2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12节导数与函数的极值最值课时分层训练文北师大版
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第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] .了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)..函数的极值与导数的关系()函数的极小值与极小值点若函数()在点=处的函数值()比它在点=附近其他点的函数值都小,′()=,而且在点=附近的左侧′()<,右侧′()>,则点叫做函数的极小值点,()叫做函数的极小值.()函数的极大值与极大值点若函数()在点=处的函数值()比它在点=附近其他点的函数值都大,′()=,而且在点=附近的左侧′()>,右侧′()<,则点叫做函数的极大值点,()叫做函数的极大值..函数的最值与导数的关系()函数()在[,]上有最值的条件如果在区间[,]上函数=()的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.()求=()在[,]上的最大(小)值的步骤①求函数=()在(,)内的极值;②将函数=()的各极值与端点处的函数值(),()比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值..(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) ()函数的极大值一定比极小值大.( )()对可导函数(),′()=是为极值点的充要条件.( )()函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( ) ()若实际问题中函数定义域是开区间,则不存在最优解.( )[答案]()×()×()√()×.(教材改编)函数()的定义域为开区间(,),导函数′()在(,)内的图象如图--所示,则函数()在开区间(,)内极小值点的个数为( )图--.[导函数′()的图象与轴的交点中,左侧图象在轴下方,右侧图象在轴上方的只有一个,所以()在区间(,)内有一个极小值点.].已知某生产厂家的年利润(单位:万元)与年产量(单位:万件)的函数关系式为=-+-,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) .万件万件.万件万件[′=-+,令′=得=或=-(舍去).当∈()时,′>,当∈(,+∞)时,′<,则当=时,有最大值.即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件.].(·四川高考)已知为函数()=-的极小值点,则=( ).-.-.[由题意得′()=-,令′()=得=±,∴当<-或>时,′()>;当-<<时,′()<,∴()在(-∞,-)上为增函数,在(-)上为减函数,在(,+∞)上为增函数.∴()在=处取得极小值,∴=.].函数=-在区间[-]上的最大值是.[′=-,令′=,得=或=.。
第十二节导数与函数的极值、最值————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大.( )(2)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的充要条件.( )(3)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( )(4)若实际问题中函数定义域是开区间,则不存在最优解.( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2.(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图2121所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内极小值点的个数为( )图2121A .1B .2C .3D .4A [导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中,左侧图象在x 轴下方,右侧图象在x 轴上方的只有一个,所以f (x )在区间(a ,b )内有一个极小值点.]3.已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为y =-13x 3+81x -234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A .13万件B .11万件C .9万件D .7万件C [y ′=-x 2+81,令y ′=0得x =9或x =-9(舍去). 当x ∈(0,9)时,y ′>0,当x ∈(9,+∞)时,y ′<0, 则当x =9时,y 有最大值.即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.]4.(2016·四川高考)已知a 为函数f (x )=x 3-12x 的极小值点,则a =( ) A .-4 B .-2 C .4D .2D [由题意得f ′(x )=3x 2-12,令f ′(x )=0得x =±2,∴当x <-2或x >2时,f ′(x )>0;当-2<x <2时,f ′(x )<0,∴f (x )在(-∞,-2)上为增函数,在(-2,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数.∴f (x )在x =2处取得极小值,∴a =2.]5.函数y =2x 3-2x 2在区间[-1,2]上的最大值是________. 8 [y ′=6x 2-4x ,令y ′=0, 得x =0或x =23.∵f (-1)=-4,f (0)=0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=-827, f (2)=8,∴最大值为8.]☞角度1 根据函数图象判断极值设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y =(1-x )f ′(x )的图象如图2122所示,则下列结论中一定成立的是( )图2122A .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (1)C .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (-2)D .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (2)D [由题图可知,当x <-2时,f ′(x )>0;当-2<x <1时,f ′(x )<0;当1<x <2时,f ′(x )<0;当x >2时,f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x =-2处取得极大值,在x =2处取得极小值.] ☞角度2 求函数的极值求函数f (x )=x -a ln x (a ∈R)的极值.[解] 由f ′(x )=1-a x =x -ax,x >0知:(1)当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,函数f (x )无极值;5分(2)当a >0时,由f ′(x )=0,解得x =a .又当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0;当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0,9分从而函数f (x )在x =a 处取得极小值,且极小值为f (a )=a -a ln a ,无极大值. 综上,当a ≤0时,函数f (x )无极值;当a >0时,函数f (x )在x =a 处取得极小值a -a ln a ,无极大值.12分☞角度3 已知极值求参数(1)已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )【导学号:31222087】A .(-∞,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12C .(0,1)D .(0,+∞)(2)(2016·广东肇庆三模)已知函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9,若x =-3是函数f (x )的一个极值点,则实数a =________.(1)B (2)5 [(1)∵f (x )=x (ln x -ax ), ∴f ′(x )=ln x -2ax +1,故f ′(x )在(0,+∞)上有两个不同的零点, 令f ′(x )=0,则2a =ln x +1x,设g (x )=ln x +1x ,则g ′(x )=-ln x x2, ∴g (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 又∵当x →0时,g (x )→-∞,当x →+∞时,g (x )→0, 而g (x )max =g (1)=1, ∴只需0<2a <1⇒0<a <12.(2)f ′(x )=3x 2+2ax +3,由题意知x =-3为方程3x 2+2ax +3=0的根,∴3×(-3)2+2a ×(-3)+3=0,解得a =5.][规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程(1)求f (x )的单调区间;(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值.[解] (1)由f (x )=(x -k )e x ,得f ′(x )=(x -k +1)e x, 令f ′(x )=0,得x =k -1.2分f (x )与f ′(x )的变化情况如下:单调递减单调递增5分(2)当k -1≤0,即k ≤1时,函数f (x )在[0,1]上单调递增, 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)=-k ,7分 当0<k -1<1,即1<k <2时,由(1)知f (x )在[0,k -1)上单调递减,在(k -1,1]上单调递增, 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k -1)=-ek -1.当k -1≥1,即k ≥2时,函数f (x )在[0,1]上单调递减, 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)=(1-k )e.10分 综上可知,当k ≤1时,f (x )min =-k ; 当1<k <2时,f (x )min =-ek -1;当k ≥2时,f (x )min =(1-k )e.12分[规律方法] 求函数f (x )在[a ,b ]上的最大值、最小值的步骤: (1)求函数在(a ,b )内的极值;(2)求函数在区间端点的函数值f (a ),f (b );(3)将函数f (x )的极值与f (a ),f (b )比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值. [变式训练1] (2017·石家庄质检(二))若a >0,b >0,且函数f (x )=4x 3-ax 2-2bx +2在x =1处有极值,若t =ab ,则t 的最大值为( )A .2B .3C .6D .9D [f ′(x )=12x 2-2ax -2b ,则f ′(1)=12-2a -2b =0,a +b =6,又a >0,b >0,则t =ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22=9,当且仅当a =b =3时取等号,故选D.]价格x (单位:元/千克)满足关系式y =ax -3+10(x -6)2,其中3<x <6,a 为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.[解] (1)因为x =5时,y =11,所以a2+10=11,a =2.5分(2)由(1)可知,该商品每日的销售量为y =2x -3+10(x -6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )=(x -3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x -3+x -2=2+10(x -3)(x -6)2,3<x <6.7分从而,f ′(x )=10[(x -6)2+2(x -3)(x -6)]=30(x -4)(x -6), 于是,当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以,当x =4时,函数f (x )取得最大值,且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分 [规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量,建立函数关系式y =f (x ),并确定其定义域; (2)求函数的导数f ′(x ),解方程f ′(x )=0;(3)比较函数在区间端点和f ′(x )=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答.[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y =13x 3-392x 2-40x (x>0),为使耗电量最小,则速度应定为________. 【导学号:31222088】40 [由y ′=x 2-39x -40=0, 得x =-1或x =40, 由于0<x <40时,y ′<0;x >40时,y ′>0.所以当x =40时,y 有最小值.][思想与方法]1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.2.求闭区间上可导函数的最值时,对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断,直接与端点的函数值比较即可.3.如果目标函数在定义区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点.4.若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值,则:(1)对任意x∈A,f(x)>0⇔f(x)min>0;(2)存在x∈A,f(x)>0⇔f(x)max>0.[易错与防范]1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能.2.导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极值问题,应注意分类讨论.3.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.4.利用导数解决实际生活中的优化问题,要注意问题的实际意义.课时分层训练(十五) 导数与函数的极值、最值A 组 基础达标 (建议用时:30分钟)一、选择题1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( ) A .y =x 3B .y =ln(-x )C .y =x e -xD .y =x +2xD [由题可知,B ,C 选项中的函数不是奇函数,A 选项中,函数y =x 3单调递增(无极值),而D 选项中的函数既为奇函数又存在极值.]2.当函数y =x ·2x取极小值时,x 等于( )【导学号:31222089】A.1ln 2B .-1ln 2C .-ln 2D .ln 2B [令y ′=2x+x ·2x ln 2=0, ∴x =-1ln 2.经验证,-1ln 2为函数y =x ·2x的极小值点.]3.函数y =ln x -x 在x ∈(0,e]上的最大值为( ) A .e B .1 C .-1D .-eC [函数y =ln x -x 的定义域为(0,+∞). 又y ′=1x -1=1-xx,令y ′=0得x =1,当x ∈(0,1)时,y ′>0,函数单调递增; 当x ∈(1,e]时,y ′<0,函数单调递减. 当x =1时,函数取得最大值-1.]4.已知函数f (x )=x 3+ax 2+(a +6)x +1有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是( )【导学号:31222090】A .(-1,2)B .(-∞,-3)∪(6,+∞)C .(-3,6)D .(-∞,-1)∪(2,+∞)B [∵f ′(x )=3x 2+2ax +(a +6),由已知可得f ′(x )=0有两个不相等的实根, ∴Δ=4a 2-4×3(a +6)>0,即a 2-3a -18>0, ∴a >6或a <-3.]5.设函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R),若x =-1为函数f (x )e x的一个极值点,则下列图象不可能为y =f (x )图象的是( )A B C DD [因为[f (x )e x]′=f ′(x )e x+f (x )(e x)′=[f (x )+f ′(x )]e x,且x =-1为函数f (x )e x 的一个极值点,所以f (-1)+f ′(-1)=0.选项D 中,f (-1)>0,f ′(-1)>0,不满足f ′(-1)+f (-1)=0.]二、填空题6.函数f (x )=13x 3+x 2-3x -4在[0,2]上的最小值是________.【导学号:31222091】-173 [f ′(x )=x 2+2x -3,令f ′(x )=0得x =1(x =-3舍去),又f (0)=-4,f (1)=-173,f (2)=-103,故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)=-173.]7.设a ∈R ,若函数y =e x+ax 有大于零的极值点,则实数a 的取值范围是________. (-∞,-1) [∵y =e x +ax ,∴y ′=e x+a . ∵函数y =e x+ax 有大于零的极值点, 则方程y ′=e x+a =0有大于零的解, ∵x >0时,-e x <-1,∴a =-e x<-1.]8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p 元,销量Q (单位:件)与零售价p (单位:元)有如下关系:Q =8 300-170p -p 2,则该商品零售价定为________元时利润最大,利润的最大值为________元.30 23 000 [设该商品的利润为y 元,由题意知,y =Q (p -20)=-p 3-150p 2+11 700p -166 000,则y ′=-3p 2-300p +11 700, 令y ′=0得p =30或p =-130(舍),当p ∈(0,30)时,y ′>0,当p ∈(30,+∞)时,y ′<0, 因此当p =30时,y 有最大值,y max =23 000.]三、解答题9.已知函数f (x )=-x 3+ax 2+b (a ,b ∈R).(1)要使f (x )在(0,2)上单调递增,试求a 的取值范围;(2)当a <0时,若函数满足y 极大=1,y 极小=-3,试求y =f (x )的解析式. [解] (1)f ′(x )=-3x 2+2ax . 依题意f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立,即2ax ≥3x 2.∵x >0,∴2a ≥3x ,∴2a ≥6,∴a ≥3, 即a 的取值范围是[3,+∞).5分 (2)∵f ′(x )=-3x 2+2ax =x (-3x +2a ).∵a <0,当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤-∞,23a 时,f ′(x )≤0,f (x )递减. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ,0时,f ′(x )>0,f (x )递增.当x ∈[0,+∞)时,f ′(x )≤0,f (x )递减.8分∴⎩⎪⎨⎪⎧f 极大0=1,f 极小⎝ ⎛⎭⎪⎫23a =-3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =1.∴f (x )=-x 3-3x 2+1.12分10.据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k (k >0).现已知相距18 km 的A ,B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ,b ,它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC =x (km).(1)试将y 表示为x 的函数;(2)若a =1,且x =6时,y 取得最小值,试求b 的值.[解] (1)设点C 受A 污染源污染程度为kax2,点C 受B 污染源污染程度为kb18-x2,其中k 为比例系数,且k >0,从而点C 处受污染程度y =ka x2+kb18-x2.5分(2)因为a =1,所以y =k x2+kb18-x2,y ′=k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2x 3+2b 18-x 3,8分 令y ′=0,得x =181+3b,又此时x =6,解得b =8,经验证符合题意,所以,污染源B 的污染强度b 的值为8.12分B 组 能力提升(建议用时:15分钟)1.(2017·石家庄一模)若函数f (x )=x 3+ax 2+bx (a ,b ∈R)的图象与x 轴相切于一点A (m,0)(m ≠0),且f (x )的极大值为12,则m 的值为( )【导学号:31222092】A .-23B .-32 C.23D.32 D [由题意可得f (m )=m 3+am 2+bm =0,m ≠0,则m 2+am +b =0 ①,且f ′(m )=3m2+2am +b =0 ②,①-②化简得m =-a 2,f ′(x )=3x 2+2ax +b 的两根为-a 2和-a 6,则b =a 24,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 6=12,解得a =-3,m =32,故选D.] 2.(2016·北京高考改编)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 3-3x ,x ≤0,-2x ,x >0,则f (x )的最大值为________.2 [当x >0时,f (x )=-2x <0;当x ≤0时,f ′(x )=3x 2-3=3(x -1)(x +1),当x <-1时,f ′(x )>0,f (x )是增函数,当-1<x <0时,f ′(x )<0,f (x )是减函数,∴f (x )≤f (-1)=2,∴f (x )的最大值为2.]3.已知函数f (x )=ax 3+bx +c 在点x =2处取得极值c -16.(1)求a ,b 的值;(2)若f (x )有极大值28,求f (x )在[-3,3]上的最小值.[解] (1)因为f (x )=ax 3+bx +c ,故f ′(x )=3ax 2+b .2分由于f (x )在点x =2处取得极值c -16,故有⎩⎪⎨⎪⎧ f =0,f 2=c -16,即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a +b =0,8a +2b +c =c -16, 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 12a +b =0,4a +b =-8,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =1,b =-12.5分 (2)由(1)知f (x )=x 3-12x +c ,f ′(x )=3x 2-12=3(x -2)(x +2),令f ′(x )=0,得x 1=-2,x 2=2.当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上为增函数;7分当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故f(x)在(-2,2)上为减函数;8分当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函数.由此可知f(x)在x=-2处取得极大值,f(-2)=16+c,f(x)在x=2处取得极小值f(2)=c-16.由题设条件知16+c=28,解得c=12.10分此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.12分。
第二章基本初等函数、导数及其应用第13讲导数与函数的极值、最值及实际应用教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源r和谋梳理,1.函数的极值函数丿=/(兀)在点x=a的函数值/⑷比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a) = 0;而且在点x=a附近的左侧=,右侧/心,则点。
叫做函数歹=/(兀)的极小值点,弘)叫做函数丿=/(兀)的极小值•函数y=/U)在点x=b的函数值/(〃)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f (b)=Q;而且在点x=b附近的左侧曲>°,右侧八,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,张)叫做函数y=f(x)^j极大值.极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.2・函数的最值(1)在闭区间[偽盯上连续的函数/(兀)在S 洌上必有最大值(2)若函数/(对在[偽盯上单调递增,则/⑷ 为函数的最 小值,/(〃) 为函数的最大值:若函数心)在⑷“]上与】 [小值•1=) ■单调递减,则加)为函数的最大值, 型一函数的最小值.要点整食,1.辨明两个易误点(1)求函数极值时,误把导数为0的点作为极值点;(2)易混极值与最值,注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念.2.明确两个条件一是/©)>0在(偽勿上成立,是/(兀)在(禺方)上单调递增的充分不必要条件.二是对于可导函数f(x)9 f (x0) =0是函数/(x)^E x=x0处有极值的必要不充分条件.双基自测r1.(选修1-1 P98习题1.3A组T4改编)函数/(兀)的定义域为R,导函数几T)的图象如图所示,贝!I函数/&)(C )A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点解析:设几r)的图象与兀轴的4个交点从左至右依次为朴 当Xi<X<X 2时,f f (x)<0,心)为减函数,则X=Xi 为极大值 点,同理,X=x 3为极大值点,X=x 2, x=x 4为极小值点, 故选C.2. 设函^/(x)=xe\ 贝!|( D )A.兀=1为/(©的极大值点B.兀=1为于(兀)的极小值点C. 兀=一1为/U)的极大值点当兀5时,f (x)>0, /(兀)为增函数,1=D.兀=一1为/(兀)的极小值点解析:求导得f\x)=e A+xe v=e v(x +1),令f (x)=e v(x+1)=0,解得X= —1,易知兀=—1是函数于(兀)的极小值点,所以选D.3.函数j=ln x~x 在兀丘(0, e ]上的最大值为() B. 1C. -1D. -e 解析:函数j=lnx —x 的定义域为(0,+8), Sxe (l, ◎时,F <0,函数单调递减. 当兀=1时,函数取得最大值一1・ A. e当用(0, 1)时,丫 >0, 函数单调递增4.(选修11 P97例5改编)函数y =2x3 —2x2在区间[_1, 2] 上的最大值是___________ •解析:y' =6x2—4x,令y'=0,2得X=0 或X=-e因为/(-!)=-4,介0)=0,岛=_占,几2)=8.所以最大值为&5-已知x=3是函数/(x)=Tln x+x?—10x的一个极值点,则实数a= 12 .解析:f仗)=?+加_10,由尸⑶=;+6 —10=0,得a=12,经检验满足条件.典例剖析▼考点突破击考点一函数的极值问题(高频考点) 都有,高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度:(1) 知图判断函数极值的情况;(2) 已知函数解析式求极值;(3) 已知函数极值求参数值.名师导悟以例说法函数的极值是每年高考的热点, -般为中高档题,三种题型例 1 设函数/(x)=ax — 2x + x+ c(« 0).⑴当a=l9且函数图象过点(0, 1)时,求函数的极小值;⑵若心)在(一8, +8)上无极值点,求。
利用导数解决函数的极值问题►考法1根据函数图像判断函数极值的情况【例1】设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1—x)f′(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(—2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(—2)D.函数f(x)有极大值f(—2)和极小值f(2)D[由题图可知,当x<—2时,f′(x)>0;当—2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=—2处取得极大值,在x=2处取得极小值.]►考法2求已知函数的极值【例2】已知函数f(x)=(x—2)(e x—ax),当a>0时,讨论f(x)的极值情况.[解] ∵f′(x)=(e x—ax)+(x—2)(e x—a)=(x—1)(e x—2a),∵a>0,由f′(x)=0得x=1或x=ln 2a.1当a=错误!时,f′(x)=(x—1)(e x—e)≥0,∴f(x)递增,故f(x)无极值.2当0<a<错误!时,ln 2a<1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(—∞,ln 2a)ln 2a(ln 2a,1)1(1,+∞)f′(x)+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗23当a>错误!时,ln 2a>1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:2综上,当0<a<错误!时,f(x)有极大值—a(ln 2a—2)2,极小值a—e;当a=错误!时,f(x)无极值;当a>错误!时,f(x)有极大值a—e,极小值—a(ln 2a—2)2.►考法3已知函数极值求参数的值或范围【例3】(1)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=—1时有极值0,则a—b=________.(2)若函数f(x)=e x—a ln x+2ax—1在(0,+∞)上恰有两个极值点,则a的取值范围为()A.(—e2,—e)B.错误!C.错误!D.(—∞,—e)(1)—7 (2)D[(1)由题意得f′(x)=3x2+6ax+b,则错误!解得错误!或错误!经检验当a=1,b=3时,函数f(x)在x=—1处无法取得极值,而a=2,b=9满足题意,故a—b=—7.(2)∵f′(x)=e x—错误!+2a,(x>0)∴由f′(x)=0得a=错误!.令g(x)=错误!(x>0).由题意可知g(x)=a在(0,+∞)上恰有两个零点.又g′(x)=—错误!(x>0),由g′(x)>0得0<x<1,且x≠错误!.由g′(x)<0得x>1.∴函数g(x)在错误!,错误!上递增,在(1,+∞)上递减.又g(0)=0,g(1)=—e,结合图形(图略)可知a∈(—∞,—e),故选D.][规律方法] 1.利用导数研究函数极值问题的一般流程2.已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.2A.2或6 B.2C.错误!D.6(2)(2019·广东五校联考)已知函数f(x)=x(ln x—ax)有极值,则实数a的取值范围是()A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!(1)D(2)A[(1)法一:f′(x)=(x—c)(3x—c),当f′(x)=0时,x1=错误!,x=c.2因为极大值点是x=2,所以c>0,并且错误!<c.当x∈错误!时,f′(x)>0,当x∈错误!时,f′(x)<0,当x∈(c,+∞)时,f′(x)>0,所以x=错误!是极大值点,错误!=2,解得c=6.故选D.法二:因为f′(x)=(x—c)(3x—c).又因为f(x)在x=2处取极值,所以f′(2)=0,即(2—c)(6—c)=0.所以c=2或c=6.当c=6时,f′(x)=3(x—2)(x—6),易知x∈(—∞,2)和x∈(6,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)是增函数,x∈(2,6)时,f′(x)<0,函数f(x)是减函数,此时x=2为极大值点.当c=2时,f′(x)=3(x—2)错误!,易知x∈错误!和x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)是增函数,x∈错误!时,f′(x)<0,函数f(x)是减函数,此时x=2是极小值点.因此c=6.故选D.(2)f(x)=x ln x—ax2(x>0),f′(x)=ln x+1—2ax.令g(x)=ln x+1—2ax,则g′(x)=错误!—2a=错误!.∵函数f(x)=x(ln x—ax)有极值,∴g(x)=0在(0,+∞)上有实根.当a≤0时,g′(x)>0,函数g(x)在(0,+∞)上递增,当x趋向于0时,g(x)趋向于—∞,当x趋向于+∞时,g(x)趋向于+∞,故存在x0∈(0,+∞),使得f(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,故f(x)存在极小值f(x0),符合题意.当a>0时,令g′(x)=0,得x=错误!.当0<x<错误!时,g′(x)>0,函数g(x)递增;当x>错误!时,g′(x)<0,函数g(x)递减,∴x=错误!时,函数g(x)取得极大值.∵当x趋向于0和x趋向于+∞时,均有g(x)趋向于—∞,要使g(x)=0在(0,+∞)上有实根,且f(x)有极值,必须g错误!=ln 错误!>0,解得0<a<错误!.综上可知,实数a的取值范围是错误!,故选A.]利用导数解决函数的最值问题【例4】已知函数f(x)=ln x—ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.[解] (1)f′(x)=错误!—a(x>0),1当a≤0时,f′(x)=错误!—a>0,即函数f(x)的递增区间为(0,+∞).2当a>0时,令f′(x)=错误!—a=0,可得x=错误!,当0<x<错误!时,f′(x)=错误!>0;当x>错误!时,f′(x)=错误!<0,故函数f(x)的递增区间为错误!,递减区间为错误!.综上可知,当a≤0时,函数f(x)的递增区间为(0,+∞);当a>0时,函数f(x)的递增区间为错误!,递减区间为错误!.(2)1当0<错误!≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2—2a.2当错误!≥2,即0<a≤错误!时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以f(x)的最小值是f (1)=—a.3当1<错误!<2,即错误!<a<1时,函数f(x)在错误!上是增函数,在错误!上是减函数.又f(2)—f(1)=ln 2—a,所以当错误!<a<ln 2时,最小值是f(1)=—a;当ln 2≤a<1时,最小值为f(2)=ln 2—2a.综上可知,当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是f(1)=—a;当a≥ln 2时,函数f(x)的最小值是f(2)=ln 2—2a.[规律方法] 求函数f x在[a,b]上的最大值、最小值的步骤1求函数在a,b内的极值.2求函数在区间端点的函数值f a,f b.3将函数f x的极值与f a,f b比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间错误!上的最大值和最小值.[解] (1)因为f(x)=e x cos x—x,所以f′(x)=e x(cos x—sin x)—1,f′(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=e x(cos x—sin x)—1,则h′(x)=e x(cos x—sin x—sin x—cos x)=—2e x sin x.当x∈错误!时,h′(x)<0,所以h(x)在区间错误!上递减.所以对任意x∈错误!有h(x)<h(0)=0,即f′(x)<0.所以函数f(x)在区间错误!上递减.因此f(x)在区间错误!上的最大值为f(0)=1,最小值为f错误!=—错误!.利用导数研究生活中的优化问题【例5】已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元,每生产千件需另投入2.7万元,设该企业年内共生产此种产品x千件,并且全部销售完,每千件的销售收入为f(x)万元,且f(x)=错误!(1)写出年利润W(万元)关于年产品x(千件)的函数解析式.(2)年产量为多少千件时,该企业生产此产品所获年利润最大?(注:年利润=年销售收入—年总成本)[解] (1)由题意得W=错误!即W=错误!(2)1当0<x≤10时,W=8.1x—错误!x3—10则W′=8.1—错误!x2=错误!=错误!,因为0<x≤10所以当0<x<9时,W′>0,则W递增;当9<x≤10时,W′<0,则W递减.所以当x=9时,W取最大值错误!=38.6万元.2当x>10时,W=98—错误!≤98—2错误!=38.当且仅当错误!=2.7x,即x=错误!>10时取最大值38.综上,当年产量为9千件时,该企业生产此产品所获年利润最大.[规律方法] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步1分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f x.2求函数的导数f′x,解方程f′x=0.,3比较函数在区间端点和f′x=0的点的函数值的大小,最大小者为最大小值.,4回归实际问题,结合实际问题作答.为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域.(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又根据题意得200πrh+160πr2=12000π,所以h=错误!(300—4r2),从而V(r)=πr2h=错误!(300r—4r3).由h>0,且r>0可得0<r <5错误!,故函数V(r)的定义域为(0,5错误!).(2)因为V(r)=错误!(300r—4r3),所以V′(r)=错误!(300—12r2).令V′(r)=0,解得r1=5,r2=—5(因为r2=—5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5错误!)时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5错误!)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.。
第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.[常用结论]对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大.()(2)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0为极值点的充要条件.()(3)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()(4)x=0是函数f(x)=x3的极值点. ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2.(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为()A.1B.2C.3D.4A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个,所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点.]3.设函数f(x)=2x+ln x,则()A.x=12为f(x)的极大值点B.x=12为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点D[函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x-2x2=x-2x2,令f′(x)=0得x=2,又0<x<2时,f′(x)<0,x>2时,f′(x)>0.因此x=2为f(x)的极小值点,故选D.]4.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4 B.-2 C.4 D.2D[由题意得f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=±2,∴当x<-2或x>2时,f ′(x )>0;当-2<x <2时,f ′(x )<0,∴f (x )在(-∞,-2)上为增函数,在(-2,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数.∴f (x )在x =2处取得极小值,∴a =2.]5.函数y =2x 3-2x 2在区间[-1,2]上的最大值是________.8 [y ′=6x 2-4x ,令y ′=0,得x =0或x =23.∵f (-1)=-4,f (0)=0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=-827, f (2)=8,∴最大值为8.]【例1】 设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y =(1-x )f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (1)C .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (-2)D .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (2)D [由题图可知,当x <-2时,f ′(x )>0;当-2<x <1时,f ′(x )<0;当1<x <2时,f ′(x )<0;当x >2时,f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x =-2处取得极大值,在x =2处取得极小值.]►考法2 根据函数的解析式求极值【例2】 已知函数f (x )=ln x -ax (a ∈R ).(1)当a =12时,求f (x )的极值;(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.[解] (1)当a =12时,f (x )=ln x -12x ,函数的定义域为(0,+∞)且f ′(x )=1x -12=2-x2x ,令f ′(x )=0,得x =2,于是当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表.故f (x )极大值(2)由(1)知,函数的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x -a =1-ax x (x >0),当a ≤0时,f ′(x )>0在(0,+∞)上恒成立,即函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;当a >0时,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1a 时,f ′(x )>0, 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,+∞时,f ′(x )<0, 故函数在x =1a 处有极大值.综上所述,当a ≤0时,函数在定义域上无极值点,当a >0时,函数有一个极大值点.►考法3 已知函数的极值求参数【例3】 (1)(2020·成都模拟)若函数f (x )=(x 2+ax +3)e x 在(0,+∞)上有且仅有一个极值点,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-22]B .(-∞,-22)C .(-∞,-3]D .(-∞,-3)(2)若函数f (x )=x (x -a )2在x =2处取得极小值,则a =________.(1)C (2)2 [(1)f ′(x )=(2x +a )e x +(x 2+ax +3)e x =[x 2+(a +2)x +a +3]e x . 令g (x )=x 2+(a +2)x +a +3,由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ -a +22>0,g (0)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ -a +22≤0,g (0)<0, 即⎩⎪⎨⎪⎧ -a +22>0,a +3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ -a +22≤0,a +3<0,解得a ≤-3,故选C.(2)f (x )=x (x -a )2=x 3-2ax 2+a 2x ,∴f ′(x )=3x 2-4ax +a 2.由f ′(2)=12-8a +a 2=0,解得a =2或a =6.当a =2时,f ′(x )=3x 2-8x +4=(x -2)(3x -2),函数在x =2处取得极小值,符合题意;当a =6时,f ′(x )=3x 2-24x +36=3(x -2)(x -6),函数在x =2处取得极大值,不符合题意,∴a =2.](1)当a =1,且函数图象过点(0,1)时,求f (x )的极小值.(2)若f (x )在(-∞,+∞)上无极值点,求a 的取值范围.[解] f ′(x )=3ax 2-4x +1.(1)函数图象过点(0,1)时,有f (0)=c =1.当a =1时,f ′(x )=3x 2-4x +1,令f ′(x )>0,解得x <13或x >1;令f ′(x )<0,解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,13和(1,+∞)上单调递增; 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1上单调递减,极小值是f (1)=13-2×12+1+1=1.(2)若f (x )在(-∞,+∞)上无极值点,则f (x )在(-∞,+∞)上是单调函数,即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立.①当a =0时,f ′(x )=-4x +1,显然不满足条件;②当a ≠0时,f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ=(-4)2-4×3a ×1≤0,即16-12a ≤0,解得a ≥43.综上,a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43,+∞.【例4】 (1)求f (x )的单调区间;(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值.[解] (1)由f (x )=(x -k )e x ,得f ′(x )=(x -k +1)e x ,令f ′(x )=0,得x =k -1.f (x )与f ′(x )的变化情况如下:所以,f (x )(k -1,+∞).(2)当k -1≤0,即k ≤1时,函数f (x )在[0,1]上单调递增,所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)=-k ,当0<k -1<1,即1<k <2时,由(1)知f (x )在[0,k -1)上单调递减,在(k -1,1]上单调递增,所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k -1)=-e k -1.当k -1≥1,即k ≥2时,函数f (x )在[0,1]上单调递减,所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)=(1-k )e.综上可知,当k ≤1时,f (x )min =-k ;当1<k <2时,f (x )min =-e k -1;当k ≥2时,f (x )min =(1-k )e.已知函数f (x )=1-x x +k ln x ,k <1e ,求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上的最大值和最小值.[解] 因为f (x )=1-x x +k ln x ,所以f ′(x )=-x -(1-x )x 2+k x =kx -1x 2. (1)若k =0,则f ′(x )=-1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上恒有f ′(x )<0,所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上单调递减.所以f (x )min =f (e)=1-e e ,f (x )ma x =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =e -1. (2)若k ≠0,f ′(x )=kx -1x 2=k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1k x 2.①若k <0,则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上恒有k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1k x 2<0, 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上单调递减, 所以f (x )min =f (e)=1-e e +k ln e =1e +k -1,f (x )ma x =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =e -k -1. ②若k >0,由k <1e ,得1k >e ,则x -1k <0,所以k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1k x 2<0,所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ,e 上单调递减. 所以f (x )min =f (e)=1-e e +k ln e =1e +k -1,f (x )ma x =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =e -k -1. 综上,k <1e 时,f (x )min =1e +k -1,f (x )ma x =e -k -1.【例5】 已知函数f (x )=e x(a >0)的导函数y =f ′(x )的两个零点为-3和0.(1)求f (x )的单调区间;(2)若f (x )的极小值为-e 3,求f (x )在区间[-5,+∞)上的最大值.[解] (1)f ′(x )=(2ax +b )e x -(ax 2+bx +c )e x(e x )2=-ax 2+(2a -b )x +b -c e x, 令g (x )=-ax 2+(2a -b )x +b -c ,因为e x >0,所以y =f ′(x )的零点就是g (x )=-ax 2+(2a -b )x +b -c 的零点, 且f ′(x )与g (x )符号相同.又因为a >0,所以当-3<x <0时,g (x )>0,即f ′(x )>0,当x <-3或x >0时,g (x )<0,即f ′(x )<0,所以f (x )的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).(2)由(1)知,x =-3是f (x )的极小值点,所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a -3b +c e -3=-e 3,g (0)=b -c =0,g (-3)=-9a -3(2a -b )+b -c =0,解得a =1,b =5,c =5,所以f (x )=x 2+5x +5e x. 因为f (x )的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以f (0)=5为函数f (x )的极大值,故f (x )在区间[-5,+∞)上的最大值取f (-5)和f (0)中的最大者,而f (-5)=5e-5=5e 5>5=f (0), 所以函数f (x )在区间[-5,+∞)上的最大值是5e 5.若函数f (x )=13x 3+x 2-23在区间(a ,a +5)上存在最小值,则实数a 的取值范围是________.[-3,0) [由题意,得f ′(x )=x 2+2x =x (x +2),故f (x )在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其图象如图所示,令13x 3+x 2-23=-23得,x =0或x =-3,则结合图象可知,⎩⎨⎧-3≤a <0,a +5>0,解得a ∈[-3,0).]1.(2020·全国卷Ⅱ)若x =-2是函数f (x )=(x 2+ax -1)e x -1的极值点,则f (x )的极小值为( )A .-1B .-2e -3C .5e -3D .1A [函数f (x )=(x 2+ax -1)e x -1,则f ′(x )=(2x +a )e x -1+(x 2+ax -1)·e x -1=e x -1·[x 2+(a +2)x +a -1]. 由x =-2是函数f (x )的极值点得f ′(-2)=e -3·(4-2a -4+a -1)=(-a -1)·e -3=0,所以a =-1.所以f (x )=(x 2-x -1)e x -1,f ′(x )=e x -1·(x 2+x -2).由e x -1>0恒成立,得x =-2或x =1时,f ′(x )=0,且x <-2时,f ′(x )>0; -2<x <1时,f ′(x )<0;x >1时,f ′(x )>0.所以x =1是函数f (x )的极小值点.所以函数f (x )的极小值为f (1)=-1.故选A.]2.(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )=ln x +a (1-x ).(1)讨论f (x )的单调性;(2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求a 的取值范围.[解] (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x -a .若a ≤0,则f ′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增.若a >0,则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,+∞时,f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1a 上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值;第11页 共11页 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1a =-ln a +a -1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增,g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0;当a >1时,g (a )>0.因此,a 的取值范围是(0,1).。
课时分层训练(十五) 导数与函数的极值、最值
A 组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( )
A .y =x 3
B .y =ln(-x )
C .y =x e -x
D .y =x +2x
D [由题可知,B ,C 选项中的函数不是奇函数,A 选项中,函数y =x 3递增(无极值),
而D 选项中的函数既为奇函数又存在极值.]
2.当函数y =x ·2x 取极小值时,x 等于( )
A.1ln 2 B .-1ln 2
C .-ln 2
D .ln 2
B [令y ′=2x +x ·2x ln 2=0,
∴x =-1ln 2
. 经验证,-1ln 2
为函数y =x ·2x 的极小值点.] 3.函数y =ln x -x 在x ∈(0,e]上的最大值为( )
A .e
B .1
C .-1
D .-e
C [函数y =ln x -x 的定义域为(0,+∞).
又y ′=1x -1=1-x x
,令y ′=0得x =1, 当x ∈(0,1)时,y ′>0,函数递增;
当x ∈(1,e]时,y ′<0,函数递减.
当x =1时,函数取得最大值-1.]
4.已知函数f (x )=x 3+ax 2+(a +6)x +1有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是
( )
【导学号:66482117】
A .(-1,2)
B .(-∞,-3)∪(6,+∞)
C .(-3,6)
D .(-∞,-1)∪(2,+∞) B [∵f ′(x )=3x 2+2ax +(a +6),
由已知可得f ′(x )=0有两个不相等的实根,
∴Δ=4a 2-4×3(a +6)>0,即a 2-3a -18>0,
∴a >6或a <-3.]
5.设函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R ),若x =-1为函数f (x )e x
的一个极值点,则下列图像不可能为y =f (x )图像的是( )
A B C D
D [因为[f (x )e x ]′=f ′(x )e x +f (x )(e x )′=[f (x )+f ′(x )]e x ,且x =-1为函数f (x )e x 的一个极值点,所以f (-1)+f ′(-1)=0.选项D 中,f (-1)>0,f ′(-
1)>0,不满足f ′(-1)+f (-1)=0.]
二、填空题
6.函数f (x )=13
x 3+x 2-3x -4在[0,2]上的最小值是________. -173
[f ′(x )=x 2+2x -3,令f ′(x )=0得x =1(x =-3舍去),又f (0)=-4,f (1)=-173,f (2)=-103,故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)=-173
.] 7.设a ∈R ,若函数y =e x +ax 有大于零的极值点,则实数a 的取值范围是________.
【导学号:66482118】
(-∞,-1)[∵y =e x +ax ,∴y ′=e x +a .
∵函数y =e x +ax 有大于零的极值点,
则方程y ′=e x +a =0有大于零的解,
∵x >0时,-e x <-1,∴a =-e x
<-1.]
8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价为p 元,销量Q (单位:件)与零售价p (单位:元)有如下关系:Q =8 300-170p -p 2,则该商品零售价定为________元时利润最大,利润的最大值为________元.
30 23 000[设该商品的利润为y 元,由题意知, y =Q (p -20)=-p 3-150p 2+11 700p -166 000,
则y ′=-3p 2-300p +11 700,
令y ′=0得p =30或p =-130(舍),
当p ∈(0,30)时,y ′>0,当p ∈(30,+∞)时,y ′<0,
因此当p =30时,y 有最大值,y max =23 000.]
三、解答题
9.已知函数f (x )=-x 3+ax 2+b (a ,b ∈R ).。