5第五章 曲面和曲线

π θ j = min π − ∠Pj −1 Pj Pj +1 , , ∆P−1 = ∆Pn = 0
5.6 几何连续性
设计一条复杂形状曲线时，一般是通过多段简单曲线的拼接完 成的。这就涉及曲线在拼接处的连续性问题。 拼接曲线的连续性（或称光滑性）有两类度量方式： 一类称为参数连续性：如果曲线函数对表达它的特定参数具有直 达n阶的连续导矢，则称该曲线对此参数具有n阶参数连续性，简 称Cn连续。 另一类称为几何连续性：如果曲线函数对弧长参数具有直达n阶 的连续导矢，则称该曲线具有n阶几何连续性，简称Gn连续。 曲线光滑度的两类度量并无因果关系，都能描述曲线的光滑性。 由于弧长是几何量，所以几何连续性更能够代表曲线的光滑性。
多项式插值：
通过n＋1个数据点Pi（i＝0，1，n）和对应的参数ti （i＝0，1，···n） 可以构造n次插值多项式
p (u ) = ∑ a i t i
i =0
n
其中ai是与Pi维数一致的向量，例如三维。
多项式逼近：
随着控制点增多，多项式的次数不断增高，摆动剧烈，稳定性降低。而且 常常数据点是带有误差的，没有必要严格通过，这时可以用低阶多项式进行逼 近，逼近时采用的方法通常是最小二乘法：
i j P' (t ) × P' ' (t ) = − R ⋅ sin(t ) R ⋅ cos(t ) − R ⋅ cos(t ) − R ⋅ sin(t ) = k C 0
R ⋅ cos(t ) C − R ⋅ sin(t ) C − R ⋅ sin(t ) R ⋅ cos(t ) i− j+ k − R ⋅ sin(t ) 0 − R ⋅ cos(t ) 0 − R ⋅ cos(t ) − R ⋅ sin(t )
2）直纹面与可展曲面
如果曲面的两族等参数线：u线与v线中，有一组是直线，则称该曲面为直 纹面。它可以看成直线段在空间连续运动扫出的轨迹。直纹面上的直线族称为 母线。在直纹面上取一条曲线与所有母线相交，称之为准线。 在准线ρ=ρ(u)每一点的母线方向上给定一个非零矢量τ(u)。则直纹面方程可 以写为P(u,v)= ρ(u)+v τ(u)。当τ(u)为固定时，直纹面为柱面。当τ(u)为变矢量， 且准线缩为一点时，直纹面为锥面。机翼表面通常为直纹面。 如果直纹面沿它的每一条母线只有唯一的切平面（或者说沿直母线, 法向量 平行），则称该直纹面为可展曲面。可展曲面可以通过简单的弯曲来展平。圆 柱面和圆锥面都是可展的，曲线的切线曲面（曲线上所有点的切线的集合）也 是可展的，但机翼的直纹面就不一定。
5.6 几何连续性（续）
对于一般参数表达的多项式曲线的拼接，要想达到G2连续， 在连接点处必须满足： ① G0连续：即两段曲线首尾相接。 ② G1连续：要求两条曲线在首尾相接处的切矢方向相同。 因为两条曲线对弧长参数的导数都是单位矢，再加上方 向相同，就意味着两条曲线在首尾相接处的弧长参数一阶导 矢连续。 ③ G2连续：要求曲率相同，并且副法矢方向相同。 曲率相同保证了在首尾相接处弧长参数的二阶导矢大小 相同，副法矢方向相同又保证了弧长参数的二阶导矢方向 （主法矢）相同，即在首尾相接处弧长参数的二阶导矢连续。 对一般参数来说，主法矢是副法矢与单位切实的矢量积。
x2 y2 z2 + − =1 a 2 b2 c2
x2 y2 − =z a 2 b2
单叶双曲面和双曲抛物面都不是可展曲面
3）曲面的曲率性质
研究曲面的弯曲程度，通常是通过研究法截线的曲率来实现的。通过曲面上 一点法线的平面与曲面的交线称为法截线，法截线的曲率κn称为法曲率，围 绕法线旋转的每一个平面会产生一个法截线，因此曲面上一点的法曲率有无 穷多个，这些法曲率的最大值和最小值称为主曲率，而且两个主曲率所在的 方向是相互垂直的，称为主方向，其它方向的法曲率可以由主曲率计算： Κn＝ κ1cos2θ＋ κ2sin2θ 其中θ为该方向与主曲率的κ1所在主方向的夹角。 两个主曲率的乘积称为高斯曲率（Gaussian）或全曲率、总曲率。 两个主曲率的均值称为平均曲率或中曲率。 如果曲面上的一条曲线，其切线方向总是在一个主方向，这样的曲线称为曲 率线。
第五章 曲线和曲面
5.1 曲线的数学表示
1）显示表示：y=f(x) 2）隐式表示：f(x,y)=0 3）参数表示：P(t)=[x(t), y(t)]
在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性， 主要表现在： （1）容易满足几何不变性（与坐标系的选取无关）的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。 （3）可对参数方程直接进行几何变换，而不需要逐点变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。 （6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使得界定曲线、曲面的范围十分简单。 （7）易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。
5.2 曲线分析
1）曲线上的活动坐标架
设曲线为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]，则：
切矢量：P’(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。 法矢量：
过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。 主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢 称为主法矢，记为N。 副法矢（记为B）B=T×N
④ 修正弦长参数化法 ，在四种方法中效果最好：
t0 = 0 t j = t j −1 + K j ∆Pj −1 j = 1,2, ⋯, n
∆Pj θ j 3 ∆Pj − 2 θ j −1 K j = 1+ + 2 ∆Pj −2 + ∆Pj −1 ∆Pj −1 + ∆Pj 2
3
− R ⋅ sin(t ) R ⋅ cos(t ) ⋅ C = R 2C 0 = − R ⋅ cos(t ) − R ⋅ sin(t ) 0 R ⋅ C 2 + R2 ( R +C )
2 ) 2 + (−C ⋅ R ⋅ cos(t )) 2 + R 4 ( (− R ⋅ sin(t )) + ( R ⋅ cos(t )) + C )
注意：曲率和挠率是几何量，其值与参数的选择无关。
示例：左旋右旋螺旋线
当圆柱轴线平放时，用手握住圆柱并伸直拇指，拇指代表动点移动的 方向，其余四个手指代表动点的转动方向，符合右手为右旋螺旋线，如图 (ɑ)所示；符合左手为左旋螺旋线，如图 (b)所示。
(ɑ)右旋螺旋线
(b)左旋螺旋线
示例：螺旋线的曲率和挠率
2 a0 + a1 ⋅ t0 + a2 ⋅ t0 = p0
a0 + a1 ⋅ t1 + a2 ⋅ t12 = p1
2 a0 + a1 ⋅ t 2 + a2 ⋅ t 2 = p2 2 a0 + a1 ⋅ t3 + a2 ⋅ t3 = p3
1 1 1 1
t0 t1 t2 t3
2 t0 p0 a0 2 t1 p1 a = 2 1 p2 t 2 a 2 2 p t3 3
= C ⋅ R ⋅ sin(t ) ⋅ i − C ⋅ R ⋅ cos(t ) ⋅ j + R 2 ⋅ k C ⋅ R ⋅ sin(t ) = − C ⋅ R ⋅ cos(t ) R2 − R ⋅ sin(t ) R ⋅ cos(t ) C
( P' (t ), P' ' (t ), P' ' ' (t )) = − R ⋅ cos(t ) − R ⋅ sin(t ) R ⋅ sin(t ) − R ⋅ cos(t ) P' (t ) × P' ' (t ) P' (t )
T(单位切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；N、B构成的平 面称为法平面；N、T构成的平面称为密切平面（它与曲线最贴近）；B、T构成的平 面称为从切平面。 对于一般参数t，有：
T
2）曲线的曲率 挠率 曲率和挠率 曲率
曲率：
B N
由于T’(s)与N平行，令T’(s)= κN, κ称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。κ恒为正，又 称为绝对曲率。κ曲率的倒数ρ=1/κ ，称为曲率半径。 挠率： 由B(s)·Ｔ(s)=0，两边求导，可得： B‘(s)·Ｔ(s)=0； 又由|B(s)|2=1，两边求导，可得： B‘(s)·B(s)=0； 所以，B’(s)∥N(s)，再令B’(s)=-τN(s)， τ称为挠率，其几何意义是副法矢方向对于弧长的转动率。挠率大于0、等 于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。 对于一般参数t，可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：
5.5 参数化
为一组有序的数据点(P0,P1,…Pn) 赋予相应的一组参数值(t0<t1<…<tn， 每个参数点称为节点) 称之对这组数据点实行参数化。 对一组数据点(P0,P1,…Pn)实行参数化的常用方法有以下几种： ① 均匀参数化(等距参数化) ，在型值点不均匀时不理想。 ② 累加弦长参数化，考虑到弧长因素：
t0 = 0 t j = t j −1 + ∆Pj −1 ∆Pj −1 = Pj − Pj −1 ; j = 1,2, ⋯, n
③ 向心参数化法，又称平方根法：
t0 = 0 1/ 2 t j = t j −1 + ∆Pj −1 ∆Pj −1 = Pj − Pj −1 ; j = 1,2, ⋯, n
2 2 2 3
=
=
R R + C2
2
τ=
( P' (t ), P' ' (t ), P ' ' ' (t )) R2 ⋅ C C = = 2 2 2 2 2 R + C2 ( P' (t ) × P' ' (t )) (R ⋅ C + R )