5.1.1对顶角(课)

（二）过程与方法
1.通过实际操作，让学生观察、思考、总结对顶角的特点，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
2.运用合作学习的方式，让学生在小组讨论中交流观点，提高沟通能力和团队协作能力。
3.设计丰富的例题和练习，引导学生运用对顶角知识解决问题，培养解决问题的方法和策略。
4.通过对顶角的性质，引导学生发现生活中的数学，提高学生对数学学习的兴趣。
1.学生需独立完成作业，注重作业质量，培养良好的学习习惯。
2.家长要关注学生的学习进度，协助学生完成作业，鼓励学生积极思考、探索。
3.教师要及时批改作业，给予个性化反馈，帮助学生查漏补缺，提高学习效果。
3.教师总结：强调对顶角在几何学习中的重要性，鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，发现数学的美。
五、作业布置
1.基础巩固：完成课本第92页的练习题1、2、3，巩固对顶角的性质和识别方法。
-练习题1：判断下列各图中，哪些是对顶角？
-练习题2：填空：对顶角是______的两个角，它们的度数______。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：对顶角的识别和应用。
2.教学活动：将学生分成小组，每组讨论以下问题：
（1）如何判断两个角是否为对顶角？
（2）在日常生活中，你能找到哪些对顶角的例子？
（3）如何利用对顶角的性质解决实际问题？
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨。
（四）课堂练习
1.教学内容：巩固对顶角的知识，提高解决问题的能力。
2.教学活动：设计具有代表性的练习题，让学生独立完成。
（1）判断题：给出一些角的图形，让学生判断哪些是对顶角。
（2）填空题：给出一些关于对顶角的性质和应用的问题，让学生填空。

【例题】
【例】已知：直线a，b相交， ∠1=40°. 求∠2，∠3，∠4的度数？
a 2
143 b
解：∠3=∠1=40° （对顶角相等），
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°
（平角的定义），
∠4=∠2=140°（对顶角相等）.
【跟踪训练】
a
2
1
3
b
4
若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数.
解： 设∠1=x，则∠2=3x. 因为∠2+∠1=180°, 所以3x+x=180°， 解得 x=45°， 所以∠3=∠1= 45°（对顶角相等）.
问题:两条相交直线形成的小于平角的角有几个? 请你画出任意两条相交直线，看看这四个角有什 么关系?
任意画两条相交直线,在形成的四个角(如图)中,两 两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关系?它 们的大小关系如何？
两直线相交
C
1（
（2 ）4
）3
B
A
D
所形成的角
分
类
∠1和∠2, ∠2和∠ 3， ∠1 ∠2 ∠ 1 和∠ 4 ,∠ 3 和∠ 4
通过本课时的学习，需要我们掌握对顶角的相关知识如下： 1.特征： ①两条直线相交形成的角；
②有一个公共顶点； ③没有公共边. 2.性质： 对顶角相等
忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃 的苦，是为了收获别人得不到的收获.
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时

∠1与∠2 相邻 互补
3
直线AB、CD相交于点O
4 B
∠2与∠3 ∠1与∠4 相邻 互补 相邻 互补 ∠3与∠4 相邻 互补
互为邻补角
A
思考：如图，直线AB、CD相交于点O, ∠1=30°，那么∠2、∠3、∠4各等 于多少度？ 若∠1=α，那么∠2、∠3、∠4各 等于多少度？你发现了什么？ 解：∠2=180°-∠1=180°-30
2
O
D G
B
F
∴∠AOG的度数为62°
A O 如图,直线AB、CD、EF 相交 于点O， 图中的对顶角共有 几对? A O C F E D B C A O C D
B F
B F D
E
O E
一份耕耘 一份收获 你能告诉我这节课的收获吗？
1、对顶角ห้องสมุดไป่ตู้概念；
2、对顶角的性质、应用
D
又∵∠DOE=90°
∴∠BOE=∠DOE-∠BOD =90°-72° =18° ∴∠BOE的度数为18°
C
E
例2，已知直线AB、CD、EF相 交于O点，OG是∠AOF的平分线 ∠BOD=32°,∠COE=24°， 求∠AOG的度数.
A
O
D G
B
F
C
E
例2，已知直线AB、CD、EF相 交于O点，OG是∠AOF的平分线 A ∠BOD=32°,∠COE=24°， 求∠AOG的度数. 解：∵直线AB、CD、EF相交于点O ∴∠DOF=∠COE=24°(对顶角相等） ∴∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF =180°-32°-24° =124° 又∵OG是∠AOF的平分线 ∴∠AOG= 1 ∠AOF=62°
1
2 3
D O
C

现它变弯了，是真的变弯了吗？没有，这是由于光的折
射现象，即光从空气射入水中，光线的传播方向发生改 变．如图5－1－4，一束光AO射入水中，在水中的传播路 径为OC，试比较∠AOB和∠DOC的大小．
图5－1－4
[解析] 反向延长AO到E，得∠AOB的对顶角∠DOE，要比较 ∠AOB与∠DOC的大小，只要比较∠DOE与∠DOC的大小即可 ．
5.1.1 对顶角
解：∵∠1与∠DOF是对顶角， ∴∠DOF＝∠1＝40°.
∵∠DOB＝90°，
∴∠2＝∠DOB－∠DOF＝90°－40°＝50°.
图5－1－4
[归纳总结] 在结合图形求角的度数时，应联想到对顶角 相等、两角互余、两角互补及角平分线等关系求解．
5.1.1 对顶角
探究问题二 对顶角的应用 例2 把一根筷子一头放在水里，一头露在外面，我们发
5.1.1 对顶角
解：如图，作OA的反向延长线OE，得∠DOC＞∠DOE.根 据对顶角相等，得∠DOE＝∠AOB，所以∠DOC＞∠AOB.
[归纳总结] 对顶角相等在解题中起到了转换角的位置而不改
变角的大小的作用，有利于建立题目条件之间的联系．
知识链接—— [新知梳理]知识点二
5.1.1 对顶角
新 知 梳 理
知识点一 对顶角的概念 若两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长 线，则具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 知识点二 对顶角的性质
相等 ． 对顶角______
5.1.1 对顶角
重难互动探究
探究问题一 对顶角的概念
例1 [教材例2变式题] 如图5－1－3，直线AB，CD，EF相 交于点O，∠BOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的大小． [解析] 由∠1与∠DOF是对顶角，可求 出∠DOF的大小，又由∠DOB＝90° ，知∠2与∠DOF互余，可求出∠2的 大小． 图5－1－3

仔细观察你所画的图形，当两条直线相交 时，所形成的四个角中，∠1、∠2、 ∠3、 ∠4各之间有怎样的位置关系？
C 2 3 B A 2 3 1 4O D C
A
1 4O D
B
两条直线相交形成了∠1、 ∠2、 ∠3和∠4.我 们已经知道，有些角之间存在一定的关系，例如： A D 2O ) 3 1 4 C B
角 位置关系 ∠1和∠2 相邻 ∠2和∠3 相邻 „ „
数量关系
互补
互补
„
从位置关系和数量关系上看，图中还有哪些角 之间存在某种关系呢？将你的发现填入下表中。 A 1 C 角 位置关系 ∠1和∠3 相对 相等 4 B ∠2和∠4 相对 相等 2 O D
) 3
数量关系
对顶角的定义： ∠1和∠3有一个相同的顶点O，并且∠1的 两边OA、OD分别与∠3的两边OB、OC互为反向 延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角.
A C E F
O
D B
∠1与∠2有怎样的数量关系？
C 2 3
B
互补
A
1 4O D
∠1与∠3有怎样的数量关系？ 你是怎样得到的？
C 2 3 1 4O
相等
B
A
D
例1， 如图，直线a，b相交于点O， ∠1= 30° ，求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 1 2 4 3
∠2=180°- ∠1=180°-30°=150°， a ∠3=180°- ∠2=180°-150°=30°
A
2 O
D
1
C 4
)3
B
1、下列各图中，∠1和∠2是邻补角吗？为什么？
1 （1 ）
2
1
2
1
2
（2 ）
（3）

二、讲授新课：
1.设置情境，引入课题
欣赏我们身边直线的实例，看图片，能用几何图形表示吗？计算机播放笔直的公路、桥梁等图片，让学生建立感性认识，从而体会数学来源于实践的思想，培养学生的空间观念，引出课题：5.1.1对顶角
2.检查预习，提炼问题
根据预习提出的问题，小组内交流自学过程中遇到的问题，充分发挥学生主体作用，体验学习成功的喜悦，培养合作精神。通过交流提出以下问题：
交流后归纳：对顶角是由两条直线相交形成的一对角，它们有公共的顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。
练习：判断下列图中的∠1与∠2是否是对顶角？说明理由。
（2）练习(抢答:)
（3）动手实践：学生亲自动手通过测量，得出对顶角的性质。
学生小组讨论，并选派一名代表分享讨论成果。
（4）观察分析，知识应用
4.拓展提升
1.如图:∠1=45°,那么∠2等于多少度?
2.如图,两条直线相交，∠1=35°,
求∠2、∠3的度数。
3.如图，∠1=∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数.
三、课堂小结：
通过本节课的学习，我们掌握了哪些知识？
四、作业：课本162页练习1—3题
五、教学反思：
2.自学课本P160～P161内容，完成下列问题.
（1）两条直线相交可以得到几个角？结合图5.1.2，哪些是对顶角，并试述定义.
（2）通过测量你能得出对顶角的重要性质是什么吗？试用学过的知识说明理由.
（3）两条直线相交所成的角中，相邻的两个角有什么关系？你能说明理由吗？
（4）在复杂的图形中你能迅速准确地确定对顶角的组Байду номын сангаас吗？
（1）什么是对顶角，怎样描述其定义。
（2）两条直线相交所成的角中，相邻的两个角是互补关系，理由是什么？

为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.利用生活实例导入，如建筑物的对称美，让学生感受到对顶角在实际生活中的应用，提高学习兴趣；
2.设计有趣的几何游戏，如“对顶角大挑战”，让学生在游戏中探索对顶角的性质，增强学习积极性；
3.采用小组合作、讨论交流的方式，让学生在互动中学习，提高团队协作能力；
为应对这些问题，我将：
1.通过丰富多样的例题和练习，帮助学生深入理解性质；
2.及时给予个别辅导，帮助学生掌握判定方法；
3.鼓励学生提问、分享，提高课堂互动效果。
课后，我将通过以下方式评估教学效果：
1.课后作业的完成情况；
2.学生课堂参与度和互动情况；
3.学生反馈意见。
反思和改进措施包括：
1.分析作业完成情况，针对学生掌握不足的知识点进行巩固；
选择这些教学方法的理论依据是建构主义学习理论，该理论认为学习是一个主动建构的过程，学生不是被动接收知识，而是在原有的知识体系上，通过与外部环境的互动，主动构建新的知识结构。
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源和技术工具来辅助教学：
1.教具：直尺、量角器、三角板等，用于直观演示对顶角的性质和判定方法。
3.情感态度与价值观目标
（1）激发学生对几何学的兴趣，培养学生的数学美感；
（2）培养学生严谨、求实的科学态度；
（3）培养学生的团队协作意识，提高合作能力。
（三）教学重难点
根据对学生的了解和教学内容的分析，本节课的教学重点和难点如下：
1.教学重点
（1）对顶角的定义及性质；
（2）对顶角的判定方法；
（3）运用对顶角知识解决实际问题。
1.提前规划板书内容，确保条理清晰；
2.使用不同颜色粉笔区分重点、难点；

3.鼓励学生提出问题，培养他们的问题意识和解决问题的能力。
（四）总结归纳
1.引导学生对对顶角的性质进行总结和归纳，帮助他们巩固和加深理解。
2.通过总结归纳，使学生形成系统化的知识结构，提高他们的思维能力。
3.强调对顶角在几何学中的重要性，激发学生对后续几何学习的兴趣。
（五）作业小结
1.布置相关的作业，让学生巩固所学知识，提高他们的实践能力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用实物模型、几何画板等教学工具，创设生动直观的教学情境，让学生能够直观地观察和操作对顶角。
2.通过生活中的实际例子，让学生感受到对顶角的存在和应用，激发学生的学习兴趣和积极性。
3.设计具有挑战性和启发性的问题，引导学生主动思考和探索，激发学生的求知欲和好奇心。
（二）问题导向
（二）讲授新知
1.通过对顶角的定义和性质进行讲解，明确对顶角的含义和特点。
2.结合几何画板的动态演示，让学生直观地理解对顶角的性质。
3.通过例题讲解，展示对顶角的性质在解决几何问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.给学生发放练习题，让他们在小组内进行讨论和解答。
2.引导学生运用对顶角的性质，解决实际问题，培养他们的应用能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握对顶角的定义和性质，能够识别和判断对顶角。
2.培养学生运用对顶角的性质解决实际问题的能力，能够运用对顶角解释和证明一些简单的几何问题。
3.通过对顶角的学习，使学生了解几何图形中的对顶角概念，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、思考、讨论等教学活动，让学生经历对顶角的发现和探索过程，培养学生的观察能力和思维能力。