第一章
三、计算题
1-2 求正弦信号的绝对均值和均方根值。
解答：
000
2200000
224211()d sin d sin d cos T T
T T
x x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T T
T ωT ωπ
====-==
⎰⎰⎰
2
22200
rms
000
111cos 2()d sin d d 22
T T T
x x ωt
x x t t x ωt t t T T T
-====⎰⎰⎰
1-3求指数函数的频谱。
解答：
(2)220220(2)()()(2)2(2)a j f t
j f t at j f t e A A a j f X f x t e dt Ae e dt A a j f a j f a f -+∞
∞
---∞
-∞-=====-+++⎰⎰πππππππ
2
2
()(2)
k X f a f π=
+
Im ()2()arctan
arctan
Re ()X f f
f X f a
==-πϕ
1-5求被截断的余弦函数(见图1-26)的傅里叶变换。
单边指数衰减信号频谱图
f
|X (f )|
A
φ
(f ) f
π/2
-π/2
0cos ()0
ωt t T x t t T
⎧<⎪=⎨
≥⎪⎩
解：0()()cos(2)x t w t f t =
π
w(t)为矩形脉冲信号
()2sinc(2)W f T Tf =π
()
002201cos(2)2j f t j f t
f t e e
πππ-=
+ 所以002211()()()22j f t
j f t x t w t e w t e -=+ππ
根据频移特性和叠加性得：
000011
()()()
22
sinc[2()]sinc[2()]
X f W f f W f f T T f f T T f f =-++=-++ππ
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
1-6 求指数衰减信号0()sin at
x t e
ωt -=的频谱
f
X (f )
T
f
-f 0 被截断的余弦函数频谱
解答：
()0001sin()2j t j t
t e e j
-=
-ωωω
所以()001()
2j t j t
at
x t e e e j
--=-ωω
单边指数衰减信号1()(0,0)at
x t e
a t -=>≥的频谱密度函数为
112
2
1()()j t at j t a j X f x t e dt e e dt a j a ∞
∞
----∞
-===
=++⎰⎰ωωω
ωω
根据频移特性和叠加性得：
[]001010222200222
000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]
a j a j X X X j j a a a a j a a a a ⎡⎤
---+=
--+=-⎢⎥
+-++⎣⎦
--=-+-+++-++ωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωω
指数衰减信号
1-7 设有一时间函数f (t )及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡
00cos ()m ωt ωω>。在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦振荡0cos ωt 叫做载波。
试求调幅信号
0()cos f t ωt 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若0m ωω<时
将会出现什么情况
解：0()
()cos()x t f t t =ω
()[()]F f t =ωF
()
0001cos()2j t j t
t e e
-=
+ωωω 所以0011
()()()22
j t j t x t f t e f t e -=+ωω
根据频移特性和叠加性得： 0011
()()()22
X f F F =
-++ωωωω
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高
度减小一半。
若0m ωω<将发生混叠。
f
X (f )
ω
-ω0
矩形调幅信号频谱
图1-27 题1-7图
ω
F (ω)
f (t )
0 t -ω
ωm
