2020版一轮复习理科数学习题：第七篇_立体几何 第2节_空间几何体的表面积与体积含解析

第二节 空间几何体的表面积与体积2019考纲考题考情1．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。

(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r ，母线长l ，则其表面积为S 柱＝2πr 2＋2πrl ，S 锥＝πr 2＋πrl 。

(4)若圆台的上下底面半径为r 1，r 2，母线长为l ，则圆台的表面积为S ＝π(r 21＋r 22)＋π(r 1＋r 2)l 。

(5)球的表面积为4πR 2(球半径是R )。

2．几何体的体积 (1)V 柱体＝Sh 。

(2)V 锥体＝13Sh 。

(3)V 台体＝13(S ′＋SS ′＋S )h ，V 圆台＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 22)h ，V 球＝43πR 3(球半径是R )。

1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差。

(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等。

2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a 。

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2。

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。

一、走进教材1．(必修2P 27练习T 1改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2， 其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．32cm 解析 由题意，得S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，得r 2＝4，所以r ＝2(cm)。

答案 B2．(必修2P 28A 组T 3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________。

一、选择题1．若某空间几何体的三视图如下图，则该几何体的体积是()1B.2A. 33 C ． 1D ．2分析： 选 C.由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为 1 和2，三棱柱的高为2，因此该几何体的体积V ＝ 1 2×1× 2× 2＝1.2． (2011 高·考湖南卷 )如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()99A. 2π＋ 12B. 2π＋ 18C ． 9π＋ 42D ．36π＋ 18432分析： 选 B.由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为V ＝3 ×2＋ 3π×23＝18＋ 92π.3． (2012 高·考课标全国卷 ) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ( )A ． 6B ．9C ． 12D ．18分析： 选 B. 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6 的等腰直角三角形，高为 3 的三1 1 棱锥，其体积为 3×2× 6× 3×3＝ 9.4． (2012 ·考北京卷高 ) 某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是 ( )A ． 28＋6 5B ．30＋6 5C ． 56＋ 12 5D ．60＋ 12 5分析：选 B.由题中的三视图知，该三棱锥的直观图如下图．由题中所给条件，可求得△1× 4× 5＝10， S △△1× 4× 5＝ 10， AC ＝ BCS ABD ＝ 2 ACD ＝ S BCD ＝ 21×6× 2 5＝＝ 41， AB ＝ 2 5，可求得△ ABC 中 AB 边上的高为△41－5＝ 6，因此 S ABC ＝ 2 6 5.综上可知，该三棱锥的表面积为S △ABD ＋ S △ACD ＋S △BCD ＋ S △ABC ＝ 30＋6 5.5．将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 BD ＝ a ，则三棱锥 D － ABC 的体积为 ( 3 ) 3a aA. 6B. 12332 3C. 12 aD. 12 a分析： 选 D. 设正方形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 订交于点 E ，沿 AC 折起后，依题意得：当 BD ＝ a 时，BE ⊥DE ，∴DE ⊥面 ABC ，∴三棱锥 D －ABC 的高为 DE ＝2 1 1 2 22a ，∴V D － ABC ＝ ·a ·3 2 223a ＝ 12 a .二、填空题6． (2012 高·考辽宁卷 ) 一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为 ________．分析：由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为 2 的圆柱， 下方是一个长、 宽、高分别为 4、 3、 1 的长方体，如下图，它的体积V ＝1× π＋ 4×3× 1＝ 12＋ π.答案： 12＋ π 7.如图，已知正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，O 为底面正方形 ABCD 的中心，则三棱锥 B 1－BCO 的体积为 ________．1 1 1 1 2× 2×2 2分析： V ＝ S △BOC ·B 1B ＝ 3 × BO ·BC ·sin45 ·°B 1B ＝ × 2 ×2＝ .3 2 6 3答案： 238． (2013 东·营质检 )以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为极点作圆锥，则 该圆锥与圆柱等底等高． 若圆锥的轴截面是一个正三角形， 则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积 之比为 ________．分析： 设圆锥底面半径为 r ，则母线长为 2r ，高为3r ，∴圆柱的底面半径为 r ，高为 3r ，S 2πr · 3r圆柱侧 ＝ πr ·2r ＝ 3.∴S圆锥侧答案： 3∶ 1三、解答题9．已知圆台的母线长为4 cm ，母线与轴的夹角为 30°，上底面半径是下底面半径的 1，2求这个圆台的侧面积．解： 如图是将圆台复原为圆锥后的轴截面， 由题意知 AC ＝ 4 cm ，∠ASO ＝30°，1O 1 C ＝ 2OA ，设 O 1C ＝ r ，则 OA ＝ 2r ， O 1C OA又 SC ＝ SA ＝ sin30 °，∴SC ＝ 2r ， SA ＝ 4r ，∴AC ＝ SA － SC ＝ 2r ＝ 4 cm ，∴r ＝ 2 cm.因此圆台的侧面积为S ＝π(r ＋2r) ×4＝ 24π(cm 2)．10．已知三棱锥的极点在底面上的射影是底面正三角形的中心，三棱锥的侧棱长为 10 cm ，侧面积为 144 cm 2，求棱锥的底面边长和高．解：如下图，三棱锥S － ABC 中， SA ＝ 10.设高 SO ＝h ，底面边长为AB ＝ a.连结 AO 并延伸交 BC 于点 D ，连结 SD ，∴S 侧＝ 1× 3a × SD ＝ 144，即21× 3a ×102a 22－ 2 ＝ 144. ∴底面边长 a ＝12 cm.∴SD ＝ 8.又在 Rt △SOD 中，h 2＝ SD 2－ OD 2＝ 82－ ( 63a)2＝64－ 121×122＝ 52.∴高SO ＝ h ＝ 2 13 cm.一、选择题1．(2012 高·考课标全国卷 )平面 α截球 O 的球面所得圆的半径为1，球心 O 到平面 α的距离为2，则此球的体积为 ()A. 6π B ． 4 3π C ． 4 6πD ．6 3π分析：选 B. 设球的半径为 R ，由球的截面性质得 R ＝2 2＋12＝ 3，因此球的体积 V43＝ 3πR ＝ 4 3π.2．已知正四棱锥 S － ABCD 中，SA ＝ 2 3，那么当该棱锥的体积最大时， 它的高为 ()A ． 1 B. 3C ． 2D ．3分析：选 C.如下图，设正四棱锥S － ABCD 的高 SO ＝ h.在 Rt △SOA 中， SA ＝ 2 3，2∴OA ＝ 12－ h . ∴AB ＝ 2· 12－ h 2.∴V S －ABCD ＝ V(h)＝13·2(12－h 2) ·h13＝ 3(－ 2h ＋24h)(0< h<2 3)．12令 V ′ (h)＝ 3(24－ 6h )>0 ，得 0< h<2.故当 0<h<2 时， V(h)单一递加；当∴h ＝2 时 V(h)取最大值．2<h<2 3时， V(h)单一递减．二、填空题 3.(2012 高·考江苏卷 )如图，在长方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中， AB ＝ AD ＝ 3 cm ， AA 1＝ 2 cm ，3则四棱锥 A － BB 1D 1D 的体积为 ________cm .分析： 法一： 连结 AC 交 BD 于 O ，在长方体中，∵AB ＝ AD ＝3，∴BD ＝ 3 2且 AC ⊥BD. 又∵BB 1⊥底面 ABCD ，∴BB 1⊥AC.又 DB ∩BB 1＝ B ，∴AC ⊥平面 BB 1 D 1D ，1 3 2∴AO 为四棱锥 A － BB 1 D 1D 的高且 AO ＝2BD ＝ 2 . ∵S 矩形 BB 1D 1D ＝BD × BB 1＝ 3 2× 2＝ 6 2，11 3 23 ∴VA － BB 1D 1D ＝ 3S 矩形 BB 1D 1D ·AO ＝ 3× 6 2× 2 ＝ 6(cm )．法二： 由题意得 VA － BB 1D 1D ＝2VABD － A 1B 1D 1＝2× 1× 3× 3× 2＝ 6(cm 3 )．3 3 2答案： 6 4．已知一个圆柱的底面直径与高均为2R ，一个圆锥的底面直径与高均为 2r ，若圆柱的表面积与圆锥的表面积相等，则R 2∶ r 2＝ ________.分析： 圆柱的表面积 S 1＝ 2πR 2＋ 2πR ·2R ＝ 6πR 2.圆锥的母线 l ＝ 2r2＋ r 2＝ 5r .圆锥的表面积 S 2＝ πr 2＋12× 2πr ×5r ＝ (5＋ 1)πr 2.由 S 1＝ S 2 得 6πR 2＝ ( 5＋ 1)πr 2，因此 R 2∶r 2＝ ( 5＋ 1)∶6.答案： ( 5＋ 1)∶6 三、解答题 5.如图，在长方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中， AD ＝AA 1＝ 1， AB ＞1，小蚂蚁从点 A 沿长方体的表面爬到点 C 1 ，所爬的最短行程为 2 2.(1)求 AB 的长度；(2)求该长方体外接球的表面积．解： (1)设 AB＝ x，点 A 到点 C1可能有两种门路，如图甲的最短行程为|AC1 |＝x2＋4.如图乙的最短行程为|AC1|＝x＋ 1 2＋1＝x2＋ 2x＋2，∵x＞ 1，∴x2＋ 2x＋2＞ x2＋ 2＋ 2＝ x2＋ 4，故从点 A 沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为 x2＋ 4.由题意得x2＋ 4＝ 2 2，解得 x＝2.即 AB 的长度为 2.(2)设长方体外接球的半径为R，则(2R)2＝ 12＋ 12＋ 22＝ 6，∴R2＝32，∴S 表＝ 4πR2＝6π.即该长方体外接球的表面积为6π.。

第2讲空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2．柱、锥、台和球的表面积和体积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( )(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )(3)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.( )(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(2016·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20πB．24πC．28πD．32π答案 C解析由三视图可得圆锥的母线长为22＋32＝4，∴S圆锥侧＝π×2×4＝8π.又S圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C.(2)(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________ cm3.答案72 32解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，所以该几何体的体积V＝2×2×4×2＝32 cm3，表面积S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72 cm2.(3)(2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是 .答案 32解析 设球O 的半径为R ，∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，圆柱O 1O 2的底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32. (4)已知某棱台的上、下底面面积分别为63和243，高为2，则其体积为________． 答案 28 3解析 由已知得此棱台的体积 V ＝13(63＋243＋ 63×24 3 )×2＝13×423×2＝28 3.题型 一 空间几何体的表面积1．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π答案 B解析 根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S ＝2π(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.2．(2018·四川南充诊断)如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图，其俯视图是面积为82的矩形，则该几何体的表面积是( )A ．20＋8 2B ．24＋8 2C ．8D ．16答案 A解析 此几何体是一个三棱柱，且其高为8222＝4，由于其底面是等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为12×2×2＝2.又此三棱柱的高为4，故其侧面积为(2＋2＋22)×4＝16＋82，表面积为2×2＋16＋82＝20＋8 2.3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5答案 C解析 根据三视图画出该空间几何体的立体图：S △ABC ＝12×2×2＝2； S △ABD ＝12×5×1＝52； S △CBD ＝12×5×1＝52； S △ACD ＝12×2×5＝5，所以 S 表＝S △ABC ＋S △ABD ＋S △CBD ＋S △ACD＝2＋52＋52＋5＝25＋2.故选C.三类几何体表面积的求法已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.73B.172C ．13 D.17＋3102答案 C解析 由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示．则CC ′⊥平面ABC ，上下底均为等腰直角三角形，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，A ′C ′＝B ′C ′＝C ′C ＝2，∴AB ＝2，A ′B ′＝2 2.∴棱台的上底面积为12×1×1＝12，下底面积为12×2×2＝2，梯形ACC ′A ′的面积为12×(1＋2)×2＝3，梯形BCC ′B ′的面积为12×(1＋2)×2＝3，过A作AD ⊥A ′C ′于D ，过D 作DE ⊥A ′B ′，则AD ＝CC ′＝2，DE 为△A ′B ′C ′斜边高的12，∴DE ＝22，∴AE ＝AD 2＋DE 2＝32，∴梯形ABB ′A ′的面积为12×(2＋22)×32＝92，∴几何体的表面积S ＝12＋2＋3＋3＋92＝13.题型 二 空间几何体的体积角度1 根据几何体的三视图计算体积1．(2018·汕头一模)如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为( )A ．15B ．16 C.503D.533答案 C解析 由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面，高为5的四棱锥P －A 1D 1FE ，其体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4＋12×2×2×5＝503.角度2 根据几何体的直观图计算体积2. (2018·天津高考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________．答案112解析 依题意得：该四棱锥M －EFGH 为正四棱锥，其高为正方体棱长的一半，即为12，正方体EFGH 的边长为22，其面积为12，所以四棱锥M －EFGH 的体积V M －EFGH ＝13Sh ＝13×12×12＝112.求体积的常用方法1．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 C解析 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面面积S ＝＋2＝3，高h ＝2，所以V ＝Sh ＝6.2．祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等．则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图所示，将底面直径皆为2b ，高皆为a 的半椭球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面在距平面β任意高度d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S 圆＝S 环总成立，据此，短轴长为4 cm ，长轴长为6 cm 的椭球体的体积是________cm 3.答案 16π解析 因为总有S 圆＝S 环，所以半椭球体的体积为V 圆柱－V 圆锥＝πb 2a －13πb 2a ＝23πb 2a .又2a ＝6,2b ＝4，即a ＝3，b ＝2，所以椭球体的体积V ＝43πb 2a ＝4π3×22×3＝16π.题型 三 几何体与球的切、接问题1．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310答案 C解析 解法一：如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝1232＋42＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝132.解法二：将直三棱柱补形为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1，则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球．所以体对角线BC 1的长为球O 的直径．因此2R ＝32＋42＋122＝13.故R ＝132.2．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3答案 B解析 如图所示，点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 的中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 体积最大，此时，OD ＝OB ＝R ＝4.∵S △ABC ＝34AB 2＝93， ∴AB ＝6，∵点M 为三角形ABC 的重心， ∴BM ＝23BE ＝2 3，∴在Rt △OMB 中，有OM ＝OB 2－BM 2＝2. ∴DM ＝OD ＋OM ＝4＋2＝6，∴(V 三棱锥D －ABC )max ＝13×93×6＝18 3.故选B.条件探究1 若将举例说明2中的三棱锥D －ABC 满足的条件改为“AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90°”，计算球O 的体积．解 设A 到平面BCD 的距离为h ，∵三棱锥的体积为3，BC ＝3，BD ＝3，∠CBD ＝90°， ∴13×12×3×3×h ＝3， ∴h ＝2，∴球心O 到平面BCD 的距离为1.设CD 的中点为E ，连接OE ，则由球的截面性质可得OE ⊥平面CBD ，∵△BCD 外接圆的直径CD ＝23，∴球O 的半径OD ＝2，∴球O 的体积为32π3.条件探究2 若将举例说明1的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2”，求该球的体积．解 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.1．解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：2．三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球(1)依据：长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)方法：补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．如举例说明1解法二．1．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．答案9π2解析 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3. 设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.2．某几何体的三视图如图所示，正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积是________．答案13π3解析 如图，易知等腰梯形的外心为下底的中点M ，设该几何体的外接球的球心为O ，半径为R ，OM ＝h ，则⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝h 2＋1，R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－h 2，整理得R 2＝1312，所以S 球表＝13π3.高频考点 三视图与空间几何体表面积、体积的综合问题考点分析 三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积、体积等知识，所涉及的几何体既包括柱、锥、台、球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体．[典例1] (2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π答案 B解析 (割补法) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.[典例2] 某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是( )A ．22＋23＋2B ．32＋23＋3C ．22＋3＋2D ．32＋3＋3答案 D解析 由已知的四棱锥三视图，可得该四棱锥的直观图如图所示：其底面面积为S 矩形ABCD ＝2×2＝22，侧面S △PBC ＝12×2×1＝1，S △PCD ＝12×2×2＝2，S △PAB ＝12×2×2＝2，S △PAD ＝12×2×22＋22＝3，所以四棱锥的表面积为S ＝22＋1＋2＋2＋3＝3＋32＋ 3.所以D 正确．。

2020年高考数学一轮复习—空间几何体的三视图、表面积与体积A 组——10＋7提速练一、选择题1.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，则它的正视图为( )解析：选B 根据题中侧视图和俯视图的形状，判断出该几何体是在一个正方体的上表面上放置一个四棱锥(其中四棱锥的底面是边长与正方体棱长相等的正方形、顶点在底面上的射影是底面一边的中点)，结合选项知，它的正视图为B.2．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为(2＋4)×22×2＝12，故选B.3．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3 解析：选A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.4．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．80B ．160C ．240D ．480解析：选B 如图所示，题中的几何体是从直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中截去一个三棱锥A -A ′B ′C ′后所剩余的部分，其中底面△ABC 是直角三角形，AC ⊥AB ，AC ＝6，AB ＝8，BB ′＝10.因此题中的几何体的体积为12×6×8×10－13×12×6×8×10＝23×12×6×8×10＝160，故选B.5．(2018·湖州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为( )A. 5 B ．2 2 C ．3D ．2 3解析：选C 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D 1-MNB 1，故通过计算可得，D 1B 1＝22，D 1M ＝B 1N ＝5，MN ＝2，MB 1＝ND 1＝3，故该三棱锥中最长棱的长为3.6．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．72＋6πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．48＋4π解析：选A 由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×2×2＋14×2π×2×4＝72＋6π，故选A. 7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A ．207B ．216－9π2C ．216－36πD ．216－18π解析：选B 由三视图知，该几何体是一个棱长为6的正方体挖去14个底面半径为3，高为6的圆锥而得到的，所以该几何体的体积V ＝63－14×13×π×32×6＝216－9π2，故选B.8．(2018·贵阳检测)三棱锥P -ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O ，半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR 33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P -ABC 的高的最大值为5＋3＝8，故选C.9.(2019届高三·浙江第二次联考)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．15π4C ．33π4D ．6π解析：选B 由三视图还原直观图知，该几何体为底面半径为1，高为3的圆锥挖去一个球心为圆锥底面圆的圆心且与圆锥相切的半球，易知圆锥的母线长为2，则圆锥的轴截面为边长为2的等边三角形，球的半径为32，故该几何体的表面积为π×1×2＋12×4π×⎝⎛⎭⎫322＋π×12－π×⎝⎛⎭⎫322＝15π4，故选B.10．(2018·嘉兴高三期末)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm 2)是( )A ．36＋24 2B ．36＋12 5C ．40＋24 2D ．40＋12 5解析：选B 由三视图可知该几何体为一正方体和一正四棱台的简单组合体．正方体的棱长为2 cm ，正四棱台上底面的边长为2 cm ，下底面的边长为4 cm ，棱台的高为2 cm ，可求得正四棱台的斜高为22＋12＝5(cm)，故该几何体的表面积S ＝22×5＋12×(2＋4)×5×4＋42＝36＋125(cm 2)．故选B.二、填空题11．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的________．解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为 12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为13×6×2＝4.而直三棱柱的体积为12×2×2×4＝8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的12.答案：1212．(2019届高三·浙江名校联考)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是________，该几何体的表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，由3＝13×12×3×(1＋2)x ，解得x ＝2.作出该几何体的直观图并标注相应棱的长度如图所示，则S 表＝12×3×(1＋2)＋12×2×3＋12×22＋12×2×7＋12×1×7＝53＋37＋42.答案：253＋37＋4213．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．解析：由三视图作出该空间几何体的直观图(如图所示)，可知其表面积为12×1×2＋12×5×2＋12×1×2＋12×2×5＝2＋25，体积为13×12×1×2×2＝23.答案：2＋252314．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，球O 与正方体的各条棱都相切，M 为球O 上的一点，点N 是△ACB 1外接圆上的一点，则线段MN 长度的取值范围是________．解析：易求得棱切球的半径为2，易知△ACB 1为正三角形，则球心O 到△ACB 1的外接圆上任意一点的距离均为12＋(2)2＝3，于是OM ＝2，ON ＝ 3.因为|OM －ON |≤|MN |≤|OM ＋ON |，所以线段MN 长度的取值范围是[3－2，3＋2]．答案：[3－2，3＋2]15．(2018·浙江高考数学原创猜题卷)已知一个空间几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则这个几何体的体积为________cm 3，表面积为________cm 2.解析：由三视图可知，空间几何体是一个四棱锥，该四棱锥的底面为直角梯形，一条侧棱与底面垂直．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，因为AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝2 cm ，BC ＝4 cm ，所以CD ＝2 2 cm.因为PA ＝2 cm ，AD ＝AB ＝2 cm ，所以PD ＝PB ＝2 2 cm ，连接AC ，易得AC ＝2 5 cm ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PC ＝PA 2＋AC 2＝2 6 cm ，所以该几何体的体积为13×(2＋4)×22×2＝4 cm 3.易得S 梯形ABCD ＝(2＋4)×22＝6 cm 2， S △PAB ＝12×2×2＝2 cm 2，S △PAD ＝12×2×2＝2 cm 2，S △PBC ＝12×22×4＝4 2 cm 2，△DPC 中，PC 边上的高为(22)2－(6)2＝ 2 cm ， 所以S △PDC ＝12×26×2＝2 3 cm 2，所以该几何体的表面积为6＋2＋2＋23＋42＝(10＋23＋42)cm 2. 答案：4 (10＋23＋42)16．某几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直径为2的半圆和一个正三角形组成，则此几何体的体积是________，表面积是________．解析：由题意可知，该几何体是由一个正三棱柱和半个圆柱组合而成的，正三棱柱的底面边长为2，高为4，半圆柱的底面半径为1，高为4，所以V ＝12×2×3×4＋12π×12×4＝43＋2π，表面积S ＝2×4×2＋12×3×2×2＋π×12＋π×1×4＝16＋23＋5π.答案：43＋2π 16＋23＋5π 17．已知在三棱锥P -ABC 中，V P -ABC ＝433，∠APC ＝π4，∠BPC ＝π3，PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P -ABC 外接球的体积为________．解析：如图，取PC 的中点O ，连接AO ，BO ，设PC ＝2R ，则OA＝OB ＝OC ＝OP ＝R ，∴O 是三棱锥P -ABC 外接球的球心，易知，PB ＝R ，BC ＝3R ，∵∠APC ＝π4，PA ⊥AC ，O 为PC 的中点，∴AO ⊥PC ，又平面PAC ⊥平面PBC ，且平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，∴AO ⊥平面PBC ，∴V P -ABC ＝V A -PBC ＝13×12×PB ×BC ×AO ＝13×12×R ×3R ×R ＝433，解得R ＝2，∴三棱锥P -ABC 外接球的体积V ＝43πR 3＝32π3.答案：32π3B 组——能力小题保分练1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．16B ．20C ．52D ．60解析：选B 由三视图知，该几何体由一个底面为直角三角形(直角边分别为3,4)，高为6的三棱柱截去两个等体积的四棱锥所得，且四棱锥的底面是矩形(边长分别为2,4)，高为3，如图所示，所以该几何体的体积V ＝12×3×4×6－2×13×2×4×3＝20，故选B.2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥外接球的表面积为( )A ．136πB ．34πC ．25πD ．18π解析：选B 由三视图知，该四棱锥的底面是边长为3的正方形，高为4，且有一条侧棱垂直于底面，所以可将该四棱锥补形为长、宽、高分别为3,3,4的长方体，该长方体外接球的半径R 即为该四棱锥外接球的半径，所以2R ＝32＋32＋42，解得R ＝342，所以该四棱锥外接球的表面积为4πR 2＝34π，故选B. 3．如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．45π＋96B ．(25＋6)π＋96C ．(45＋4)π＋64D ．(45＋4)π＋96解析：选D 由三视图可知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积为S ＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96.4．设球O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球，若平面ACD 1截球O 所得的截面面积为6π，则球O 的半径为( )A ．32B ．3C ．32D ． 3解析：选B 如图，易知B 1D 过球心O ，且B 1D ⊥平面ACD 1，不妨设垂足为M ，正方体棱长为a ，则球半径R ＝a 2，易知DM ＝13DB 1，∴OM ＝16DB 1＝36a ，∴截面圆半径r ＝⎝⎛⎭⎫a 22－OM 2＝66a ，由截面圆面积S ＝πr 2＝6π，得r ＝66a ＝6，a ＝6，∴球O 的半径为R ＝a 2＝3. 5.如图所示，等腰△ABC 的底边AB ＝66，高CD ＝3，点E 是线段BD 上异于点B ，D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P -ACFE 的体积，则V (x )的最大值为________．解析：因为PE ⊥EF ，PE ⊥AE ，EF ∩AE ＝E ， 所以PE ⊥平面ABC . 因为CD ⊥AB ，FE ⊥AB ， 所以EF ∥CD ，所以EF CD ＝BEBD ，即EF 3＝x 36，所以EF ＝x 6， 所以S △ABC ＝12×66×3＝96，S △BEF ＝12×x ×x 6＝612x 2，所以V (x )＝13×⎝⎛⎭⎫96－612x 2x ＝63x ⎝⎛⎭⎫9－112x 2(0＜x ＜36)． 因为V ′(x )＝63⎝⎛⎭⎫9－14x 2， 所以当x ∈(0,6)时，V ′(x )＞0，V (x )单调递增；当6＜x ＜36时，V ′(x )＜0，V (x )单调递减，因此当x ＝6时，V (x )取得最大值12 6. 答案：12 66．已知A ，B ，C 是球O 的球面上三点，且AB ＝AC ＝3，BC ＝33，D 为该球面上的动点，球心O 到平面ABC 的距离为球半径的一半，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为______．解析：如图，在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝3，BC ＝33， ∴由余弦定理可得cos A ＝32＋32－(33)22×3×3＝－12，∴sin A ＝32. 设△ABC 外接圆O ′的半径为r ， 则3332＝2r ，得r ＝3. 设球的半径为R ，连接OO ′，BO ′，OB ， 则R 2＝⎝⎛⎭⎫R 22＋32，解得R ＝2 3. 由图可知，当点D 到平面ABC 的距离为32R 时，三棱锥D -ABC 的体积最大，∵S △ABC ＝12×3×3×32＝934，∴三棱锥D -ABC 体积的最大值为13×934×33＝274.答案：274。

第二讲 空间几何体的表面积与体积知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 柱、锥、台和球的侧面积和体积侧面积 体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝_S 底·h__＝πr 2h圆锥 S 侧＝_πrl __ V ＝13S 底·h＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝_ch__ V ＝_S 底h__ 正棱锥 S 侧＝12ch′V ＝13S 底h 正棱台 S 侧＝12(c ＋c′)h′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h 球S 球面＝_4πR 2V ＝43πR 3 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各面面积之和__.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_矩形__、_扇形__、_扇环形__；它们的表面积等于_侧面积__与底面面积之和．重要结论1．长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：r ＝_a 2＋b 2＋c22__(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： (1)外接球：球心是正方体中心；半径r ＝_32a__(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体中心；半径r ＝_a2__(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝_22a__(a 为正方体的棱长)． 3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_64a__(a 为正四面体的棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_612a__(a 为正四面体的棱长)． 双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则R ＝32a.( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( B ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．32cm [解析] 由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧πrl＋πr 2＝12π2πrl ＝π，∴3r 2＝12，∴r ＝2.题组三 走向高考3．(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C ) A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π[解析] 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线长的一半， 即R ＝232＋232＋2322＝3，所以，这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.故选：C ．4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π[解析] 设圆柱底面半径为r ，则4r 2＝8，即r 2＝2.∴S 圆柱表面积＝2πr 2＋4πr 2＝12π.5．(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A ．73 B ．143C ．3D ．6[解析] 由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面．棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝13＋2＝73.故选：A ．考点突破·互动探究考点一 几何体的表面积——自主练透例1 (1)(2021·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( C )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5(2)(2021·安徽江南十校联考)已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( B )A ．78－9π2B ．78－9π4C ．78－πD ．45－9π2(3)(多选题)(2021·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( AB )A ．2πB ．(1＋2)πC ．22πD ．(2＋2)π[解析] (1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C ．(2)由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示．∴S ＝3×3×2＋3×5×4－27π4＋9π2＝78－94π.故选B ．(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为π＋2π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为2π，故选A 、B ．名师点拨空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．〔变式训练1〕(2020·河南开封二模)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是( C )A ．6B ．8＋4 6C ．4＋2 6D ．4＋ 6[解析] 由三视图得几何体如图所示，该几何体是一个三棱锥，底面是一个底和高均为2的等腰三角形，一个侧面是一个底和高均为2的等腰三角形，另外两个侧面是腰长为AC ＝AB ＝22＋12＝5， 底边AD 长为22的等腰三角形， 其高为52－22＝3，故其表面积为S ＝2×12×22＋2×12×22×3＝4＋2 6.故选C ．考点二 几何体的体积——师生共研例2 (1)(2021·浙江金色联盟百校联考)一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为( )cm 3.( A )A ．π6＋13B ．π3＋16C ．π6＋16D ．π3＋13(2)(2021·云南师大附中月考)如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是( D )A ．56 B ．83 C ．1D ．163(3)(2021·湖北武汉部分学校质检)某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_83π3__.(4)(2020·江苏省南通市通州区)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，且C 1P ＝2PC ．设三棱锥P － D 1DB 的体积为V 1，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V ，则V 1V 的值为_16__.[解析] (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm ，高为1 cm 的半个圆锥和三棱锥S －ABC 组成的，如图，三棱锥的高为SO ＝1 cm ，底面△ABC 中，AB ＝2 cm ，AC ＝1 cm ，AB ⊥AC ．故其体积V ＝13×12×π×12×1＋13×12×2×1×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋13cm 3.故选A ．(2)由题意三视图对应的几何体如图所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即V ＝23－2×13×12×2×2×2＝163，故选D ．(3)该圆锥母线为4，底面半径为2，高为23， V ＝13×π×22×23＝83π3. (4)设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长AB ＝BC ＝a ，高AA 1＝b ， 则VABCD －A 1B 1C 1D 1＝S 四边形ABCD ×AA 1＝a 2b ，VP －D 1DB ＝VB －D 1DP ＝13S △D 1DP·BC＝13×12ab·a＝16a 2b ，∴VP －D 1DB VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16，即V 1V ＝16.[引申]若将本例(2)中的俯视图改为，则该几何体的体积为_83__，表面积为_83__.[解析] 几何体为如图所示的正三棱锥(棱长都为22)． ∴V ＝8－4×43＝83，S ＝4×34×(22)2＝8 3.名师点拨求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体 积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换注：若以三视图的形式给出的几何体问题，应先得到直观图，再求解． 〔变式训练2〕(1)(2020·海南)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A －NMD 1的体积为_13__.(2)(2021·开封模拟)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( C )A ．3B ．32 C ．1D ．32(3)(2017·浙江)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( A )A ．16 B ．13 C ．12D ．1(4)(2021·浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( B )A ．8B ．8πC ．16D ．16π[解析] (1)如图，∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，∴S △ANM ＝12×1×1＝12，∴VA －NMD 1＝VD 1－AMN ＝13×12×2＝13，故答案为：13.(2)如题图，在正△ABC 中，D 为BC 的中点，则有AD ＝32AB ＝3，又因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高，所以V 三棱锥A －B 1DC 1＝13·S△B 1DC 1·AD＝13×12×2×3×3＝1，故选C ．(3)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示．其底面是等腰直角三角形ACB ，直角边长为1，三棱锥的高为1，故体积V ＝13×12×1×1×1＝16.故选A ．(4)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：12×22π×4＝8π.故选B ．考点三 球与几何体的切、接问题——多维探究角度1 几何体的外接球例3 (1)(2021·河南中原名校质量测评)已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，若外接球的表面积为16π，则PA ＝_23或2__.(2)(2020·新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( A )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π(3)(2019·全国)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E 、F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( D )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π[解析] (1)由外接球的表面积为16π，可得其半径为2，设△ABC 的中心为O 1，则外接球的球心一定在PO 1上，由正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，得AO 1＝3，在Rt △AOO 1中，由勾股定理可得(PO 1－2)2＋(3)2＝22，解得PO 1＝3或PO 1＝1，又PA 2＝PO 21＋AO 21，故PA ＝9＋3＝23或PA ＝1＋3＝2，故答案为：23或2.(2)由题意可知图形如图：⊙O 1的面积为4π， 可得O 1A ＝2， 则ABsin60°＝2O 1A ＝4，∴AB ＝4sin60°＝23，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝23，外接球的半径为：R＝AO21＋OO21＝4，球O的表面积为：4×π×42＝64π，故选A．(3)∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，∴P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，又E，F分别为PA、AB中点，∴EF∥PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，∴PA＝PB＝PC＝2，∴P－ABC为正方体一部分，2R＝2＋2＋2＝6，即R＝62，∴V＝43πR3＝43π×668＝6π.名师点拨几何体外接球问题的处理(1)解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．注意：不共面的四点确定一个球面．角度2 几何体的内切球例4 (1)(2020·新课标Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_23π__. (2)(2021·安徽蚌埠质检)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，AD 的中点，把△AEF ，△CBE ，△CFD 折起构成一个三棱锥P －CEF(A ，B ，D 重合于P 点)，则三棱锥P －CEF 的外接球与内切球的半径之比是_26__.[解析] (1)因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图，圆锥母线BS ＝3，底面半径BC ＝1， 则其高SC ＝BS 2－BC 2＝22， 不妨设该内切球与母线BS 切于点D ， 令OD ＝OC ＝r ，由△SOD ∽△SBC ，则OD OS ＝BCBS ，即r22－r ＝13，解得r ＝22，V ＝43πr 3＝23π，故答案为：23π.(2)不妨设正方形的边长为2a ，由题意知三棱锥P －CEF 中PC 、PF 、PE 两两垂直，∴其外接球半径R ＝PC 2＋PF 2＋PE 22＝62a ，下面求内切球的半径r ，解法一(直接法)：由几何体的对称性知，内切球的球心在平面PCH(H 为EF 的中点)内，M 、N 、R 、S 为球与各面的切点，又22＝tan ∠CHP ＝tan2∠OHN ， ∴tan ∠OHN ＝22＝rNH，∴NH ＝2r ， 又PN ＝2r ，∴22r ＝PH ＝22a ，∴r ＝a 4. 解法二(体积法)：V C －PEF ＝13r·(S △PEF ＋S △PCE ＋S △PCF ＋S △CEF )，∴a 3＝r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＋a 2＋2a 2×32a 2，∴r ＝a 4，故R r ＝6a 2·4a＝2 6.名师点拨几何体内切球问题的处理(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．(2)利用体积法求多面体内切球半径． 〔变式训练3〕(1)(角度1)(2020·南宁摸底)三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝ PB ＝ PC ＝3，PA ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( B )A ．27π2B ．273π2C ．273πD ．27π(2)(角度1)(2021·山西运城调研)在四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝23，BC ＝6，AD ⊥平面ABC ，四面体ABCD 的体积为 3.若四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( B )A ．49π4B ．49πC ．49π2D ．4π(3)(角度2)棱长为a 的正四面体的体积与其内切球体积之比为_63π__.[解析] (1)因为三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，所以△PAB ≌△PBC ≌△PAC ．因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PC ⊥PB ．以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P －ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3323＝273π2.故选B ．(2)如图，H 为BC 的中点，由题意易知AH ＝3，设△ABC 外接圆圆心为O 1，则|O 1C|2＝32＋(3－|O 1C|)2，∴|O 1C|＝23，又12×6×3×|AD|3＝3，∴|AD|＝1，则|OA|2＝|O 1C|2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝494，∴S 球O ＝4πR 2＝49π，故选B ．(3)如图，将正四面体纳入正方体中，显然正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD 的中心O 1都在正方体的对角线上，设正四面体的棱长为a ，则|AO|＝64a ，又|O 1A|＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，∴内切球半径|OO 1|＝612a ，∴V 正四面体V 内切球＝13×34a 2×63a4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫612a 3＝63π.名师讲坛·素养提升 最值问题、开放性问题例5 (1)(最值问题)(2018·课标全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( B )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3(2)(2021·四川凉山州模拟)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝12，AB ＝2，若四面体A －B 1CD 1的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为( C )A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π[解析] (1)设等边△ABC 的边长为a ，则有S △ABC ＝12a·a·sin 60°＝93，解得a ＝6.设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，则球心到平面ABC 的距离为42－232＝2，所以点D 到平面ABC 的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝183，故选B ．(2)设BC ＝x ，BB 1＝y ，由于V ＝12，所以xy ＝6.根据长方体的对称性可知四面体A －B 1CD 1的外接球即为长方体的外接球， 所以r ＝4＋x 2＋y22，所以S ＝4πr 2＝π(4＋x 2＋y 2)≥π(4＋2xy)＝16π， (当且仅当x ＝y ＝6，等号成立)． 故选C ．名师点拨立体几何中最值问题的解法(1)观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．(2)设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或导数计算最值．例6 (开放性问题)若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值为_116⎝ ⎛⎭⎪⎫或1412等__(只需写一个可能值)． [解析] 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝AD ＝2，BC ＝1，取AD 的中点H ，则CH ＝BH ＝3，且AH ⊥平面BCH ，又S △BCH ＝114，∴V A －BCD ＝13S △BCH ×2＝116. 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝1，同理可求得V A －BCD ＝1412.〔变式训练4〕(2021·河南阶段测试)四面体ABCD 中，AC ⊥AD ，AB ＝2AC ＝4，BC ＝25，AD ＝22，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是_28π__.[解析] 由已知可得BC 2＝AC 2＋AB 2，所以AC ⊥AB ，又因为AC ⊥AD ，所以AC ⊥平面ABD ，四面体ABCD 的体积V ＝13AC·12AB·ADsin∠BAD ，当∠BAD ＝90°时V 最大，把四面体ABCD 补全为长方体，则它的外接球的直径2R 即长方体的体对角线，(2R)2＝AD 2＋AC 2＋AB 2＝28，所以外接球的表面积为4πR 2＝28π.。

2020年高考数学（理）总复习： 空间几何体的三视图、表面积与体积题型一 空间几何体的三视图与直观图【题型要点】 三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图．由三视图还原几何体的步骤(1)根据俯视图确定几何体的底面；(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置；(3)确定几何体的形状，即可得到结果．【例1】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16【例2】．已知某锥体的正(主)视图和侧(左)视图如图，则该锥体的俯视图不可能是( )题组训练一 空间几何体的三视图与直观图1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．12 B．18C．24 D．30题型二空间几何体的表面积与体积【题型要点】(1)求解几何体的表面积及体积的技巧①求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．②求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．(2)根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤第一步：根据给出的三视图判断该几何体的形状．第二步：由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．第三步：套用相应的面积公式与体积公式计算求解．【例3】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90π B．63πC．42π D．36π【例4】．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为12π＋8，则该几何体的表面积为()A．18π＋82＋4 B．20π＋8 2C．10π＋4 2 D．45π＋272＋9题组训练二空间几何体的表面积与体积1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示(单位：cm)，则该“阳马”的外接球的体积为()A ．100π cm 3B.500π3 cm 3C ．400π cm 3D.4 000π3cm 32．由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为________．3．一个四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该几何体的体积为( )A.223B.43 C. 2D ．4题型三 多面体与球 【题型要点】(1)解决球与几何体的切、接问题的关键在于确定球的半径与几何体的度量之间的关系，这就需要灵活利用球的截面性持以及组合体的截面特征来确定．对于旋转体与球的组合体，主要利用它们的轴截面性质建立相关数据之间的关系；而对于多面体，应抓住多面体的结构特征灵活选择过球心的截面，把多面体的相关数据和球的半径在截面图形中体现出来．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．【例5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为( )A.43πB.32327πC.28327πD.282127π【例6】．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2 D.π4题组训练三 多面体与球1．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角B －AD －C ，则三棱锥B －ACD 的外接球的表面积为( )A ．5π B.203π C ．10πD ．34π 2．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3题型四 转化思想在三视图与直观图中的应用空间几何体的三视图还原为直观图求其表面积与体积能让学生经历由三视图到实物图，再到直观图的过程，能较好地考查学生的空间想象能力，命题涉及几何体的结构特征、表面积和体积问题是课标区高考的热点之一．(1)根据三视图判断空间几何体的形状，应特别注意三个视图中的实线与虚线，知道为什么是实线或虚线，为什么有这些线或没有某些线，对于正视图、侧视图中的直角，更要弄清楚它们是直角的原因．(2)要弄清三视图的有关数据与空间几何体的哪些数据相当，只需搞清由空间几何体如何得到三视图即可，平时应多加练习，总结规律．【例7】 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________cm 3.题组训练四 转化思想在三视图与直观图中的应用1.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱与最短的棱所成角的余弦值是( )A.22B.32 C.12D.33【专题训练】 一、选择题1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 2．在正三棱锥S －ABC 中，点M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( )A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π3．如图所示是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.163πB.643C.16π＋643D ．16π＋644．如图所示，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为()5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P－BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为()A．1 B. 2C. 3 D．26．一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．24 B．48C．72 D．967．已知三棱锥S－ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB＝8，SC⊥平面ABC，SC＝6，则三棱锥的外接球的表面积为()A．64π B．68πC．72π D．100π8．下图中，是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为()A．32π B．48πC．50π D．64π9．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′­BCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A.32π B．3πC.23π D．2π10．一光源P在桌面A的正上方，半径为2的球与桌面相切，且P A与球相切，小球在光源P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是Rt△P AB，其中P A＝6，则该椭圆的短轴长为()A．6 B．8C．4 3 D．311．已知在三棱锥P—ABC中，P A⊥平面ABC，AB＝AC＝P A＝2，且在△ABC中，∠BAC＝120°，则三棱锥P —ABC 的外接球的体积为________．12．如图是某组合体的三视图，则内部几何体的体积的最大值为( )A.52()2－1π B.254()3－22π C ．25()3－22π D.1256()52－7π 二、填空题13．如图所示，三棱锥P －ABC 中， △ABC 是边长为3的等边三角形， D 是线段AB 的中点， DE ∩PB ＝E ，且DE ⊥AB ，若∠EDC ＝120°， P A ＝32， PB ＝332，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为________．14．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面AB 1C 1，AA 1＝1，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为________．15．已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，BD ＝CD ＝2，点E 是BC 的中点，点A 在平面BCD 上的射影恰好为DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为________．16．如图，四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD .若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，则四棱锥P －ABCD 的体积最大值为________．11。