衔接训练课程解析

第2章 分式运算【知识衔接】————初中知识回顾————(一)分式的运算规律1、加减法 同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法：bc bd ac c d b a ±=±2、乘法：bd ac d c b a =⋅3、除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷4、乘方：n nn ba b a =)( (二)分式的基本性质1、)0(≠=m bm am b a2、)0(≠÷÷=m mb m a b a ————高中知识链接————比例的性质(1)若d c ba=则bc ad = (2)若d c ba =则d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c ba =(0≠-db )则d b d bc a c a -+=-+(合分比性质) (4)若d c b a =＝…＝n m ，且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质【经典题型】初中经典题型1．若代数式4x x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ． x =0 B ． x =4 C ． x ≠0 D ． x ≠4【答案】D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，故选D ．2．化简：，结果正确的是( )A ． 1B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：原式==．故选B ．3．当x =______时，分式523x x -+的值为零． 【答案】5． 【解析】解：由题意得：x ﹣5=0且2x +3≠0，解得：x =5，故答案为：5．4．先化简，再求值： 22121x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =22． 【答案】21x -，7． 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．试题解析：原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7．高中经典题型例1：化简232||211x x x x x +-+-- 解：原式＝22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时，原式＝x +1当0<x 且1-≠x 时，原式＝xx +-1)1(2 例2：化简：++++3223bab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-例3：计算2)(32222233332222-++÷---++nm m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解：设a m n =，b nm =，则1=ab ∴原式＝2)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a ＝ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322＝2222232)()()(nm n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4：计算abbc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝))(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- ＝))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- ＝ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5：若1=abc ，求111++++++++c ac c b bc b a ab a 解：∵1=abc ，∴bc a 1=，将式中的a 全换成bc1 ∴原式＝11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc ＝11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6：已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ，求分式xyzx z z y y x ))()((+++的值 解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。

2021-2022新高一 初高中衔接辅导课程 （解析版） 衔接教材06 根与系数的关系（韦达定理）知识点讲解1.一元二次方程的根我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+= ①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有1222b b b bx x a a-+--+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．3. 一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =，∴| x 1－x 2|=||||a a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．经典例题解析例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根1x =， 2x = （3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x = 21x = ②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值． 解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35．由 （－35）＋2＝－5k ，得 k ＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零． 解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可。

幼儿园幼小衔接：幼小衔接课程实施全程解析一、引言：幼小衔接的重要性幼儿园幼小衔接，作为学前教育和小学教育的衔接环节，一直备受教育界和家长关注。

幼小衔接的质量直接影响着孩子的小学生活和学习成绩。

如何有效地实施幼小衔接课程，成为了教育工作者和家长共同关心的问题。

在本文中，我将对幼小衔接课程进行全面解析，探讨其实施全程，帮助大家更好地理解这一重要环节。

二、幼小衔接课程的设计1. 课程目标：幼小衔接课程的设计首先要明确课程目标。

目标的设定要考虑到幼儿园和小学课程之间的衔接点，注重对学生认知、情感、语言、社交等方面的素养培养。

2. 课程内容：幼小衔接课程内容要综合考虑幼儿园和小学的课程特点，不仅要包含学科知识，还要注重培养学生的学习方法和习惯，以及自主学习能力。

3. 教学方法：课程的实施要采用多种多样的教学方法，包括游戏教学、小组合作学习、实验探究等，以满足幼儿园学生的好奇心和求知欲。

三、幼小衔接课程的实施1. 通过故事情景引入，创设情境，激发学生的学习兴趣。

在实施幼小衔接课程时，引入一些与幼儿园生活相关的故事情景或者实际案例，让学生在愉快的氛围中逐步了解学校生活和学习状态。

2. 培养学生的自主学习能力。

在课程中适当安排一些探究性学习活动，鼓励学生发表自己的看法，培养学生主动提问和解决问题的能力。

3. 注重情感态度和社交技能的培养。

通过小组合作、团队活动等形式，培养学生的合作精神和社交技能，让他们在学校中更好地适应集体生活。

四、对幼小衔接课程的个人理解作为一名教育工作者，我对幼小衔接课程有着深刻的认识和理解。

幼小衔接课程不仅是学习内容的衔接，更是对学生全面发展的培养。

通过合理的设计和有效的实施，幼小衔接课程能够让学生更好地适应小学生活，提高学习兴趣和学习成绩，培养学生积极进取的学习态度和良好的社会适应能力。

五、总结幼儿园幼小衔接课程的实施全程需要经过精心设计和科学安排。

通过引入情景故事、培养自主学习能力、注重情感态度和社交技能的培养，可以让幼小衔接课程更加贴近学生的实际需求，达到预期的教育目标。

第5讲 充分条件与必要条件一、命题1. 命题的概念：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2. 命题的形式：数学中命题常写成“若p ，则q ”或者“如果p ，那么q ”，通常我们把命题中的p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.3. 四种命题：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题. 原命题为“若p ，则q ”,则逆命题为“若q ，则p ”.*(2)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫作互否命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作原命题的否命题. 原命题为“若p ，则q ”,则否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.(3)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个命题叫作原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”,则逆否命题为“若q ⌝,则p ⌝”.二、充分条件和必要条件1. 定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时我们就说，由p 可以推出q ，记作p q ⇒.并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.相反，“若p ，则q ”为假命题，那么由条件p 不能推出结论q ，记作p q ⇒/.此时，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.2. 充要条件：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔.此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.重点剖析：1．对充分条件的理解(1) 设集合{}A x x p =满足条件，{}B x x q =满足条件.若A B ⊆,则p 是q 的充分条件;若A B ⊆/,则p 不是q 的充分条件.(2) 我们说p 是q 的充分条件，是指由条件p 可以推出结论q ，但并不意味着只能由这个条件p 才能推出结论q ，一般来说，对给定的结论q ，使得q 成立的条件p 是不唯一的.例如：2636x x =⇒=.但是,当6x ≠时,236x =也可以成立,故“6x ≠”是“236x =”的充分条件.2．对必要条件的理解（1）设集合{}A x x p =满足条件，{}B x x q =满足条件.若A B ⊇,则p 是q 的必要条件;若A B ⊇/,则p 不是q 的必要条件.（2）我们说q 是p 的必要条件，是指以p 为条件可以推出结论q ，但并不意味着由条件p 只能推出结论q .一般来说，对给定的条件p ，由p 可以推出的结论q 是不唯一的.例如：若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等.另外，若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等.显然这两个命题都是正确的.3.证明命题充要性时，既要证明原命题成立(充分性)，又要证明它的逆命题成立(必要性). 例1. 判断下列说法是否是命题.如果是命题，判断其真假.（1）6x >；（2）垂直于同一条直线的两条直线平行么？（3）247+=；（4）武汉市坐落于湖北省；（5）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.【答案】(1)不是；(2)不是；(3)假命题；(4)真命题；(5)假命题.例2. 把下列命题写成“若p ，则q ”的形式,并判断其真假.(1) 实数的平方是非负数；(2) 底边相等且高相等的两个三角形是全等三角形；(3) 能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4) 弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.【答案】(1)若一个数是实数，则这个数的平方是非负数，是真命题；(2)若两个三角形底边相等且高相等，则这两个三角形全等，是假命题；（3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除，也能被2整除，是真命题；（4）若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧，是真命题.例3. 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若21x =，则1x =；（5）若a b =，则ac bc =；（6）若,x y 为无理数，则xy 为无理数.【答案】(1)(2)(3)(5)中p 是q 的充分条件，(4)(6)中不是.例4. 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；（4）若1x =，则21x =；（5）若ac bc =，则a b =；（6）若xy 为无理数，则,x y 为无理数.【答案】(1)(2)(4)中q 是p 的必要条件，(3)(5)(6)中不是.例5. 下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形是正方形，:q 四边形的对角线互相垂直且平分；（2）:p 两个三角形相似，:q 两个三角形三边成比例；（3）:p 0xy >：，:q 0,0x y >>；（4）:p 1x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，:q ()00a b c a ++=≠.【答案】(2)(4)例6. 设:431p x -≤，()22:210q x a x a a -+++≤.若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】102a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ 【解析】由431x -≤得1431x -≤-≤，解得112x ≤≤，即1:12p x ≤≤， 由()22210x a x a a -+++≤得()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，解得1a x a ≤≤+， p 是q 的充分不必要条件，p q ∴⇒，q p ⇒/，112x x ⎧⎫∴≤≤⎨⎬⎩⎭⫋{}1x a x a ≤≤+， 1211a a ⎧≤⎪∴⎨⎪+≥⎩，解得102a ≤≤，所以a 的取值范围为102a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 例7. 求证：一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根的充要条件是0ac <.【证明】充分性：若0ac <，则一元二次方程20ax bx c ++=的判别式240b ac ∆=->， 所以方程一定有两不等实根，设为12,x x ，则120c x x a=<， 所以方程的两根异号，即方程20ax bx c ++=有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，设为12,x x ，根据韦达定理得120c x x a=<，即0ac <. 综上可知，一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根的充要条件是0ac <.例8. 求关于x 的一元二次不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件. 【答案】{}04a a <<【解析】必要性：若一元二次不等式21ax ax +>，即210ax ax -+>对于一切实数x 都成立， 则2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<； 充分性：若04a <<，则222111024a ax ax a x ⎛⎫-+=-+-> ⎪⎝⎭， 即一元二次不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立.综上可知，不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件是{}04a a <<.例9. 已知全集U R =，非空集合203x A x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，()(){}220B x x a x a =---<. （1）当12a =时，求()U C B A ；（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)122x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或；(2){}112a a a ≤-≤≤或. 【解析】(1)当12a =时，191902424B x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎫=--<=<<⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭， 1924U C B x x x ⎧⎫∴=≤≥⎨⎬⎩⎭或， 又{}20233x A x x x x -⎧⎫=<=<<⎨⎬-⎩⎭，()122U C B A x x x ⎧⎫∴=≤>⎨⎬⎩⎭或； (2)()22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，()(){}{}22202B x x a x a x a x a ∴=---<=<<+， 若q 是p 的必要不充分条件，则A ⫋B ，所以2223a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得1a ≤-或12a ≤≤， 所以a 的取值范围为{}112a a a ≤-≤≤或.跟踪训练1. “()210x x -=”是“0x =”的( )A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若()210x x -=，则0x =或12x =，即()2100x x x -=⇒=/，若0x =，则()210x x -=，即()0210x x x =⇒-=，所以“()210x x -=”是“0x =”的必要不充分条件，故选B.2. 设x R ∈，则“250x x -<”是“11x -<”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<得05x <<，由11x -<得111x -<-<，即02x <<，0502x x <<⇒<</，0205x x <<⇒<<，05x ∴<<是02x <<的必要不充分条件，即“250x x -<”是“11x -<”的必要不充分条件，故选B.3. 设:24p x -<<，()():20q x x a ++<；若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 应满足( )A.4a >B.4a <-C.4a ≤-D.4a ≥【答案】B 【解析】若q 是p 的必要不充分条件，则{}24x x -<<⫋()(){}20x x x a ++<， 所以()(){}{}202x x x a x x a ++<=-<<-，且4a ->，即4a <-，故选B.4. 设:p 实数x 满足22430x ax a -+<(其中0a >)，:23q x <≤.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】{}12a a <≤【解析】由22430x ax a -+<得3a x a <<， p 是q 的必要不充分条件，{}23x x ∴<≤⫋{}3x a x a <<，233a a ≤⎧∴⎨>⎩，解得12a <≤，所以a 的取值范围是{}12a a <≤.5. 已知{}44P x a x a =-<<+，{}13Q x x =<<.“x P ∈”是“x Q ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】{}15a a -≤≤【解析】由“x P ∈”是“x Q ∈”的必要条件可知Q P ⊆，所以4143a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得15a -≤≤，所以a 的取值范围是{}15a a -≤≤.6. 已知条件2:340p x x --≤，条件22:690q x x m -+-≤.若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】{}44m m m ≤-≥或【解析】由2340x x --≤得14x -≤≤，由22690x x m -+-≤得()()330x m x m -+--≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 当0m =时，:3q x =；当0m <时，:33q m x m +≤≤-；当0m >时，:33q m x m -≤≤+， p 是q 的充分不必要条件，{}14x x ∴-≤≤⫋()(){}330x x m x m -+--≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 03134m m m <⎧⎪∴+≤-⎨⎪-≥⎩或03134m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得4m ≤-或4m ≥， 综上可知，m 的取值范围为{}44m m m ≤-≥或.7. 已知,x y 是非零实数，且x y >，求证：11x y<的充要条件为0xy >. 【证明】充分性：若0xy >，则110y x x y xy --=<，即11x y<成立； 必要性：若11x y <，则110y x x y xy--=<，即0xy >成立. 综上所述，11x y<的充要条件为0xy >.。

幼小衔接数学课程教案幼小衔接数学课程教案（精选6篇）作为一名默默奉献的教育工作者，常常要写一份优秀的教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。

教案要怎么写呢？以下是小编为大家整理的幼小衔接数学课程教案（精选6篇），欢迎大家分享。

幼小衔接数学课程教案1活动目标：1.初步感受图形的对称性。

2.理解对称的含义，能正确的判断图形是否对称。

3.根据提供的已有图形，画出与物体相对称的另一半。

4.培养幼儿比较和判断的能力。

5.引发幼儿学习图形的兴趣。

活动准备：1.幼儿人手一份操作纸(正方形、梯形、月牙形)、半个图形的操作纸、剪刀2.教师操作材料：正方形、梯形、月牙形3.课件活动过程：一、故事导入：激发幼儿兴趣。

师：在一个王国里住着一位善良的公主，有一天王国里来了位可恶的巫师，她把公主关了起来，并设下了五道难关。

人们都想去救公主，但都没能闯过这些难关。

小朋友，你们愿意闯难关来救出公主吗?二、在探索、感知、判断中理解对称的含义。

第一关：找对称的红心第二关：折一折第三关：找对称第四、五关：画对称图形三、制作对称图形1.要求：这些礼物都只有另一半，谁能把它们变完整呢?2.幼儿操作四、延伸1.你们知道这个王国叫什么名字吗?(对称王国 )2.对称王国里还有许多有趣的对称图形，我们下次再一起到对称王国里玩一玩，好不好?活动反思：本次活动的目标已经基本完成，整个活动清晰流畅，能一步一步的引导幼儿理解对称的含义，寓教于游戏中。

活动中，我给予了孩子自己探索和实践的空间，体现了孩子在活动中的地位。

当然在一些小细节的处理上还需改进：1.在幼儿用笔操作时，应当让幼儿搬椅子上位，坐在小椅子上，这样有助于孩子的操作。

2.第一关当中三个图形应当有标记，这样有利于孩子准确的找到。

3.操作时，第五关画的图形有点复杂，可以适当的改简单一点。

幼小衔接数学课程教案2设计背景：进入大班后，孩子们对对称的概念已有初步的了解，但“对称图形”这一知识点孩子们却没有接触过，为了让孩子们了解什么是对称，通过动手、动脑，判断是否对称，感受对称的美，设计了这节活动。

南京幼小衔接课时-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述南京幼小衔接课时是指为了促进幼儿园和小学之间的过渡，帮助幼儿顺利适应小学学习环境而设立的一种特殊课程。

幼小衔接课时的重要性不言而喻，它扮演着桥梁的角色，连接着幼儿园阶段和小学阶段的教育，对于孩子们的学习和成长起着重要作用。

在过去的教育实践中，幼儿园和小学常常存在着割裂感，学生从幼儿园步入小学后，需要适应新的学习环境和学习方式，这对于一些孩子来说可能是一次挑战。

幼小衔接课时的设立有助于逐步缩小幼儿园和小学之间的差距，为学生提供一个平稳过渡的桥梁。

南京幼小衔接课时的意义就在于为孩子们提供一个平稳过渡的学习环境和学习方式。

通过这个课程，幼儿可以适应小学的学习氛围，熟悉小学的学习内容和学习方法，为顺利进入小学做好充分的准备。

此外，幼小衔接课时还能够促进幼儿园和小学之间的教育教学衔接。

通过合理的课程设置，可以帮助幼儿园和小学的教师更好地沟通、协作，达到教育教学的无缝衔接。

这不仅有利于孩子们的学习进度顺利过渡，也有利于教师的教学效果的提高。

在南京幼小衔接课时的建设中，激发幼儿的学习兴趣和主动性是至关重要的。

课程设计应该充分考虑孩子们的兴趣和发展需求，注重培养他们的学习兴趣和探究精神。

同时，教师也需要适应幼儿园和小学不同的教学环境，提高自身教学水平，为幼儿的学习提供良好的指导和支持。

展望未来，幼小衔接课时的发展还有很大的空间。

随着教育理念和教学模式的不断更新，幼小衔接课时也需要与时俱进，不断优化和改进。

我们应该加强对幼小衔接的研究，不断探索适合幼儿园和小学衔接的最佳方式，为孩子们打造更好的学习环境，让每个孩子都能够享受到优质的教育资源。

文章结构是指整篇文章的组织框架和章节安排。

一个合理的文章结构可以使读者更好地理解文章内容，并帮助作者清晰地表达和组织思路。

本文的结构设计如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 幼儿教育的重要性2.2 小学教育的特点2.3 南京幼小衔接课时的意义3. 结论3.1 总结幼小衔接课时的重要性3.2 对南京幼小衔接课时的建议3.3 展望未来幼小衔接课时的发展在文章结构中，引言部分主要介绍文章的背景和目的，为读者提供整篇文章的基本信息。

幼儿园幼小衔接课程教案幼儿园幼小衔接课程教案（通用15篇）幼儿园幼小衔接课程教案（通用15篇）1一、活动目标1.引导幼儿学会观看时钟的整点与半点，并尝试探索出其规律。

2.培养幼儿学会珍惜时间，遵守时间，养成按时作息的好习惯。

二、活动重、难点重点：学会认识整点与半点，并掌握其规律。

难点：能够知道什么时间做什么事情，学会珍惜时间。

三、活动准备1.物质准备：ppt;幼儿一日生活照片;自制时钟卡片。

2.经验准备：幼儿对时针、分针有一定的了解。

四、活动过程(一)导入活动1.音乐导入：《时间像小马车》请幼儿入场。

2.小朋友们，大家好!今天，王老师给小朋友们带来了一个好朋友。

这个好朋友相信大家在生活中都见过。

是谁呢?(二)图文共读1.鼓励幼儿观察时钟钟面，大胆说出时钟钟面的特点。

师：“小朋友们仔细观察，你发现时钟的钟面上都有什么呢?”(引导幼儿发现时钟上一共有12个数字;时针、分针、秒针以及其特点。

)2.帮助幼儿回忆时针、分针的不同点。

师：“小朋友们都发现了时钟上有分针和时针，那哪个是分针哪个是时针呢?它们有什么不同点?”(引导幼儿说出长短、粗细的不同特征)(三)认识整点1.通过展示部分幼儿一日生活照片感受时间的重要性。

激发幼儿探索的愿望。

2.认识整点(1)教师通过ppt引导幼儿学会认识整点。

(2)教师通过各种时钟鼓励幼儿尝试探索出整点时间的规律。

规律：分针指向12，时针指向几，就是几点整。

3、请你试一试(1)教师利用实物钟表出示各种整点，请幼儿积极参与，说出时间。

(2)请幼儿当小老师随意拨出整点，小组比赛看谁先说出时间。

(四)认识半点1.教师引导幼儿观察半点的时钟与整点时钟的不同，鼓励幼儿尝试探索出半点时间的规律。

师：“刚才我们认识了整点，小朋友们仔细看这个时钟的分针和刚才有什么不同呢?”(引导幼儿说出分针指向6)2.帮助幼儿梳理清楚：半点的时候，时针指向两数字中间时，算数字小的时间。

规律：分针指向6，时针指向几，就是几点半。

单元主题《衔接训练课程解析》讲师手册Train Better, Achieve Best课程内容规划课程名称衔接训训练课程解析课程主题衔训操作学习目标1、明白衔接训练的意义与重要性2、了解衔接训练的全部课程内容3、掌握衔接训练的4、学会衔接训推动方法与重点课程内容概览大纲时间（分钟）一、衔接训练意义分析20二、衔接训练课程解析50三、衔接训练操作重点50四、衔接训练推动规划20五、课程总结10合计150备忘栏讲义教具活动投影片讲师手册学员手册电脑投影仪白板笔海报纸一、讲授的理念（30分钟）课程导入讲师介绍讲师介绍自己在衔训操作方面的经验，建立讲师威信。

介绍课程大纲，明确章节重点通过前面的引导说明如果新人能在入司前几个月产生较高的收入则是影响其能否留存的关键，进而说明衔训在基础培训中的重要位置。

授课老师以自己机构衔训数据作为蓝本，进行分析，以此说明衔训对新人各项指标的重要性引导学员思考新人岗位前班解决什么问题？1、现场提问新人衔训到底要解决什么问题？（鼓励学员回答）2、讲师总结学员发言，明确衔训的意义和重要性说明衔训的课程目标是想培养合格的营销人员，会从5个方面来进行。

分别进行简要说明。

说明衔训课程按学习内容的不同，可以分为四个部分，每个部分独立又互相关联具体说明每个部分的课程构成和逻辑关系从衔接训练每个部分、每个课程的课程纲要、、重难点提示、辅助工具几个方面做了详细的解析，让学员掌握每个单元的内容及操作重难点。

可以采取小组研讨发表的方式，激发学员的热情，讲师最后做总结和提点。

让学员掌握衔训操作的具体流程，可以用发问的形式引导学员回答流程中的具体工作，讲师进行补充并总结明确训前工作准备的重要性和操作重点具体阐述“计划制定”的工作步骤和每个步骤应该注意的要点和细节具体阐述“宣导沟通”操作方法，展示讲师自己机构的一些素材，并可以请学员分享一些自己机构做的好的亮点，让学员更能体会和掌握教会学员如何挑选讲师，并重点讲解讲师沟通会的操作细节提示学员在实际操作中如何运用，让讲师感受到尊重，让衔训运行的更加顺利说明“班务准备”要做的各项明细，班务准备充分是保证衔训顺利开班的前提训前做足准备，训中是执行落实 将训中的工作罗列为5个方面，围绕这5个方面将衔训做的更有效仪式的完整是衔训中非常重要的一个环节，机构领导的支持让衔训更显重要性，仪式做的越标准，新员越能认同衔训，参与其中提问学员在如何提高衔训出勤?引导学员思考 讲师总结，并分享自己的经验，归纳出操作要点纪律是培训成功的保障，可展示机构中的衔训纪律公约衔训要有张有弛，氛围营造能让整个衔训班活跃起来，吸引更多新人参加培训内容与实作相结合，业绩播报、分享让培训更有实际效能训后的总结、反馈、追踪保证衔训的完整性说明衔训成功运作的几个关键点 把握要点，让衔训操班事半功倍说明开训的流程步骤、要点说明结训的两个阶段：座谈与结训前的准备工作结典的流程与步骤通关的操作关键点通关方式讲师可做现场示范，并让学员演练明确通关成功的各层级角色定位与职责重点在理清主管在新人参加衔训的训前、训中、训后应该承担的辅导和细节引导学员思考衔训如何产生效能？ 最终落脚点在两会的运作上说明新人家属谊全的操作流程，并可展示相关案例可以启发学员思考：1、 衔训如何在机构成功推动？2、 在推动可能会遇到的困难？教会学员取得三个关键人员的支持与配合，将衔训推动到位结合各机构实际情况，明确衔训指标总结、回顾课程内容，衔训的成功不仅仅是一次简单的培训，更是内外勤的配合联动，将衔训当成项目制，调动一切可用资源，才能使衔训产生最大效能助理组训资格培训讲师手册10 主题/时间/灯片 讲师活动 备注。

第7章 二次函数的最值问题【知识衔接】————初中知识回顾————二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少． 二次函数的最值 一般二次函数求最值根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。

————高中知识链接————给定自变量取值范围求二次函数的最值①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。

②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。

具体归纳如下：1、一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y044,02min<-=>••a a b ac y a 时，ab ac y 442max -=2、一元二次函数)0()(2>++==a c bx ax x f y 在区间[m,n]上的最值。

1°当m ab<-2 ，)()(),()(min max m f x f n f x f ==2°当22n m a b m +≤-≤，a b ac x f n f x f 44)(),()(2min max -==3°当n ab n m ≤-<+22时， a bac x f m f x f 44)(),()(2min max -==4°n ab>-2时， )()(),()(min max n f x f m f x f ==3、一元二次函数)0()(2<++==a c bx ax x f y 在区间[m,n]上的最值类比2可求得。

【经典题型】初中经典题型1．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为(4，3)．D 是抛物线26y x x =-+上一点，且在x 轴上方．则△BCD 的最大值为 ．【答案】152．2．已知当x 1=a ，x 2=b ，x 3=c 时，二次函数21y x mx 2=+对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3，若正整数a ，b ，c 恰好是一个三角形的三边长，且当a ＜b ＜c 时，都有y 1＜y 2＜y 3，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】5m >2-．3．已知二次函数2y x bx c =++(b ，c 为常数)． (Ⅰ)当b =2，c =-3时，求二次函数的最小值；(Ⅱ)当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式； (Ⅲ)当c=b 2时，若在自变量x 的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．【答案】(Ⅰ)二次函数取得最小值-4． (Ⅱ)542++=x x y 或542+-=x x y ．(Ⅲ)772++=x x y 或1642+-=x x y ．(Ⅲ)当c=b 2时，二次函数的解析式为22b bx x y ++=，它的图象是开口向上，对称轴为2bx -=的抛物线．分三种情况进行讨论，①对称轴位于b≤x≤b+3范围的左侧时，即2b-＜b ；②对称轴位于b≤x≤b+3这个范围时，即b≤2b-≤b+3；③对称轴位于b≤x≤b+3范围的右侧时，即2b -＞b+3，根据列出的不等式求得b 的取值范围，再根据x 的取值范围b≤x≤b+3、函数的增减性及对应的函数值y 的最小值为21可列方程求b 的值(不合题意的舍去)，求得b 的值代入也就求得了函数的表达式．(Ⅲ)当c=b 2时，二次函数的解析式为22b bx x y ++=．它的图象是开口向上，对称轴为2bx -=的抛物线． ①若2b-＜b 时，即b ＞0， 在自变量x 的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 随x 的增大而增大，故当x=b 时，2223b b b b b y =+⋅+=为最小值．∴2132=b ，解得 71=b ，72-=b (舍去)．②若b≤2b-≤b+3，即-2≤b≤0， 当x=2b -时，22243)2()2(b b b b b y =+-⋅+-=为最小值．∴21432=b ，解得 721=b (舍去)，722-=b (舍去)．高中经典题型1．二次函数213222y x x =-++的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是( )A ．3．125B ．4C ．2D ．0【答案】C ．2．已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81 【解析】根据题意， ()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知， 126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅ ()()2111166x x x x =⋅-⋅-+= ()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦， ()()21123,398,9x x <<∴--+∈， ()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81． 3．已知函数，其中为常数．(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间 内，解不等式可得实数的取值范围，(2) 根据二次函数图像得得在x 轴上方，即，解得实数的取值范围．详解：(1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是因此，解得所以的取值范围是． (2)因为恒成立，所以，整理得解得因此，的取值范围是．4．如图，抛物线21251233y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是( )A ．(4，3)B ．(5，3512)C ．(4，3512) D ．(5，3) 【答案】C ．【分析】连接PC 、PO 、P A ，设点P 坐标(m ，21251233m m -++)，根据S △P AC =S △PCO +S △POA ﹣S △AOC 构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．【解析】连接PC 、PO 、P A ，设点P 坐标(m ，21251233m m -++) 令x =0，则y =53，点C 坐标(0，53)，令y =0则212501233x x -++=，解得x =﹣2或10，∴点A 坐标(10，0)，点B 坐标(﹣2，0)，∴S △P AC =S △PCO +S △POA ﹣S △AOC =21511251510()10232123323m m m ⨯+⨯⨯-++-⨯⨯=25125(5)1212m --+，∴x =5时，△P AC 面积最大值为12512，此时点P 坐标(5，3512)．故选C ．【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．已知二次函数2()1y x h =-+(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或﹣5B ．﹣1或5C ．1或﹣3D ．1或3 【答案】B ．【分析】由解析式可知该函数在x =h 时取得最小值1、x ＞h 时，y 随x 的增大而增大、当x ＜h 时，y 随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．2．一次函数与二次函数交于x轴上一点，则当时，二次函数的最小值为( )A．15 B．-15 C．16 D．-16【答案】D【解析】分析：首先根据一次函数得出与x轴的交点坐标，从而得出二次函数的解析式，根据二次函数的增减性得出函数的最值．详解：根据一次函数解析式可得与x轴的交点坐标为(－5，0)，将(－5，0)代入二次函数可得：25－10－b=0，解得：b=15，∴二次函数的解析式为：，∴在中当x=－1时，函数的最小值为－16，故选D．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数与x轴的交点坐标问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是得出一次函数与x轴的交点，从而得出二次函数解析式．3．二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________【答案】0或4【解析】分析：根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量x的值，然后根据m的范围求出m的值即可．详解：令y=5，可得x2－2x－3=5，解得x=-2或x=4所以m-2=-2，m=4即m=0或4．故答案为：0或4．点睛：此题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图像直接得出，第二种配方法，第三种公式法，此题关键是根据最值构造一元二次方程求解．4．如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y=a(x+m)2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为______．【答案】8【解析】分析：当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1，4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD 间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B(4，4)，再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．详解：当点C横坐标为−3时,抛物线顶点为A(1,4)，对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为x=4,且CD=8,故C(0,0),D(8,0)；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故选：D．点睛：本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键．5．已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．【答案】或【解析】分析：将二次函数配方成顶点式，分m<-1、m>2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．详解：y=x²−2mx=(x−m)²−m²，①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，解得：m=−；②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，解得：m=<2(舍)；③若−1⩽m⩽2,当x=m时,y=−m2=−2，解得：m=或m=−<−1(舍)，∴m的值为−或，故答案为：−或．点睛：本题主要考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解答本题的关键．6．若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_____．【答案】2【解析】分析：根据得到代入所求式子，用配方法即可求出最小值．详解：∵∴，∴∵∴∴当，即b=0时，的值最小．∴最小值是2．7．在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．(1)当m=4时，求n的值；(2)设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；(3)当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．【答案】(1)3(2)-15(3)m=2，n=-3【解析】分析：(1)根据一次函数与x轴的交点，求出A点的坐标，然后把A点坐标和m的值代入可求出n 的值；(2)表示出二次函数的对称轴，由m的值以及二次函数的图像与性质得到二次函数的最值；(3)根据函数的对称轴的位置，分类讨论即可求出m、n的值．详解：(1)当y=x+3=0时，x=﹣3，∴点A的坐标为(﹣3，0)．∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A，∴0=9﹣3m+n，即n=3m﹣9，∴当m=4时，n=3m﹣9=3．(2)抛物线的对称轴为直线x=﹣，当m=﹣2时，对称轴为x=1，n=3m﹣9=﹣15，∴当﹣3≤x≤0时，y随x的增大而减小，∴当x=0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣15．(3)①当对称轴﹣≤﹣3，即m≥6时，如图1所示．在﹣3≤x≤0中，y=x2+mx+n的最小值为0，∴此情况不合题意；②当﹣3＜﹣＜0，即0＜m＜6时，如图2，有，解得：或(舍去)，∴m=2、n=﹣3；③当﹣≥0，即m≤0时，如图3，有，解得：(舍去)．综上所述：m=2，n=﹣3．点睛：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合，正确判断二次函数的对称轴，以及函数的图像与性质，利用二次函数的图像与性质判断其最值是关键，解题时应用到分类讨论思想和方程思想．8．如图, 已知抛物线经过A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值；(3)若点D(2，m)在此抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．学科-网【答案】(1)；(2)最大值为；(3)符合条件的点的坐标为或．【解析】分析：(1)将A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；(2)由于二次项系数a=-＜0，所以抛物线有最大值，最大值为，代入计算即可；(3)先将点D(2，m)代入(1)中所求的抛物线的解析式，求出m的值，得到点D的坐标，然后假设在y轴的正半轴上存在点P(0，y)(y＞0)，使得△BDP是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：①PB=PD；②BP=BD；③DP=DB；每一种情况都可以根据两点间的距离公式列出关于y的方程，解方程即可．详解：(1)将A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx+c，得，解得：，所以此抛物线的解析式为y=-x2+x+4；(2)∵y=-x2+x+4，a=-＜0，∴抛物线有最大值，最大值为；(3)∵点D(2，m)在抛物线y=-x2+x+4上，∴m=-×22+2+4=4，∴D(2，4)，∵B(4，0)，∴BD=．假设在y轴的正半轴上存在点P(0，y)(y＞0)，使得△BDP是等腰三角形，分三种情况：①如果PB=PD，那么42+y2=22+(y-4)2，解得y=，所以P1(0，)；②如果BP=BD ，那么42+y 2=20，解得y=±2(负值舍去)，所以P 2(0，2)；③如果DP=DB ，那么22+(y-4)2=20，解得y=0或8，y=0不合题意舍去，y=8时，(0，8)与D ，B 三点共线，不合题意舍去；学=科网综上可知，所有符合条件的P 点的坐标为P 1(0，)，P 2(0，2)．点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的最值的求法，等腰三角形的性质等知识，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、函数242-+-=x x y 在区间]4,1[上的最小值是( )A 、－7B 、－4C 、－2D 、2 2、已知函数322+-=x x y 在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A 、),1[+∞B 、[0,2]C 、[1,2]D 、]2,(-∞ 3、如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数都有)2()2(t f t f -=+，那么( )A 、)4()1()2(f f f <<B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f <<D 、)1()2()4(f f f <<4、若0,0≥≥y x ，且12=+y x ，那么232y x z +=的最小值为( )A 、2B 、43C 、32D 、05、设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实数根，则2221x x +的最小值是 。

第9章绝对值和绝对值不等式的解法【知识衔接】————初中知识回顾————1、实数绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a 2、a>0ax a a x a x <<-⇔<⇔<22||a x a x a x -<⇔>⇔>22||或x>a————高中知识链接————解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．对于形如|()|()f x g x ≥和|()|()f x g x ≤的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得|()|()f x g x ≥⇔()()f x g x ≥或()()f x g x ≤；|()|()f x g x ≤⇔()()()g x f x g x -≤≤．【经典题型】初中经典题型1．下列说法中不正确的是（）A ．0既不是正数，也不是负数B ．﹣a 一定是负数C ．任何正数都大于它的相反数D ．绝对值小于3的所有整数和为0【答案】B【解析】分析：据正负数的定义．相反数的性质、绝对值的定义一一判断即可．详解：A 、正确．0既不是正数，也不是负数；B 、错误．-a 不一定是负数；C 、正确．任何正数都大于它的相反数；D 、正确．绝对值小于3的所有整数和为0；故选B ．点睛：本题考查正负数的定义、相反数的性质、绝对值的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．学科网2．如果，则m-n 的值是_______．【答案】0点睛：此题主要考查了非负数的性质，关键是利用非负数的性质构造方程求出参数的值．3．一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越________。

【答案】近【解析】分析：绝对值是指这个点到原点之间的距离．详解：一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越近．点睛：本题主要考查的是绝对值的性质，属于基础题型．理解绝对值的几何定义是解决这个问题的关键．4．不等式15x -≤的解集为__________．【答案】[]4,6-【解析】15,515x x -≤∴-≤-≤ ，解得46,x -≤≤∴原不等式的解集为[]4,6-，故答案为[]4,6-．5．关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】结合自变量的范围，若，可得：，不等式明显成立；若，由不等式可得，解得：，综上可得的取值范围是．高中经典题型1．已知的解集是，则实数，的值是（）A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】D 【解析】分析：先解不等式，再列方程组得实数a ，b 的值．详解：由题得-b ＜x-a ＜b ，所以a-b ＜x ＜a+b ，因为的解集是，所以a-b=-3且a+b=9，所以a=3，b=6．故答案为：D点睛：(1)本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力．(2)绝对值不等式|ax+b|<c 等价于-c ＜ax+b ＜c ．|ax+b|＞c 等价于ax+b>c 或ax+b ＜-c ．2．若关于x 的不等式20k x x -->恰好有4个整数解，则实数k 的取值范围是（）A ．32,53⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．32,53⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,15⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,15⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B3．的解集为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】解：很明显，则不等式等价于：，解不等式组可得实数x 的取值范围是：．本题选择A 选项．【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．下列说法中正确的有（）（1）任何有理数都有相反数；（2）任何有理数都有倒数；（3）两个有理数的和一定大于其中任意一个加数；（4）两个负有理数，绝对值大的反而小；（5）一个数的平方总比它本身大．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】分析：根据相反数的定义，倒数的定义，以及有理数的加法运算法则，绝对值的性质，有理数的乘方的定义对个小题分析判断即可得解．详解：(1)任何有理数都有相反数，故本小题正确；(2)0没有倒数，所以任何有理数都有倒数错误，故本小题错误；(3)两个有理数的和一定大于其中任意一个加数，只有两个数都是正数时成立，故本小题错误；(4)两个负有理数，绝对值大的反而小，故本小题正确；(5)0的平方等于0，所以一个数的平方总比它本身大错误，故本小题错误．综上所述，正确的有(1)(4)共2个．故选B ．2．若实数a满足1322a-=，则a对应于图中数轴上的点可以是A、B、C三点中的点__________．【答案】B【解析】∵1322a-=，∴a=﹣1或a=2．故答案为：B．3．若a为最大的负整数，b为绝对值最小的数，则ab的值为_____．【答案】0【解析】分析：最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0，得a、b代入即可．详解：根据题意知a=-1、b=0，则ab=0，故答案为：0．4．不等式的解集是__________．【答案】【解析】由题意得，不等式，等价于，解得，所以不等式的解集为．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，其中解答中熟记绝对值的定义，根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号是解答的关键．————再战高中题——能力提升————B组1．若关于的不等式的解集为，则________．【答案】点睛：该题是一道关于已知不等式的解集，求不等式中参数值的题目，在解题的过程中，需要分析已知条件，从而求得结果．2．使关于x 的不等式1x k x ++<有解的实数k 的取值范围是__________．【答案】(),1-∞-【解析】原不等式转化为k ＜x ﹣|x+1|成立，因为y=x ﹣|x+1|=1,1{ 21,1x x x -≥-+<-，对应图象如图，由图得其最大值为﹣1．故只须k ＜﹣1即可．故答案为：(),1-∞-。

第17讲 指数函数、对数函数、幂函数综合训练A 组1. 下列说法中，正确的是( )①任取x R ∈都有32xx>；②当1a >时，任取x R ∈都有xxa a ->；③xy -=是增函数；④2x y =的最小值为1；⑤在同一坐标系中，2x y =与2x y -=的图像关于y 轴对称． A ．①②④B ．④⑤C ．②③④D ．①⑤【答案】B【解析】①错误：令0x =，则321x x ==；②错误：令0x =，则1x x a a -==；③错误：xy -=x=⎝⎭是减函数；④正确：0x ≥，0221x y ∴=≥=；⑤正确，故选B.2. 函数()01xxa y a x=<<的图像的大致形状是( )AB C D【答案】D【解析】,0,0xx x a x xa y x a x ⎧-<⎪==⎨>⎪⎩， 01a <<，x y a ∴=是减函数，x y a =-是增函数， ()01xxa y a x∴=<<在(),0-∞递增，在()0,+∞递减，故选D.3. 若函数112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．1m ≥D ．01m <≤【答案】B【解析】由112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像与x 轴有公共点，可得1102xm -⎛⎫+= ⎪⎝⎭有实数解，即112xm -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，也即112xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭与y m =-的图象有交点，作图如下：由图可知01m <-≤，即10m -≤<，故选B.4. 已知函数()3log ,02,0xx x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则19f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A ．4 B.14C ．4-D ．14-【答案】B 【解析】依题意()23111log 22994f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.5. 设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知当()0,1x ∈时，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在()1,2上( )A ．是增函数，且()0f x <B ．是增函数，且()0f x >C ．是减函数，且()0f x <D ．是减函数，且()0f x >【答案】D【解析】设()1,2x ∈，则()2,1x -∈--，()20,1x -∈， ()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，()()()()()11222log 12log 1f x f x f x x x ∴=-=-=--=-⎡⎤⎣⎦，又12log y t=是减函数，1t x =-是增函数，()()12log 1f x x ∴=-是减函数，()()122log 10f x f ∴>==，故选D.6. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()()0.6412log 7,log 3,0.2a f b f c f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，()()1222log 3log 3log 3b f f f ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，()f x 在(],0-∞上是增函数，()f x ∴在[)0,+∞上为减函数，0.60.62440.252log 3log 9log 7-=>>>=>，c b a ∴<<，故选B.7. 已知函数()()()f x x a x b =--(其中a b >)的图像如图所示，则函数()xg x a b =+的图像是( )A B C D【答案】A【解析】由()()()0f x x a x b =--=解得x a =或x b =，由图可知01a <<，1b <-， ()x g x a b ∴=+是减函数，且在y 轴截距()0010g a b b =+=+<，故选A.8. 设01a <<，函数()()2log 22x xa f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是( )A.(),0-∞B ．()0,+∞C ．(),log 3a -∞D ．()log 3,a +∞【答案】C【解析】01a <<，()()2log 220log 1x xa a f x a a =--<=，2221x x a a ∴-->，即()()310x xa a -+>，log 33a x a a ∴>=，log 3a x ∴<，选C.9. 若函数()()2log a f x ax x =-在[]2,4上是增函数，则a 的取值范围为 ．【答案】()1,+∞【解析】()()2log a f x ax x =-是由log a y t =和2t ax x =-复合而成的，且在[]2,4上是增函数，①若01a <<，则log a y t =是减函数，则2t ax x =-在[]2,4上是减函数，且0t >恒成立，142a∴≥且当4x =时，min 1640t a =->，无解； ②若1a >，则log a y t =是增函数，则2t ax x =-在[]2,4上是增函数，且0t >恒成立，122a ∴≤且当2x =时，min 420t a =->，解得12a >，1a ∴>， 综上所述，a 的取值范围为()1,+∞.10. 函数()2lg 34y x x =-+的定义域为M ，当x M ∈时，则()2234x x f x =+-⋅的最大值为 ．【答案】2512【解析】要使函数()2lg 34y x x =-+有意义，则2340x x -+>，解得1x <或3x >，所以()(),13,M =-∞+∞，设2x t =，则()()0,28,t ∈+∞，221252234323612xxy t t t ⎛⎫∴=+-⋅=-++=--+ ⎪⎝⎭，16t ∴=时，max 2512y =.B 组1. 若函数()x xf x e e -=- 的定义域为R ，则( )A.()f x 为奇函数，且为R 上的减函数B.()f x 为偶函数，且为R 上的减函数C.()f x 为奇函数，且为R 上的增函数D.()f x 为偶函数，且为R 上的增函数 【答案】C【解析】()()x x f x e e f x --=-=-，()f x ∴为奇函数，x y e =是增函数，1xxy ee -⎛⎫== ⎪⎝⎭是减函数，()x x f x e e -∴=-是增函数，故选C.2. 函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为( )A B C D【答案】A【解析】设()x xx xe ef x e e--+=-，定义域为{}0x x ≠， ()()x xx xe ef x f x e e--+-==--，()f x ∴是奇函数，图象关于原点对称， ()()2222111x x xx x x x x x x x x x e e e e e e f x e e e e e e e --------++===+=+----， 0x ∴>时，()f x 是减函数，且()1f x >，故选A.3. 设函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则满足()2f x ≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞【答案】D【解析】①若1x ≤，则由()2f x ≤得122x -≤，解得01x ≤≤；②若1x >，则由()2f x ≤得21log 2x -≤，即221log 1log 2x ≥-=，解得1x >， 综上，x 的取值范围是[)0,+∞，选D.4. 已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【解析】3324log 0.310log log 3.4log 3.6315,5,55a b c ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，223log 3.4log 2>，44log 3.6log 41<=，3331031log 3log log 32=<<=， 23410log 3.4log log 3.63∴>>，a c b ∴>>，故选C.5. 设0abc >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是( )A B C D【答案】D 【解析】①若0a >，则0bc >，由C 、D 两图知0c <，0b ∴<，02ba∴->，C 不正确，D 符合题意； ②若0a <，则0bc <，由A 图知0c <，0b ∴>，02ba∴->，A 不正确，由B 图知0c >，0b ∴<，02ba∴-<，B 不正确，故选D.6. 设a b <，函数()()2y x a x b =--的图像可能是 ( )A B C D 【答案】C【解析】x a <时，()20x a ->，0x b -<，0y ∴<，图象在x 轴下方，a xb <<时，()20x a ->，0x b -<，0y ∴<，图象在x 轴下方， x b >时，()20x a ->，0x b ->，0y ∴>，图象在x 轴上方，故选C.7. 若关于x 的方程10x k x-+=在(]0,1x ∈时没有实数根，则k 的取值范围是 . 【答案】(),0-∞【解析】10x k x-+=在(]0,1x ∈时没有实数根， 等价于1y x x=-与y k =-的图象在(]0,1x ∈时没有交点，作图如下由图可知0k ->，则0k <，k ∴的取值范围是(),0-∞.8. 关于x 的函数()2log 2a y x ax a =-+在[)1,+∞上为减函数，则a 的取值范围是_______.【答案】()0,1 【解析】()2log 2a y x ax a =-+是由log a y t =和22t x ax a =-+复合而成的，且在[)1,+∞上为减函数，①若01a <<，则log a y t =是减函数，22t x ax a ∴=-+在[)1,+∞上为增函数，且0t >，12a∴≤且当1x =时，min 10t a =+>，解得01a <<； ②若1a >，则log a y t =是增函数，22t x ax a ∴=-+在[)1,+∞上为减函数，此时不成立， 综上所述，a 的取值范围是()0,1.9. (1)已知()231xf x m =+-是奇函数，求m 的值； (2)画出函数31x y =-的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程31xk -=无解？有一解？有两解？【答案】(1)1；(2)0k <时方程无解；0k =或1k ≥时有一解；01k <<时有两解.【解析】(1)()231x f x m =+-定义域为{}0x x ≠， ()f x 要使为奇函数，()()2232311331x x xx f x m m f x m -⋅⎛⎫∴-=+=+=-=-+ ⎪---⎝⎭， 2232213xxm -⋅∴==-，1m ∴=；(2)由图可知，0k <时方程无解；0k =或1k ≥时有一解；01k <<时有两解.10. 设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的偶函数(其中 2.71828e ≈)．(1) 求a 的值；(2) 证明：()f x 在()0,+∞上是增函数． 【答案】(1)1；(2)见解析.【解析】(1)()x x e af x a e=+定义域为R ，()f x 是偶函数，()()1x x xx x x e a e a f x a e f x a e a e a e--∴-=+=+⋅==+⋅，110x x a e a e ⎛⎫⎛⎫∴--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，10a a ∴-=，且0a >，解得1a =；(2)由(1)知()1xxf x e e =+，任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <， 则()()()()121212121212111x x x x x x xx x x e e ef x f x e e e e e ++--⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，120x x <<，120x x e e ∴-<，1201x x e e +>=，1210x x e +->，()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <，()f x ∴在()0,+∞上是增函数．11. 定义在R 上的单调函数()f x 满足()23log 3f =，且对任意,x y R ∈都有 ()()()f x y f x f y +=+．(1) 求证：()f x 为奇函数；(2) 若()()33920x x x f k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)(1⎤-∞-⎦【解析】(1)()f x 定义域为R ，且()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==得()()020f f =，()00f ∴=，令y x =-得()()()00f f x f x =+-=，即()()f x f x -=-，()f x ∴为奇函数；(2)()f x 为R 上的单调奇函数，且()()2003log 3f f =<=， ()f x ∴是R 上的单调增函数，由()()33920x x x f k f ⋅+--<得()()()3392932x x x x x f k f f ⋅<---=-+， 3932x x x k ∴⋅<-+，即2313x xk <+-，30x >，231113x x ∴+-≥=，1k ∴≤-，k ∴的取值范围是(1⎤-∞⎦.。