B ．x y =C ．x y <D ．不确定第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上． 13．等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n，则n a =_______.14．已知数列前n 项和S n ＝2n－1，则此数列的奇数项的前n 项的和是________15．已知等比数列{}n a 及等差数列{}n b ，其中10b =，公差0d ≠．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为 . 16．如果b 是a 与c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且,,y x z 都是正数，则()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= （0,1m m >≠）三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．已知数列}{,}{n n b a 满足22,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a .(12分) （1）求证：数列{b n +2}是公比为2的等比数列； （2）求n a .18．已知数列{}n a 的前n 项和为).)(1(31,*∈-=N n a S S n n n (12分) （1）求21,a a ；（2）求证数列{}n a 是等比数列.19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝nn 2+S n （n ＝1，2，3，…）.证明：(12分) （1）数列{nS n}是等比数列； （2）S n ＋1＝4a n .20．已知数列}{n a 满足：n n n a a a 21,2111=-=-且. (12分) （1）求432,a a a ，; （2）求数列}{n a 的通项n a .21．已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a (12分)（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令).(R x x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式.22．甲、乙、丙3人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球. (14分) （1）若经过5次传球后,球仍回到甲手中，则不同的传球方式有多少种？ （2）设第n 次传球后，球回到甲手中不同的传球方式有a n 种，求a n参考答案一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．B 9．D 10．A 11.B 12.B 二、填空题 13. 12-n . 14.)12(312-n. 15. 978. 16. 0. 三、解答题17. （1）由2242222211=++=+++=++n n n n n n b b b b b b 得, }2{+∴n b 是公比为2的等比数列.（2）由（1）可知22.22.224211111-=--=∴=⋅=+++++-n n n n n n n n a a b b 则.令n =1，2，…n －1，则22,22,221323212-=--=--=--n n n a a a a a a ， 各式相加得)2222(32n n a ++++= n n n n n 222222)1(211-=+--=--++.18. (1)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ，∴=1a 21-，又)1(3122-=a S , 即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(2)当n>1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n na a S S a 得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列. 19. （1）由a 1=1,a n+1=n n 2+S n (n=1,2,3，…)，知a 2=112+S 1=3a 1,224212==a S , 111=S,∴21212=S S .又a n+1=S n+1-S n (n=1,2,3，…),则S n+1-S n =nn 2+S n (n=1,2,3，…)，∴nS n+1=2(n+1)S n 211=++nS n S n n (n=1,2,3，…).故数列{nSn }是首项为1，公比为2的等比数列 .（2） 由（I ）知，)2(14111≥-∙=+-+n n S n S n n ，于是S n+1=4(n+1)·11--n Sn =4a n (n 2≥).又a 2=3S 1=3,则S 2=a 1+a 2=4=4a 1,因此对于任意正整数n ≥1都有S n+1=4a n .20.（1）234a =，278a =，31516a =. （2）21212a a -=，32312a a -=，43412a a -=，……nn n a a 211=--，以上等式相加得 n n a a 212121321+++=- ，则n n a 2121212132++++= =211)211(21--n =n 211-. 21.（1）设数列}{n a 公差为d ，则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a 所以.2n a n =（2）令,21n n b b b S +++= 则由,2n n n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ①,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ②当1≠x时，①式减去②式，得,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n nn n n nx xx x nx x x x S x所以 .12)1()1(212x nx x x x S n n n----=+当1=x时, )1(242+=+++=n n n S n综上可得当1=x时,)1(+=n n S n ；当1≠x 时，.12)1()1(212xnx x x x S n n n----=+22． (1) 采用列表法由1可知总的传球方式有25＝32种，回到甲手中的有10种.（2）设第n 次传球后，球回到甲手中的方式总数为a n ，球没有回到在甲手中的方式总数为n a '，球在甲手中的概率为nnn n n a a p p 2)(==，球不在甲手中的概率为nnn n na a p p 2)('='='n 次传球后，球在甲手中的方式总数为a n ，就等于n-1次传球后，球不在甲手中的方式总数为1-'n a ，∴n a =1-'na , 212222211111------='='='==n n nn n n nn n n p p p a a p ,显然01=a ，则01=p ，由于21212111+-=-=--n n n p p p , )31(21311--=-∴-n n p p ，显然{}31-n p 是首项为31311-=-p ，公比为 21-的等比数列，1)21(3131---=-n n p ，12.3)1(31--+=n n n p .+∈-+==∴N n p a nn n nn ,3)1.(22.2.。

2021年高中数学第二章数列2.3.1等比数列同步训练新人教B版必修5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.给出下列命题：（1）若，则-a，b，-c成等比数列（abc≠0）；（2）{2a n+1}(n∈N*)是等比数列；（3）若b2=ac，则a、b、c成等比数列；（4）若a n+1=a n q（q为常数），则{a n}是等比数列.其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析：（1）显然正确；（2）中若a=0则不正确;（3）中若a=b=c=0也不行;（4）中若q=0不行.故选B.答案：B2.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为( )A.3B.4C.6D.8解析：用列举法将符合条件的数列一一列出：1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,2,1；9,3,1；8,4,2. 答案：C3.在等比数列{a n}中,a3=，a5=，则a10=___________.解析：根据等比数列的定义，灵活运用结论：a m=a n q m-n，可得：=q2=2,∴q=±，a10=a5·q5=±，或者利用通项公式也可.答案：±4.设{a n}是正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3…a30=230，那么a3a6a9…a30=____________. 解析：因为数列｛a n｝中，公比q=2，设a2a5a8…a29=x，而a1a4a7…a28，a2a5a8…a29，a3a6a9…a30成等比数列，且公比为q10=210,又a1a2a3…a30=230，即x3=230，解得x=a2a5a8…a29=210，所以，a3a6a…a30=220.答案：22010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.在等比数列{a n}中，公比为q，若a m=xa n，则x等于( )A.qB.q n-mC.q m-nD.1解析：因为：a m=a1q m-1,a n=a1q n-1∴a1q m-1=xa1q n-1，∴x=q m-n，可以把这个公式当作结论记住.答案：C2.已知-1,a1,a2,-4成等差数列，-1,b1,b2,b3,-4成等比数列，则等于( )A. B. C. D.或解析：∵-1，a1,a2，-4成等差数列，∴d==-1.∵-1,b1,b2,b3,-4成等比数列，∴b22=(-1)×(-4)=4.∴b2=±2.又∵b2=（-1）×q2＜0，∴b2＜0.∴b2=-2.∴.答案：C3.公比为q 的等比数列{a n }，前n 项和为S n ，则在下列等式中一定正确的是( )（1）a 1a 2a 3a 6=a 34 （2）a 6=(q-1)S 5+a 1 （3）(a 1+a 2)(a 3+a 4)=(a 2+a 3)2A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（1）（2）（3）解析：对于（1），由等比数列的通项公式可知不正确；对于（2），由等比数列前n 项和公式容易得知其正确性；对于（3），(a 1+a 2)(a 3+a 4)=a 1a 3+a 1a 4+a 2a 3+a 2a 4=a 22+2a 2a 3+a 32=(a 2+a 3)2，由此可知其正确性.综上所述，选B.答案：B4.在下面所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a+b+c 的值为( )1 20.5 1abcA.1B.2C.D.4解析：根据题意填写表格，得1 2 3 40.5 1 21所以，a+b+c=++=.答案：C5.判断下列数列是否为等比数列，若是求出其公比来.（1）1,3,9,27,81, …；（2）81,27,9,3,1, …；（3）1,1,3,9,27,81, …解：根据等比数列的定义知：数列（1）与（2）都是等比数列，在求它们的公比时要注意比值的顺序；（3）不是等比数列。

高一数学等比数列试题答案及解析1.已知是等比数列，，则公比=（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】【考点】等比数列通项公式2.在等比数列中，，，则．【答案】512.【解析】设等比数列的公比为，则由题意可得方程组，解之得：，.将其代入所求式子中可得：.【考点】等比数列.3.设数列的前n项和为，为等比数列，且，（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】(1)，（n∈N※）(2)（n∈N※）【解析】(1)根据和的关系，先求出，当n≥2时，又适合上式，即.根据为等比数列，且，，∴∴（n∈N※）（2）由（1）得，显然这个需要用到错位相减求和法∴两式相减得：由此得（n∈N※）试题解析：（1）∵∴；当n≥2时，又适合上式，所以数列通项公式为.设数列的公比为q，则由已知得，∴∴（n∈N※）（2）由（1）得∴两式相减得：由此得（n∈N※）【考点】等差，等比的综合题.4.已知{an }是等比数列，a4·a7=－512，a3+a8=124，且公比为整数，则公比q为( ).A．2B．-2C．D．－【答案】B.【解析】根据等比数列的性质，所以有，解得：或，又因为，所以或，则或，又公比为整数，所以.【考点】等比数列的性质，解不等式组.5.若等比数列的前项和为，且，则= ．【答案】31【解析】由等比数列通项公式及已知条件知==8，解得=2，由等比数列前n项和公式得==31.考点:等比数列的通项公式及前n项和公式6.已知等比数列公比，若，，则 .【答案】42【解析】因为所以【考点】等比数列的有关运算7.数列{an }中，a1= 3，，则数列的通项公式．【答案】【解析】由，两边取对数得，数列是以为首项，2为公比的等比数列，则有，即.故答案为.【考点】数列通向公式的求解；等比数列的通向公式.8.方程的两根的等比中项是( )A．B．C．D．【答案】B．【解析】设，为方程的两根，则有韦达定理可得，∴两根等比中项为．【考点】1．韦达定理；2．等比中项的概念．9.已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(10,12)＝()A．B．C．D．【答案】A【解析】将三角形状中各个数从上到下，从左到右依次展开，排成一列，得到.…，设第行的第个数是数列中的第项，由于第一行有1个数，第二行有3个数，第三行有5个数，…，第行有个数．其中，成等差数列，首项为1，公差为2．则：，中，，由得.【考点】归纳推理，等比数列的通项公式10.在等比数列中，，则公比的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】,故选A.【考点】等比数列的性质.11.已知的各项排成如右侧三角形状，记表示第行中第个数，则结论①=16；②；③；④；其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．【答案】①②③④【解析】①②为数列连续两项，所以，③，所以，④由③有所以【考点】等比数列规律12.设等比数列的前项和为，且，，则（）A．60B．70C．90D．40【答案】B【解析】根据等比数列的性质可知仍成等比数列，故，即，解得。

选择性必修二《4. 3等比数列》同步练习（基础篇）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．各项均为正数的等比数列中，，，则（ ） A ．2B ．-2CD ．2．等比数列中，已知，，数列的公比为（ ）. A ．B ．C ．2D ． 3．在等比数列中，，，则数列的前5项和等于（ ）A ．31B ．32C ．63D ．644． 与的等比中项是（ ）A ．1B ．C ．2D ．或15．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏6．在等比数列中，首项则项数n 为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定8．已知等比数列的前n 项和为，公比，则等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．159．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且{}n a 11a =54a =3a ={}n a 12a =416a ={}n a 122-12-{}n a 11a =2q 2-2+1-1-{}n a 11,2a =11,,232n q a =={}n a 2,2n S a =2q 5S {}n a 23711220a a a -+={}n b，则（）A．2 B．4 C．8 D．1610．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的4.2的视标边长为，则视力5.1的视标边长为（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．已知等比数列满足且，则________.12．已知公比为的等比数列满足，则____．13．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，再倒出，又用水填满…….连续进行了次后，容器中的纯酒精还剩下，则________.77b a=68b b=a91010a-4510a-4510a91010a{}na3432a a=22a=1a=q{}na2432a a a+=q=1L1L31L3n32L243n=14．在正项等比数列中，若，，则______；_____． 15．我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过________次截取.16． 是正项等比数列的前和，，，则______．公比______．17．等差数列的前项和为，若，，且，，成等比数列，则________，________．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．已知数列的通项公式. （1）求，；（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求数列的通项公式. 19．已知正项等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.20．在正项等比数列中，，且，的等差中项为． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为．21．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n 项和.{}n a 126a a +=38a =q =n a =12018n S {}n a n 318a =326S =1a =q ={}n a n n S 11a =36S a =3a 6a k a n S =k ={}n a ()26*n a n n N =-∈2a 5a 2a 5a {}n b {}n b {}n a n n S 12a =38a ={}n a {}n a n n S {}n a 416a =2a 3a 12a a +{}n a {}n a n +n n S {}n a 11a =139,,a a a {}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n S22．设是等比数列，其前项的和为，且，. （1）求的通项公式；（2）若，求的最小值. 答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．各项均为正数的等比数列中，，，则（ ） A ．2 B ．-2CD ．【答案】A 【解析】因为各项均为正数的等比数列中，，，所以，所以（负值舍去）故选：A.2．等比数列中，已知，，数列的公比为（ ）. A ．B ．C ．2D ． 【答案】C 【解析】数列是等比数列，则，（为数列的公比），则，解得.故选：C.3．在等比数列中，，，则数列的前5项和等于（ ）A ．31B ．32C ．63D ．64【答案】A 【解析】{}n a n n S 22a =2130S a -={}n a 48n n S a +>n {}n a 11a =54a =3a ={}n a 11a =54a =23154a a a =⨯=32a ={}n a 12a =416a ={}n a 122-12-{}n a 11n n a a q -=⋅q {}n a 3341162a a q q =⋅⇒=⋅2q{}n a 11a =2q因为等比数列中，，，所以数列的前5项和，故选：A.4． 与的等比中项是（ ） A ．1 B ．C ．2D ．或1【答案】D 【解析】由题意可设与的等比中项是，则，解得或.故选：D.5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏 B ．9盏C ．27盏D ．81盏【答案】C 【解析】根据题意，设塔的底层共有盏灯，则每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，则有， 解可得：，所以中间一层共有灯盏. 故选：C{}n a 11a =2q()()55151********a q S q-⨯-===--2-2+1-1-22+m 2(21m =-+=1m =-1m =x x 1351(1)3363113x S ⨯-==-243x =21243()273⨯=6．在等比数列中，首项则项数n 为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】由题意可得等比数列通项，则故选：C7．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．不确定【答案】A 【解析】由题意知：，且若令公比为时有，∴， 故选：A8．已知等比数列的前n 项和为，公比，则等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．15【答案】B 【解析】因为等比数列的前n 项和为，公比，所以，又因为，所以.故选：B.9．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】D{}n a 11,2a =11,,232n q a ==5111122n n n a a q -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5n =216x =q 20x q =>4x ={}n a 2,2n S a =2q 5S {}n a 2,2n S a =2q211a a q==1111nna q S qq()551123112S -==-{}n a 23711220a a a -+={}n b 77b a =68b b =【解析】等差数列中,,故原式等价于解得或各项不为0的等差数列,故得到，数列是等比数列，故=16.故选：D.10．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的4.2的视标边长为，则视力5.1的视标边长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设第行视标边长为，第行视标边长为{}na31172a a a+=27a-740a=7a=74,a={}na774a b=={}nb2687b b b=a91010a-4510a-4510a91010anna1n-1n a-由题意可得： 则数列为首项为，公比为的等比数列即则视力5.1的视标边长为故选：A二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．已知等比数列满足且，则________. 【答案】【解析】因为，所以. 故由等比数列的通项公式得.故答案为：12．已知公比为的等比数列满足，则_____． 【答案】1 【解析】因为为等比数列，且，所以，即，解得，故答案为：113．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，再倒出，又用水填满…….连续进行了次后，容器中的纯酒精还剩下，则________. 1101110nn n n a a a ---=⇔={}n a a 11010-101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭91010a -{}n a 3432a a =22a =1a =433432a a =4332a q a ==2124332a a q ===43q {}n a 2432a a a +=q ={}n a 2432a a a +=321112a q a q a q +=212q q +=1q =1L 1L 31 L 3n 32L 243n =【答案】5 【解析】根据题意，连续进行了次后，容器中的纯酒精的剩余量组成数列， 则数列是首项为，公比为的等比数列，则，若连续进行了次后，容器中的纯酒精还剩下，即， 解得， 故答案为：．14．在正项等比数列中，若，，则____；______． 【答案】 【解析】由题意可知，由题意可得，解得， .故答案为：；.15．我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过________次截取. 【答案】【解析】记第天后剩余木棍的长度，则是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， n {}n a {}n a 23231222()()()333n nn a -=⨯=n 32243L 232()3243n =5n =5{}n a 126a a +=38a =q =n a =22n 0q >()1212311680a a a q a a q q ⎧+=+=⎪==⎨⎪>⎩122a q =⎧⎨=⎩111222n n n n a a q --∴==⨯=22n 1201816411n {}n a {}n a 121212n n a =6611264a ==由得，所以的最小值为. 所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是尺，要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过次截取.故答案为：；.16． 是正项等比数列的前和，，，则______．公比______． 【答案】2 3 【解析】当时，，不满足题意，故；当时，有，解之得：.故答案为：2；3.17．等差数列的前项和为，若，，且，，成等比数列，则________，________．【答案】 12【解析】设等差数列的公差为，则由得，即，解得，则，． 由，，成等比数列得，即，解得．1122018n n a =<10n >n 11164120181116411n S {}n a n 318a =326S =1a =q =1q =333S a ≠1q ≠1q ≠()2131181261a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩123a q =⎧⎨=⎩{}n a n n S 11a =36S a =3a 6a k a n S =k =22n n+d 36S a =11335a d a d +=+3315d d +=+1d =n a n =(1)2n n n S n -=+=22n n+3a 6a k a 263k a a a =⋅263k =12k =故答案为：；12三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．已知数列的通项公式. （1）求，；（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求数列的通项公式.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）因为，所以，， （2）由题意知：等比数列中，，， 公比 ∴等比数列的通项公式19．已知正项等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，则，所以或（舍），所以，.（2）由（1）得，所以.20．在正项等比数列中，，且，的等差中项为． （1）求数列的通项公式；22n n+{}n a ()26*n a n n N =-∈2a 5a 2a 5a {}n b {}n b 22a =-54a =(2)nn b =-()26*n a n n N =-∈22a =-54a ={}n b 122b a ==-254b a ==212b q b ==-{}n b 111(2)(2)(2)n n n n b b q--=⋅=-⋅-=-{}n a n n S 12a =38a ={}n a {}n a n n S *2,n n a n N =∈1*22,n n S n +=-∈N {}n a q 223128a a q q ===2q 2q =-112n nn a a q -==*n N ∈2nn a =()()11121222112n n n n a q S q+--===---{}n a 416a =2a 3a 12a a +{}n a（2）求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设正项等比数列的公比为，由题意可得，解得． 数列的通项公式为；（2）.21．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n 项和.【答案】（1），（2） 【解析】（1）设等差数列的公差为（）， 因为，且成等比数列，所以，即，解得（舍去）或， 所以，（2）由（1）可得，所以{}n a n +n n S 2nn a =()11222n n n nS ++⋅=+-{}n a (0)q q >3121111162()a q a q a q a a q ⎧=⎨+=+⎩122a q =⎧⎨=⎩∴{}n a 1222n n n a -=⨯=()()()()()1121221211222122n n n n a a a n n nn nS +-+⋅=++++++⋅=+=++-+-{}n a 11a =139,,a a a {}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n S n a n =1n n S n =+{}n a d 0d ≠11a =139,,a a a 2319a a a =2(12)1(18)d d +=⨯+0d =1d =n a n =11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅++111111+2231n n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭22．设是等比数列，其前项的和为，且，. （1）求的通项公式；（2）若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为q ，因为，所以，所以， 又，所以，所以.（2）因为，所以，由，得，即，解得， 所以n 的最小值为6.《4. 3等比数列》同步练习（提高练）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．正项等比数列中，，，则的值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162．已知等比数列的前项和，则（ ）A ．1B ．C ．D ．3．在正项等比数列中，若，则（ ）．1111n n n =-=++{}n a n n S 22a =2130S a -={}n a 48n n S a +>n 12n n a 6{}n a 2130S a -=2120a a -=212a q a ==22a =11a =1112n n n a a q --==()11211n n n a q S q-==--11212321n n n n n S a --+=-+=⋅-132148n -⋅->13249n -⋅>14923n ->6n ≥{}n a 21a =3516a a ⋅=2413a a a a ++{}n a n 233n n S t +=+t =1-3-9-{}n a 63a =313233311log log log log a a a a ++++=A ．5B ．6C ．10D ．114．已知等比数列的前n 项和为，则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．由实数构成的等比数列的前项和为，，且成等差数列，则（ ）A ．62B ．124C ．126D ．1546.已知等比数列中，各项都是正数，且、、成等差数列，则（ ）AB ．C ． D7．已知等比数列的前n 项和与前n 项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．138．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与） A ． B ．G C ． D ．A{}n a n S 10a >20210S >{}n a n n S 12a =2344,,a a a -6S ={}n a 1a 312a 22a 8978a a a a +=+13-3+1{}n a n S n T 316a =3112S =1n T >1213,,,a a a ⋅⋅⋅()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭#D #F #G9．在等比数列中， ，则能使不等式成立的最大正整数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．已知等差数列的前n 项和为，记的最大值为S ，，正项等比数列的公比为q ，满足，且，则使，成立的n 的最小值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．已知是各项均为正数的等比数列，，，，则数列的前10项和为_______．12．已知等比数列的前n 和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________．13．已知数列中，数列的前n 项和．若数列的前项和对于都成立，则实数的最小值等于_____．14．在数列中，是方程的两根，表示数列的前n 项和. （1）若是等比数列，则_______；（2）若是等差数列，则_________.15．已知是等差数列，是公比为c 的等比数列，，则数列的前10项和为__________，数列的前10项和为__________（用c 表示）．16．一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉(如图（1）)；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图（2）；如此继续下去……．设原正方形的边长为1，则第3个图中共挖掉____个正方形，{}n a 1401a a <<=12121110n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n {}n a n S n S 92n a n =-{}n b 4q S =14b a =n n a b <{}n a 118a =2321a a =+2log n n b a ={}n b {} n a n S 435,,a a a 22k S =163k S +=-2 k S +{}n a n a n ={}n b 21nn S =-n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T M <n N *∀∈M {}n a 310,a a 2350x x --=n S {}n a {}n a 67a a ={}n a 12S ={}n a {}n n a b +113105a b a ===，，{}n a {}n b第n 个图中所有挖掉的正方形的面积和为_____．17．已知正项等比数列中，，则______，又数列满足；若为数列的前n 项和，那么_______.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．等差数列满足，.（1）求的通项公式.（2）设等比数列满足，，求数列的前n 项和. 19．已知等差数列的前项和为，公差为，且.（1）若，求的通项公式； （2）若，，求数列的前10项和的取值范围.20．已知在等比数列中，，数列满足. （1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为，若任意，恒成立，求的取值范围. 21．设数列的前项和为，若．（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式； （Ⅱ）设，数列的前项和为，求； （Ⅲ）求证：．{}n a 42516, 15a a a a -=-=n a ={}n b 1111, 21n nb b b +==-n S {}1n n a b +3n S ={}n a 1210a a +=432a a -={}n a {}n b 23b a =37b a ={}n b {}n a n n S d ()2639S S S -=1d =-{}n a 51a <612a <<{}12n d -⨯10T{}n a 213121,1a a a a =+-={}n b 321()23n n b b b b a n n*+++⋅⋅⋅+=∈N {}n a {}n b {}n b n n S *n N ∈n n S a λ>λ{}n a n n S ()n n a n n S *+=∈N{}1n a -{}n a ()()211n n b n a =--{}n b n n T n T 12311112nn a a a a ++++<+22．已知数列满足，且.（1）求数列的通项，（2）设，，求证：.答案解析一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．正项等比数列中，，，则的值是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】A 【解析】，，，， .故选：A.2．已知等比数列的前项和，则（ ）A ．1B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】根据题意，等比数列的前项和， 则，， ，则有，解得，{}n a 112n n n a a -+=243a a +={}n a 12221n n n n b a -+-=1nn n i S b ==∑26n S n ≤<+{}n a 21a =3516a a ⋅=2413a a a a ++21a =235416a a a ⋅==∴44a =∴24242a q q a ==⇒=∴13241313(2)a a a q a a a qa a ++===++{}n a n 233n n S t +=+t =1-3-9-{}n a n 233n n S t +=+31133273a S t t ==+=+43221(33)(33)54a S S t t =-=+-+=54332(33)(33)162a S S t t =-=+-+=2(273)16254t +⨯=3t =-故选：.3．在正项等比数列中，若，则（ ）．A ．5B ．6C ．10D ．11 【答案】D 【解析】因为，且为等比数列，所以，所以.故选：D.4．已知等比数列的前n 项和为，则“”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由于数列是等比数列，所以，由于，所以 ，所以“”是“”的充要条件. 故选：C5．由实数构成的等比数列的前项和为，，且成等差数列，则（ ）A ．62B ．124C ．126D ．154 【答案】C 【解析】由题意知，，设的公比为，则解得C {}n a 63a =313233311log log log log a a a a ++++=63a ={}n a 21112103948576a a a a a a a a a a a =====23=()113132333113123113log log log log log log 311a a a a a a a a ++++==={}n a n S 10a >20210S >{}n a 2021111n q S a q -=⋅-101nq q ->-2021111001nq S a a q-=⋅>⇔>-10a >20210S >{}n a n n S 12a =2344,,a a a -6S =32424a a a =-+{}n a q 231111242a q a q a q a ⎧=-+⎨=⎩，则.故选C.6.已知等比数列中，各项都是正数，且、、成等差数列，则（ ）AB ．C ． D【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，则，由于、、成等差数列，则，即，整理得，，解得，因此，. 故选：D.7．已知等比数列的前n 项和与前n 项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．13 【答案】C 【解析】因为，，公比为正数显然不为1，所以，解得，， 2q =()6621212612S -==-{}n a 1a 312a 22a 8978a a a a +=+13-3+1{}n a q 0q >1a 312a 22a 1232a a a +=21112a a q a q +=2210q q --=0q >1q =()()7781891167678111111a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++====+++{}n a n S n T 316a =3112S =1n T >316a =3112S =231313(1)10a a q a q S q q ⎧=⎪-⎪=⎨-⎪⎪>⎩164a =12q =所以，则，要使，则，解得， 故n 的最大值为12. 故选：C.8．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与）A ．B ．GC ．D ．A 【答案】B 【解析】依题意可知.由于满足，则，所以数列为等比数列，设公比，对应的频率为，题目所求半音与，所以所求半音对应的频率为.即对应的半音为.72nn a -=()13212n n nT -⎛⎫= ⎪⎝⎭=1n T >()1302n n -<013n <<1213,,,a a a ⋅⋅⋅()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭#D #F #G ()01,2,,12,13n a n >=1213,,,a a a ⋅⋅⋅()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭121111222i i i i a a a a ++⎛⎫=⇒=⎪⎝⎭{}()1,2,,12,13n a n =1122q =#D 4a #D 41131222⎛⎫== ⎪⎝⎭4112482a a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭G9．在等比数列中， ，则能使不等式成立的最大正整数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C 【解析】∵在等比数列中， ， ∴公比， ∴时， ；时， . ∵，∴，，，∴，又当时， ， ∴使不等式成立的的最大值为.故选：C10．已知等差数列的前n 项和为，记的最大值为S ，，正项等比数列的公比为q ，满足，且，则使，成立的n 的最小值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】D{}n a 1401a a <<=12121110n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n {}n a 1401a a <<=1q >4n >10n n a a ->4n <10n na a -<241726351a a a a a a a ====711a a =621a a =531a a =123412341111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5675671110a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4n >10n na a ->12121110n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n 7{}n a n S n S 92n a n =-{}n b 4q S =14b a =n n a b <由题可设等差数列的公差为d ， ∵， ∴，，；当时，有最大值， ∴，，，∵， ∴，，要使成立，即，且， ∴， 则n 的最小值为3. 故选：D.二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．已知是各项均为正数的等比数列，，，，则数列的前10项和为_______．【答案】60 【解析】设数列公比为q ，由，则，解得或，因为，所以．{}n a 92n a n =-17a =2d =-28n S n n =-+4n =n S 16S =141b a ==416q =2q =±0n b >2q12n n b -=n n a b <1922n n --<*n ∈N 3n ≥{}n a 118a =2321a a =+2log n n b a ={}n b {}n a 2321a a =+211184q q =+4q =2q =-0q >4q =则，，得，， 数列的前10项和．故答案为：6012．已知等比数列的前n 和为，若成等差数列，且，，则的值为_______________．【答案】107 【解析】由题意可设等比数列的公比为，首项为， 由成等差数列可得：，代入可得：，解得：或，又因为，易知， 又因为，，所以，，故答案为：107.13．已知数列中，数列的前n 项和．若数列的前项和对于都成立，则实数的最小值等于_____． 【答案】4 【解析】由数列的前项和得，1251428n n n a --=⨯=∴252log 225n n b n -==-13b =-10210515b =⨯-={}n b ()1010315602S -+=={} n a n S 435,,a a a 22k S =163k S +=-2 k S +{} n a q 1a 435,,a a a 3452a a a =+2341112a q a q a q =+2q =-1q =163k S +=-2q =-22k S =1185k k k a S S ++=-=-212(85)170k k a qa ++==-⨯-=212 =63170107k k k S S a ++++=-+={}n a n a n ={}n b 21nn S =-n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T M <n N *∀∈M {}n b n 21nn S =-当时，有，当时，有也适合上式， 故，，，，，由得：，即. 又对于都成立， 所以,故实数的最小值等于. 故答案为：4.14．在数列中，是方程的两根，表示数列的前n 项和. （1）若是等比数列，则_____；（2）若是等差数列，则_____. 【答案】 【解析】∵是方程的两根， ∴，2n ≥()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=1n =11211S b =-==12n n b -=n a n =112n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭()0121111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12311111123222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()12-1231111111111211222222212nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()1222nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭12442n n n T -+=-<n T M <n N *∀∈4M ≥M 4{}n a 310,a a 2350x x --=n S {}n a {}n a 67a a ={}n a 12S =5-18310,a a 2350x x --=3103103,5a a a a +==-∴若是等比数列，则； 若是等差数列，则，故答案为：，15．已知是等差数列，是公比为c 的等比数列，，则数列的前10项和为__________，数列的前10项和为__________（用c 表示）．【答案】100 【解析】因为是等差数列，， 所以， 解得，所以， 所以 因为是公比为c 的等比数列，且，所以， 故，当时，，当时，， 综上, {}n a 673105a a a a ==-{}n a ()()01231112126182a a S a a ++===5-18{}n a {}n n ab +113105a b a ===，，{}n a {}n b 1090,11100,0,11c c c c -=⎧⎪⎨--+≠⎪-⎩当时，当时{}n a 131,5a a ==3124a a d -==2d =12(1)21n a n n =+-=-1010910121002S ⨯=⨯+⨯={}n n a b +111a b 1n n n a b c -+=121n n b c n -=-+1c =10(220)10902T -⨯==-1c ≠1029101(1)(13519)1001c T c c c c-=++++-++++=-+-101090,11100,0,11c T c c c -=⎧⎪=⎨--+≠⎪-⎩当时，当时故答案为：100； 16．一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉(如图（1）)；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图（2）；如此继续下去……．设原正方形的边长为1，则第3个图中共挖掉____个正方形，第n 个图中所有挖掉的正方形的面积和为_____．【答案】73【解析】记第个图形中共挖掉个正方形，则，所以，个，， 记第个图形中共挖掉的正方形的面积为，则，，，，， 将以上个等式相加得1090,11100,0,11c c c c -=⎧⎪⎨--+≠⎪-⎩当时，当时()819n-n n a 118n n n a a --=+(2)n ≥11a =2189a a =+=3a =28896473a +⨯=+=n n b 21111333b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭222111833b b ⎛⎫⎛⎫-=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4183⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭332232118833b b ⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭62183⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭1111833n n n n n b b --⎛⎫⎛⎫-=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21183nn -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭n 24622111118883333nn n b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：73；.17．已知正项等比数列中，，则________，又数列满足；若为数列的前n 项和，那么__________.【答案】【解析】因为，所以.因为，所以， 即，解得或.当时，代入，解得（舍去）当时，代入，解得，所以.因为，，所以，，，， ……，所以是以周期为的循环数列. 因为为数列的前n 项和，所以，1118991189n⎡⎤⎛⎫-⨯⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⨯819n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()819n-{}n a 42516, 15a a a a -=-=n a ={}n b 1111, 21n nb b b +==-n S {}1n n a b +3n S =12n -1(81)7n⨯-426a a -=1q ≠()()2421451116115a a a q q a a a q ⎧-=-=⎪⎨-=-=⎪⎩()24212115q q q q q -==-+22520q q -+=12q =2q 12q =426a a -=116a =-2q426a a -=11a =12n na 112b =111n nb b +=-21121b b ==-32111b b ==--431112b b ==-54121b b ==-{}n b 3n S {}1n n a b +323456731331111222222n n n n S a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…设，， 所以是以首项，公比为的等比数列. 所以.故答案为：；三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．等差数列满足，.（1）求的通项公式.（2）设等比数列满足，，求数列的前n 项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】()∵是等差数列，， ∴解出，， ∴.()∵，，是等比数列，， 31331122n n n n c a a a -+=+-31331313433321228122n n n n n n n n a a a c q c aa a -+----+-===+-{}n c 2341212a a a +-=8()318181187n nn S -==--12n -1(81)7n⨯-{}n a 1210a a +=432a a -={}n a {}n b 23b a =37b a ={}n b 22n a n =+224n +-1{}n a 121431021022a a a d a a d +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩2d =14a =1(1)n a a d n =+-422n =+-22n =+2232328b a ==⨯+=3727216b a ==⨯+={}n b 322b q b ==∴b 1=419．已知等差数列的前项和为，公差为，且.（1）若，求的通项公式； （2）若，，求数列的前10项和的取值范围.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由，得， 则或.当时，，则； 当时，，则.（2）因为，所以，所以. 因为，所以. 因为， 所以的取值范围为.20．已知在等比数列中，，数列满足. （1）求数列，的通项公式；（2）设数列的前项和为，若任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】21(1)4(12)24112n n n n b q s q +--===---{}n a n n S d ()2639S S S -=1d =-{}n a 51a <612a <<{}12n d -⨯10T6n a n =-+()1023,2046()2639S S S -=()()224565539a a a a a ++==50a =51a =50a =14a =5n a n =-+51a =15a =6n a n =-+51a <50a =65a a d d =+=612a <<12d <<()910101212212T d d -=+++=⨯-()10211023d d=-=10T ()1023,2046{}n a 213121,1a a a a =+-={}n b 321()23n n b b b b a n n*+++⋅⋅⋅+=∈N {}n a {}n b {}n b n n S *n N ∈n n S a λ>λ12n n a 21,12,2n n n b n n -=⎧=⎨⋅≥⎩1λ<(1)设公比为，，则，解得，.， 当时，， 当时，，即. ∴； （2），，两式相减得：.∴，有，， 记，则，∴， ∴数列递增，其最小值为.故.21．设数列的前项和为，若．（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式； （Ⅱ）设，数列的前项和为，求； （Ⅲ）求证：． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.【解析】q 213121,1a a a a =+-=22q q =2q12n na 321()23n n b b b b a n n*+++⋅⋅⋅+=∈N 1n =111b a ==2n ≥1221222n n n nn n b a a n----=-=-=22-=⋅n n b n 21,12,2n n n b n n -=⎧=⎨⋅≥⎩012122322n n S n -=+⋅+⋅++⋅1212222322n n S n -=+⋅+⋅++⋅1221112222(1)21n n n n S n n ---=-----+⋅=-⋅+*n N ∀∈1(1)21n n S n -=-⋅+nn n nS S a a λλ>⇒<n n n S c a =111(1)211122n n n n n c n ----⋅+==-+11111(1)10222n n n n nc c n n +--=+---=->{}n c 11c =1λ<{}n a n n S ()n n a n n S *+=∈N{}1n a -{}n a ()()211n n b n a =--{}n b n n T n T 12311112nn a a a a ++++<+112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2332n n n T +=-（Ⅰ）由得，当时， 两式作差得：，即，即，令得，所以是以为首项，为公比的等比数列．所以，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，两式作差得： 所以． （Ⅲ）由（Ⅰ）知，则， 恒成立，，即 所以， n n S a n +=2n ≥111n n S a n --+=-121n n a a --=()1211n n a a --=-11112n n a a --=-1n =112a ={}1n a -12-12112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()()212112n n nn b n a -=--=()123211352222n n n T -++++∴=()234121113522222n n n T +-++++∴=()()2312312121112221111222222222222n n nn n T n n ++--⎛⎫++++-++++-⎪= ⎝⎭=()()21121111121211111323222412222222212n n n n n n n n +++++---+⎛⎫=+⨯-=+⨯--=- ⎪⎝⎭-2332n nn T +=-112112121112n n n n na ===+--⎛⎫- ⎪⎝⎭111212122n n na +-==--1,222n nn N *+∀∈-≥1121122n n n a -∴-≤=11112n n a -≤+01211231111111111112222n n a a a a -++++≤++++++++01211111111122212222212n n n n n n n ---⎛⎫=+++++=+=+-<+ ⎪⎝⎭-所以． 22．已知数列满足，且.（1）求数列的通项，（2）设，，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】 （1）由得，两式相除得， 所以，都是公比为2的等比数列， 由及得， 又，所以，所以n 为奇数时，n 为偶数时，所以；（2），， 设， 12311112nn a a a a ++++<+{}n a 112n n n a a -+=243a a +={}n a 12221n n n n b a -+-=1nn n i S b ==∑26n S n ≤<+12222,2,n n n n a n --⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数112n n n a a -+=122nn n a a ++=22n na a +={}21n a -{}2n a 422a a =243a a +=21a =12021a a ==11a =11122122n n n a a +--=⋅=2122222n n n a a --=⋅=12222,2,n n n n a n --⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数1111222122121122n n n n n n n n n b a ----+-+--===+21135211222nn n n i n S b n -=-==+++++∑2135211222nn n T --=++++则， 两式相减得 ， 所以，， 因为 所以 所以 所以 所以单调递增 所以成立 所以.《4.3等比数列》同步检测试卷一、单选题 1．已知等比数列的前项和为，，，则（ ）A ．31B ．15C ．8D ．7 2.在等比数列中，已知，那么（ ）A ．4B ．6C ．12D ．162311352122222n nn T -=++++211111211122222n n n n T --=+++++-121121121213122212n n n n n n -----=+-=---311216622n n n n T ---=--<6n n S n T n =+<+12362n n n T -+=-12362n n n S n -+=-+125612n n n S n ++=-++121102n n nn S S ++-=+>{}n S 12n S S ≥=26n S n ≤<+{}n a n n S 342aa =11a =4S={}n a 13118a a a=28a a =3．已知等比数列的前n 项和为，若，，则（ ）A ．B ．512C ．1024D ． 4．在等比数列中，已知，，则（ ）A ．128B ．64C ．64或D ．128或 5．已知等差数列的公差为,若成等比数列,则等于()A ．9B ．3C ．-3D ．-9 6．设等比数列的前项和为，，则（ ）A ．2B ．0C ．D ．7． “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 8．等比数列的前项和为，是与的等比中项，则的值为（ ） A ．1 B ． C ． D ． 二、多选题 9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（ ） {}n a n S 11a=3240aS +=10a =512-1024-{}n a 134a a=9256a =8a =64-128-{}n a 3134,,a a a 2a {}n a n n S 12342,20aa a a =++=5S =2-4-45425655n⎛⎫- ⎪⎝⎭{}n a n n S 12322,a a a S =+1S 3mS m 976712{}n a q n n S n nT11a >667711,01a a a a -><-A ．B ．C ．的最大值为D ．的最大值为 10．已知数列是公比为的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ）A ．B ．C ．D ．11.在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路 12．已知，，，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题13．两个数等差中项是20，等比中项是12，则这两个数是________.14．在等比数列中，，，则________. 15．在数列中，，且，则__________.16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日． （结果保留一位小数，参考数据： ， ） 四、解答题 17．已知数列是公差为2的等差数列，它的前n 项和为，且，，成等比数列。

考点1等比数列的通项与前n 项和 题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质【解析】方法1：Θ811622451612=⇒⎩⎨⎧====q q a a q a a ∴1312281162469110=⨯===q a q a a方法2：Θ812162264===a a q ，∴13122811624610=⨯==q a a方法3：Θ{}n a 为等比数列∴13122216222261026102===⇒=⋅a a a a a a【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=nS ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式11-=n nqa a 及qq a S n n --=1)1(1求出1a 及q ，代入n S 可求项数n ；⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.【解析】⑴由93=n S ，48=n a ，公比2=q ，得532248293)12(111=⇒=⇒⎩⎨⎧=⋅=--n a a nn n . ⑵方法1：设这四个数分别为d c b a ,,,，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=363722c b b a bd c c a b ；方法2：设前2个数分别为b a ,，则第43、个数分别为a b --3736，，则⎩⎨⎧-=-+-=)37()36()36(22a b b a b b ，解得⎩⎨⎧==1612b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==481499b a ； 方法3：设第32、个数分别为c b ，，则第1个数为c b -2，第1个数为bc 2，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-20163622c b c b b c c b 或⎪⎩⎪⎨⎧==463481c b ； 方法4：设第32、个数分别为c b ，，设第4,1个数分别为ca c c a ++22,2； 方法5：设第43、个数分别为d c ,，则设第2,1个数分别为c d --36,37，则⎩⎨⎧===⇒⎩⎨⎧-=+-=-251620)36()37()36(22d c c d c c d c 或.449,463==d c 【名师指引】平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我们的解题能力大有裨益.题型3 求等比数列前n 项和【例3】等比数列Λ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和. 【解题思路】可以先求出10S ，再求出4S ，利用410S S -求解；也可以先求出5a 及10a ，由10765,,,,a a a a Λ成等比数列求解.【解析】由2,121==a a ，得2=q ，∴102321)21(11010=--=S ，1521)21(144=--=S ，∴.1008410=-S S 【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n na Λ，求n S【解题思路】可以先求出n a ，再根据n a 的形式特点求解.【解析】Θ212331)31(133331132-=--=+++++=-n n n n a Λ，∴n n S n nn 2131)31(32121)3333(2132---⨯=-++++=Λ 即.432143--=n S n n 【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n nn a 3)12(⋅-=，求n S .【解题思路】分析数列通项形式特点，结合等比数列前n 项和公式的推导，采用错位相减法求和. 【解析】Θn n n a 3)12(⋅-=∴n n n S 3)12(35333132⋅-++⋅+⋅+⋅=Λ，----------------①14323)12(3)32(3533313+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n nn n S Λ-------------②①—②，得14323)12()3333(232+⋅--+++++=-n n nn S Λ63)22(3)12(31)31(923111-⋅-=⋅----⨯+=++-n n n n n ∴.33)1(1+⋅-=+n n n S【名师指引】根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、分解重组法、错位相减法，即数列求和从“通项”入手.【新题导练】 1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，Θ6,3876321=++=++a a a a a a ，∴23216545=++++=a a a a a a q ，∴131211a a a ++；2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .【解析】设这个常数为x ，则x x x +++100,50,20成等比数列，∴)100)(20()50(2x x x ++=+，解得45=x ，∴17418520545204550==++=q . 3.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，364,243,362===nS a a ，则=n ；【解析】3,12433151612==⎩⎨⎧⇒====q a q a a q a a 或3,11-=-=q a ， 当3,11==q a 时，636431)31(1=⇒=--=n S n n ； 当3,11-=-=q a 时，[]n S nn ⇒=+---=36431)3(11无整数解. 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .【解析】∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当公比0q>时，31113S q q =++≥+=； 当公比0q<时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭， ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞U5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，0>n a ，80=nS ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .【解析】由0>na ，80=n S ，65602=n S ，知1≠q ，∴.65601)1(,801)1(2121=--==--=qq a S q q a S n n n n∴81821122=⇒=--=n nn n n q qq S S ，∴1>q ,又Θ前n 项中的数值最大的项为: 5411==-n n q a a ，∴321=q a ，∴.133,21001001-=⇒==S q a 考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.【解题思路】⑴证明数列{}n a 不是等比数列，只需举一个反例；⑵证明数列{}n b 是等比数列，常用：①定义法；②中项法.【解析】⑴ 证明：假设存在一个实数λ，使{}n a 是等比数列，则有3122a a a ⋅=，即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{}n a 不是等比数列.⑵ 解：因为[]21)1(3)1()213()1(11++--=+--=++n a n a b n n n n n[])14232()1(183)1(111+--=+--=+++n a n a n n n nn n n b n a 32)213()1(321-=+--=+又)18(11+-=λb ，所以当)(0,18+∈=-=N n b n λ，此时{}n b 不是等比数列；当)8(,181+-=-≠λλb 时，由上可知)(32,01++∈-=∴≠N n b b b n n n ，此时{}n b 是等比数列. 【名师指引】等比数列的判定方法： ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.【新题导练】6.已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列； 【解析】Q 121n n n a a a +=+，∴111111222n n n n a a a a ++==+⋅， ∴ 11111(1)2n n a a +-=-，又123a =，∴11112a -=，∴数列1{1}n a -是以12为首项，12为公比的等比数列.考点3 等比数列的性质【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=nS ，602=n S ，则=n S 3 .【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前n 项和的性质求解. 【解析】Θ{}n a 是等比数列，∴n n n n n S S S S S 232,,--为等比数列，∴318236)60(5433=⇒=-n n S S . 【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.【新题导练】 7.已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .【解析】Θ{}n a 是等比数列，0>n a∴⇒=+⇒=++36)(36)2(2534624a a a a a a 653=+a a .考点4 等比数列与其它知识的综合【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=-⑴证明：当2b =时，{}12n nan --⋅是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式【解题思路】由递推公式{}0,,=n a S n n 求数列的通项公式)(n f a n=，主要利用：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn ，同时注意分类讨论思想.【解析】由题意知12a =，且 ()21n n n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-两式相减，得()()1121n n n n ba ab a ++--=-，即 12n n n a ba +=+ ①⑴当2b =时，由①知 122n n n a a +=+于是 ()()1122212n n n n n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n na n -=-⋅又111210n a --⋅=≠，所以{}12n na n --⋅是首项为1，公比为2=q 的等比数列。