2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12节导数与函数的极值最值课时分层训练文北师大版

第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] .了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．．函数的极值与导数的关系()函数的极小值与极小值点若函数()在点＝处的函数值()比它在点＝附近其他点的函数值都小，′()＝，而且在点＝附近的左侧′()＜，右侧′()＞，则点叫做函数的极小值点，()叫做函数的极小值．()函数的极大值与极大值点若函数()在点＝处的函数值()比它在点＝附近其他点的函数值都大，′()＝，而且在点＝附近的左侧′()＞，右侧′()＜，则点叫做函数的极大值点，()叫做函数的极大值．．函数的最值与导数的关系()函数()在[，]上有最值的条件如果在区间[，]上函数＝()的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．()求＝()在[，]上的最大(小)值的步骤①求函数＝()在(，)内的极值；②将函数＝()的各极值与端点处的函数值()，()比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()函数的极大值一定比极小值大．( )()对可导函数()，′()＝是为极值点的充要条件．( )()函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( ) ()若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( )[答案]()×()×()√()×．(教材改编)函数()的定义域为开区间(，)，导函数′()在(，)内的图象如图--所示，则函数()在开区间(，)内极小值点的个数为( )图--．[导函数′()的图象与轴的交点中，左侧图象在轴下方，右侧图象在轴上方的只有一个，所以()在区间(，)内有一个极小值点．]．已知某生产厂家的年利润(单位：万元)与年产量(单位：万件)的函数关系式为＝－＋－，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) ．万件万件．万件万件[′＝－＋，令′＝得＝或＝－(舍去)．当∈()时，′＞，当∈(，＋∞)时，′＜，则当＝时，有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件．]．(·四川高考)已知为函数()＝－的极小值点，则＝( )．－.－．[由题意得′()＝－，令′()＝得＝±，∴当<－或>时，′()>；当－<<时，′()<，∴()在(－∞，－)上为增函数，在(－)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数．∴()在＝处取得极小值，∴＝.]．函数＝－在区间[－]上的最大值是．[′＝－，令′＝，得＝或＝.。

第十二节导数与函数的极值、最值————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．( )(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．( )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图2­12­1所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值点的个数为( )图2­12­1A ．1B ．2C ．3D ．4A [导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个，所以f (x )在区间(a ，b )内有一个极小值点．]3．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件C [y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0得x ＝9或x ＝－9(舍去)． 当x ∈(0,9)时，y ′＞0，当x ∈(9，＋∞)时，y ′＜0， 则当x ＝9时，y 有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]4．(2016·四川高考)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2D [由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________． 8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0， 得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.]☞角度1 根据函数图象判断极值设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图2­12­2所示，则下列结论中一定成立的是( )图2­12­2A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．] ☞角度2 求函数的极值求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)的极值．[解] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；5分(2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，9分从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值.12分☞角度3 已知极值求参数(1)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：31222087】A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0,1)D ．(0，＋∞)(2)(2016·广东肇庆三模)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.(1)B (2)5 [(1)∵f (x )＝x (ln x －ax )， ∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln x x2， ∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0＜2a ＜1⇒0＜a ＜12.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知x ＝－3为方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根，∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.][规律方法] 利用导数研究函数极值的一般流程(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x， 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.2分f (x )与f ′(x )的变化情况如下：单调递减单调递增5分(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ，7分 当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.10分 综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ； 当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－ek －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.12分[规律方法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值、最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值． [变式训练1] (2017·石家庄质检(二))若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9D [f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，a ＋b ＝6，又a ＞0，b ＞0，则t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故选D.]价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.5分(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋x －2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.7分从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)， 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.12分 [规律方法] 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________. 【导学号：31222088】40 [由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0＜x ＜40时，y ′＜0；x ＞40时，y ′＞0.所以当x ＝40时，y 有最小值．][思想与方法]1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．3．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．4．若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值，则：(1)对任意x∈A，f(x)＞0⇔f(x)min＞0；(2)存在x∈A，f(x)＞0⇔f(x)max＞0.[易错与防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．4．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．课时分层训练(十五) 导数与函数的极值、最值A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2xD [由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，而D 选项中的函数既为奇函数又存在极值．]2．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x 等于( )【导学号：31222089】A.1ln 2B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2B [令y ′＝2x＋x ·2x ln 2＝0， ∴x ＝－1ln 2.经验证，－1ln 2为函数y ＝x ·2x的极小值点．]3．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( ) A ．e B ．1 C ．－1D ．－eC [函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)． 又y ′＝1x －1＝1－xx，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′＞0，函数单调递增； 当x ∈(1，e]时，y ′＜0，函数单调递减． 当x ＝1时，函数取得最大值－1.]4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )【导学号：31222090】A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B [∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0， ∴a ＞6或a ＜－3.]5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )A B C DD [因为[f (x )e x]′＝f ′(x )e x＋f (x )(e x)′＝[f (x )＋f ′(x )]e x，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0.选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.]二、填空题6．函数f (x )＝13x 3＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________.【导学号：31222091】－173 [f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.]7．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________． (－∞，－1) [∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x＜－1.]8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．30 23 000 [设该商品的利润为y 元，由题意知，y ＝Q (p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700， 令y ′＝0得p ＝30或p ＝－130(舍)，当p ∈(0,30)时，y ′＞0，当p ∈(30，＋∞)时，y ′＜0， 因此当p ＝30时，y 有最大值，y max ＝23 000.]三、解答题9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)．(1)要使f (x )在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围；(2)当a <0时，若函数满足y 极大＝1，y 极小＝－3，试求y ＝f (x )的解析式． [解] (1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax . 依题意f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立，即2ax ≥3x 2.∵x ＞0，∴2a ≥3x ，∴2a ≥6，∴a ≥3， 即a 的取值范围是[3，＋∞).5分 (2)∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝x (－3x ＋2a )．∵a ＜0，当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23a 时，f ′(x )≤0，f (x )递减． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0时，f ′(x )＞0，f (x )递增．当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )递减.8分∴⎩⎪⎨⎪⎧f 极大0＝1，f 极小⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.∴f (x )＝－x 3－3x 2＋1.12分10．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (k >0)．现已知相距18 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)．(1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1，且x ＝6时，y 取得最小值，试求b 的值．[解] (1)设点C 受A 污染源污染程度为kax2，点C 受B 污染源污染程度为kb18－x2，其中k 为比例系数，且k >0，从而点C 处受污染程度y ＝ka x2＋kb18－x2.5分(2)因为a ＝1，所以y ＝k x2＋kb18－x2，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 3＋2b 18－x 3，8分 令y ′＝0，得x ＝181＋3b，又此时x ＝6，解得b ＝8，经验证符合题意，所以，污染源B 的污染强度b 的值为8.12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·石家庄一模)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图象与x 轴相切于一点A (m,0)(m ≠0)，且f (x )的极大值为12，则m 的值为( )【导学号：31222092】A ．－23B ．－32 C.23D.32 D [由题意可得f (m )＝m 3＋am 2＋bm ＝0，m ≠0，则m 2＋am ＋b ＝0 ①，且f ′(m )＝3m2＋2am ＋b ＝0 ②，①－②化简得m ＝－a 2，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 的两根为－a 2和－a 6，则b ＝a 24，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝12，解得a ＝－3，m ＝32，故选D.] 2．(2016·北京高考改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0，则f (x )的最大值为________．2 [当x ＞0时，f (x )＝－2x ＜0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数，∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2.]3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．[解] (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b .2分由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝0，f 2＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－12.5分 (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；7分当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；8分当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值，f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.10分此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.12分。

第二章基本初等函数、导数及其应用第13讲导数与函数的极值、最值及实际应用教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源r和谋梳理,1.函数的极值函数丿=/（兀）在点x=a的函数值/⑷比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f（a） = 0；而且在点x=a附近的左侧=,右侧/心,则点。

叫做函数歹=/（兀）的极小值点，弘）叫做函数丿=/（兀）的极小值•函数y=/U)在点x=b的函数值/(〃)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f (b)=Q；而且在点x=b附近的左侧曲＞°,右侧八,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，张)叫做函数y=f(x)^j极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.2・函数的最值（1）在闭区间［偽盯上连续的函数/（兀）在S 洌上必有最大值（2）若函数/（对在［偽盯上单调递增，则/⑷ 为函数的最 小值，/（〃） 为函数的最大值:若函数心）在⑷“］上与】 ［小值•1=) ■单调递减，则加）为函数的最大值, 型一函数的最小值.要点整食,1.辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点;(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念.2.明确两个条件一是/©)>0在(偽勿上成立，是/(兀)在(禺方)上单调递增的充分不必要条件.二是对于可导函数f(x)9 f (x0) =0是函数/(x)^E x=x0处有极值的必要不充分条件.双基自测r1.（选修1-1 P98习题1.3A组T4改编）函数/（兀）的定义域为R,导函数几T）的图象如图所示，贝！I函数/&）（C ）A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点解析：设几r)的图象与兀轴的4个交点从左至右依次为朴 当Xi<X<X 2时，f f (x)<0,心)为减函数，则X=Xi 为极大值 点，同理，X=x 3为极大值点，X=x 2, x=x 4为极小值点, 故选C.2. 设函^/(x)=xe\ 贝!|( D )A.兀=1为/(©的极大值点B.兀=1为于(兀)的极小值点C. 兀=一1为/U)的极大值点当兀5时，f (x)>0, /(兀)为增函数,1=D.兀=一1为/(兀)的极小值点解析:求导得f\x)=e A+xe v=e v(x +1),令f (x)=e v(x+1)=0,解得X= —1,易知兀=—1是函数于(兀)的极小值点，所以选D.3.函数j=ln x~x 在兀丘（0, e ］上的最大值为（） B. 1C. -1D. -e 解析：函数j=lnx —x 的定义域为（0，+8）, Sxe （l, ◎时，F <0,函数单调递减. 当兀=1时，函数取得最大值一1・ A. e当用（0, 1）时，丫 >0, 函数单调递增4.(选修11 P97例5改编)函数y =2x3 —2x2在区间[_1, 2] 上的最大值是___________ •解析：y' =6x2—4x,令y'=0,2得X=0 或X=-e因为/(-!)=-4,介0)=0,岛=_占，几2)=8.所以最大值为&5-已知x=3是函数/(x)=Tln x+x?—10x的一个极值点，则实数a= 12 .解析：f仗)=?+加_10,由尸⑶=；+6 —10=0,得a=12,经检验满足条件.典例剖析▼考点突破击考点一函数的极值问题(高频考点) 都有，高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度:(1) 知图判断函数极值的情况;(2) 已知函数解析式求极值;(3) 已知函数极值求参数值.名师导悟以例说法函数的极值是每年高考的热点, -般为中高档题，三种题型例 1 设函数/(x)=ax — 2x + x+ c(« 0).⑴当a=l9且函数图象过点(0, 1)时，求函数的极小值;⑵若心)在(一8, +8)上无极值点，求。

利用导数解决函数的极值问题►考法１根据函数图像判断函数极值的情况【例１】设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（１—x）f′（x）的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）Ａ．函数f（x）有极大值f（２）和极小值f（１）Ｂ．函数f（x）有极大值f（—２）和极小值f（１）Ｃ．函数f（x）有极大值f（２）和极小值f（—２）Ｄ．函数f（x）有极大值f（—２）和极小值f（２）D[由题图可知，当x＜—２时，f′（x）＞0；当—２＜x＜１时，f′（x）＜0；当１＜x＜２时，f′（x）＜0；当x＞２时，f′（x）＞0．由此可以得到函数f（x）在x＝—２处取得极大值，在x＝２处取得极小值．]►考法２求已知函数的极值【例２】已知函数f（x）＝（x—２）（e x—ax），当a＞0时，讨论f（x）的极值情况．[解] ∵f′（x）＝（e x—ax）＋（x—２）（e x—a）＝（x—１）（e x—２a），∵a＞0，由f′（x）＝0得x＝１或x＝ln ２a.１当a＝错误!时，f′（x）＝（x—１）（e x—e）≥0，∴f（x）递增，故f（x）无极值．２当0＜a＜错误!时，ln ２a＜１，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（—∞，ln ２a）ln ２a（ln ２a,１）１（１，＋∞）f′（x）＋0—0＋f（x）↗极大值↘极小值↗２３当a＞错误!时，ln ２a＞１，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：２综上，当0＜a＜错误!时，f（x）有极大值—a（ln ２a—２）２，极小值a—e；当a＝错误!时，f（x）无极值；当a＞错误!时，f（x）有极大值a—e，极小值—a（ln ２a—２）２.►考法３已知函数极值求参数的值或范围【例３】（１）已知f（x）＝x３＋３ax２＋bx＋a２在x＝—１时有极值0，则a—b＝________.（２）若函数f（x）＝e x—a ln x＋２ax—１在（0，＋∞）上恰有两个极值点，则a的取值范围为（）Ａ．（—e２，—e）Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，—e）（１）—7 （２）D[（１）由题意得f′（x）＝３x２＋6ax＋b，则错误!解得错误!或错误!经检验当a＝１，b＝３时，函数f（x）在x＝—１处无法取得极值，而a＝２，b＝9满足题意，故a—b＝—7．（２）∵f′（x）＝e x—错误!＋２a，（x＞0）∴由f′（x）＝0得a＝错误!.令g（x）＝错误!（x＞0）．由题意可知g（x）＝a在（0，＋∞）上恰有两个零点．又g′（x）＝—错误!（x＞0），由g′（x）＞0得0＜x＜１，且x≠错误!.由g′（x）＜0得x＞１．∴函数g（x）在错误!，错误!上递增，在（１，＋∞）上递减．又g（0）＝0，g（１）＝—e，结合图形（图略）可知a∈（—∞，—e），故选Ｄ．][规律方法] １．利用导数研究函数极值问题的一般流程２．已知函数极值点和极值求参数的两个要领（１）列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解．（２）验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．２Ａ．２或6 Ｂ．２Ｃ．错误!Ｄ．6（２）（２0１9·广东五校联考）已知函数f（x）＝x（ln x—ax）有极值，则实数a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）D（２）A[（１）法一：f′（x）＝（x—c）（３x—c），当f′（x）＝0时，x１＝错误!，x＝c.２因为极大值点是x＝２，所以c＞0，并且错误!＜c.当x∈错误!时，f′（x）＞0，当x∈错误!时，f′（x）＜0，当x∈（c，＋∞）时，f′（x）＞0，所以x＝错误!是极大值点，错误!＝２，解得c＝6．故选Ｄ．法二：因为f′（x）＝（x—c）（３x—c）．又因为f（x）在x＝２处取极值，所以f′（２）＝0，即（２—c）（6—c）＝0．所以c＝２或c＝6．当c＝6时，f′（x）＝３（x—２）（x—6），易知x∈（—∞，２）和x∈（6，＋∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，x∈（２,6）时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，此时x＝２为极大值点．当c＝２时，f′（x）＝３（x—２）错误!，易知x∈错误!和x∈（２，＋∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，x∈错误!时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，此时x＝２是极小值点．因此c＝6．故选Ｄ．（２）f（x）＝x ln x—ax２（x＞0），f′（x）＝ln x＋１—２ax.令g（x）＝ln x＋１—２ax，则g′（x）＝错误!—２a＝错误!.∵函数f（x）＝x（ln x—ax）有极值，∴g（x）＝0在（0，＋∞）上有实根．当a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，＋∞）上递增，当x趋向于0时，g（x）趋向于—∞，当x趋向于＋∞时，g（x）趋向于＋∞，故存在x0∈（0，＋∞），使得f（x）在（0，x0）上递减，在（x0，＋∞）上递增，故f（x）存在极小值f（x0），符合题意．当a＞0时，令g′（x）＝0，得x＝错误!.当0＜x＜错误!时，g′（x）＞0，函数g（x）递增；当x＞错误!时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，∴x＝错误!时，函数g（x）取得极大值．∵当x趋向于0和x趋向于＋∞时，均有g（x）趋向于—∞，要使g（x）＝0在（0，＋∞）上有实根，且f（x）有极值，必须g错误!＝ln 错误!＞0，解得0＜a＜错误!.综上可知，实数a的取值范围是错误!，故选Ａ．]利用导数解决函数的最值问题【例４】已知函数f（x）＝ln x—ax（a∈R）．（１）求函数f（x）的单调区间；（２）当a＞0时，求函数f（x）在[１,２]上的最小值．[解] （１）f′（x）＝错误!—a（x＞0），１当a≤0时，f′（x）＝错误!—a＞0，即函数f（x）的递增区间为（0，＋∞）．２当a＞0时，令f′（x）＝错误!—a＝0，可得x＝错误!，当0＜x＜错误!时，f′（x）＝错误!＞0；当x＞错误!时，f′（x）＝错误!＜0，故函数f（x）的递增区间为错误!，递减区间为错误!.综上可知，当a≤0时，函数f（x）的递增区间为（0，＋∞）；当a＞0时，函数f（x）的递增区间为错误!，递减区间为错误!.（２）１当0＜错误!≤１，即a≥１时，函数f（x）在区间[１,２]上是减函数，所以f（x）的最小值是f（２）＝ln ２—２a.２当错误!≥２，即0＜a≤错误!时，函数f（x）在区间[１,２]上是增函数，所以f（x）的最小值是f （１）＝—a.３当１＜错误!＜２，即错误!＜a＜１时，函数f（x）在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．又f（２）—f（１）＝ln ２—a，所以当错误!＜a＜ln ２时，最小值是f（１）＝—a；当ln ２≤a＜１时，最小值为f（２）＝ln ２—２a.综上可知，当0＜a＜ln ２时，函数f（x）的最小值是f（１）＝—a；当a≥ln ２时，函数f（x）的最小值是f（２）＝ln ２—２a.[规律方法] 求函数f x在[a，b]上的最大值、最小值的步骤１求函数在a，b内的极值.２求函数在区间端点的函数值f a，f b.３将函数f x的极值与f a，f b比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.（１）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（２）求函数f（x）在区间错误!上的最大值和最小值．[解] （１）因为f（x）＝e x cos x—x，所以f′（x）＝e x（cos x—sin x）—１，f′（0）＝0．又因为f（0）＝１，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝１．（２）设h（x）＝e x（cos x—sin x）—１，则h′（x）＝e x（cos x—sin x—sin x—cos x）＝—２e x sin x.当x∈错误!时，h′（x）<0，所以h（x）在区间错误!上递减．所以对任意x∈错误!有h（x）<h（0）＝0，即f′（x）<0．所以函数f（x）在区间错误!上递减．因此f（x）在区间错误!上的最大值为f（0）＝１，最小值为f错误!＝—错误!.利用导数研究生活中的优化问题【例５】已知一企业生产某产品的年固定成本为１0万元，每生产千件需另投入２．7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f（x）万元，且f（x）＝错误!（１）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式．（２）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入—年总成本）[解] （１）由题意得W＝错误!即W＝错误!（２）１当0＜x≤１0时，W＝8．１x—错误!x３—１0则W′＝8．１—错误!x２＝错误!＝错误!，因为0＜x≤１0所以当0＜x＜9时，W′＞0，则W递增；当9＜x≤１0时，W′＜0，则W递减．所以当x＝9时，W取最大值错误!＝３8．6万元．２当x＞１0时，W＝98—错误!≤98—２错误!＝３8．当且仅当错误!＝２．7x，即x＝错误!＞１0时取最大值３8．综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大．[规律方法] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步１分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f x.２求函数的导数f′x，解方程f′x＝0.,３比较函数在区间端点和f′x＝0的点的函数值的大小，最大小者为最大小值.,４回归实际问题，结合实际问题作答.为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为１00元/平方米，底面的建造成本为１60元/平方米，该蓄水池的总建造成本为１２000π元（π为圆周率）．（１）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域．（２）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解] （１）因为蓄水池侧面的总成本为１00×２πrh＝２00πrh元，底面的总成本为１60πr２元，所以蓄水池的总成本为（２00πrh＋１60πr２）元．又根据题意得２00πrh＋１60πr２＝１２000π，所以h＝错误!（３00—４r２），从而V（r）＝πr２h＝错误!（３00r—４r３）．由h＞0，且r＞0可得0＜r ＜５错误!，故函数V（r）的定义域为（0,５错误!）．（２）因为V（r）＝错误!（３00r—４r３），所以V′（r）＝错误!（３00—１２r２）．令V′（r）＝0，解得r１＝５，r２＝—５（因为r２＝—５不在定义域内，舍去）．当r∈（0,５）时，V′（r）＞0，故V（r）在（0,５）上为增函数；当r∈（５,５错误!）时，V′（r）＜0，故V（r）在（５,５错误!）上为减函数．由此可知，V（r）在r＝５处取得最大值，此时h＝8，即当r＝５，h＝8时，该蓄水池的体积最大．。

第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)x＝0是函数f(x)＝x3的极值点． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2x2＝x－2x2，令f′(x)＝0得x＝2，又0＜x＜2时，f′(x)＜0，x＞2时，f′(x)＞0.因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.]4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4 B．－2 C．4 D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.]【例1】 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]►考法2 根据函数的解析式求极值【例2】 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表．故f (x )极大值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a ＞0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 故函数在x ＝1a 处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a ＞0时，函数有一个极大值点．►考法3 已知函数的极值求参数【例3】 (1)(2020·成都模拟)若函数f (x )＝(x 2＋ax ＋3)e x 在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－22]B ．(－∞，－22)C ．(－∞，－3]D ．(－∞，－3)(2)若函数f (x )＝x (x －a )2在x ＝2处取得极小值，则a ＝________.(1)C (2)2 [(1)f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋3)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3]e x . 令g (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，g (0)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22≤0，g (0)＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，a ＋3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22≤0，a ＋3＜0，解得a ≤－3，故选C.(2)f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x ，∴f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2.由f ′(2)＝12－8a ＋a 2＝0，解得a ＝2或a ＝6.当a ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(x －2)(3x －2)，函数在x ＝2处取得极小值，符合题意；当a ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，函数在x ＝2处取得极大值，不符合题意，∴a ＝2.](1)当a ＝1，且函数图象过点(0,1)时，求f (x )的极小值．(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＞0，解得x ＜13或x ＞1；令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增； 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.【例4】 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ，当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ；当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k ＜1e ，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值．[解] 因为f (x )＝1－x x ＋k ln x ，所以f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x 2. (1)若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有f ′(x )＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减．所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1. (2)若k ≠0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2.①若k ＜0，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2＜0， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. ②若k ＞0，由k ＜1e ，得1k ＞e ，则x －1k ＜0，所以k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减． 所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. 综上，k ＜1e 时，f (x )min ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝e －k －1.【例5】 已知函数f (x )＝e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．[解] (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x(e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x， 令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点， 且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以当－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x. 因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e－5＝5e 5＞5＝f (0)， 所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．[－3,0) [由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎨⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0)．]1．(2020·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]． 由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)·e －3＝0，所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1>0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x <－2时，f ′(x )>0； －2<x <1时，f ′(x )<0；x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点．所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.故选A.]2．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；第11页 共11页 当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1)．。